Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm trong việc ứng dụng định lí vi ét để giải toán trong chương trình toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI
LẦM TRONG VIỆC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT ĐỂ GIẢI
TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9

Người thực hiện: Lê Văn Hồng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường trung học cơ sở Điền Lư
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
TT

NỘI DUNG

Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1

1.

Lý do chọn đề tài

1

2.

Mục đích nghiên cứu

1

3.

Đối tượng nghiên cứu

2

4.

Phương pháp nghiên cứu

2

PHẦN II: NỘI DUNG

2

1.

Cơ sở lý luận

2

2.

Thực trạng

3

3.

Các giải pháp thực hiện

5

3.1.

Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp
dụng định lí thuận để giải Toán.

5

3.2.

Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp
dụng định lí đảo để giải Toán.

7

3.3.

Giải pháp 3: Giúp HS nắm chắc nội dung định lí và phát triển

tốt tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập

9

4.

Kết quả đạt được

14

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

15

1.

Kết luận

15

2.

Kiến nghị

16
TÀI LIỆU THAM KHẢO

17

DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN

17


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Như chúng ta đã biết, Toán học là bộ môn học cơ bản đóng góp phần lớn
trong việc phát triển tư duy và hình thành nhân cách cho học sinh. Vì vậy đòi
hỏi giáo viên phải không ngừng cố gắng tìm tòi , học hỏi đúc rút kinh nghiệm ,
cải tiến phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng và đặt biệt là chất lượng
đại trà góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện theo mục tiêu
giáo dục đã đề ra.
Trong quá trình học tập môn toán nói chung mà đặc biệt là môn toán trong
chương trình THCS nói riêng, học sinh thường mắc những sai lầm trong việc
vận dụng kiến thức đã học vào việc làm các bài tập toán. Khi học sinh mắc sai
lầm trong giải toán nếu giáo viên không nắm bắt được nguyên nhân và không
kịp thời đưa ra được biện pháp khắc phục những sai lầm đó thì quả là điều đáng
tiếc cho cả giáo viên và học sinh.
Nếu trong quá trình dạy học toán, giáo viên đưa ra những tình huống sai
lầm mà học sinh dễ bị mắc phải, chỉ rõ và phân tích cho các em thấy được chỗ
sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm, sẽ giúp cho các em không những khắc
phục được sai lầm mà còn hiểu kĩ và sâu hơn bài mình đang học. Qua thực tế
giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 tại trường THCS Điền Lư kết hợp với việc tham
khảo ý kiến của đồng nghiệp, tôi đã đúc kết, tổng hợp được một số sai lầm
thường gặp của học sinh trong quá trình vận dụng định lí Vi-ét để giải toán.
Điều này đặt ra cho giáo viên một câu hỏi làm thế nào để học sinh khi vận dụng
định lí Vi-ét không mắc những sai lầm điều này là cấp thiết bởi vì trong các đề
thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện
các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít (chỉ 2 tiết cả lí

thuyết và luyện tập) lượng bài tập chưa đa dang. Chính vì điều này dẫn tới việc
học sinh khi áp dụng định lí Vi-ét vào giải toán còn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhân
khi áp dụng. Với kinh nghiệm của bản thân cùng với sự học hỏi đồng nghiệp tôi
xin được giới thiệu đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai
lầm trong việc ứng dụng định lí Vi-ét để giải toán trong chương trình Toán
lớp 9”
2.Mục đích nghiên cứu:
Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có
ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt
các bài toán bậc hai trong trong chương trình Toán THCS.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ
bài toán bậc hai và cả các dạng toán khác.
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu
cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học
sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
1


Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết
cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng
dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
- Điều tra 69 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng
cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể
tiếp thu, nâng cao kiến thức.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Hướng dẫn học sinh nắm được nội dung và cách vận dụng định lí Viét
thuận. Chỉ ra những sai lầm học sinh thường mắc, cách phát hiện và tránh những

sai lầm khi áp dụng định lí Viét để giải Toán.
- Giúp học sinh nắm chắc nội dung định lí và phát triển tốt tư duy thuật
giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập
4. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên
cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận:
Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục là “Nhằm giúp
học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ
học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học
nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để thực hiện mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết
kế theo hướng giảm chương trình lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo
đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt
động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết: Hệ thức Vi-ét và ứng
dụng
- Tiết 1: Lý thuyết học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc
hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Tiết 2: Luyện tập học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết
vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có
2

nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm
và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Chính vì vậy nhiều học sinh khi áp
dụng định lý Vi-ét còn mắc những sai lầm ngộ nhận. Là giáo viên cần hướng dẫn
khắc sâu kiến thức cho học sinh và đặc biệt là khắc phục những sai lầm khi áp
dụng cơ sở lý thuyết vào những bài toán cụ thể.
2. Thưc trạng:
a. Đối với giáo viên: Trong giảng dạy môn toán giáo viên hướng dẫn cho
học sinh tiếp thu những kiến thức mới, áp dụng kiến thức vào giải bài tập thông
qua các tiết lí thuyết và tiết luyện tập. Tuy nhiên việc rèn luyện cho học sinh áp
dụng lí thuyết vào bài tập đôi khi còn những hạn chế như:
- Chưa chú ý đến việc phân loại câu hỏi và dạng bài tập phù hợp với từng
đối tượng học sinh, kiến thức dàn trải theo sách giáo khoa dẫn đến học sinh có
lực học yếu thường ít được hoạt động còn đối với học sinh khá giỏi lại không có
điều kiện để phát huy hết năng lực của mình .
- Trong khi hướng dẫn học sinh giải bài tập thường chỉ tập trung tìm ra kết
quả của bài toàn mà không chú ý nhiều đến việc trình bày và việc đã sử dụng
kiến thức nào để giải, việc giải bài tập đó củng cố lại những kiến thức nào. Dạng
tổng quát của bài tập đó ra sao. Những lỗi nào thường mắc phải khi giải.
b. Đối với học sinh: Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng trong tiết lí
thuyết học sinh học sôi nổi hơn tiết luyện tập. Điều này cho thấy khả năng hệ
thống hoá kiến thức và vận dụng lí thuyết vào giải bài tập của học sinh thường
mắc phải những lỗi sau:
- Nắm lí thuyết một cách thụ động dẫn đến khi vận dụng định lí, tính
chất, hệ quả không chính xác hoặc không chú ý đến điều kiện trước khi vận
dụng dẫn đến những sai lầm khi giải.
Ví dụ: - Khi áp dụng định lí Vi-ét không quan tâm tới điều kiện để
phương trình bặc hai có nghiệm.
- Không nắm được các dạng bài tập cơ bản hoặc nắm được nhưng
vận dụng một cách máy móc, thiếu sáng tạo.
Đối với môn đại số lớp 9. Phương trình bậc hai một ẩn và định lí Vi-ét

chiếm một vị trí qua trọng. Nhưng khi học sinh học về định lí Viét và ứng dụng,
các em cũng thường mắc phải những lỗi như trên dẫn đến còn nhiều học sinh
lúng túng và nhầm lẫn trong khi giải bài tập do đó không có được tư duy thuật
giải.
Để có cơ sở kiểm chứng đề tài tôi đã cho học sinh lớp 9 trường THCS
Điền Lư năm học 2014-2015 tiến hành làm bài kiểm tra việc áp dụng định lí Viét để giải toán (khi chưa áp dụng đề tài), đề kiểm tra như sau:
Câu 1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
a, x2+ 3x +7 = 0
b, mx2- 8x +2 = 0
3


Câu 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a, 2015x2-2016x +1 = 0
b, x2+2017x +2016 = 0
Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2017 và -1
Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là -6 và tích hai
nghiệm là 12
Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Tôi đã tiến hành coi thi và chấm chữa bài theo đúng quy định, kết quả bài
kiểm tra đạt được như sau:
Bảng 1: Thống kê học sinh phạm sai lầm khi vận dụng định lí Vi-ét

Năm học

2014-2015

Lớp

Không chú ý
Không chú ý đến đk
Không phạm sai
đến đk hệ số a ≠
lầm
∆≥ 0
0

Sĩ số
HS

SL

%

SL

%

SL

%

9A

34

16

47,1

11

32,3

7

20,6

9B

35

15

42,9

13

37,1

8

22,6

Khá

TB

Bảng 2: Kết quả đạt được:
Năm học

2014-2015

Lớp

Giỏi

Sĩ số
HS

SL

%

SL

9A

34

2

5,9

9B

35

3

8,6

%

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

5

14,7 12

35,
3

11

32,4

4

11,7

4

11,4 13 37,1

10

28,6

5

14,3

Từ thực trạng trên cho thấy số học sinh mắc các sai lầm khi áp dụng định
lý Vi-ét để giải toán chiếm gần nữa số học sinh cả lớp chính vì vậy gần nửa học
sinh dưới điểm trung bình, số học sinh khá giỏi rất ít.
Nguyên nhân chính của thực trạng trên đó là: Giáo viên chưa chú ý nhiều
tới việc cho học sinh áp dụng lí thuyết vào giải toán, qua giải bài tập để củng cố
lí thuyết và xây dựng kiến thức mới, về phía học sinh các em tiếp thu kiến thức
một cách thụ động, nặng về mặt lí thuyết điều này đòi hỏi cần phải thay đổi cách
dạy và học nhằm đáp ứng với mục tiêu và phương pháp dạy học mới, giúp học
tăng cường khả năng áp dụng lí thuyết vào giải bài tập một cách chính xác, tránh
những sai lầm ngộ nhận khi áp dụng lí thuyết vào bài tập cụ thể, sáng tạo trong

