Phân loại các dạng toán ứng dụng định lí vi ét chương trình toán 9 THCS

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là mơn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở, là
nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội.
Tốn học khơng chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính tốn cần thiết, mà
cịn rèn luyện cho con người khả năng tư duy lơgíc, một phương pháp luận khoa
học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán giúp học
sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức
toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết cịn
phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán. Để nắm
vững cách giải một dạng tốn nào đó địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức
đã học một cách linh hoạt, sáng tạo kết hợp với sự khéo léo, cẩn thận và kinh
nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thơng qua việc giải
bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập,
kĩ năng trình bày, kĩ năng ứng dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Từ đó nâng
cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận
của học sinh.
Trong chương trình sách giáo khoa Tốn lớp 9 THCS, học sinh được làm quen
với phương trình bậc hai, cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là
hệ thức Vi-ét. Các bài toán vận dụng hệ thức Vi-ét có một vị trí quan trọng trong
chương trình dạy học tốn trung học cơ sở. Chính vì vậy bài tốn này thường
xun có mặt trong các kì thi học kì, thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì
thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông. Tuy nhiên, nội dung và thời lượng
về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
Nhiều năm dạy toán lớp 9, qua việc khảo sát tại trường THCS Trí Nang, tôi nhận
thấy các em nhận dạng và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết
khai thác và ứng dụng hệ thức vào giải nhiều loại toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét
lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, là một nội dung quan trọng trong chương
trình Tốn 9. Đối với giáo viên phần lớn chỉ truyền dạy cho học sinh kiến thức
chung chung không chỉ rõ cho học sinh từng dạng toán và cách vận dụng hệ thức

Vi-ét vào mỗi dạng tốn đó như thế nào.
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ thức Vi-ét và gúp học sinh thấy rõ
hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi trong giải tốn phương trình bậc hai. Trong q
trình giảng dạy, tơi đã tổng hợp, phân dạng tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải
nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng loại tốn đó. Từ đó các
em có kỹ năng nhận dạng và có phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp
cụ thể.
Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: " Phân loại các dạng tốn ứng dụng Định lí
Vi-ét chương trình tốn 9 THCS" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và
ứng dụng thành thạo hệ thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng học toán, tạo hứng
thú học tập của học sinh. Giúp đồng nghiệp tích lũy kiến thức, phương pháp từ đó
có cách dạy phù hợp với đối tượng học sinh để kiến thức toán khơng cịn nhàm
chán.

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Bài tập tốn học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất
quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận
dạng, hiểu được bài tốn, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Làm thế nào để giúp các em có được kiến thức tổng thể, biết nhận dạng các dạng
toán liên quan hệ thức Vi-ét, biết cách giải và hạn chế các sai lầm khi trình bày bài
tốn, tơi chọn đề tài: " Phân loại các dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét chương
trình tốn 9 THCS" với mục đích:
- Giúp các em nhận dạng và có phương pháp giải các dạng toán một cách dễ dàng
hơn. Bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Viét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài tốn bậc hai
trong các kỳ thi tuyển.
- Giúp các em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài
tốn đặc biệt là phương trình bậc hai.

- Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạo trong tốn; sự say mê và
u thích học mơn tốn nhiều hơn.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số dạng toán ứng dụng của định
lý Vi-ét thường gặp từ dễ đến khó trong các kì thi ở cấp trung học cơ sở. Do đó chỉ
đề cập đến một số dạng tốn đó là:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm
nghiệm cịn lại.

- Lập phương trình bậc hai.
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
- Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm
này khơng phụ thuộc vào tham số.
- Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
- Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
- Giải hệ phương trình đối xứng.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, tơi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Tơi đọc và chọn ra các bài tốn có ứng dụng hệ thức Vi-ét, sắp xếp thành các
dạng toán từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm
nghiệm cịn lại.

