Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn
trung tâm


LỜI NĨI ĐẦU
Xác suất là một bộ phận của tốn học nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu
nhiên. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng
tưởng chừng khơng có quy luật này; và nó được ra đời đầu tiên ở nước Pháp
vào nửa cuối thế kỷ 17.
Năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách '' Foundation of the Theory of
Probability '' thì giới Tốn học mới công nhận Xác suất là một lĩnh vực tốn
học chặc chẽ. Ơng đã từng nói: giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất
là các định lý giới hạn. De Moivre (1667 – 1754) là tác giả của Định lý giới
hạn trung tâm (trường hợp đối xứng), một trong những thành tựu quan trọng
nhất của Xác suất.
Cuốn tiểu luận này được trình bày theo bố cục:
Phần I: GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.
Phần II: NHẮC LẠI MỘT SỐ KẾT QUẢ.
Phần III: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN.
Phần IV: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Phụ lục: MINH CHỨNG LỊCH SỬ.

Tôi viết cuốn tiểu luận định lý giới hạn trung tâm này, nói chung đây chỉ
là sự góp nhặt khai triển chẳng mấy là sáng tạo. Thỉnh thoảng có đơi lời khen
tặng, tơi lấy làm xấu hổ như đã như đã cưỡng chiếm một cái gì đó mà khơng
thuộc về mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, PGS.TS. Tơ Anh Dũng đã giúp đỡ để
tơi hồn thành cuốn tiểu luận một cách tốt nhất.
Khi một kẻ bình thường quên ước lượng tài sức của mình mà viết về một
vấn đề rộng lớn và trừu tượng trong thời gian ngắn ngủi thì chắc hẳn khơng
thể nào tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự lượng thứ và chỉ giáo của độc

giả.
Nước muôn sông không đủ để tôi rửa tai nghe những lời cao luận.
Tác giả Trương Văn Kìm.


Trang 2

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

I. VÀI NÉT VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
phương sai hữu hạn.
Đặt
2
akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2,..., n
n

n

n

n

k 1

k 1

k 1

i 1

2
2
Bn    kn ; S n   X kn ; An   ak   EX i  ES n , n  1,2,...

S  An
Nếu đặt U n  n
, n  1,2,... thì EUn = 0 và DUn = 1. Ta gọi Un là dãy tổng
Bn
đã được chuẩn hóa từ dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,...
Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển là dạng định lý cho điều kiện đủ để phân phối
của Un hội tụ yếu về phân phối chuẩn N(0 ; 1):

1
lim P (U n  x )   ( x ) 
n
2

x

e



t2
2 dt ,

x .

(1)



Có một số cách chứng minh khác nhau cho định lý giới hạn trung tâm mà điển
hình là các phương pháp sử dụng kỹ thuật đánh giá trực tiếp và phương pháp xây
dựng hàm đặc trưng. Dù là phương pháp chứng minh nào, người ta cũng thấy xuất
hiện những đánh giá tương đối phức tạp.
Trong tiểu luận nhỏ này, kỹ thuật hàm đặc trưng được xây dựng. Phương pháp
này được sử dụng lần đầu tiên bởi Liapunov (1901) và được hoàn thiện bởi
Lindeberg (1917), Feller (1933), Gniedenko (1949), Kac (1961),Petrov (1972),...
Theo thơng tin Tốn học của Hội Tốn học Việt Nam (09/2006) thì trong năm 2006
có đề tài cấp quốc gia '' Các định lý giới hạn trong Lý thuyết xác suất và Ứng
dụng '' được một nhóm nguyên cứu mà chủ trì đề tài là GS. Nguyễn Văn Quảng ở
ĐH Vinh.
Định lý giới hạn trung tâm đối với các phép thử Bernoulli (đối xứng: p =