giải toán, qua đó giúp học sinh phát triển tốt tư duy từ đó giúp các em học tốt và
4


yêu môn toán hơn .
3 . Các giải pháp thực hiện:
3.1. Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh tránh những sai lầm khi áp dụng
định lí thuận để giải Toán.
a. Nội dung định lí: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = o có hai
nghiệm x1, x2 thì x1+ x2 =

−b
c
và x1. x2 =
a
a

(Trang 51 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân)
* Trong khi dạy học để cho học sinh phát hiện ra nội dung định lí trên
trước hết cần cho học sinh thấy được công thức nghiệm khi ∆ > 0 vẫn đúng khi
∆ = 0 sau đó cho học sinh tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm trong trường
hợp tổng quát rồi rút ra nội dung định lí.
*Sai lầm học sinh thường mắc phải: Khi áp dụng định lí mà không chú
ý đến điều kiện để áp dụng định lí đó là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0.
* Khắc phục: Để khắc phục điều này giáo viên đưa ra những phản ví dụ
qua đó học sinh khắc sâu được điều kiện khi áp dụng định lí thuận.
Ví dụ1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
x2+ 3x +7 = 0
− b −3
=

= -2
1
a
c 7
P= = =7
a 1

*Sai lầm: Nhiều học sinh sẽ tính luôn: S =

Như vậy học sinh không để ý đến điều kiện xem phương trình đã cho có
hai nghiệm hay không mà đã vội vàng áp dụng định lí dẫn đến lời giải sai, trong
khi đó Phương trình đã cho có ∆ = −4 < 0 nên vô nghiệm do đó không tính được
tổng và tích các nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình:
mx2- 8x +2 = 0 (1)
*Sai lầm: Nhiều học sinh sẽ tính tổng và tích hai nghiệm như sau:
−b
8
=
m
a
c
2
x1. x2 = =
a
m

x1+ x2 =

Như vậy học sinh không đặt điều kiện của m để phương trình đã cho là

phương trình bậc hai có hai nghiệm mà áp dụng luôn định lí Vi ét. Sau khi học
sinh thấy được sai lầm trên sẽ có lời giá đúng như sau:
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì:

a ≠ 0
⇔

∆ ' ≥ 0

 m≠0
m ≠ 0
⇔ 

16 − 2m ≥ 0
m ≤ 8

5


Với điều kiện trên áp dụng định lí Viét ta có:
−b
8
=
m
a
c
2
x1. x2 = =
a
m

x1+ x2 =

Khi đã nắm được nội dung định lí trong các tiết luyện tập, ôn tập cần
tiếp tục cho học sinh biết được các ứng dụng cơ bản của định lí Viét thuận.
b. ứng dụng định lí Viét thuận:
* ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm
Nếu biết một nghiệm của phương trình bậc hai ta có thể suy ra nghiệm
kia.
Xét trường hợp đặc biệt:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = o (a ≠ 0 ).
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia
là x2 =

c
a

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x 1 = -1, còn nghiệm kia
là x2 =

−c
a

(Trang 51 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân)
Trong khi dạy học đối với học sinh yếu và trung bình thì chỉ cần cho học
sinh một vài ví dụ cụ thể rơi vào hai trường hợp trên rồi cho học sinh công nhận
ứng dụng trên. Tuy nhiên đối với học sinh khá giỏi cần xem ứng dụng trên như
là một bài tập để học sinh hiểu được bản chất từ đó học sinh hiểu và vận dụng
được tốt hơn.
* Xét trường hợp: a - b + c = 0

Lời giải: Từ a - b + c = 0 ⇒ b = a + c
⇒ ∆ = b2 – 4ac
= a2 + 2ac + c2 – 4ac
= (a - c)2 ≥ 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm :
x1 =

− b + ∆ − b + a − c − (a + c) + a − c
=
=
2a
2a
2a
− 2c − c
=
+Nếu a ≥ c Thì x1 =
. Áp dụng định lí viét ⇒ x2 = -1
2a
a
−c
+Nếu a < c Thì x1 = -1 . Áp dụng định lí viét ⇒ x2 =
a

