sách Giải tích hàm bài tập và lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (848.01 KB, 136 trang )
Mở đầu
Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô-Độ đo-Tích phân, giáo trình Giải tích hàm đ-ợc biên
soạn trong ch-ơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn chỉnh về Giải tích hiện đại dành cho sinh viên
hệ Đại học s- phạm ngành Toán.
Để học tốt học phần Giải tích hàm, ng-ời học cần trang bị tr-ớc một số kiến thức về Đại số
tuyến tính, về Không gian tôpô, Độ đo và Tích phân Lebesgue. Khi biên soạn giáo trình này, chúng
tôi chú ý nhiều đến yếu tố s- phạm trong việc trình bày các vấn cơ bản một cách logic, tinh giản
với khối l-ợng kiến thức khoa học thiết yếu của môn học. Đặc biệt, chúng tôi rất chú ý đến việc
hình thành cho sinh viên những ph-ơng pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật
chứng minh các định lý và qua việc s-u tầm, phân loại một hệ thống bài tập phong phú kèm theo
h-ớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn
vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với những kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi tin t-ởng giáo
trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học tập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy, cô giáo Tổ Giải tích Khoa toán Tr-ờng Đại
học S- phạm Hà Nội mà tác giả đã đ-ợc học trực tiếp hoặc gián tiếp để có đ-ợc những kiến thức
giúp xây dựng nên giáo trình này. Xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích Tr-ờng Đại học
Tây Bắc đã lựa chọn giáo trình này để giảng dạy và đã và đóng góp những ý kiến xác đáng giúp
hoàn thiện giáo trình.
Do những hạn chế về kinh nghiệm khoa học nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn nhận đ-ợc thêm nhiều ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn thiện giáo trình.
Sơn La, tháng 12 năm 2007
Tác giả
Phạm Minh Thông
1
Mục lục
1
Không gian tuyến tính định chuẩn
5
1
Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1
Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Một số không gian Banach thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1
Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Không gian Lp (X) và không gian L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1
Không gian Lp (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3
Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4
Không gian L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.1
Đặc tr-ng của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
Không gian L(E; F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Phép đẳng cấu và đẳng cự giữa các không gian định chuẩn . . . . . . . . .
25
4.4
Một số cặp không gian đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Không gian con và không gian th-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.1
Không gian định chuẩn con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Tổng trực tiếp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.3
Siêu phẳng trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.4
Không gian th-ơng của không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .
33
Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6.1
35
2
3
4
5
6
Các tính chất của không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . .
2
6.2
7
2
Bài tập ch-ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
43
1
Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.1
Nửa chuẩn liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.2
Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.1
Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2
Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Định lý Hahn- Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.1
Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . . . . . . . . . .
48
3.2
Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector phức . . . . . . . . . . . .
50
3.3
Ba hệ quả quan trọng của Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . .
51
Bài tập ch-ơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3
4
Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach
55
1
Không gian liên hợp và Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.1
Không gian liên hợp tôpô. Phép nhúng chính tắc . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2
Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Toán tử compact. Toán tử hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.1
Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.2
Toán tử hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Phổ toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.1
Một số khái niệm cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.2
Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.3
Phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Bài tập ch-ơng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2
3
4
4
37
Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
2
3
Định lý Riesz về đặc tr-ng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . .
Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert
74
1
Tích vô h-ớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.1
Tích vô h-ớng và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.2
Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.1
78
2
Hệ trực giao và trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3
Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4
Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5
Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6
Toán tử tự liên hợp và toán tử compact trong không gian Hilbert . . . . . . . . . .
89
6.1
Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.2
Toán tử tự liên hợp compact. Định lý Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . .
92
Bài tập ch-ơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7
5 H-ớng dẫn giải bài tập
98
1
Ch-ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Ch-ơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3
Ch-ơng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4
Ch-ơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4
98
Ch-ơng 1
Không gian tuyến tính định chuẩn
Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là tr-ờng số thực R hoặc tr-ờng số phức C. Các
không gian vector đ-ợc xét ở đây là không gian vector trên K.
1
Không gian định chuẩn và không gian Banach
1.1
Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Cho E là không gian vector trên K. Hàm . : E R đ-ợc gọi là một chuẩn
trên E nếu:
0 với mọi x E và x = 0 x = 0,
1)
x
2)
x = || x với mọi K và với mọi x E,
3)
x+y
x + y với mọi x, y E.
Với mỗi x E số x đ-ợc gọi là chuẩn của vector x.
Không gian vector E cùng với một chuẩn . trên E đ-ợc gọi là một không gian tuyến tính
định chuẩn, hay th-ờng gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn.
Nhận xét 1. Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng nếu E là không gian định chuẩn thì công thức sau đây
xác định một metric (khoảng cách) trên E, gọi là metric sinh bởi chuẩn. :
d(x, y) := x y , (x, y E)
(1.1)
Nh- vậy, mọi không gian định chuẩn E đều là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn xác
định bởi công thức (1.1). Chính vì vậy mà các phần tử (vector) của E th-ờng đ-ợc gọi là điểm nhđối với các phần tử của không gian metric hay không gian tôpô. Đồng thời, trong không gian định
chuẩn, khi nói đến tính chất của các dãy điểm (nh- tính hội tụ, phân kỳ, dãy Cauchy, ... ) hoặc
khi nói đến các điểm tôpô quan trọng và một số khái niệm liên quan (nh- điểm trong, điểm ngoài,
điểm biên, điểm tụ, điểm dính, phần trong, bao đóng của một tập hợp; tập đóng, tập mở, tập bị
chặn, tập hoàn toàn bị chặn, tập compact, ánh xạ liên tục, ... ) chúng ta mặc nhiên coi không gian
5
định chuẩn chính là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn hoặc là không gian tôpô với tôpô
sinh bởi metric sinh bởi chuẩn.
Sau đây chúng ta nêu một số khái niệm đã biết trong không gian định chuẩn thông qua khoảng
cách sinh bởi chuẩn:
Dãy hội tụ: xn x > 0 cho tr-ớc, n0 N : n N (n
n0 xn x < ).
Dãy {xn }nN là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu > 0 cho tr-ớc, n0 N: m, n N
(m, n n0 xm xn < ).
Các tập hợp sau đây, theo thứ tự, là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x0 bán kính r:
B(x0, r) = {x E : x x0 < r};
B[x0, r] = {x E : x x0
r}
Tập X E bị chặn sup x < + r > 0 : X B[0; r]. Tập X hoàn toàn bị chặn
xX
> 0 cho tr-ớc luôn tồn tại ít nhất một - l-ới hữu hạn A của X, tức là tồn tại tập A E sao
cho X
B(y, ); X là tập compact nếu mọi dãy {xn } X đều có ít nhất một dãy con {xnk }
yA
hội tụ tới một phần tử x X.
