Bài tập và bài giải xác suất thống kê

Câu 1. L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn. L n II rút thêm 2 lá n aầ ộ ể ầ ữ
đ ể
trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là s lá c có trong 2 lá khoanh sauố ơ
cùng.
a/ Tìm phân ph i XS c a Xố ủ
b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 con c .ỉ ơ
Gi iả
Th c ch t rút 2 l n (2 lá, 2 lá) thì t ng đ ng v i rút 1 l n 4 lá.ự ấ ầ ươ ươ ớ ầ
G i Aọ
j
là bi n c trong 4 lá có j lá c . Aế ố ơ
j
= 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, h Aệ
j
là 1 h đ y đệ ầ ủ
ngoài.Tính P(A
j
)
( )
20825
6327
270725
82251
4
52
4
39
0
13
0
===

C
CC
AP
,
( )
20825
9139
270725
118807
4
52
3
39
1
13
1
===
C
CC
AP
,
( )
20825
4446
270725
57798
4
52
2
39

2
13
2
===
C
CC
AP
,
( )
20825
858
270725
11154
4
52
1
39
3
13
3
===
C
CC
AP
,
( )
20825
55
270725
715

4
52
0
39
4
13
4
===
C
CC
AP
,
( )
0
AP
+
( )
1
AP
+
( )
2
AP
+
( )
3
AP
+
( )
4

AP
=1
a/ Tìm phân ph i XS c a X= 0, 1, 2. Bây gi có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá.ố ủ ờ
V i X= k= 0,ớ
( ) ( )






=
==
0
0
0
0
A
X
PAPXP
+
( )






=
1

1
0
A
X
PAP
+
( )






=
2
2
0
A
X
PAP
+
( )






=
3

3
0
A
X
PAP
+
( )






=
4
4
0
A
X
PAP
1
0
2
4
2
4
0
==







=
C
C
A
X
P
,
2
1
6
3
0
2
4
1
3
1
===






=
C

C
A
X
P
,
6
1
0
2
4
2
2
2
==






=
C
C
A
X
P
,
0
0
3

=






=
A
X
P
,
0
0
4
=






=
A
X
P
P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588
V i X = k t ng quát,ớ ổ
Do ta xét trong 2 lá rút l n II có k lá c .ầ ơ
A

i
(4 lá) = (4- i, i lá c ) ơ
4
4
2
4
C
CC
A
kX
P
k
i
k
i
i
−
−
=






=
Suy ra
P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824
P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588
P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0

P(X=4) = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0
Nh n xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)ậ
= 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1
b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 lá c = P(X=1) = 0.3824.ỉ ơ
BÀI 3
G i Aọ
i
là bi n c l n I có i lá c , i = 0, 1 ,2 ế ố ầ ơ
P(A
0
)=
2
52
2
39
0
13
C
CC
=
1326
741
P(A
1
)=
2
52
1
39
1

13
C
CC
=
1326
507
P(A
2
)=
2
52
0
39
2
13
C
CC
=
1326
78

G i B là bi n c l n II rút đ c lá c khi l n I rút 2 lá cọ ế ố ầ ượ ơ ầ ơ
P(
2
A
A
)=
1
50
1

11
C
C
=
50
11
G i A là bi n c rút 3 lá c ọ ế ố ơ
P(A) = P(
2
A
)P(
2
A
A
) =
50
11
1326
78
•
=
850
11
b/ B là bi n c rút l n II có 1 lá c v i không gian đ y đ Aế ố ầ ơ ớ ầ ủ
i
,i=0,1,2
P(B) = P(
0
A
)P(