- Lập phương trình bậc hai.
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

2


- Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm
này khơng phụ thuộc vào tham số.
- Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
- Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
- Giải hệ phương trình đối xứng.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát:
Trước khi thực hiện đề tài này tôi điều tra tỉ lệ học sinh yêu thích phần kiến thức
định lí Vi-ét và số học sinh muốn tìm hiểu thêm các dạng toán liên quan đến hệ
thức Vi-ét bằng cách đưa ra một số câu hỏi như: Em thấy phần kiến thức định lí Viét có dễ học khơng? Em thích các bài tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét
khơng? Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung liên quan các dạng tốn
ứng dụng định lí Vi-ét khơng ? Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ?,.., Trước
khi thực hiện đề tài và sau khi áp dụng dề tài vào giảng dạy tôi ra đề kiểm tra khảo
sát học sinh nắm và vận dụng định lí Vi-ét thông qua một số bài tập.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Tôi hướng dẫn học sinh nhận dạng và phương pháp giải các dạng tốn ứng dụng
định lí Vi-ét thơng qua các tiết dạy lí thuyết, tiết ơn tập, hay bồi dưỡng học sinh
giỏi, phù đạo học sinh yếu kém.
4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm .
Sau khi vận dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy bản thân tôi đã đúc rút kinh
nghiệm giảng dạy từ sự trải nghiệm dạy và dự giờ đồng nghiệp, tôi đã bổ sung đề
tài được hoàn thiện, sát thực tiễn giảng dạy.

3


B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Toán học trong nhà trường phổ thơng là mơn học chiếm vị trí quan trọng. Dạy
toán tức là dạy phương pháp suy luận khoa học, học tốn tức là rèn khả năng tư
duy lơgíc. Giải các bài toán là phương pháp tốt nhất để nắm vững trí thức, phát
triển tư duy hình thành kỹ năng kỹ xảo.
Kiến thức mơn tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, khi học các em khơng những nắm chắc
lý thuyết cơ bản, mà cịn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận
dụng để giải từng dạng tốn.
Trong chương trình Đại số 9 bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú
trong việc giải các bài toán như: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm
hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho
trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai... Các ứng dụng
này giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học và rèn luyện các kĩ năng trình
bày, phân tích, tổng hợp... Tuy nhiên khi giải các bài tập về hệ thức Vi-ét học sinh
cịn gặp nhiều lúng túng, khơng có kĩ năng phân tích đề, phương pháp giải khơng
khoa học. Nguyên nhân chính là do các em chưa được hướng dẫn cụ thể theo từng
dạng. Vậy làm thế nào để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và phương pháp giải
các bài tập về hệ thức Vi-ét tôi đã tiến hành tìm tịi nghiêm cứu, tập hợp các bài
tốn về hệ thức Vi-ét từ đó tiến hành phân dạng, chỉ rõ ứng dụng của từng dạng.
Trên cơ sở đó tơi đã viết đề tài:" Phân loại các dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét
chương trình tốn 9 THCS" .
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM:
Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn tại trường THCS Trí Nang huyện Lang
Chánh bản thân tơi nhận thấy: Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh

THCS là khó và mới. Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như: Nhẩm nghiệm của
phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0 ; a - b + c = 0, hoặc các
trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số ngun với giá trị tuyệt đối
khơng q lớn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng,…, các em thường gặp khó
khăn trong việc đi tìm lời giải của bài tốn này; có những bài tốn các em khơng
biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học? Làm thế nào
để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài tốn ấy?
Với những thực trạng như vậy tơi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là
do những nguyên nhân sau:
*) Đối với giáo viên:
- Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng khơng nhiều chỉ có 1 tiết
lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo
phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống,
phân dạng các bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện
trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần
thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào

4


THPT. Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các dạng toán sử dụng hệ thức
Vi-ét thường không cao.
- Giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động
và máy móc khi vận dụng.
- Một số giáo viên chưa chủ động về kiến thức, khả năng phân tích, khai thác bài
tốn cịn hạn chế.
- Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tịi lời
giải, hệ thống bài tốn giáo viên đưa ra cịn dàn trải khơng mang tính đặc trưng.
*) Đối với học sinh:
Trình độ nhận thức của các em cịn chậm và không đồng đều. Đại đa số thụ động

trước kiến thức giáo viên cung cấp khơng tự mình tìm tịi, tự học tập thêm kiến
thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức.
Năm học 2015 - 2016 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ơn tập các bài tốn
về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm tra khảo sát học
sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 30 phút):
Bài 1 (3 điểm): Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 2015x2 + x - 2016 = 0
b) x2 + 10x + 21 = 0
Bài 2 (3 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 25x2 + 10x + 1 = 0
b) x2 - 2x + m = 0
Bài 3 (4 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - x2 = 4.
Với ba bài toán đưa ra, mặc dù chỉ kiểm tra kiến thức cơ bản nhất thì tơi thấy số
lượng các em giải trọn vẹn cả hai bài chiếm rất ít, một số em chỉ giải được bài tốn
1 tuy nhiên các em trình bày lời giải còn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, hoặc thiếu
cơ sở dẫn chứng (bài 2, phần b) hoặc không tìm ra hướng làm bài 3.
Ngun nhân:
- Khơng nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
- Không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với
các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập.
Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2015 – 2016 tại trường THCS Trí Nang cụ
thể như sau:
Lớp
9