1
)
2

độc lập do nhà Tốn học de Moivre cơng bố năm 1718 trong cuốn sách '' The
Doctrine of Chance '' . Đến năm 1812, Laplace đã mở rộng kết quả của Moivre
cho các phép thử Bernoulli (khơng đối xứng) độc lập.
Cơng trình của de Moivre (1730) và Laplace (1812) là kết quả đầu tiên về Định
lý giới hạn trung tâm đối với sơ đồ Bernoulli và sử dụng công thức xấp xỉ Stirling:
n!
2 n .n ne n , n  10 .
Đến năm 1878, Chebyshev đề nghị phương pháp moment để xét các Định lý giới
hạn nhưng chưa hoàn chỉnh. Phương pháp moment được hoàn chỉnh bởi Markov
(1898) với một điều kiện đủ cho Định lý giới hạn trung tâm

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 3

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

1

n

n

k 1

 E X kn
n B 2
lim

2

 0,   .

(2)

(trong đó dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... có moment cấp 2+  ).
Năm 1901, Liapunov đã sử dụng phương pháp hàm đặc trưng lần đầu tiên để
chứng minh Định lý giới hạn trung tâm và nhận được điều kiện tương tự như điều
kiện (2) nhưng khác ở chỗ là  >0, tức là

lim

1

n

 E X kn

2

n B 2
k 1
n

 0,   0

(3)

(trong đó dãy biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... có moment cấp 2+  ).
Khi nghiên cứu Định lý giới hạn trung tâm, Markov và Liapunov đã làm rõ tính
tiệm cận bé đều so với tổng hay tổng quát hơn sau này là tính vô cùng bé đều.
Đỉnh cao của Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển chính là định lý Lingdeberg
(1917). Ta thấy rằng trong quá trình phát triển, giả thuyết về sự hữu hạn của
moment đến cấp nào đó của các biến ngẫu nhiên thành phần được giảm nhẹ theo
thời gian. Đến giữa thế kỷ 20 thì điều kiện về sự moment khơng cịn được đặt ra
nữa với Định lý giới hạn trung tâm Tổng quát (Kolmogoroff, Gniedenko – 1949).
Tuy nhiên việc áp dụng các điều kiện trong định lý Định lý giới hạn trung tâm
Tổng quát vào các bài toán cụ thể gặp nhiều trở ngại trong tính tốn kiểm tra. Năm
2005, Phạm Xuân Bình (ĐH Qui Nhơn) đã đưa ra một dạng mới (có thể gọi là

dạng nửa cổ điển của Định lý giới hạn trung tâm) với giả thuyết là tồn tại moment
cấp 1, mà việc sử dụng có nhiều thuận lợi hơn.
Một vấn đề được đặt ra là liệu các điều kiện đủ trong các định lý đã phát triển mà
ta nói ở trên có cần hay không ?
Năm 1935, Feller đã cho câu trả lời khẳng định cùng với một điều kiện mà sau
này được đặt tên là điều kiện Feller.
Định lý giới hạn trung tâm là một trong những thành tựu đặc sắc nhất của Lý
thuyết xác suất.

II. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
II.1 Bổ đề.
Cho   . Nếu Re( )  0 thì

e  1  

(4)
2


e 1 
2
3
2 

e 1 

2
6


(5)
(6)

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 4

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Chứng minh:




1

t

1

u

(chú ý là e  1 ).

Ta có e  1  e dt   e du   du  





0

0






0

1

1

u

t

e  1     (e  1)dt    (e
0

0


 1) du    udu 
2
0

2

2



1

1

2

2
3 u
t
u
e 1 
  (e  1  t ) dt    (e  1   u ) du    du 
2
2
6
0
0
0

3



Từ bổ đề II.1, ta suy ra

Hệ quả:





eitx  1  itx  min 2 tx , t 2 x 2  2h1 (t).g1 (x)







(7)



Trong đó h1 (t)  max t , t 2 , g1 (x)  min x ,x 2 ; x, t 

eitx  1  itx 



.

t 2x2
 h2 (t).g 2 (x)
2

Trong đó h2 (t)  max t 2 , t

3

(8)

 , g (x)  min  x , x ; x, t 
3

2

2

.