Vậy nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = -1, còn

6


nghiệm kia là x2 =

−c

a

Chứng minh tương tự trường hợp a + b + c = 0 thì phương trình có hai
nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

c
a

*ứng dụng 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1, x2
thoả mãn điều kịên H
Để giải tốt dạng toán trên cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình đang xét có hai nghiệm x1, x2
Bước 2: Áp dụng hệ thức vi ét ta có: x1+x2 = ?; x1.x2 = ?
Bước 3: Phân tích H sao cho có thể thay x1+x2 và x1.x2 vào rồi suy ra kết quả
* Lưu ý: Khi tìm hiểu ứng dụng trên cần lưu ý học sinh phải kiểm tra
điều kiện để phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh ac < 0 hoặc ∆ ≥ 0 ,
hoặc tìm cụ thể các nghiệm sau đó mới áp dụng định lí viét để giải.
3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh nắm tránh những sai lầm khi áp
dụng định lí đảo để giải Toán.
a. Nội dung định lí đảo:
Nếu có hai số x1, x2 sao cho x1+ x2 = S và x1. x2 = P thì x1, x2 là nghiệm
của phương trình: X2 – SX + P = 0
(Trang 52 - SGK Toán 9/T2 - NXBGD - Chủ biên: Tôn Thân)
Khi cho học sinh tìm hiểu nội dung định lí trên , đối với học sinh có lực
học trung bình trở xuống chỉ cần cho học sinh công nhận định lí trên sau đó cho
học sinh làm bài tập củng cố .
*Sai lầm học sinh thường mắc phải: Khi áp dụng định lí không chú ý
đến điều kiện S2 - 4P ≥ 0. Hoặc sử dụng điều kiện không đúng lúc đúng chỗ, cụ
thể học sinh thường nhầm lẫn cách giải với hai dạng toán sau:
+ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là m và n.

+ Lập phương trình bậc hai có hai có tổng hai nghiệm là m và tích hai
nghiệm là n
*Khắc phục: Để tránh khỏi sai lầm trên cần cho học sinh kiểm tra xem
phương trình bậc hai đang xét đã chắc chắn có hai nghiệm hay chưa. Nếu chắc
đã có hai nghiệm thì không cần đặt điều kiện S 2 - 4P ≥ 0. Nếu chưa nói cụ thể
có hai nghiệm thì cho học sinh thấy được để lập được phương trình bậc hai khi
biết tổng và tích hai nghiệm thì cần chú ý đến điều kiện: S 2 - 4P ≥ 0. Để khắc
sâu được hai trường hợp trên cho học sinh xét các ví dụ sau:
Ví dụ1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 và 4
GV yêu cầu học sinh thực hiện các bước sau:
Tính: S = x1+ x2 = 7
7


P = x1. x2 = 12
Phương trình cần lập là: : X2 – 7X + 12 = 0
Giáo viên cho học sinh giải lại phương trình mới lập để kiểm nghiệm lại.
Giáo viên hỏi: Vì sao khi làm bài tập trên không cần quan tâm đến điều
2
kiện S - 4P ≥ 0
Học sinh trả lời: Vì theo đề bài phương trình đã cho chắc chắn đã có hai
nghiệm là 3 và 4 nên S2 - 4P > 0
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là 5 và tích hai
nghiệm là 10.
*Sai lầm: Nhiều học sinh đã vội vàng với cách giải tương tự như VD1
đưa ra phương trình cần lập là: X 2 - 5X +10 = 0. Mà không lưu ý đến điều kiện
S2 - 4P ≥ 0 dẫn đến lời giải bị sai.
* Khắc phục: Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện lời giải đúng như
sau:
Ta có: S2 - 4P = 52 – 4. 10 = -15 < 0 nên không lập được phương trình

thoả mãn điều kiện đã cho.
Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu các em chứng minh
định lí đảo trong trường hợp tổng quát bằng cách áp dụng định lí thuận đã học
đối với phương trình. X2 – SX + P = 0.
Sau khi học sinh nắm chắc nội dung định lí đảo trong các tiết luyện tập,
ôn tập cần tiếp tục cho học sinh thấy được những ứng dụng của định lí đảo
b. Ứng dụng định lí đảo.
*ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm.
Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau : x2 – (2 3 + 5 )x + 10 3 = 0
Học sinh: Vì S = 2 3 + 5 ) và P = 10 3 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1 = 2 3 ; x2 = 5
*ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương
trình.
Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 5 và 2 là các nghiệm:
Phương trình cần lập là: x2 – ( 2 + 5 )x + 5 2 = 0
*ứng dụng 3: Lập phương trình biết tổng và tích hai nghiệm.
Ví dụ : Lập phương trình bậc có tổng hai nghiệm là -9 và tích hai nghiệm
là 12 .
Học sinh: Vì S2 - 4P = (-9)2 - 4.12=33 > 0 nên phương trình cần lập là:
x2 + 9x + 12 = 0.
Đối với học sinh khá giỏi cần cho học sinh tìm hiểu hai ứng dụng sau:

8


x +y = S
 x. y = P

*ứng dụng 4 : Giải hệ phương trình dạng: 

Cách giải:
- Hệ có nghiệm khi S2 - 4P ≥ 0
- x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0
- Nếu (x, y) là một nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là một nghiệm của hệ
 x + y + xy = 6
2
2
x y + y x = 5

Ví dụ: Giải hệ phương trình: 

(Tham khảo trang 22-Các chuyên đề chọn lọc Toán 9/T2-NXBGD-chủ
biên: Tôn Thân)
Giải:
 x + y + xy = 6
 x + y + xy = 6
⇔

(I)
2
2
x y + y x = 5
 xy ( x + y ) = 5

Ta có: 

S + P = 6
áp dụng hệ thức Vi-ét thì S,
 SP = 5

Đặt x+y = S; xy = P hệ (I) trở thành 

P là nghiệm của phương trình: X 2 - 6X + 5 = 0. Vì 1+ (-6) + 5 = 0. Nên phương
trình có hai nghiệm: X1= 1; X2= 5 suy ra S = 1 , P = 5 hoặc S = 5 , P= 1
+ Nếu: S= x +y = 1; P= xy = 5 theo hệ thức Vi-ét x, y là nghiệm của phương
trình : Y2 - Y + 5 = 0 (phương trình này vô nghiệm vì ∆ < 0)
+ Nếu: S = x +y = 5; P = xy = 1 theo hệ thức Vi ét x, y là nghiệm của phương
trình : Y2 - 5Y + 1 = 0 .phương trình có 2 nghiệm: Y 1 =
Do đó hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (x, y) = (
(x, y) = (

5 + 21
;
2

Y

2

=

5 − 21
2

5 + 21 5 − 21
;
) hoặc
2
2

5 − 21 5 + 21
;
)
2
2

*ứng dụng 5: Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = o (a ≠ 0 ). Có hai nghiệm x1, x2 thì đa
thức ax2 + bx + c phân tích được thành: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 + 5x - 7
Học sinh giải: Phương trình 2x 2 + 5x - 7=0 có a+b+c=2+5+(-7)=0 nên phương
trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 =

−7
2

7
2

Nên đa thức 2x2 + 5x - 7= 2(x-1)(x+ )=(x-1)(2x+7)
3.3. Giải pháp 3: Giúp học sinh nắm chắc nội dung định lí và phát triển
tốt tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo thông qua các bài tập.
9


a. Bài tập vận dụng định lí thuận.
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau:
a. x2 + ( m + 3 )x – 4 - m = 0
(1)
2

b. 2mx + ( 2m +4 )x + 4 = 0
(2)
Lời giải:
a. Ta có a + b + c = 1 + m + 3 - 4 – m = 0 nên phương trình (1) có hai
nghiệm

x1 = 1 ; x2=

c
=-4–m
a

b. + Nếu m = 0 phương trình (2) trở thành: 4x + 4 = 0 ⇔ x = - 1

+ Nếu m ≠ 0, ta có a – b + c = 2m - (2m+4) + 4 = 0 nên phương trình (2)
có hai nghiệm x1 = -1; x2= -

c
2
=a
m

Kết luận: m = 0 phương trình (2) có nghiệm x = -1
m ≠ 0 phương trình (2) có nghiệm x1 = - 1; x2= -

2
m

* Lưu ý: Nhấn mạnh cho học sinh khi gặp phương trình ax 2 + bx + c =0
thì ta phải xét cả 2 trường hợp: a = 0 và a ≠ 0

+ Trường hợp 1: a = 0
+ Trường hợp 2: a ≠ 0 .
Bài 2: Xác định m để phương trình: x 2 – (m +1)x + 4m = 0 (3) có hai
nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1. x2 = 1
Lời giải:
Để phương trình (3) có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay (m+ 1)2 – 16m ≥ 0 (*)
áp dụng địng lí Viét ta có: x1.x2 = 4m (4)
Theo giả thiết ta có: x1. x2 = 1
(5)
1
1
. Thay m = vào điều kiện (*) ta được:
4
4
1
1
39
∆ =(
+1)2 – 16. = < 0 Không thoả mãn điều kiện (*)
4
4
16