Hàm f : E F liên tục tại x0 E nếu và chỉ nếu với bất kỳ > 0 cho tr-ớc, tồn tại số
= (x0, ) > 0 sao cho: (x E) ( x x0 < f (x) f (x0 ) < ).
Bài tập: Phát biểu các khái niệm và tính chất metric của không gian định chuẩn thông qua
metric sinh bởi chuẩn.
1.2 Không gian Banach
Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn E đ-ợc gọi là không gian Banach nếu E cùng
với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy.
Nhận xét 2. Trong không gian định chuẩn E ta có:
x y
x y với mọi x, y E.
Thật vậy, cho x, y E, từ điều kiện 3) ta có: x = (x y) + y
x y
x y và y x
x y . Chứng tỏ x y
x y + y . Suy ra
xy .
Từ nhận xét này ta có mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.3. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn . : E R liên tục đều trên E.
Chứng minh. Cho > 0 bất kì, chọn = . Khi đó, với mọi x, y E, nếu d(x, y) = x y <
thì
| x y |
x y = d(x, y) = = .
Chứng tỏ hàm . : E R liên tục đều trên E.
Cho E là không gian định chuẩn và a, b E. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b:
[a, b] := {x = ta + (1 t)b E : t R, 0
6
t
1}
Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là:
a) Tập lồi nếu [a, b] X với mọi a, b X.
b) Tập cân nếu x X với mọi x X và với mọi K mà ||
1.
c) Tập hút nếu với mỗi x E đều tồn tại số > 0 sao cho x X với mọi K mà ||
.
Các hình cầu tâm tại 0 E, bán kính 1 sau đây theo thứ tự đ-ợc gọi là hình cầu mở, hình cầu
đóng đơn vị trong không gian định chuẩn E:
B(0, 1) = {x E : x < 1}, B[0; 1] = {x E : x
1}
Mệnh đề 1.5. Hình cầu mở, hình cầu đóng đơn vị trong không gian định chuẩn E là lồi, cân, hút.
Chứng minh. Tr-ớc tiên ta chứng minh B(0, 1) là tập lồi, cân và hút: Cho a, b B(0, 1) và
0 t 1. Ta có:
(ta + (1 t)b
Mặt khác, x = || x
ta + (1 t)b = t a + (1 t) b < t + 1 t = 1
x < 1. Suy ra B(0, 1) là lồi và cân.
Cuối cùng, nếu x E thì do x B(0, 1) với mọi ||
=
1
nên B(0, 1) hút mọi
x +1
phần tử của E.
Việc chứng minh B[0; 1] là lồi, cân và hút hoàn toàn t-ơng tự.
Mệnh đề 1.6. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E là liên tục. Nghĩa
là, nếu x x0, y y0 và 0 , ( K), thì x + y x0 + y0 , x 0 x0.
Chứng minh. Nhờ các đánh giá d-ới đây
(x + y) (x0 + y0)
x 0 x0
x x0 + y y0
|| x x0 + | 0 | x0
với chú ý E ì E hay K ì E đ-ợc xét là không gian tích hữu hạn không gian metric (khoảng
cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn, khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông
th-ờng).
1.3
Tập compact trong không gian định chuẩn
Định lý 1.7 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X
đóng và hoàn toàn bị chặn.
Nhận xét: 1) Nếu X là tập hoàn toàn bị chặn trong E thì với mỗi > 0 đều có thể chọn cho X
một - l-ới hữu hạn H gồm toàn các phần tử của X.
Thật vậy, cho > 0 có thể chọn cho X một /2 l-ới hữu hạn M = {a1 ; . . . ; am } E. Khi đó
m
X=
m
B(aj , ) X
B(aj , ) X =
2
2
j=1
j=1
7
Có thể giả thiết B(aj , 2 ) X = , j = 1, m. Với mỗi j
bj B(aj , 2 ) X. Khi đó tập hợp H = {b1 ; . . . ; bm } X là
vậy, cho x X, chọn aj M để x aj < 2 . Chọn bj
x B(bj , ) vì
x aj + aj bj <
x bj
2
Suy ra X
= 1, m có thể chọn một phần tử
một - l-ới hữu hạn của X. Thật
B(aj , 2 ) X t-ơng ứng. Khi đó
+
=
2
B(y, ). Chứng tỏ H X là một - l-ới hữu hạn của X.
yH
2) Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là tập hoàn toàn bị chặn thì
với = 1 tồn tại {x1, x2, . . . , xn } là - l-ới hữu hạn của X. Giả sử x X tuỳ ý, chọn 1 k n
để x xk < 1. Suy ra x
xk + x xk
xk + 1
max1 k n xk + 1. Do đó
max xk + 1 < +.
sup x
xX
1 k n
1.4 Một số không gian Banach thông dụng
1. Không gian Euclide n-chiều: Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn là tích Descartes của n
bản K (tr-ờng vô h-ớng):
Kn := {x = (x1 , x2, . . . , xn ) : x1, x2, . . . , xn K}
Chúng ta đã biết Kn là một K-không gian vector với hai phép toán cộng vector và nhân vô
h-ớng với vector: x = (x1 , x2, . . . , xn ) Kn ; y = (y1, y2, . . . , yn ) Kn , K:
x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) Kn ; x := (x1 , x2 , . . . , xn ) Kn
Với mỗi x = (x1, x2, . . . , xn ) Kn , ta đặt:
n
1
2
|xi |2
x =
.
(1.2)
i=1
Ta sẽ chứng tỏ công thức (1.2) xác định một chuẩn trên Kn , gọi là chuẩn Euclide. Thật vậy,
hiển nhiên hàm x x thoả mãn các điều kiện 1) và 2) trong định nghĩa chuẩn. Để chứng minh
điều kiện 3) còn lại chúng ta cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski -Schwartz:
n
1
2
n
|ai|2
|ai bi |
i=1
1
2
n
|bi |2
.
i=1
i=1
Thật vậy, với mọi x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1 , y2, . . . , yn ) Kn ta có:
n
x+y
2
=
n
|xi + yi |
i=1
2
n
n
2
2
(|xi| + |yi |) =
i=1
n
i=1
i=1
=
|xi|2
i=1
n
n
|xi +
i=1
8
n
|yi2|
.
i=1
|2
i=1
1
2
2
|yi |2
|xi yi | +
i=1
n
|xi|2 + 2
|xi | + 2
n
i=1
1
2
n
|yi |2
+
i=1
|yi |2 = ( x + y )2
x + y với mọi x, y Kn .
Chứng tỏ x + y
Nh- vậy, hàm . thoả mãn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là một chuẩn và
đ-ợc gọi là chuẩn Euclide trên Kn .
Cuối cùng, với x = (x1, . . . , xn ) Kn , y = (y1, . . . , yn ) Kn ta có:
max |xi yi |
1 i n
xy
n. max |xi yi |.