Đối tượng 1
Số học sinh
0 - > 4 điểm
được khảo sát

SL
%
25
23
92%

Đối tượng 2
5 - > 7 điểm
SL
%
2
8%

Đối tượng 3
8 - > 10 điểm
SL
%
0
0%

Qua kết quả tỉ lệ khá giỏi thấp, tỉ lệ dưới trung bình cịn nhiều. Từ thực trạng
như vậy, tôi đã dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến của mình
trong năm học 2016 - 2017, năm học 2017 - 2018 đã khẳng định được kết quả của
đề tài .

5


III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kĩ lí thuyết, nắm chắc định lí Viét và các hệ quả của định lí Vi-ét. Muốn học sinh làm được các bài tập ứng dụng

định lí Vi-ét thì giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng
dụng riêng, mỗi dạng học sinh được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức,
phương pháp và kĩ năng làm bài.
Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh, lôi cuốn học sinh hứng thú học tập. Qua
mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu ra được kiến thức kiến thức cơ bản, kỹ năng cần
rèn luyện của dạng đó nhằm giúp các em hiểu bài và thành thạo kỹ năng làm bài.
1. Hệ thống kiến thức cơ bản:
* Định lý Vi-ét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) thì:
b
a
c
P = x1.x2 =
a

S = x1 +x2 =

Lưu ý : Áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình phải có nghiệm.
* Ứng dụng:
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0  a �0  có a + b + c = 0 thì phương trình có
c
a
2
+ Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có a - b + c = 0 thì phương trình có
c
một nghiệm là x1  1 , cịn nghiệm kia là x2  
a

một nghiệm là x1  1 , còn nghiệm kia là x2 

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình x2 - Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là: S 2  4 P �0
2. Phân loại các dạng tốn:
2.1 Dạng tốn nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai khi biết các hệ số a, b,
c:
a) Dạng: Phương trình bậc hai có các hệ số đặc biệt thỏa mãn a +b +c = 0 hoặc
a - b+ c = 0.
*) Phương pháp:
Bước 1: Xác định hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính a + c so sánh với b.
- Nếu a + c = - b thì nhẩm a + b +c
- Nếu a + c = b thì nhẩm a - b +c
Bước 3: Kết luận nghiệm
Cần lưu ý học sinh sai lầm khi xác định hệ số a,b,c phức tạp hoặc cách trình bày
chưa hợp lí.
Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 52)
a) - 5x 2 + 3x + 2 = 0 ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54)
b) 2004x2 + 2005x +1 = 0 ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54)

6


c) 3x 2  (1  3 ) x  1 0 (Bài 31/SGK Toán 9/trang 54)
d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + 4 = 0 (Bài 31/SGK Toán 9/trang 54)
Học sinh thường có cách trình bày và cách hiểu sai chẳng hạn như :
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0
2
5

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 =  .
Hoặc học sinh trình bày: a + b + c = 0  -5 + 3 + 2 = 0
d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + 4 = 0
a = -1; b = 3; c =4
Và còn nhiều cách hiểu và trình bày sai khác.
Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ bản chất
kiến thức và chỉnh sửa cách trình bày hợp lí cho học sinh.
Lời giải đúng:
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)
Ta có: a + b + c =  5 + 3 + 2 = 0
2
� phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 =  .
5

b) 2004x2 + 2005x +1 (a = 2004; b = 2005; c = 1)
Ta có : a - b +c = 2004 - 2005 +1 = 0
� phương trình có hai nghiệm là: x1 = -1 ; x 2 
2
c) 3x -  1 - 3  x - 1 = 0

a 





1
2004



3; b = - 1 - 3 ; c = - 1

- 1 - 3  �+  - 1  0
Ta có: a  b  c  3- �
�
�

� 1 � 1
� phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x2   �

�
� 3� 3
2
d)  m - 1 x -  2m + 3 x + m + 4 = 0 (Với m �1)