Từ (4) và (5) suy ra m =

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình (3) có hai nghiệm x 1, x2
thoả mãn: x1. x2 = 1
* Lưu ý: Đối với bài tập này học sinh thường hay mắc sai lầm ở chỗ sau
khi tìm được m thì kết luận luôn bài toán mà không thử lại xem giá trị m vừa tìm
được có thoả mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm hay không. Để khắc

phục điều này GV cần chú ý cho học sinh kiểm tra lại giá trị của m có thoả mãn
hay không tuỳ thuộc vào từng bài mà chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Tìm m trước sau đó thay giá trị m vừa tìm được vào phương
trình rồi giải phương trình. Nếu phương trình có 2 nghiệm thì giá trị m tìm được
10


thoả mãn, nếu phương trình vô nghiệm hoặc có một nghiệm thì giá trị này không
thoả mãn hoặc làm như cắch làm bài toán trên (Cách này thường dùng khi giải
∆ ≥ 0 khó khăn, phức tạp).
Cách 2: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trước sau đó tìm
giá trị của m rồi so với điều kiện ban đầu từ đó rút ra kết luận. Cách này ta có
thể áp dụng để giải bài tập sau:
Bài 3: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m + 1 = 0. Xác định m để
phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a. x2( x1 + 1 )+ x1( x2 + 1 ) =8.
x

x

1
2
b. x + x = 2
2
1

(Tham khảo trang 52-53-Toán bồi dưỡng học sinh Đại số 9-NXBGD-Chủ
biên: Vũ Hữu Bình)
Để giải bài tập cần thực hiện các bước sau:
Giải:

- Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
∆ = (2m - 1)2 - 4(- m +1) ≥ 0
⇔ 4m2 – 3 ≥ 0 ⇔ m ≥

3
3
hoặc m ≤ (*)
2
2

Theo hệ thức Viét có: x1+ x2 = - (2m -1) (1)
x1. x2 = - m + 1 (2)
- Áp dụng hệ thức viét để tìm m sao cho: x2( x1 + 1 )+ x1( x2 + 1 ) =8.
⇔ x1+x2+2x1x2=8.
(3)
Từ (1) và (2) Thay vào (3) ta được : - (2m -1) + 2(- m + 1) = 8
⇔ m = -1.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m cần tìm là: m = -1
x

x

1
2
b. Ta có: x + x = 2 ⇒ x12+x22 = 2x1x2
2
1

⇔ (x1 +x2)2 - 4x1x2 = 0 (4)

Từ (1) và (2) Thay vào (4) ta được : (2m -1)2 - 4(-m +1) = 0
⇔ 4m2 –3=0
⇔ m =

3
3
hoặc m = 2
2

Kết hợp với điều kiện (*) ta được m cần tìm là: m =

3
3
hoặc m = 2
2

11


Bài 4: Cho phương trình: x2 – (k - 4)x + 2k+3 = 0 (1 ) có các nghiệm
x1 ,x2 . Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với k.
(Tham khảo trang 63-64-Các chuyên đề chọn lọc Toán 9/T2-NXBGD-chủ
biên: Tôn Thân)
Lời giải: Theo hệ thức Viét có: x1+ x2 = k – 4 (2)
x1. x2 = 2k + 3 (3)
Từ (2) ⇒ k = x1+ x2 + 4, thay vào (3) ta được x1. x2 = 2( x1+ x2 + 4) + 3 .
Hay 2(x1 + x2) - x1. x2 + 11 = 0 là hệ thức cần tìm.
b. Bài tập vận dụng định lí đảo.
Bài 1. Tìm hai số m và n biét tổng và tích của chúng là: -

2
1
và 3
3

Lời giải:
2

 −2 
 −1 
Vì S - 4P =  ÷ − 4  ÷ > 0
 3 
 3 
2

2
1
X - = 0. Giải ra được
3
3
1
1
1
X1 = ; X2 = - 1 Vậy (m,n) = ( ; -1) hoặc (m,n) = (-1 ; )
3
3
3