1 i n
suy ra x y trong Kn khi và chỉ |xi yi | 0 với mọi i = 1, n. Nh- vậy, sự hội tụ trong Kn là
sự hội tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dãy toạ độ của
nó đều là dãy Cauchy trong K. Lại do K là không gian metric đầy suy ra Kn là không gian đầy.
Vậy Kn là không gian Banach.
Không gian Banach Kn với chuẩn Euclide đ-ợc gọi là không gian Euclide n chiều.
Chúng ta có thể kiểm tra thấy rằng Kn cũng là không gian Banach với chuẩn xác định bởi một
trong các công thức sau đây:
x
:= max |xj | hoặc x
1 j n
1
:= |x1| + ã ã ã + |xn |,
x = (x1 , . . . , xn ) Kn .
2. Không gian các hàm số liên tục trên một đoạn: Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm
liên tục f : [a; b] K trên đoạn hữu hạn [a, b]. Ta đã biết C[a; b] là K-không gian vector với hai
phép toán vector:
(f + g)(x) := f (x) + g(x); (f )(x) := f (x) + g(x), f, g C[a; b], K
Đặt f = sup{|f (x)| : x [a, b]}, f C[a; b]. Dễ dàng thấy rằng hàm f f xác định
một chuẩn trên không gian C[a; b] và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn.
Ta sẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {fn } là một dãy Cauchy trong C[a; b],
khi đó với mọi số > 0 cho tr-ớc, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho:
m, n N(m, n
n0 fn fm = sup
fn (x) fm (x) < )
x[a;b]
Suy ra
m, n N (m, n
n0 |fn (x) fm (x)| < với mọi x [a, b]).
(1.3)
Nh- vậy, với mỗi x [a, b] cố định, dãy số {fn (x)} là dãy Cauchy trong K. Do K là không
gian metric đầy nên dãy đó hội tụ trong K. Đặt f (x) = lim fn (x) K, x [a, b], ta đ-ợc
n
hàm số f : [a; b] K. Ta sẽ chỉ ra f C[a; b] và dãy {fn } hội tụ đến f trong C[a; b], nghĩa là
fn f 0. Thật vậy, giả sử x0 [a; b] là điểm tuỳ ý, ta chứng minh f liên tục tại x0. Trong
(1.3) bằng cách cố định x [a, b] và n n0 , cho m ta đ-ợc
|fn (x) f (x)|
với mọi x [a, b] và n
n0
(1.4)
Trong (1.4) cho x0 [a; b], n = n0 ta có |fn0 (x0 ) f (x0)| . Vì fn0 liên tục tại x0 nên tồn
tại > 0 sao cho |x x0| < |fn0 (x) fn0 (x0 )| < với mọi x [a; b]. Từ đó suy ra: Với mọi
x [a; b] thoả mãn |x x0 | < ta đều có:
|f (x) f (x0)|
|f (x) fn0 (x)| + |fn0 (x) fn0 (x0)| + |fn0 (x0) f (x0 )| < 3
9
Chứng tỏ f liên tục tại điểm tùy ý x0 [a; b] nên f C[a; b].
Cũng từ (1.4) suy ra fn f = sup |fn (x) f (x)|
với mọi n
n0 . Điều này chứng tỏ
x[a,b]
lim fn f = 0, nghĩa là dãy {fn } hội tụ đến f trong C[a; b].
n
3. Không gian các hàm số bị chặn: Ký hiệu B(S) là không gian vector tất cả các hàm số bị
chặn trên tập S tùy ý: B(S) = {f : S K : sup{|f (s)| : s S} < +}. Đặt
f := sup{|f (s)| : s S} < +,
f B(S)
Có thể thấy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên B(S), do đó
chuẩn. Hơn nữa, có thể chỉ ra B(S) là không gian Banach.
(1.5)
B(S) là một không gian định
4. Không gian các dãy số khả tổng bậc p: Ta đã biết tập hợp KN tất cả các dãy trong K:
KN = {x = (x1 , x2, . . . , xn , . . . ) : xn K, n N}
là K-không gian vevtor với các phép toán vector:
x + y := x = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn , . . . ), x := (x1 , x2, . . . , xn , . . . )
với x = (x1, x2 , . . . , xn , . . . ), y = (y1 , y2, . . . , yn , . . . ), K.
Với mỗi số thực p
1 tuỳ ý, ký hiệu lp là tập hợp tất cả các dãy số khả tổng bậc p :
lp = {x = (xn ) KN :
|xn |p < +}
n=1
Chúng ta sẽ chứng tỏ lp là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức:
x
p
1
p
|xn |p
:=
,
x = (x1, x2 , . . . , xn , . . . ) lp .
(1.6)
n=1
Tr-ớc tiên lp là không gian vector con của KN nên bản thân lp là một K-không gian vector.
Thật vậy, do (0) lp nên lp = . Ta kiểm tra lp đóng kín đối với các phép toán vector: Với
x = (xn )
n=1 lp , y = (yn )n=1 lp , K thì x + y = (xn + yn )n=1 ; x := (xn )n=1 . Từ bất đẳng
thức
|xn + yn |p
(|xn | + |yn |)p
2p max{|xn |p , |yn |p}
2p (|xn |p + |yn |p), n N
ta có
|xn + yn |
n=1
n=1
p
p
2
|yn |p < +
|xn | +
n=1
n=1
|xn |p = ||p
Ta có
p
|xn |p < +. Suy ra x + y lp và x lp .
n=1
Để chứng minh công thức (1.6) thực sự xác định một chuẩn trên lp chúng ta cần sử dụng một
số kết quả bổ trợ sau đây:
10
Bổ đề 1.8. Nếu p, q > 1 với
1
p
+
1
q
= 1 thì với mọi , R+ ta có:
p q
+
p
q
.
(1.7)
Chứng minh. Tr-ớc hết, nếu = 0 hoặc = 0 thì Bổ đề đúng hiển nhiên. Giả sử > 0, > 0.
Xét hàm số
tp tq
f (t) = +
, (t > 0)
p
q
Do f (t) = tq1 (tp+q 1) = 0 t = 1 và f (t) < 0 trên khoảng (0; 1), f (t) > 0 trên khoảng
(1; +) nên f có giá trị cực tiểu là f (1) = 1p + 1q = 1. Nh- vậy
tp tq
+
p
q
1
Thay t = q .
1
p
1 với mọi t > 0
vào bất đẳng thức trên ta đ-ợc
p
q
q . 1 p .1
+
p
q
1
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với và l-u ý rằng
p q
+
p
q
p
q
+ 1 = p,
|xn yn |
|xn |
n=1
+ 1 = q, ta đ-ợc
.