Ta có kết quả tổng quát hơn cho bổ đề II.1 sau đây:

II.2 Bổ đề.
Nếu Re( )  0 thì n  1 ta có
n


 2
 n1
e 1 
 ... 

1! 2!
(n  1)!

n!


(9)

Chứng minh: (Quy nạp)
Đặt  n ( )  e  1 

 2
 n1
.

 ... 
1! 2!
( n  1)!


Theo (4) và (5) ta được 1 ( )  e  1   

1
1!
2

1
 2 ( )  e  1 

1!
2!


n1


 2
 n 2
Nếu  n1 ( )  e  1  
 ... 

, ta có
1! 2!
( n  2)! ( n  1)!


TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 5

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.





 n ( )    n1 (t ) dt 
0


0



n1

n

t

 n 1 (t ) dt  
dt 
( n  1)!
n!
0

Theo quy tắc quy nạp thì (9) đã được chứng minh.

II.3 Bổ đề.
Nếu ak  1, bk  1, k  1,2,... thì ta có
n

n

n

 ak   bk   ak  bk
k 1

k 1

(10)

k 1

Chứng minh: (Quy nạp)
k

Đặt Ak 

k

 ai , Bk   bi
i 1

i 1

Hiển nhiên (10) đúng với n=1.
Nếu (10) đúng với (n – 1), tức là
n 1

n1

n 1

 ak   bk   ak  bk
k 1

k 1

k 1

Khi đó

An  Bn  ( An 1  Bn1 )an  (an  bn ) Bn1  An1  Bn1 . an  an  bn . Bn1
 An1  Bn 1  an  bn
n1

n

  ak  bk  an  bn   ak  bk
k 1

n

Vậy

n

k 1

n

 ak   bk   ak  bk
k 1

k 1

k 1

II.4 Vài kết quả khác cần chú ý khác.
a. Ta có khai triển

b. Ta có
c.
d.

1
ln 1  z   z   .z 2 , z  ,   1.
2
1
ln 1  z   z  z 2 , z  .
2
2
x
1  cos x 
,x .
2
n
1
x

lim 1  u  u  e . Suy ra lim  1    e x .
u 0
n 
n

(11)
(12)
(13)
(14)

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 6

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

III. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN.
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
phương sai hữu hạn. Để thống nhất và thuận tiện cho việc trình bày, ta quy ước
đặt:
2
akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2,..., n

2
Bn

n

2
 kn ;



n

n

n

Sn   X kn ; An   ak   EX i  ES n , n  1,2,...

k 1

k 1

k 1

i 1

Sn  An
, n  1,2,... (Un là dãy tổng đã được chuẩn hóa từ dãy
Bn
biến ngẫu nhiên  X kn , k  1,2,..., n , n  1,2,... )
Un 

(2)
Mn

n



2
:  E min X kn , X kn
k 1
n



2

, (  0)



2
L(2) ( ) :  E X kn , X kn   , (0    1)
n
k 1

Ln ( ) :
*
Sn :

1
Bn

1 n 
2
E X  EX kn  , X kn  EX kn   Bn 
2   kn

Bn k 1
n

  X kn  EX kn  .
k 1

Những định lý giới hạn trung tâm là suy rộng của định lý Moivre – Laplace liên

hệ với lược đồ phép thử Bernoulli.

III.1 Định lý. (Định lý giới hạn tích phân de Moivre – Laplace, 1812)
Giả sử vn là số thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, mà trong mỗi
phép thử ta có P  A   p (0  p  1, p  q  1) .
Khi đó

 v

1
lim P  n  x    ( x ) 

n  npq
2



x

e



t2
2 dt ,

x .