 a   m - 1 ;b = -  2m + 3

; c = m + 4

-  2m + 3 �
Với m �1 ta có a + b + c =  m - 1  �
�
�+  m + 4  = 0

� phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x 2 

m4
m 1

b)Dạng: Phương trình bậc hai có a = 1; b = tổng hai số ; c = tích hai số đó.
( nhẩm nghiệm ngun đơn giản)
Phương pháp: Nhẩm trong đầu tích của hai nghiệm bằng c mà tổng lại bằng b.
+ Nếu phương trình có dạng : x2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm
u và v.
+ Nếu phương trình có dạng : x2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm
- u và - v.
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a, x2 + 7x + 12 = 0
b, x2 - 11x + 28 = 0
Giải
a, Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 4
b, Ta có (- 4) + (- 7) = -11 và (- 4).(- 7) = 28 nên phương trình có hai nghiệm là

7


x1 = - 4; x2 = - 7
Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tơi đã u cầu các em sử dụng
máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở
phần a và b.
Lưu ý học sinh:
- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính
nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể. Nếu khơng tính nhẩm được nghiệm của
phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải.
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét và tính tốn cho phép tính nhanh chóng
nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0

b/ x2 - 49x - 50 = 0
c/ x2 – 12x + 35 = 0
d/ x2 + 10x + 21 = 0
2.2 Dạng toán: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình
đã cho và tìm nghiệm cịn lại.
* Phương pháp:
+ Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết
hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại.
+ Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm
nghiệm cịn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét cịn lại để tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 - mx + 5 = 0. (m là tham số)
Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm m và tìm nghiệm cịn lại
Giải:
Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được m =
x1x2 =

13
. Theo hệ thức Vi-ét ta có
2

5
5
mà x1= 2 nên x2 =
2
4

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có
5
5
mà x1 = 2 nên x2 = .

2
4
5
13
m
m
Mặt khác x1+ x2 =

=2+
 m=
2
2
4
2

x1 x2 =

Bài tập tương tự:
a/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm
của phương trình.
c/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai
nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
2.3 Lập phương trình bậc hai
*) Phương pháp:
Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi - ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2
Bước 2: Lập phương trình dạng: x2 – Sx + P = 0.
a) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2

8

Ví dụ 4: Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.
Giải:
�S  x1  x2  5
�P  x1.x2  6

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình:
x2 – Sx + P = 0 � x2 – 5x + 6 = 0
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ 5: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

1
1
y2  x1 
và
x1
x2

Giải:
Theo hệ thức Vi-ét,
�1 1 �
1
1
x x

2 9
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  3  
x1
x2
x1 x2
3 2
�x1 x2 �
� 1 �� 1 �
1
1 9
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1 .x2  1  1 
 2  1 1 
x1 x2
2 2
� x1 �� x2 �

ta có: S  y1  y2  x2 

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

9
9
y   0 � 2 y2  9 y  9  0
2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
2/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x1 

1
1
y2  x2 
và
x2
x1

3/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4

2.4 Dạng tốn: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
* Phương pháp:
Bước 1: Sử dụng định lí Vi - ét lập phương trình bậc hai dạng x2 – Sx + P = 0.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai với đk: S2 - 4P ≥ 0
Ví dụ 6: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
Giải:
�x1  x2  27
�x1.x2  180

Ta có : �

=> x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - 27x + 180 = 0

9


 = 27 2 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 �
� phương trình có 2 nghiệm

  9 3
27  3
x1 
 15 ;
2

x2 

27  3
 12
2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
* Khai thác ví dụ trên tơi nêu ra ví dụ sau:
Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2
Hướng dẫn cách giải:
- Bài tốn cho biết gì ? cần tìm gì?
- Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? .
- a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai nào?
Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
Gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b (0 < a,b < 10)

�2.  a  b   20
�a  b  10
� �
�a.b  32
�a.b  32

ta có: �

Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 - 10x + 32 = 0
2
Ta có:  '   5   1.32  7  0 � phương trình vơ nghiệm
Vậy khơng tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm2.
2.5 Dạng tốn: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
*) Phương pháp:
Bước 1: Xét điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0)
Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ
thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm.
Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:
2
x1  x2 2  ( x12  2 x1 x2  x2 2 )  2 x1 x2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2
x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x2 ) �
( x1  x2 ) 2  3 x1 x2 �
�
�
x14  x2 4  ( x12 ) 2  ( x2 2 ) 2  ( x12  x2 2 ) 2  2 x12 x2 2  [( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 ]  2 x12 x2 2
1
1
x  x2

 1

x1 x2
x1 x2
...........