Bổ đề 1.9 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q R, p, q > 1,
lp , (yn ) lq thì:
q
p
p
1
p
1
p
.
n=1
|yn |
1
q
+
q
= 1. Khi đó, nếu (xn )
1
q
(1.8)
n=1
Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.6) ta có:
|xn yn |
x p . y q.
(1.9)
n=1
Chứng minh. Hiển nhiên bổ đề đúng nếu x p = 0 hoặc y q = 0. Vậy chỉ cần chứng minh
tr-ờng hợp x p > 0, y q > 0. Với mỗi số tự nhiên n 1, áp dụng bổ đề 1.8 cho = |xxnp| và
=
|yn |
y q
ta đ-ợc
|xn yn |
x p y q
1 |xn |p 1 |yn |q
+
p x pp q y qq
Lấy tổng hai vế theo n ta đ-ợc
|xn yn |
n=1
x
p
y
q
1
p x
1
|xn | +
p.
q y
p
n=1
p
11
q.
q
|yn |q =
n=1
1 1
+ =1
p q
Suy ra
|xn yn |
|xn |
n=1
1
p
p
n=1
n=1
Bổ đề 1.10 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho p R, p
x+y
1
q
|yn |q
.
x
p
p
1. Nếu x, y lp thì
+ y
p
Chứng minh. Bất đẳng thức Minkowski hiển nhiên đúng với p = 1. Với p > 1, chọn q > 1 để
1
+ 1q = 1. Do q(p 1) = p và do trên ta có
p
|xn + yn |
(p1)q
n=1
|xn + yn |p < +
=
n=1
p1
) lq
Nghĩa là (|xn +yn |p1 )
n=1 lq . áp dụng bất đẳng thức Holder tới (xn ) lp và (|xn +yn |
p1
1
với l-u ý thêm rằng q = p ta đ-ợc
|xn |.|xn + yn |
p1
x
|xn + yn |
p
n=1
(p1)q
n=1
= x
p1
p
|xn + yn |p
p
1
q
n=1
T-ơng tự ta có
|yn |.|xn + yn |
p1
y
|xn + yn |
q
n=1
p
p1
p
n=1
Từ các bất đẳng thức trên ta nhận đ-ợc:
|xn + yn |
n=1
p
|xn |.|xn + yn |
p1
|yn |.|xn + yn |p1
+
n=1
n=1
( x
|xn + yn |p
p + y p)
p1
p
n=1
|xn + yn |p
Chia hai vế bất đẳng thức trên cho
p1
p
ta đ-ợc:
n=1
x+y
Mệnh đề 1.11. Nếu p
p
= x
p
+ y p.
1 thì lp là một không gian Banach.
12
Chứng minh. +) Tr-ớc hết, hiển nhiên .
Cho x, y lp và K ta có:
p
x
p
p
=
|| .|xn|
p
thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định nghĩa chuẩn.
1
p
= ||.
n=1
|xn |
1
p
p
= ||. x
p
n=1
Nh- vậy . p thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức
Minkowski ta có . p thoả mãn điều kiện cuối cùng trong định nghĩa chuẩn. Vậy lp với . p là
một không gian định chuẩn.
(k)
(k)
+) lp là không gian Banach: Cho {x(k)}
= (xn )
n=1 , khi đó,
k=1 là dãy Cauchy trong lp , x
với mọi số > 0 cho tr-ớc, tồn tại số tự nhiên k0 sao cho với mọi k, l N : k, l k0 ta đều có
x(k) x(l) p < . Suy ra, với mọi m N và k, l k0 ta có:
x
(k)
x
(l)
|x(k)
n
=
p
p
x(l)
n |
1
p
< .
(1.10)
n=1
(k)
(l)
(k)
Suy ra |xn xn | < với mọi k, l k0 , n 1. Điều này chứng tỏ mỗi dãy tọa độ {xn }k
(k)
dãy Cauchy trong K với mọi n 1. Vì K là không gian Banach nên tồn tại xn = lim xn , n
k
(k)
x trong lp. Trong (1.10), cố định k
Đặt x = (xn )
n=1 , ta sẽ chứng tỏ rằng x lp và x
cho l ta đ-ợc
x(k) x
p
p
|x(k)
n xn |
=
1
p
với mọi k
k0
1
là
1.
k0
(1.11)
n=1
(k )
(k )
0
Chứng tỏ (xn 0 xn )
n=1 lp . Do (xn )n=1 lp và lp là không gian vector suy ra x lp . Từ
(1.11) suy ra x(k) x p 0 khi k , nghĩa là x(k) hội tụ đến x trong lp.
5. Không gian l các dãy số bị chặn và không gian c0 các dãy số hội tụ về 0: Đặt
l = {(xn ) KN : sup |xn | < +} và c0 = {(xn ) l : lim xn = 0}.
n
n
Dễ dàng thấy rằng l, l0 là các không gian vector con của KN nên l , l0 là các K-không gian
vector. Hơn nữa, do l = B(N) là không gian các hàm bị chặn trên N nên l là không gian
Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l . Do c0 là không gian con đóng của l nên c0 cũng
là không gian Banach.
2
2.1
Chuỗi trong không gian định chuẩn
Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
Định nghĩa 2.1. Cho E là một không gian định chuẩn và {xn }nN là một dãy trong E. Ta gọi
tổng hình thức sau:
x1 + x 2 + ã ã ã + x n + ã ã ã =
xn
n=1
13
(2.1)
là một chuỗi trong không gian định chuẩn E. Phần tử xn đ-ợc gọi là phần tử tổng quát và dãy
{sn }nN , sn = x1 + ã ã ã + xn , đ-ợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (2.1).
Nếu dãy tổng riêng {sn }nN hội tụ tới điểm s E thì chuỗi (2.1) đ-ợc gọi là hội tụ về s, hay
xn = s. Tr-ờng hợp ng-ợc lại, ta nói chuỗi (2.1) là phân kỳ.
có tổng là s và đ-ợc ký hiệu là
n=1
Mệnh đề 2.2. Nếu chuỗi (2.1) hội tụ thì dãy phần tử tổng quát dần đến 0, tức là lim xn = 0.
n
Chứng minh. Giả sử
xn = s và {sn } là dãy tổng riêng của chuỗi. Khi đó xn 0 vì:
n=1
0
xn = sn sn1 = (sn s) + (s sn1 )
sn s + sn1 s 0.