(15)



Chú ý rằng: số thành công vn có thể viết dưới dạng vn  X 1n  X 2 n  ...  X nn ,
trong đó  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, lấy hai
giá trị 1 và 0 với xác suất tương ứng là p và q = 1 – p. Khi đó định lý Moivre –

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 7

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Laplace là định lý giới hạn trung tâm Cổ điển đối với những đại lượng ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối Bernoulli.
Định lý sau đây là suy rộng của định lý Moivre – Laplace đối với những đại
lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhưng không nhất thiết phải lấy hai giá
trị.

III.2 Định lý. (Lingdeberg – Lévy, 1925)
Giả sử

 X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có

cùng phân phối và phương sai hữu hạn: X kn  a, DX kn    , k  1,2,..., n
Khi đó

1

 S  na

lim P  n
 x   ( x) 
n   n
2


x

e



t2
2 dt ,

x .

(16)



hay

 S  na

lim sup P  n
 x   ( x)  0.
n x .   n



(17)

Chứng minh:
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử a  0 .Gọi kn  t  là hàm đặc trưng của X kn ,

k  1,2,..., n . Khi đó hàm đặc trưng của U n 

U n  t   Ee

it

it

Sn

 n

 Ee



Sn  An
S
 n cho bởi
Bn
 n

n

 X kn
n
k 1

  t 
  kn 

   n 

n

Theo tính chất tương ứng liên tục giữa dãy hàm phân phối và dãy hàm đặc trưng,
ta cần đưa về chứng minh
n


  t 
lim  kn 
e

n 
  n 

t2
2

, t .

Sử dụng định lý về khai triển hàm đặc trưng ([4], trang 217) và để ý rằng a  0 ,

ta có

kn  t   1 

 2t 2
 o t 2 với t đủ bé.
2

 

Kết hợp với (14) ta có
n

Do đó

2

n
t
 t2

 t 2 
  t 
2 , t .
lim  kn 
lim
   n 1  2n  o  2    e
n 
  n 


  n 


 S

lim P  n  x    ( x ).
n   n


TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 8

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

III.3 Định lý.
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n , n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có :
n

n

k 1

X kn  0,

2
Bn

k 1

2
  DX kn    kn  1, k  1,2,..., n

Khi đó nếu với   0 nào đó,
(2)
Mn

n



2
:  E min X kn , X kn
k 1

2

0

(18)

Thì FS n  ( x ) đều theo x .

Chứng minh:
Theo tính chất tương ứng liên tục giữa dãy hàm phân phối và dãy hàm đặc trưng,
để có (16) ta chỉ cần chứng tỏ rằng
n

 Sn  t    kn  t   e



t2
2

, t .

k 1

Ta có

Sn  t   e



t2
2

n



kn  t   e



t2
2

n



kn  t    e

k 1

k 1

n

   kn  t   e

t2

n

t2

2
 kn
2



k 1

2
kn


2

(sử dụng (10))

k 1
2

2

t
2
2
n

 itX kn
t 2 X kn 
t 2 kn
  Ee
 1  itX kn 
  e 2 1

2  k 1
2
k 1 
n

4
t 4 kn

k 1 8

n

n

  h2  t  g 2  X kn   
k 1
n

 h2  t  . g 2  X kn  
k 1

(sử dụng (8) và (5))

t4
2
max  kn
8 k n

4

2 t
2
 h2  t  .M n   max  kn  0 .


8

k n

2
Điều cuối cùng là đúng vì theo giả thuyết thì M n   0 , ta chỉ cần chứng tỏ
2
max  kn  0 .
k n

Với 0    1 tùy ý, ta có

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 9

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

n





n



2
2
2
 kn   E X kn , X kn     E X kn , X kn  

k 1



k 1

n





n



2
2
  2   E X kn , X kn  1   E X kn , 1  X kn  
2

k 1
n

   E



2
X kn



, X kn  1 

k 1

2 



k 1
n

1



 E  X kn

2

2

, 1  X kn  

k 1



1
1 2
2
2
E min X kn , X kn
  2   Mn 








Từ đó,
2
lim max  kn   2 
n

k n

1
2
limM n    2  0 .

 n


Như vậy định lý đã được chứng minh xong.