0
A
B
) + P(
1
A
)P(
1
A
B
) + P(
2
A
)P(
2
A
B
)
Trong đó P(
0
A
B
) =
1
50
1
13
C
C
=

50
13
P(
1
A
B
) =
1
50
1
12
C
C
=
50
12

P(
2
A
B
) =
1
50
1
11
C
C
=
50

11
P(B)=
50
13
1326
741
×
+
50
12
1326
507
×
+
50
11
1326
78
×
=
4
1
= 0.25
c/ Ta tính XS đ y đ trongầ ủ
P(
B
A
0
) =
)(

)()(
0
0
BP
A
B
PAP
=
25.0
50
13
1326
741
×
=
581.0
)(
1
B
A
P
=
25.0
50
12
1326
507
×
= 0.367
052.0

25.0
50
11
1326
78
)(
2
=
×
=
B
A
P
Kì v ng Mọ
x
=
413.0052.05367.02581.0)1(
=×+×+×−
V y trong trò ch i tôi có l i.ậ ơ ợ
Bài 4: M t h p đ ng 5 chai thu c trong đó có 1 chai gi . ng i ta l n l t ki mộ ộ ự ố ả ườ ầ ượ ể
tra t ng chai cho t i khi phát hi n đ c chai thu c gi thì thôi( gi thi t cácừ ớ ệ ượ ố ả ả ế
chai ph i qua ki m tra m i xác đ nh đ c là thu c gi hay th t). L p lu t phânả ể ớ ị ượ ố ả ậ ậ ậ
ph i xác su t c a s chai đ c ki m tra.ố ấ ủ ố ượ ể
Bài gi i:ả
X 1 2 3 4 5
P
X
0.2 0.16 0.128 0.1024 0.4096
P[X=1] =
2,0

5
1
=
P[X=2] = P[
21
.AA
] = 0,8.0,2 = 0,16
P[X=3] = P[
321
.. AAA
] =0,8.0,8.0,2 = 0,128
P[X=4] = P[
4321
... AAAA
] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024
P[X=5] = P[
54321
.... AAAAA
] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096
Câu 5: Ba ng i cùng làm bài thi. Xác su t làm đ c bài c a sinh viên A là 0,8;ườ ấ ượ ủ
c a sinh viên B là 0,7; c a sinh viên C là 0,6. Xác su t đ có 2 sinh viên làm đ củ ủ ấ ể ượ
bài.
Bài làm:
G i A, B, C l n l t là xác su t làm đ c bài c a 3 sinh viên A, B, C.ọ ầ ượ ấ ượ ủ
D là xác su t có 2 sinh viên làm đ c bài.ấ ượ
A=0,8; B=0,7; C=0,6.
Ta có:
)CB(AC)B(AC)BA(D ∩∩∪∩∩∪∩∩=
)(
P

)(
P
)(
P
)(
P
CBACBACBAD ∩∩∩∩∩∩
++=
Vì A, B, C đ c l p nên:ộ ậ
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(
.P
)(
P
)(
P
CBACBACBAD

++=
= 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4
= 0,451.
V y xác su t đ có 2 sinh viên làm đ c bài là : 0,451.ậ ấ ể ượ
Câu 6.
Chia ng u nhiên 9 h p s a (trong đó có 3 h p kém ph m ch t) thành 3 ph nẫ ộ ữ ộ ẩ ấ ầ
b ng nhau. Xác su t đ trong m i ph n đ u có 1 h p s a kém ch t l ng.ằ ấ ể ỗ ầ ề ộ ữ ấ ượ
Bài Gi iả
G i Aọ
i
là h p th i có đúng m t s n ph m x u:ộ ứ ộ ả ẩ ấ
C = A
1
∩A
2
∩A
3
(v i i = 3)ớ
V y xác su t đ trong m i ph n đ u có m t s n ph m kém ch t l ng là:ậ ấ ể ỗ ầ ề ộ ả ẩ ấ ượ
P
(C)
= P(A
1
).P(A
2
/A
1
).P(A
3
/A

1
∩A
2
)
2 1
2 1
6 3
4 2
3 3
9 6
. .1
C C
C C
C C
= =
15.3.6.2 9
84.20 28
=
.
Bài 7:
M t trò ch i có xác su t th ng m i ván là 1/50. N u m tng i ch i 50 ván thìộ ơ ấ ắ ỗ ế ộ ườ ơ
xác su t đ ng i này tháng ít nh t m t ván. ấ ể ườ ấ ộ
Bài gi iả
Xác su t th ng m i ván: p ấ ắ ỗ
02.0
50
1
==
Ta có xác su t đ ng i y ch i 50 ván mà không th ng ván nào:ấ ể ườ ấ ơ ắ
Goi X là s l n thành công trong dãy phép th Becnuli: ố ầ ử