Định lý 2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi
xn trong không gian Banach E hội tụ khi và chỉ khi
n=1
( > 0)(n0 ) | n, p N (n
n0 xn+1 + ã ã ã + xn+p < )
Thật vậy, vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu dãy các tổng riêng {sn }
của nó là dãy Cauchy, tức là
( > 0), (n0 ) | n, p N , (n
Mệnh đề 2.4. Nếu
yn là hai chuỗi hội tụ trong không gian định chuẩn E thì chuỗi
xn và
n=1
n0 sn+p sn = xn+1 + ã ã ã + xn+p < ).
n=1
(xn + yn) hội tụ với mọi , K và
n=1
(xn + yn ) =
n=1
xn +
n=1
xn
n=1
Chứng minh. Gọi an , bn , sn theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi
n=1
yn). Khi đó sn = an + bn với mọi n N . Do vậy:
sn (a + b) = (an a) + (bn b)
xn ,
yn và
n=1
(xn +
n=1
|| an a + || bn b 0, n
Suy ra lim sn = a + b E. Chứng tỏ chuỗi
n
(xn + yn ) hội tụ và:
n=1
(xn + yn ) = a + b =
n=1
xn +
n=1
yn .
n=1
Mệnh đề 2.5. Nếu chuỗi
xn hội tụ và có tổng là s và 1
n=1
k1 < k2 < ã ã ã < kn < . . . là một
yn với số hạng tổng quát:
dãy tăng các số tự nhiên thì chuỗi
n=1
y1 = x1 + ã ã ã + xk1 , y2 = xk1 +1 + ã ã ã + xk2 , . . . , yn = xkn1 +1 + ã ã ã + xkn , (n N ),
cũng hội tụ và có tổng là s.
14
Với tính chất trên ta nói có thể nhóm một cách tuỳ ý các số hạng của chuỗi hội tụ.
Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng kn
n với mọi n N nên kn khi n . Gọi sn , Sn
theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi
xn và chuỗi
n=1
yn . Khi đó với mọi n
1 ta có:
n=1
Sn = y1 + ã ã ã + yn = (x1 + ã ã ã + xk1 ) + ã ã ã + (xkn1 +1 + ã ã ã + xkn ) = skn
yn = lim Sn = lim skn = lim sn =
Suy ra:
n
n=1
2.2
n
n
xn .
n=1
Chuỗi hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa 2.6. Chuỗi
xn trong không gian định chuẩn E gọi là hội tụ tuyệt đối (hay hội tụ
n=1
xn hội tụ.
theo chuẩn) nếu chuỗi số
n=1
xn là chuỗi số d-ơng nên chuỗi
Do chuỗi
n=1
xn hội tụ tuyệt đối nếu và chỉ nếu dãy các
n=1
n
xn bị chặn, nghĩa là sup
tổng riêng của chuỗi số
xk < +.
n 1 k=1
n=1
Định lý 2.7. Trong không gian Banach mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Hơn nữa, tính chất
hội tụ cũng nh- tổng của chuỗi không phụ thuộc vào thứ tự các phần tử.
Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach và
xn là chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E. Để
n=1
chứng minh chuỗi hội tụ chúng ta chỉ cần ra rằng dãy tổng riêng {sn }n
1
của chuỗi là dãy Cauchy.
xn hội tụ nên tồn tại n0 sao cho
Cho > 0, do
n=1
n, p N , (n
n0 xn+1 + ã ã ã + xn+p < )
Suy ra
n, p N , (n
n0 sn+p sn = xn+1 + ã ã ã + xn+p < xn+1 + ã ã ã + xn+p < ).
xn hội tụ.
Vậy chuỗi
n=1
Để chứng minh khẳng định thứ hai chúng ta xét một hoán vị tuỳ ý của tập các số tự nhiên
N, nghĩa là một song ánh : N N. Đặt
sn = x1 + . . . + xn , Sn = x(1) + . . . + x(n) .
Ta sẽ chứng minh lim sn = lim Sn . Cho > 0 chọn n0 sao cho
n
n
n>n0
15
xn < 2 .
Với mọi n > n0 sao cho A = 1 ({1; . . . ; n0}) {1, . . . , n}. Khi đó (A) = {1; . . . ; n0 } nên:
n0
sn Sn =
xk +
k=1
n0
xk
n0
xk +
=
k=1
=
xk
n0
xk
x(k)
kA,k n
xk
k=1
x(k)
kA,k n
2
x(k)
n0
kA,k n
xk < .
k>n0
xk = lim sn = lim Sn =
Suy ra
x(k)
kA
n0
n
k=1
n
x(k).
k=1
Định lý quan trọng sau đây có thể coi là định lý đảo của Định lý 2.7.
Định lý 2.8. Không gian định chuẩn E là không gian Banach nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt
đối đều hội tụ.
Chứng minh. Cho {xn } là dãy Cauchy bất kỳ trong E. Với mỗi n
xl xm <
1
với mọi l, m
2n
1 tồn tại kn
n sao cho
kn
Ta hoàn toàn có thể chọn đ-ợc dãy {kn } với k1 < k2 < ã ã ã < kn < . . . . Đặt yn = xkn+1 xkn ,
khi đó
1
yn =
xkn+1 xkn
< +
n
2
n=1
n=1
n=1
yn hội tụ tuyệt đối. Theo giả thiết chuỗi này hội tụ, tức là dãy tổng riêng {Sn }
nghĩa là chuỗi
n=1
của nó hội tụ:
Sn = y1 + y2 + ã ã ã + yn = (xk2 xk1 ) + (xk3 xk2 ) + ã ã ã + (xkn+1 xkn )
= xkn+1 xk1 y =
yn .
n=1
Suy ra xkn y + xk1 E khi n . Dãy Cauchy {xn } có một dãy con {xkn } hội tụ nên
hội tụ. Chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach.
3 Không gian Lp(X) và không gian L(X)
3.1 Không gian Lp (X)
Cho X là tập đo đ-ợc Lebesgue trong Rk và à là độ đo Lebesgue trên - đại số L các tập đo
đ-ợc Lebesgue trên Rk . Với mỗi p 1, ký hiệu Lp (X) là tập tất cả các hàm khả tích Lebesgue
16
bậc p trên X (tất cả các hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên X đ-ợc xem là một):
|f |p dà < +}
Lp (X) = {f : X R đo đ-ợc :
X
Chúng ta sẽ chứng tỏ Lp (X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức:
f
p
1
p
p
:=
|f | dà
(3.1)
X
Việc chứng minh Lp (X) là không gian vector và hàm Lp (X) f f p R là một chuẩn
hoàn toàn t-ơng tự nh- đối với không gian lp các dãy khả tổng bậc p, thay vì phép lấy tổng là
phép lấy tích phân. Tuy nhiên, chúng ta cần sử dụng hai bất đẳng thức quan trọng là Bất đẳng thức
Holder và Bất đẳng thức Minkowski trong Lp (X) đ-ợc phát biểu và chứng minh trong các Bổ đề
d-ới đây.