Ví dụ 7: Cho phương trình 2 x 2  7 x  4  0 x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1  x2 ; x1.x2
b) x13  x23
Giải:
2
a) Ta có:    7   4.2.4  49  32  17  0 � Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ;
x2

áp dụng đinh lí Vi – ét ta có:

7
�
�x1  x2 
2
�
�
�x1.x2  2

3
2
2
3
2
2
b) Ta có: x13  x23 =  x1  3x1 .x1  3x1 x2  x2    3x1 .x1  3x1 x2 

10


=  x1  x2   3x1 .x2  x1  x2 
3

3

Vậy

�7 �
�7 � 343  42  343  168  175
= � � 3.2. � � =
8
2
8
8
�2 �
�2 �
175
x13  x23 =
8

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
2
a/  x12  x2 2 
x1

x2

b/ x  x
2
1
2/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ).
Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
2.6 Dạng tốn: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.
*) Phương pháp:
Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 8 : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2.
Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng
khơng phụ thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
�
�m �1
�
�
��2

��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
5
�
2m
2
�
�
S  x1  x2 
S  x1  x2  2 
(1)
�
�
�
�
m 1
m 1
��
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
�P  x .x  1  3 (2)

1 2
1 2
�
�
m 1
m 1
2
2
Rút m từ (1), ta có: m  1  x1  x2  2 � m  1  x  x  2 (3)
1
2
3
3
Rút m từ (2), ta có: m  1  1  x1 x2 � m  1  1  x x (4)
1 2

Từ (3) và (4), ta có:
2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

11


Ví dụ 9 : Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x 1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của
m.
Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
� 5
2m
�
S  x1  x2 
�
�
m 1

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
1 2
m 1
�

Thay vào biểu thức A, ta có:

2m
m4
6m  2m  8  8( m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
5

A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy lập hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối

với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy tìm
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không
phụ thuộc giá trị của m.
2.7 Dạng tốn: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.
*) Phương pháp:
Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0 hoặc ∆’≥ 0).
Bước 2: Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 10 : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của
tham số m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
 m 0


  ' 0

 m 0


2
  '  3(m  1)  9m(m  3) 0

 m 0

 m  1

6(m  1)
�
S  x1  x2 
�
�
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
9(
m

3)
�P  x .x 
1 2
�
m
Ta có: x1  x2  x1 x2 (giả thiết)

12


Nên

6(m  1) 9(m  3)

� 6(m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1  x2  x1 x2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2  6
2.8 Dạng toán: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
*) Phương pháp:
Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai số đó, kết hợp
với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của
tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu.
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu có nghiệm thoả mãn:
a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu
b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương
c) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm
Chú ý: khi  < 0 thì khơng cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương
trình vơ nghiệm.
Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0
Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố cịn lại là  và S.
Ví dụ 11 : Khơng giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 2 3 x + 4 = 0
b) x2 + 5x - 1 = 0
c) x2 - 2 3 x + 1 =0
Giải:
a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vơ nghiệm.
b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương
phân biệt.

Ví dụ 12: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải:
a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu: khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi:

13


2
�  0
�
2m  3  0

�m  1
�
�
�
�
�S  0 � � 1  2m  0 � � 3
m�
�P  0
� m 1  0
�
�
2

�
�

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi:
2
�
�  0
 2m  3  0
�
�
�S  0 � � 1  2m  0 � khơng có giá trị nào của m thoả mãn
�P  0
� m 1  0
�
�

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay
phương trình có hai nghiệm đối nhau .Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi:
� �0
�
�S  0

 1 - 2m = 0 

m=

1
2

Bài tập áp dụng:

1/ Khơng giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình sau:
a) x2 - 3x + 4 = 0
b) 2x2 - 3 x + 4 = 0
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx 2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0 có 2
nghiệm cùng dấu.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx 2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2
nghiệm âm.
4/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x 2 +2x + m = 0 có ít nhất một
nghiệm khơng âm.
2.9 Dạng tốn: Giải hệ phương trình đối xứng.
*) Phương pháp:
+) Biểu diễn từng phương trình qua x  y ; xy
+) Đặt S  x  y ; P  xy ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P
+) Giải hệ phương trình tìm S và P
+) Các số x và y là nghiệm của phương trình t 2  St  P  0 (Vận dụng hệ thức Vi –
ét đảo- Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)
(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn
S2  4 P �0 )
�x  a
�x  b
thì nó cũng có nghiệm �
�y  b
�y  a

Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm �

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình
 x  y 11
 x  y  yx 7
a) 

b)  2 2
 xy 31
 xy  x y 12
Giải
a) x,y là nghiệm của phương trình: X2 - 11X +31 = 0
=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0
Phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P

14


 S  P 7
 S.P12

Ta có : 

Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
u2 - 4u + 3 = 0
 u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
v2 – 3v + 4 = 0
Phương trình này vơ nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình :

�
5  x  y   2 xy  19
�
a) �
 x  y   3xy  35
�
�x 2 y 2
 18
� 
c) �y x
�x  y  12
�

�x 2  xy  y 2  7
b) �
�x  y  5
3
3
�
�x  y  7
d) �
 x  y  xy  2
�

2.10 Dạng tốn : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức nghiệm.
*) Phương pháp :
+Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
+ Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ
thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các phương
pháp tìm cực trị ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).

Ví dụ 14: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0. Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ nhất
Giải
Xét:  = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
 x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)
3 2 11
11
) +

2
4
4
3
Dấu “=” xảy ra khi m =
4
11
3
Vậy Min(x12 + x22) =
khi m =
4
4

= 4m2 - 6m + 5 = (2m -

Ví dụ 15: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Giải

15


Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0
 - 5  m  - 1 (*)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1
m 2  4m  3
2
m 2  8m  7
Do đó: A = 

2

x1 .x2 =

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7)  0.
Suy ra: A =

9
 m 2  8m  7
9  (m  4) 2
=

2
2
2

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

9
khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*).
2

Bài tập tương tự:
Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0. Tìm m để x12+x22 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao
cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x 1x2 + x12+x22đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị đó.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trên đây là nội dung đề tài: " Phân loại các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét
chương trình tốn 9 THCS" mà tơi đã hệ thống trong quá trình dạy cho học sinh
lớp 9 ôn thi học kì, ôn thi vào THPT và vào trường chuyên, lớp chọn. Bằng cách
hệ thống rõ thành các dạng:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình.
Dạng 2:Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và
tìm nghiệm cịn lại.

Dạng 3:Lập phương trình bậc hai.
Dạng 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai

nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.
Dạng 7: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.
Dạng 8: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng 9: Giải hệ phương trình đối xứng.
Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

16


Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ
thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các
em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn thi, các em được hệ
thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, đặc biệt chú ý cho học sinh nhận
dạng và nêu phương pháp giải đối với từng dạng. Vì thế, việc làm các bài tốn có
áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi như thi học kì, thi
khảo sát vào THPT hay trường chun lớp chọn khơng cịn khó khăn nữa. Các em
hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
Với việc áp dụng đề tài nêu trên, chất lượng bộ mơn tốn ở lớp tơi dạy có sự tiến
bộ vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến. Cụ thể: Các đề kiểm tra có
phần bài tập về hệ thức Vi-ét các em đều làm rất tốt. Tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra với đề bài kiểm tra của năm học 2015 – 2016 và kết quả thu được trong
năm học 2016 – 2017, năm học 2017 – 2018 tại trường THCS Trí Nang như sau:
Lớp

Năm học

9
9

2016 - 2017
2017 – 2018

Số HS
được
khảo sát
25
21

Đối tượng 1
0 - > 4 điểm
SL
%
9
36%
6 28,57%

Đối tượng 2
Đối tượng 3
5 - > 7 điểm
8 - > 10 điểm
SL
%
SL
%
12
48%
4
16%
11 52,38% 4

19,05%

Không chỉ áp dụng sáng kiến vào q trình giảng dạy của cá nhân mà tơi còn
chia sẻ cho đồng nghiệp trong trường. Kết quả: các bạn đồng nghiệp đều phản ánh
đề tài nêu trên giáo viên tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, hiệu quả tiết dạy nhẹ
nhàng hơn, học sinh tích cực học tập sôi nổi, biết vận dụng tốt hệ thức Vi-ét vào
giải toán nhất là học sinh yếu nắm được kiến thức cơ bản. Chất lượng học của học
sinh được nâng lên rõ rệt.