)02.0,50(~ BX
364.098.002.0)0(
5000
50
===⇒ CXP
⇒
Xác su t đ ng i ch i 50 ván thì th ng ít nh t m t ván là:ấ ể ườ ơ ắ ấ ộ
P = 1 – 0.364 = 0.6358
Câu 8. M t phân x ng có 40 n công nhân và 20 nam công nhân. T l t tộ ưở ữ ỷ ệ ố
nghi p ph thông đ i v i n là 15%, v i nam là 20%. Ch n ng u nhiên 1 côngệ ổ ố ớ ữ ớ ọ ẫ
nhân c a phân x ng. Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi o ph thôngủ ưở ấ ể ọ ượ ố ệ ổ
trung h cọ
Gi i:ả
S công nhân c a phân x ng t t nghi p trung h c ph thông là:ố ủ ưở ố ệ ọ ổ
Đ i v i n : ố ớ ữ 40x15% = 6 ng iườ
Đ i v i nam:ố ớ 20x20% = 4 ng iườ
T ng s công nhân t t nghi p ph thông trung h c c a phân x ng là:ổ ố ố ệ ổ ọ ủ ưở
6 + 4 = 10 ng iườ
Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi p trung h c ph thông là:ấ ể ọ ượ ố ệ ọ ổ
6
1
60
10
1
60
1
10
==
C
C

Bài 9
Trong h p I có 4 bi tr ng và 2 bi đen ,h p II có 3 bi tr ng và 3 bi đen .Các bi cóộ ắ ộ ắ
kích c nh nhau chuy n 1 bi t h p II sang h p I ,sau đó l y ng u nhiên 1 bi tỡ ư ể ừ ộ ộ ấ ẫ ừ
h p I .Xác su t đ l y ra bi tr ngộ ấ ể ấ ắ .
Gi i ả
G iọ
A
1:
là bi tr ng l y t h p II sang h p Iắ ấ ừ ộ ộ
A
2 :
là bi đen l y t h p II sang h p Iấ ừ ộ ộ
C : l y viên bi cu i cùng là bi xanhấ ố
Áp d ng cong th c xác su t đ y đ ụ ứ ấ ầ ủ
P(C)= P(A
1
).P( C/A
1
)+P(A
2
).P(C/A
2
)
P(A
1
)=
2
1
P(A
2

) =
2
1
P(C/A
1
)=
7
3
P(C/A
2
)=
7
5
 P(C)=
7
4
14
8
7
5
.
2
1
7
3
.
2
1
==+
 BÀI 10

G i Aọ
i
la ph n i có 1 bi đ . A là bc m i ph n có 1 bi đ ầ ỏ ỗ ầ ỏ
A=A
1
A
2
A
3
==> P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(
1
2
A
A
)P(
21
3
AA
A
)=
1
4

8
3
6
1
2
4
12
3
9
1
3
••
C
CC
C
CC
=0.2857
Bài 11: M t lô hàng do 3 nhà máy I, II, III s n xu t. t l s n ph m do 3 nhàộ ả ấ ỷ ệ ả ẩ
máy s n xu t l n l t là 30%, 20%, 50% và t l ph ph m t ng ng là 1%,ả ấ ầ ượ ỉ ệ ế ẩ ươ ứ
2%, 3%. ch n ng u nhiên s n ph m t lô hàng. Xác su t đ s n ph m này làọ ẫ ả ẩ ừ ấ ể ả ẩ
ph ph m?ế ẩ
Bài gi i:ả



G i:ọ A là bi n c s n ph m đ c ch n là ph ph m.ế ố ả ẩ ượ ọ ế ẩ
B
i
s n ph m đ c ch n do nhà máy th i s n xu t ( i = 1, 2, 3)ả ẩ ượ ọ ứ ả ấ
Vì ch l y ng u nhiên 1 s n ph m nên có { Bỉ ấ ẫ ả ẩ