III.4 Định lý. (Lindeberg, 1917)
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n , n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có :
n

n

k 1

k 1

2
2
X kn  0, Bn   DX kn    kn  1, k  1,2,..., n

Và thỏa mãn điều kiện Lindeberg

L(2) ( ) :
n

n

2
 E  X kn ,



X kn    0,   0


(20)

k 1

Thì FS n  ( x ) đều theo x .

Chứng minh:
Với   0 và 0    1 , ta có
n



(2)
2
M n   E min X kn , X kn
k 1
n



2




n



2
  E X kn , X kn     E X kn



k 1
L(2) ( )   
n

k 1

2

, X kn  



Từ đó,

1
2
2
limM n       lim Ln    
n
 n
(2)
Do  nhỏ tùy ý nên ta có M n  0 .
Áp dụng định lý III.3 ta có được điều phải chứng minh.

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM

Trang 10

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

1
(2)
Mn .


(2)
(2)

(2)
Thật vậy, từ chứng minh trên M n  Ln ( )   suy ra M n     L(2) ( )
n

(2)
Chú ý: Với   0 và 0    1 thì M n     L(2) ( ) 
n

Mặt khác,



1



2
E X kn , X kn   





2
E min X kn , X kn

2

2



Suy ra
n

E

2
X kn



, X kn   

k 1

Điều này tương đương với L(2) 
n




1

n

1
2

2
 E min  X kn ,
k 1

2

X kn

2



(2)
Mn .

Từ đó ta có

M

(2)
n ( )  0

  L

(2)
n ( )  0

.

Ngoài cách phát biểu ở định lý III.4 thì định lý Lindeberg cịn có cách phát biểu
khác, cách phát biểu này được trình bày như sau:

III.5 Định lý. (Lindeberg, 1917)
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n , n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có
phương sai hưu hạn với :
Fkn  P ( X kn  x), x  ; X kn  0 ;
n

n

k 1

k 1

2
2
2
DX kn   kn   ; Bn   DX kn   kn , k  1,2,..., n

Khi đó nếu

1 n
x 2 dFkn ( x )  0,   0
2 
n B
n k 1 x  B

(21)

S

lim P  n  x    ( x ), x  .
x  Bn


(22)

lim

n

Thì

Chú ý 1:

1 n
Đặt g n     2   x 2 dFkn ( x ),   0 .Khi đó (21) được viết lại
Bn k 1 x  B
n

lim g n     0,   0 .

n

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 11

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Điều kiện (20) và (21) là tương đương nhau và được gọi là điều kiện Lindeberg.
Nó có ý nghĩa đảm bảo cho tính tiệm cận bé đều so với tổng của các thành phần
X kn , k  1,2,..., n; n  1,2,... Cụ thể hơn, ta có



X 
lim P  max  kn      0,   0 .

x  k n  Bn 


Thật vậy, kết luận được suy ra từ đánh giá


 n
X 
1 n

P  max  kn       P  X kn   Bn   2 2   xdFkn ( x ),   0 .
 k n B

 Bn k 1 x  B 2
 n 

 k 1
n
Chú ý 2:
Từ điều kiện Lindeberg suy ra định lý III.2 vì nếu các đại lương ngẫu nhiên Xkn
cùng phân phối thì điều kiện Lindeberg có dạng
lim
x 2dF ( x )  0,   0
(21)
n



x  n

Điều kiện này hiển nhiên là thỏa mãn vì giả thuyết phương sai hữu hạn (moment
cấp 2 hữu hạn).
Chứng minh định lý:
n