17


C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Các dạng toán ứng dụng định lí Vi-ét thường gặp trong chương trình toán 9, bồi
dưỡng học sinh giỏi THCS, thi vào 10 THPT. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách
giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu,
tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về đề tài
này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt các phương pháp giải bài toán liên
quan đến phương trình bậc hai, định lí Vi - ét thì bản thân mỗi giáo viên phải phân
dạng được các bài tốn liên quan đến định lí Vi-ét và chỉ ra phương pháp giải cụ
thể của các dạng toán, sắp xếp phân loại các bài tập theo trình tự lơgíc từ dễ đến
khó từ đơn giản đến phức tạp. Giáo viên cần khái quát cách giải từng dạng bài tập
đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học cũng như các hình thức tổ chức
dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất. Cần đầu tư thời gian, với sự tìm tịi lựa
chọn xây dựng hệ thống bài toán, phân dạng bài tập, xây dựng cách giải tổng quát
thì trong quá trình giảng dạy sẽ rèn luyện được kĩ năng vận dụng, trình bày lời giải.
Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, phát huy được tính
tích cực chủ động của các em trong q trình học tập. Từ đó giúp các em thêm u

thích mơn Tốn. Đồng thời giáo viên cần tơn trọng những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo
của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu
sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhần nhuyễn, logíc giữa các bài tốn
khác nhau.
Qua việc nghiên cứu đề tài: " Phân loại các dạng tốn ứng dụng Định lí Vi-ét
chương trình tốn 9 THCS" bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức,
nâng cao nghiệp vụ, phù đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu
quả, ngồi ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
II. KIẾN NGHỊ
*) Đối với sở và phòng giáo dục
- Thường xuyên tổ chức các lớp tập huấn, các lớp bồi dưỡng chuyên môn cho giáo
viên tham gia, được giao lưu trao đổi các vấn đề trăn trở trong công tác giảng dạy.
- Tạo ra các sân chơi như các cuộc thi về tìm hiểu mơn tốn, kiến thức tốn,...bổ
ích thu hút giáo viên và học sinh để việc dạy và học khơng cịn nhàm chán, lý
thuyết gắn liền với thực tiễn.
*) Đối với nhà trường
- Chỉ đạo và theo dõi chặt chẽ công tác bồi dưỡng học sinh, thực hiện tốt vấn đề
giáo dục ý thức đạo đức, ý thức học tập trong học sinh, quan tâm, đầu tư đến các
đề tài đươc ứng dụng trong công tác giảng dạy.
*) Đối với giáo viên
- Giáo viên cần tâm huyết với nghề, trong các tiết dạy cần tránh tạo khơng khí ngột
ngạt cho học sinh, giúp các em vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào từng bài
cho phù hợp để đạt hiệu quả tốt.

18


- Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học
sinh.

- Trong việc dạy học mơn tốn, đối với người thầy “ Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu
của dạng toán cần truyền tải đến học sinh ”. Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên
quan, có định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chn mơn và trao đổi đồng nghiệp tìm
ra giải pháp tối ưu trong triển khia, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung
kiến thức qua các tài liệu.
*) Đối với cơ quan quản lý giáo dục
Đầu tư quan tâm đến cơ sở vật chất của nhà trường, tại các xã khuyến khích
động viên phong trào học tập của học sinh.
Với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nên đề tài này không tránh khỏi những
hạn chế nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành từ quý thầy cơ, đồng nghiệp!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 04 năm 2018
CAM KẾT KHÔNG COPY.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Mai Thị Thảo

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1) Sách giáo khoa Toán 9 tập 2 - NXB giáo dục
2) Sách ơn tập Tốn 9 - NXB giáo dục
3) Sách bài tập Toán 9 - NXB giáo dục
4) Kiến thức cơ bản và nâng cao Tốn 9 - NXB Hà Nội
5) Luyện giải và ơn tập Toán 9 - NXB giáo dục
6) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 - NXB giáo dục
7) Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 - NXB giáo dục

8) 500 bài toán chọn lọc lớp 9 - NXB đại học sư phạm
9) Ôn tập thi vào lớp 10 mơn Tốn - NXB giáo dục
10) Ôn tập thi vào lớp 10 - NXB đại học quốc gia Hà Nội
11) Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chun - mơn Tốn - NXB Hà Nội
12) Toán bồi dưỡng học sinh - Đại số 9 - NXB giáo dục
13) Các bài toán đại số hay và khó - NXB giáo dục
14) 50 bộ đề Toán 9 - NXB giáo dục
15) Bộ đề toán luyện thi vào lớp 10 - NXB giáo dục
16) Toán luyện thi lớp 9 - NXB giáo dục

20