Nên m, n là nghiệm của phương trình: X2 +

Lưu ý: Có thể thử điều kiện S2 - 4P trước rồi tìm n, m sau
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 + 3 2 và 2 - 3 2
Lời giải:
Ta có : S = 2 + 3 2 + 2 - 3 2 = 4
P = (2 + 3 2 )(2 - 3 2 ) = -14
Phương trình cần lập là: x2 – 4x - 14 = 0.
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2 – (3 + 2 )x + 3 2
Lời giải:
Bằng cách nhẩm nghiệm dễ thấy phương trình x2 – (2 + 3 2 )x + 3 2 = 0
có hai nghiệm là 3 và 2 do đó: x2 – (3 + 2 ))x + 3 2 = (x - 3)(x - 2 ).
c. Bài tập vận dụng cả định lí thuận và định lí đảo.
Bài tập: Cho phương trình: . x2 - 2 ( m – 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
x1

x2

b. Tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm là X 1= x + 1 ; X2= x + 1 ,
1
2
với x1, , x2 là hai nghiệm của phương trình(1)
c. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm số x1, x2 thoả mãn: x1 – x2 = 2
12


(Tham khảo trang 60-61- Các chuyên đề chọn lọc Toán 9/T2-NXBGD-chủ
biên: Tôn Thân)
Lời giải:
a. Ta có ∆' = (b’)2 – ac

= (m - 1)2 – m + 1
= m2 – 3m +2
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m2 – 3m +2 ≥ 0
⇔ (m-2)(m-1) ≥ 0
m ≥ 2
⇔
m ≤ 1
m ≥ 2

b. Với 
thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 theo vi-ét ta có:
m ≤ 1
x1+x2= 2(m-1) và x1x2= m-1
x1

x2

x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2

2m − 2 + 2m − 2

4m − 4

Ta có: X1 + X2= x + 1 + x + 1 = x x + x + x + 1 =
=
m − 1 + 2m − 2 + 1 3m − 2
1
2
1 2
1

2
x1 x2
 x  x 
m −1
m −1
=
X1X2 =  1  2  = x x + x + x + 1 =
m − 1 + 2m − 2 + 1 3m − 2
1 2
1
2
 x1 + 1  x2 + 1 
16(m − 1) 2 4(m − 1)
−
Xét S – 4P =
(3m − 2) 2
3m − 2
2

=

4(m − 1)(4m − 4 + 2 − 3m)
(3m − 2) 2

=

4(m − 1)(m − 2)
4∆
=
2

(3m − 2)
(3m − 2) 2

≥

0

m≥2
Vì 
m ≤ 1

Theo định lí Viét đảo X1, X2 là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
m −1
 m −1 
⇔ X 2 − 4
=0
X +
3m − 2
 3m − 2 
m≥2

d. Với 
m ≤ 1

 x1 + x2 = 2m − 2

Theo bài ra và theo Vi-et ta có:  x1 − x2 = 2
 x x = m −1
 1 2

Từ hai phương trình đầu ta tìm được: x1 = m , x2 = m-2
Thay x1, x2 vào phương trình thứ ba của hệ ta được:
m(m-2) = m-1
⇔ m2 – 3m + 1= 0
13



3+ 5
m =
2
⇔ 
m = 3 − 5

2

(thảo mãn ĐK)


3+ 5
m =
2
Vậy với 
thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
3
−
5
m =

2

x1 – x2 = 2
*Lưu ý: Học sinh khi làm câu b cần đặt điều kiện để S2 – 4P ≥ 0
4.Kết quả đạt được
Tiến hành khảo sát ở năm học 2015-2016 khi đã áp dụng đề tài trên hai
đối tượng HS 9A (lớp đối chứng) và HS lớp 9B (lớp thực nghiệm đề tài), hai lớp
này đối tượng học sinh có khả năng học Toán là tương đương vì việc chia lớp là
ngẫu nhiên vơi đề kiểm tra như năm học 2014-2015
Đề kiểm tra:
Câu 1: Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau:
a, x2+ 3x +7 = 0
b, mx2- 8x +2 = 0
Câu 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a, 2015x2-2016x +1 = 0
b, x2+2017x +2016 = 0
Câu 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2017 và -1
Câu 4: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm là -6 và tích hai
nghiệm là 12
Câu 5: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của
tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Kết quả khảo sát trên 2 đối tượng lớp 9A (không áp dụng đề tài), lớp 9B
(áp đụng đề) thu được như sau :
Bảng 3: Thống kê học sinh phạm sai lầm khi vận dụng định lí Viét