Gọi  kn là hàm đặc trưng của Xkn và  S n hàm đặc trưng của S n 

 X kn .
k 1

Ta cần chứng minh rằng

 t  
lim     e
n  Bn 

t2
2

, t

 t  t2
   0 , t  . (22)
Bn  2


hay lim ln  S n 
n

Quá trình chứng minh được tiến hành theo 2 bước như sau:
Bước 1: Chứng minh rằng

Và

 2 


lim max  kn   0
2
n 1k n  B 

 n 
 t 
lim max kn    1  0, t 
n 1k n
 Bn 

(23)

(24)

Với   0 , ta có


2
 kn 
 1  2





 1
max 
x dFkn ( x)   max  2
  max 
1k n  B 2  1k n  B 2 
 1 k n  Bn
 n 
 n







 2
 x dFkn ( x)   

x  Bn

2

1 n
x 2 dFkn ( x )   2 .
2 
Bn k 1 x  B
n

Cho n   thì g n ( )  0 theo giả thuyết, sau đó cho   0 ta có (23).

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 12

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Sử dụng bất đẳng thức (5), ta có đánh giá

 itx

t
B
  e n  1  i Bn



 t 
 kn    1 
 Bn 




t  2
x  dFkn ( x) 
x dFkn ( x )
2

2 Bn 

2
t 2  kn

t .
(25)
2
2 Bn

Từ đánh giá trên cùng với (23) ta được (24).
Bước 2: Chứng minh rằng

n
 t  t2
 t  t2
lim ln  S n     lim  ln  kn     0 , t 
n
 Bn  2 n k 1
 Bn  2

.

(22)

Từ (24) và áp dụng khai triển (11), ta có

  t   
 t 
 t 
 t 
ln kn    ln   kn    1  1   kn    1   kn (t )  kn    1


 Bn 
 Bn 
 Bn 
   Bn   
trong đó  kn (t )  1 .

2

Do đó

n

2

 t  t
ln  S n    
 Bn  2

n

2

 t  t
 ln kn  B   2
 n
k 1

2
 kn
k 1
2
Bn

2
 t  t 2  kn
  ln  kn   
2
 Bn  2 Bn
k 1
n

2
n
 t 
 t 
t 2  kn
  ln kn    1 
  ln  kn    1
2
2 Bn
 Bn 
 Bn 
k 1
k 1
n

2

(26)

Từ (23) và (24), ta có
2


 t 
 t   n
 t 


lim   kn    1  lim max  kn    1  .  kn    1

n
n 1 k n 
 Bn 
 Bn   k 1
 Bn 
k 1


n

 t  
 t 


 lim max  kn    1 . lim max  kn    1
n 1k n 
 Bn   n 1k  n k 1
 Bn 



 t   t2


 lim max   kn    1  .  0 .
(27)
n 1k n 
 Bn   2



n

(ở đây ta đã khai triển hằng đẳng thức và áp dụng (25)).
Mặt khác

 it x
2
2 2 

 t 
t 2  kn
 e Bn  1  i t x  t x  dFkn ( x)
kn    1 

2
2
2 Bn  
Bn
2 Bn 
 Bn 



TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 13

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

 itx
t
t 2 x2 
 dFkn ( x) 
   e Bn  1  i
x
2

Bn
2 Bn 
x  Bn 


 itx
2 2 
 e Bn  1  i t x  t x  dFkn ( x)
 
2
Bn
2 Bn 
x  Bn 


Tích phân trên được lấy trên hai miền:

x : x   B  và x : x   B  trong đó   0 .
n

n

Áp dụng bất đẳng thức (5) cho miền thứ nhất và áp dụng bất đẳng thức (6) cho
miền thứ hai, rồi rút gọn phần sau, khi đó ta được
3

2
 t 
t
t 2  kn
 kn    1 
 3
2
2 Bn
6 Bn
 Bn 

3

x dFkn ( x) 


x  Bn

t2
2
Bn



x 2 dFkn ( x)

x  Bn

3

2
 t  kn t 2

 2
3
6 Bn
Bn

x2 dFkn ( x)


x  Bn

3

t
1

 t2 2
6
Bn



x 2 dFkn ( x ) .

x  Bn

Như vậy ta có
3

2
 t 
t 2  kn  t
 kn  B   1  2 B 2  6  t 2 g n  
 n
k 1
n
Cho n   , sau đó cho   0 ta có
2
n
 t 
t 2  kn
lim   kn    1 
 0, t  .
2
n
2 Bn
 Bn 
k 1
n

(28)

Từ (26), (27), (28) ta suy ra được (22).