3.2
Bất đẳng thức Holder
Định lý 3.1. Cho p, q > 1, 1p +
1
q
= 1. Khi đó với mọi f Lp (X), g Lq (X) ta có
p
|f.g|dà
|f | dà
X
1
p
X
q
|g| dà
1
q
(3.2)
X
Bởi ký hiệu (3.1), bất đẳng thức trên đ-ợc viết là:
fg
f
1
p
g
q
Chứng minh. Nếu f p = 0 hoặc g q = 0 thì f = 0 h.k.n hoặc g = 0 h.k.n trên X. Suy ra
f.g = 0 h.k.n. trên X, và do đó fg 1 = 0 nên bất đẳng thức Holder đúng. Xét tr-ờng hợp
, = |g(x)|
ta đ-ợc:
f p > 0, g q > 0. Với mỗi x X áp dụng Bổ đề 1.8 với = |ff(x)|
g q
p
1 |f (x)|p 1 |g(x)|q
+
p f pp
q g qq
|f (x)g(x)|
f p g q
Lấy tích phân hai vế trên X theo độ đo Lebesgue à trong Rk ta có:
1
f
p
g
|f (x)g(x)|dà
q
1
p f
X
|f (x)|p dà +
p
p
1
q g
X
|g(x)|q dà
q
q
X
Hay
fg
f
p
1
g
q
1 |f
p |f
p
p
p
p
+
1 |g
q |g
q
q
q
q
=
1 1
+ = 1 fg
p q
17
1
f
p
g
q
3.3 Bất đẳng thức Minkowski
Bổ đề 3.2. Nếu f, g Lp (X), p 1 thì f + g Lp (X) và f + g
f Lp (X) với mọi K và f p = || f p .
f
p
p
+ g p . Hơn nữa,
Chứng minh. Do
|f (x) + g(x)|p
(|f (x)| + |g(x)|)p
2p max(|f (x)|p , |g(x)|p)
2p (|f (x)|p + |g(x)|p), x X
nên
|f + g|pdà
2p
X
|f |p dà + 2p
X
Hiển nhiên f Lp (X) và f
|g|p dà < + f + g Lp (X).
X
p
= || f
với mọi K.
p
Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức f + g
f
p
p
+ g p. Tr-ớc hết do (p 1)q = p
nên
(|f + g|p1 )q dà =
X
|f + g|p dà < +
X
Suy ra |f + g|p1 Lq (X). áp dụng bất đẳng thức Holder tới f và |f + g|p1 với l-u ý rằng
(p 1)q = p ta đ-ợc:
|f |.|f + g|p1 dà
1
p
|f |pdà
X
|f + g|p dà
X
p1
p
X
Nh- vậy
|f (x) f + g|p1dà
f
p
f +g
p1
p
|g(x) f + g|p1dà
g
p
f +g
p1
p
X
T-ơng tự:
X
Từ hai bất đẳng thức cuối cùng ở trên ta có
f +g
p
p
|f (x) + g(x)|pdà
=
X
|f (x) f + g|p1 dà +
X
f
Chia hai vế cho f + g
|g(x) f + g|p1 dà
X
p
f +g
p1
p
p1
p
+ g
p
ta đ-ợc f + g
f +g
p
18
f
p1
p
p
=
f
+ g p.
p
+ g
p
f +g
p1
p
Định lý 3.3. Lp (X) là không gian Banach với chuẩn
f
p
1
p
p
=
|f (x)| dà
(3.3)
X
Chứng minh. Bổ đề 3.2 chứng tỏ Lp (X) là không gian vector và hàm f f p là một chuẩn trên
Lp (X), ở đây cần chú ý phần tử 0 Lp (X) chính là hàm bất kỳ bằng không h.k.n. trên X. Bây
giờ ta chứng minh Lp (X) là đầy, muốn vậy, sử dụng kết quả của Định lý 2.8, Bài 2, chúng ta chỉ
cần chứng minh mọi chuỗi trong Lp (X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Thật vậy, cho chuỗi
Lp (X) với
fn trong
n=1
fn
p
< +. Ta có thể xem fn nhận giá trị hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n
1, đặt
n=1
n
gn (x) =
|fk (x)|, x X
k=1
Khi đó gn Lp (X) và
n
gn
fk
p
p
C :=
fk
p
< +
n=1
k=1
Suy ra
gnp (x)dà
C p với mọi n
1
X
Với mỗi x X, dãy số gn (x) đơn điệu tăng nên tồn tại giới hạn
g(x) = lim gn (x) =
n
|fk (x)| với mọi x X
k=1
Do đó g và g p là đo đ-ợc. Theo bổ đề Fatou ta có:
g p (x)dà =
X
lim gnp (x)dà
n
X
gnp (x)dà
lim
n
Cp
X
Bất đẳng thức này suy ra g p và vì vậy g là hữu hạn h.k.n. Nh- vậy tồn tại tập N X với
à(N ) = 0 sao cho
|fk (x)| < + với mọi x X \ N
g(x) =
k=1
fn hội tụ h.k.n. đến hàm đo đ-ợc f . Hơn nữa
Suy ra chuỗi
n=1
|f (x)|pdà
X
|g(x)|p dà
X
19
Cp
Nói cách khác f Lp (X). Tiếp theo chúng ta chứng minh
fn hội tụ tới f trong Lp (X). Có
n=1
thể xem f hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n
1 đặt
n
p
hn (x) =
fk (x) f (x) , x X
k=1
Khi đó {hn } là dãy các hàm đo đ-ợc hội tụ h.k.n. đến 0 và
p
|hn (x)|
|fk (x)| + f (x)|
2p g p (x), h.k.n
k=1
Vì g p khả tích nên theo Định lý Lebesgue và qua giới hạn d-ới dấu tích phân ta đ-ợc
lim
|hn (x)|dà = 0
n
X
n
n
n
fk f
Do đó lim
p
= lim
k=1
n
|
X
fk (x) f (x)|p dà = 0.
k=1
3.4 Không gian L (X)
Cho X là tập đo đ-ợc Lebesgue trong Rk và à là độ đo Lebesgue trên - đại số
đ-ợc Lebesgue trên Rk . Nếu f là hàm số đo đ-ợc trên X, ta đặt:
N (f ) := inf{ > 0 : ||f (x)|
L các tập đo
h.k.n }
Hàm f đ-ợc gọi là bị chặn cốt yếu nếu N (f ) < +. Nhờ tính chất của độ đo Lebesgue,
chúng ta thấy rằng: Hàm f bị chặn cốt yếu trên X khi và chỉ khi tồn tại N X với à(N ) = 0
sao cho:
N (f ) = sup{|f (x)| : x X \ N } < +.
Kí hiệu L (X) là tập tất cả các hàm đo đ-ợc, bị chặn cốt yếu trên X (các hàm bằng nhau hầu
khắp nơi trên X đ-ợc xem là một) và đặt:
f := N (f ),
f L (X)
(3.4)
Định lý 3.4. L (X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức (3.4).
Chứng minh chi tiết Định lý 3.4 có thể xem trong các giáo trình [2, 3].