1
, B
2
, B
3
} là m t h đ y đ . Theo g iộ ệ ầ ủ ả
thi t ta có: ế P(B
1
) =
10
3
P(B
2
) =
10
2
P(B
3
) =
10
5
Áp d ng công th c xác su t toàn ph n ta đ c:ụ ứ ấ ầ ượ
P(A) =
)/().(
3
1
∑
=i
ii
BAPBP

=
10
3
.0,01 +
10
2
.0,02 +
10
5
.0,03 = 0,022
Câu 12: Có 3 h p thu c, h p I có 5 ng t t và 2 ng x u, h p II có 4 ng t t vàộ ố ộ ố ố ố ấ ộ ố ố
1 ng x u, h p III có 3 ng t t và 2 ng x u. L y ng u nhiên 1 h p và t đó rútố ấ ộ ố ố ố ấ ấ ẫ ộ ừ
ra 1 ng thu c thì đ c ng t t. Xác su t đ ng này thuôc h p II.ố ố ượ ố ố ấ ể ố ộ
Bài làm:
G i Aọ
i
là bi n c ch n h p th i ế ố ọ ộ ứ
)1,3(i =
.
B là bi n c ch n 1 ng t t.ế ố ọ ố ố
V y xác su t đ B thu c h p II là:ậ ấ ể ộ ộ
)(
P
)(
P
)(
P
B
BA
B

A
2
2
∩
=
Trong đó:
+
)(
.P
)(
P
)(
P
2
22
A
B
ABA
=
∩
=
4
3
.
2
1
=
15
4
.

+ Ta có: A
1
, A
2
, A
3
đ c l pộ ậ
A
1
∩
A
2
∩
A
3
=
Ω
,
{ }
321
A,A,A
là h đ y đ .ệ ầ ủ
Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có:ụ ứ ấ ầ ủ
)(
.P
)(
P
)(
.P
)(

P
)(
.P
)(
P
(
P
3
3
2
2
1
1
A
B
A
A
B
A
A
B
AB)
++=
=







++
5
3
5
4
7
5
3
1
=
105
74
.
)(
P
)(
P
)(
P
B
BA
B
A
2
2
∩
=
=
105
74

15
4
=
⋅
37
14
V y xác su t đ ng thu c đ c l y ra thu c h p II là: ậ ấ ể ố ố ượ ấ ộ ộ
⋅
37
14
Câu 13.
Trong m t lô hàng có 800 s n ph m lo i 1 và 200 s n ph m lo i 2. L y ng uộ ả ẩ ạ ả ẩ ạ ấ ẫ
nhiên ra 5 s n ph m có hoàn l i. G i X là s s n ph m lo i 1 l y đ c.ả ẩ ạ ọ ố ả ẩ ạ ấ ượ
a) X tuân theo quy lu t nào? Vi t bi u th c xác su t t ng quát c a quy lu t.ậ ế ể ứ ấ ổ ủ ậ
b) Tính kỳ v ng và ph ng sai cua X.ọ ươ
c) Tìm s s n ph m trung bình đ c l y ra và tính kh năng đ x y ra đi uố ả ẩ ượ ấ ả ể ả ề
đó.
Bài Gi iả
a) X tuân theo lu t phân ph i nh th c.ậ ố ị ứ
Bi u th c t ng quát ể ứ ổ
X đ c g i là có phân ph i nh th c ký hi u là Xượ ọ ố ị ứ ệ
β(:
n,p)
Có hàm xác su t: ấ

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
−

= =
(
1q p= −
)
V i ớ
{ }
0,1,2,..., , (0;1)k n p= ∈
b) Kỳ v ng và ph ng sai c a Xọ ươ ủ
Kỳ v ng:ọ
X 1 2 3 4 5
X
P
0,0062
7
0,0508
8
0,2050
6
0,4106
3
0,32686

E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686
=4,00003
Ph ng sai:ươ
2
X
1 4 9 16 25