Năm học

Lớp

Sĩ số
HS

Không chú ý đến đk
∆≥ 0
SL

%

Không chú ý đến
đk hệ số a ≠ 0
SL

%

Không phạm
sai lầm
SL

%
14


2015-2016

9A

34

13

38,2

12

35,3

9

26,5

9B

33

6

18,2

4

12,1

23

69,7

Bảng 4: Kết quả đạt được:
Năm học

Lớp
9A

2015-2016

Đối
chứng

9B
Thực
nghiệm

Giỏi
Sĩ số
HS SL
%

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%
11,8

34

2

5,9

6

17,6

13

38,2

9

26,
5

4

33

6

18,2

10

30,3

14

42,4

3

9,1

0

Từ kết quả trên cho thấy số lượng học sinh mắc phải sai lầm khi được dạy
thực nghiệm giảm đáng kể, chính từ đó số lượng yếu kém của lớp dạy thực
nghiệm giảm rõ rệt, chất lượng học sinh khá giỏi được tăng lên đáng kể. Điều
này chứng tỏ học sinh đã nắm chắc bản chất lí thuyết chính vì vậy khi áp dụng
vào việc giải Toán một cách linh hoạt, sáng tạo tránh được những sai lầm ngộ
nhận khi áp dụng định lí Vi-ét vào giải Toán.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận:
Như vậy so với kết quả kiểm tra năm học trước kết quả thu được sau khi
thực dạy theo biện pháp trên thật đáng mừng. Điều này chứng tỏ khả năng vận
dụng kiến thức về lí thuyết vào giải bài tập của học sinh còn nhiều hạn chế. Để
khắc phục hạn chế trên không những cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức
về lí thuyết cơ bản mà còn biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải các bài Toán
cơ bản, các bài toán khó có liên quan, qua đó giúp học sinh phát huy tính tự học,
tự tìm tòi và chủ động hơn trong việc chiếm lĩnh kiến thức mới. Muốn vậy khi
dạy kiến thức mới giáo viên cần chọn ra những dạng bài toán áp dụng được
những kiến thức mới học phù hợp với từng đối tượng học sinh, sau mỗi phần,
mỗi chương cần chọn ra các bài tập tổng hợp từ đó hướng dẫn học sinh tìm mối
liên hệ giữa yêu cầu của bài toán với những kiến thức đã học, đồng thời giúp học
sinh tránh được những sai lầm thường mắc phải khi áp dụng lí thuyết vào giải
bài tập
Sáng kiến chỉ đề cập tới một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai
lầm khi áp ứng dụng của định lí Viét vào giải Toán, sau khi thực hiện sáng kiến
này tôi thấy rằng khả năng vận dụng địng lí Vi ét nói riêng và các kiến thức về lí
thuyết nói chung của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh
15


biết áp dụng lí thuyết vào giải bài tập cơ bản một cách chính xác, nhiều học sinh
đã có cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức
mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Chính vì vậy tôi mạnh dạn tổng hợp các suy nghĩ mà tôi đã áp dụng, đó là
vài kinh nghiệm của tôi có sự góp ý của đồng nghiệp trong tổ. Vậy bản thân tôi
nhận thấy đề tài còn hạn chế rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp, đặc
biệt là các đồng chí chuyên viên của phòng giáo dục để tôi có được những kinh
nghiệm cần thiết để tiếp tục nghiên cứu cho việc giảng dạy tốt hơn góp phần nhỏ
bé vào sự phát triển của giáo dục.

2. Kiến nghị:
Vì thời lượng trong chương trình Toán 9 giành cho định lí Vi-ét và ứng
dụng chỉ có 2 tiết, trong khi đó lượng bài tập của phần này rất đa dạng. Đặc biệt
trong đề thi vào 10, thi học sinh giỏi các cấp có rất nhiều bài liên quan tới áp
dụng định lí Vi-ét để giải. Chính vì vậy bản thân tôi rất mong nhà trường tăng
cường thêm thời gian buổi chiều để có thời gian ôn luyện, khắc sâu kiến thức
cho học sinh, khắc phục những sai lầm ngộ nhận khi áp dụng lý thuyết vào giải
toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN HIỆU TRƯỞNG

Điền Lư, ngày 30 tháng 03 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Lê Văn Hồng

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
1
2
3
4
5

Tên tài liệu

Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2
Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2
Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2
Các chuyên đề chọn lọc Toán 9-Tập 2
Toán bồi dưỡng học sinh Đại số 9

NXB
NXBGD
NXBGD
NXBGD
NXBGD
NXBGD

Chủ biên
Tôn Thân
Tôn Thân
Tôn Thân
Tôn Thân
Đỗ Quang Thiều

CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÁC CẤP CÔNG NHẬN
TT
1
2

Tên đề tài
Làm thế nào để học sinh hiểu khái niệm
hàm số
Một số phương pháp tổ chức dạy học
các loại tứ giác cho học sinh

Xếp
loại

Năm học

Cấp XL

C

2008-2009

Huyện

C

2014-2015

Huyện

17