4 ánh xạ tuyến tính liên tục
4.1 Đặc tr-ng của ánh xạ tuyến tính liên tục
Cho E, F là các không gian định chuẩn trên tr-ờng K. Khi đó, E, F vừa là không gian vector
vừa là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn trên E, F. ánh xạ f : E F đ-ợc gọi là ánh
xạ tuyến tính liên tục nếu:
20
a) f là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector, nghĩa là:
f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y E và với mọi , K,
b) f là ánh xạ liên tục trên E theo nghĩa ánh xạ liên tục giữa các không gian metric, nghĩa là,
với x0 E tuỳ ý và với bất kỳ > 0 cho tr-ớc, tồn tại số = (x0, ) > 0 sao cho:
(x E) ( x x0 < f (x) f (x0 ) < ).
Định lý sau đây phát biểu về các đặc tr-ng quan trọng về tính liên tục của ánh xạ tuyến giữa
các không gian định chuẩn.
Định lý 4.1. Cho f : E F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định chuẩn E và F. Khi đó
các tính chất sau là t-ơng đ-ơng:
a) f liên tục đều trên E;
b) f liên tục trên E;
c) f liên tục tại 0 E;
d) f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị, tức là
sup{ f (x) : x
e) Tồn tại hằng số C
0 để f (x)
1} < +;
C x với mọi x E.
Chứng minh. a) b) và b) c) là hiển nhiên.
c) d). Do f liên tục tại 0 E và f (0) = 0 nên tồn tại số = () > 0 sao cho
(x E)( x = x 0 < f (x) = f (x) f (0)
1)
Suy ra, với mọi x E mà x
1 thì 2 x
< nên f (x) = 2 f 2 x
2
sup{ f (x) : x
1} 2 < +, nghĩa là f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị.
2
.
Do vậy
d) e). Đặt C = sup{ f (x) : x
1} < +. Theo giả thiết ta có 0 C < +. Cho
x
x E, x = 0 thì
= 1 nên f (x)
= f xx
C. Suy ra f (x)
C x với mọi x E.
x
x
e) a). Do f là ánh xạ tuyến tính nên với mọi cặp điểm x1, x2 E tuỳ ý cho tr-ớc ta có
f (x1) f (x2 ) = f x1 x2
C x1 x2
Từ bất đẳng thức trên suy ra tính liên tục đều của f trên E.
Bổ đề 4.2. Cho f : E F là ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó:
sup f (x) = sup f (x) = sup
x
1
x =1
= inf{C
x =0
0 : f (x)
21
f (x)
x
C x với mọi x E}
(4.1)
Chứng minh. Ký hiệu:
= sup f (x) ,
x
= sup f (x) ,
1
= sup
x =0
x =1
f (x)
= sup f
x
x =0
= inf{C
x
x
,
C. x với mọi x E}.
0 : f (x)
Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, do
x
: x E, x = 0 {x E : x = 1} {x E : x
x
nên ta có . Lại do
= inf{C
= inf{C
Vậy
x =0
f (x)
x
=
C. x với mọi x E}
0 : f (x)
f (x)
0:
x
C, 0 = x E}
f (x)
x
= sup
x =0
.
x với mọi x E nên
Mặt khác, do f (x)
sup
1}
f (x)
x
với mọi x E, x = 0 nên
. Do đó:
= sup f (x)
x
1
sup
0= x
1
f (x)
x
sup
x =0
f (x)
=
x
Từ các lập luận trên ta suy ra = = = .
Nhận xét 1. Có thể thay điều kiện c) và d) trong Định lý 4.1 bởi các điều kiện:
c') f liên tục tại điểm x0 E nào đó.
d') f bị chặn trên một hình cầu đóng B[0, r] với r > 0 nào đó.
Nhận xét 2. Nhờ tính chất d) ở trên, sau này chúng ta sẽ gọi số f := sup f (x) là chuẩn của
x
1
ánh xạ tuyến tính liên tục f : E F. Ta luôn có:
f (x)
với mọi x E.
f . x
Nếu f : E F là ánh xạ tuyến tính liên tục thì f < + và ảnh qua f của mọi tập bị chặn
trong E đều là tập bị chặn trong F; ảnh qua f của mọi tập hoàn toàn bị chặn trong E đều là tập
hoàn toàn bị chặn trong F.
Một ánh xạ tuyến tính liên tục còn đ-ợc gọi là ánh xạ tuyến tính bị chặn.
Thật vậy, nếu A bị chặn trong E ắt tồn tại số r > 0 sao cho x
r với mọi x A. Khi đó,
với mọi y = f (x) f (A) ta có y
f . x
r f < +, nghĩa là f (A) bị chặn.
Giả sử A là tập hoàn toàn bị chặn trong E. Ta có: f (x)
f . x với mọi x E (chỉ cần
xét f = 0 và do đó f > 0). Cho tr-ớc > 0, do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại f -l-ới hữu
k
hạn {x0 ; . . . ; xk } E sao cho A
B(xi;
i=1
f
k
). Khi đó f (A)
B(f (xi ); ), nghĩa là tập
i=1
{f (x1); . . . ; f (xk )} là một -l-ới hữu hạn của f (A), do đó f (A) hoàn toàn bị chặn trong F.
22
4.2
Không gian L(E; F)
Ký hiệu L(E; F) tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E đến F. Dễ dàng kiểm tra
đ-ợc rằng L(E; F) là không gian vector với hai phép toán cộng và phép nhân với vô h-ớng xác
định theo từng điểm sau đây:
(f + g)(x)
(f )(x)
:= f (x) + g(x)
,
:= f (x)
f, g L(E; F), K, x E.
Sau đây chúng ta sẽ xác định một chuẩn trong L(E; F) để L(E; F) trở thành một không gian
định chuẩn: Nhờ Định lý 4.1, với mỗi f L(E; F) có thể đặt t-ơng ứng với số thực f xác định
bởi:
f := sup{ f (x) : x E, x
1}
(4.2)
Định lý 4.3. L(E; F) là không gian định chuẩn với chuẩn . xác định bởi công thức (4.2). Ngoài
ra, nếu F là không gian Banach thì L(E; F) cũng là không gian Banach.
Chứng minh. Đầu tiên ta kiểm lại hàm f f xác định bởi công thức (4.2) là một chuẩn trong
L(E; F):
+) Hiển nhiên f
0 với mọi f L(E; F). Nếu f = 0 thì do với mọi x E ta có
f (x)
f . x = 0 suy ra f = 0 L(E; F). Nh- vậy điều kiện 1) trong định nghĩa chuẩn
thoả mãn.
+) Điều kiện 2) thoả mãn một cách hiển nhiên.
f = sup{ f (x) : x
1} = || sup{ f (x) : x
1}
= ||. f với mọi K, f L(E; F)
+) Cuối cùng ta kiểm tra điều kiện 3): Với f, g L(E; F) ta có:
f + g = sup{ f (x) + g(x) : x
1}
sup{ f (x) + g(x) : x
sup{ f (x) : x
1}
1} + sup{ g(x) : x
1} = f + g
Nh- vậy L(E; F) là không gian định chuẩn với chuẩn f f .
Bây giờ giả sử F là không gian Banach và {fn } là dãy Cauhy trong L(E; F), nghĩa là:
( > 0)(n0 ) : (m, n N ) m, n
n0 fn fm <
Suy ra: ( > 0)(n0 ) : (m, n N ) và với mọi x E ta có:
m, n
n0 fn (x) fm (x) = (fn fm )(x)
fn fm . x
x
(4.3)
Từ bất đẳng thức (4.3) ở trên ta suy ra với mỗi x E dãy {fn (x)} là Cauchy trong F. Do F
là không gian Banach nên tồn tại giới hạn
f (x) = lim fn (x), x E
n
23
Vì fn là tuyến tính với mọi n 1 nên f : E F là tuyến tính. Ta sẽ chứng minh f L(E; F)
và fn f trong L(E; F). Cố định n n0 cho m trong (4.3) ta nhận đ-ợc
x với mọi x E
fn (x) f (x) = (f fn )(x)
(4.4)
Nh- vậy
( + fn0 ). x với mọi x E
f (x) fn0 (x) + fn0 (x)
f (x)
Suy ra f L(E; F). Lại theo (4.4) ta có fn f
, chứng tỏ fn f trong L(E; F).
Không gian liên hợp tôpô: Cho E là không gian định chuẩn trên tr-ờng K. Chúng ta kí hiệu
E = L(E, K) và gọi E là không gian liên hợp tôpô của E. Mỗi phần tử của E gọi là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên E.
Chú ý. -Từ Bổ đề 4.2, trong không gian L(E; F) ta có:
f = sup f (x) = sup f (x) = sup
x
1
x =1
= inf{C
x =0
C. x với mọi x E}
0 : f (x)
- Với f L(E; F) ta luôn có: f (x)
f (x)
x
f . x với mọi x E.
- Nếu f L(E; F), g L(F, G) thì g f L(E, G) và g f
g . f .
Đại số Banach L(E): Khi E là không gian Banach thì L(E; E) cũng là không gian Banach. Mặt
khác, bản thân L(E; E) với phép toán cộng xác định theo từng điểm và phép toán nhân fg := f g
có cấu trúc đại số là một vành có đơn vị. Do đó L(E; E) đ-ợc gọi là một đại số Banach và đ-ợc kí
hiệu gọn là L(E). Đặc biệt chuẩn trên đại số Banach đó thoả mãn hệ thức (quy -ớc f 0 = idE = 1):
fg
f ã g ,
fn
f
n
f, g L(E), n N.
+
Mệnh đề 4.4. Nếu E là không gian Banach và f L(E) thì chuỗi
n=0
Thật vậy, do
+
n=0
1 n
f
n!
1 n
f
n!
1
n!
f
n
+
, n N. Chuỗi số d-ơng
n=0
+
hội tụ. Do đó, chuỗi
n=0
1 n
f
n!
1
n!
1 n
f
n!
f
hội tụ.
n
hội tụ nên chuỗi số
hội tụ trong L(E).
Nhờ kết quả khai triển Maclaurin của hàm số mũ thành chuối lũy thừa: ex =
+
n=0
1 n
x , (x
n!
R)
nên với mỗi ánh xạ tuyến tính f L(E) ng-ời ta kí hiệu một cách hình thức tổng của chuỗi
+
n=0
1 n
f
n!
là ef hoặc exp f :
+
ef :=
n=0
1 n
f
n!
+
hoặc
exp f :=
n=0
1 n
f , f L(E).
n!
(4.5)
Chúng ta phát biểu một kết quả quan trọng trong mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 4.5. Cho E là không gian Banach và f, g L(E). Nếu gf = fg thì ef +g = ef eg = eg ef .
24
4.3
Phép đẳng cấu và đẳng cự giữa các không gian định chuẩn
Định nghĩa 4.6. Cho f : E F là ánh xạ tuyến tính. Khi đó:
a) f đ-ợc gọi là một đẳng cấu và đ-ợc ký hiệu là f : E F nếu f là song ánh tuyến tính liên
tục hai chiều, nghĩa là f : E F cùng với f 1 : F E là liên tục.
Hai không gian định chuẩn E và F đ-ợc gọi là đẳng cấu và đ-ợc ký hiệu là E F nếu tồn
tại phép đẳng cấu f : E
F. Tập hợp tất cả các phép đẳng cấu giữa E và F đ-ợc kí hiệu là
Isom(E; F).
b) f đ-ợc gọi là phép đẳng cự và đ-ợc ký hiệu là f : E
= F nếu f là đẳng cấu bảo toàn chuẩn,
nghĩa là f là đẳng cấu thoả mãn: f (x) = x với mọi x E.
Hai không gian định chuẩn E và F đ-ợc gọi là đẳng cự và đ-ợc ký hiệu là E
= F nếu tồn tại
phép đẳng cự f : E = F.
Nhận xét 3. Mọi ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn f : E F đều liên tục và là đơn cấu. Từ đó
suy ra, nếu f : E F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f là phép đẳng cự.
Nhận xét 4. Nếu f : E F là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f = 1. Thật vậy, theo định
nghĩa ta có:
f = sup f (x) = sup x = 1.
x
1
x
1
Nhận xét 5. Mọi không gian định chuẩn đẳng cấu với không gian Banach đều là không gian
Banach.
Thật vậy, giả sử f : E
F và F là không gian Banach. Ta chứng minh E là không gian
Banach. Thật vậy, cho {xn } là dãy Caychy bất kỳ trong E. Đặt yn = f (xn ), n N . Do
ym yn = f (xm xn )
f xm xn 0 khi m, n + nên dãy {yn } là dãy Cauchy
trong không gian Banach F nên hội tụ trong F: yn y0 khi n . Do f 1 liên tục nên
xn = f 1 (yn ) f 1 (y0) := x0 E. Nh- vậy, mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không
gian Banach.
Nhận xét 6. Nếu f : E
F thì
x
f 1
f (x)
f . x
Thật vậy, ta có f (x)
f . x , f 1 (y)
đẳng thức thứ hai thay y bởi f (x) ta đ-ợc: x
kết quả nêu ở trên.
với mọi x E.
f 1 . y với mọi x E, y F. Trong bất
f 1 . f (x) với mọi x E. Kết hợp lại ta có
Mệnh đề 4.7. Giả sử f : E F là song ánh tuyến tính. Khi đó f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu tồn
tại các số d-ơng m, M sao cho
m x
f (x)
M x với mọi x E
25
(4.6)