III.6 Định lý. (Liapunov, 1901)
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có
moment cấp (2+  ) hữu hạn với  >0 nào đó và
Fkn  P ( X kn  x), x  ; X kn  0 ;

Khi đó nếu lim

1

 ;

n

 E X kn

n B 2
k 1
n

thì

2
Bn

n

n

k 1

2
DX kn   kn

k 1

2
  DX kn    kn , k  1,2,..., n

2

0

(29)

S

lim sup P  n  x   ( x), x  .
n x .  Bn


TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 14

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Chứng minh:
Ta chỉ cần chứng tỏ rằng điều kiện Liapunov (29) kéo theo điều kiện Lindeberg
(21). Điều đó được suy ra từ đánh giá sau:

Với   0 tùy ý,

 x 
1 n
1 n
2
0  2   x dFkn ( x)  2   x 2 
 dFkn ( x)
Bn k 1 x  B
Bn k 1 x  B   Bn 
n
n
1
  2
 Bn

n

 E X kn

2

 0 .


k 1

Theo định lý Lindeberg ta suy ra điều phải chứng minh.

III. Định lý. (Lindeberg – Feller, 1935)

Giả sử  X kn , k  1,2,..., n , n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có
phương sai hưu hạn với :
Fkn  P ( X kn  x), x  ; X kn  0 ;
n

n

k 1

k 1

2
2
2
DX kn   kn   ; Bn   DX kn    kn , k  1,2,..., n

Khi đó nếu

S

lim P  n  x    ( x ), x  .
x  Bn


(22)

 kn 
 2 
lim max 
0

n 1k n  B 2 
 n 

(23)

và

Khi và chỉ khi có điều kiện Lindeberg:

1 n
  2 x 2dFkn ( x)  0,   0
n B 2
n k 1 x  B
lim

(21)

n

(trong định lý này,điều kiện đủ là định lý Lindeberg, điều kiện cần là định lý Feller)
Chứng minh:
* Điều kiện đủ được suy ra từ chứng minh định lý Lingdeberg.
* Ta chứng minh điều kiện cần theo 2 bước như sau:
Bước 1: Chứng minh rằng

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 15

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

 t 
t2 n 
  1  ln  kn      n , t  , trong đó lim  n  0 .
n
2 k 1 
 Bn  
Với t 

, ta chọn  đủ bé sao cho  t 2  1 . Theo giả thuyết (23), tồn tại N  

sao cho khi n  N   ta có

1
2
max  kn   .
2 1k n
Bn

 

Từ chứng minh định lý Lindeberg ta có
2
 t 
t 2  kn t 2 1
 kn    1  

 , n  N   .
2

Bn 
2 Bn
2
2


Sử dụng bất đẳng thức (12), ta có
2

n

 t    t   n
 t 
 ln kn  B   kn  B   1   kn  B   1
 n    n   k 1
 n
k 1
 t 
t 2 n

 kn  B   1
2 k 1
 n


t 4 2 t 4 2

, n  N   .
4
2

Do đó ta có
n
 t    t  
lim  ln  kn     kn    1  0
n
 Bn    Bn  
k 1

hay
n

 t  
 t 
 t  n
(1)
ln  kn    ln  S n     kn    1   n

 Bn 
 Bn  k 1
k 1
 Bn  
(1)
trong đó lim  n  0 .

(30)

n

Mặt khác do giả thuyết

 t 
t2
lim ln  Sn    
n
2
 Bn 
hay

(2)
trong đó lim  n
n

 t 
t2
(2)
ln  Sn       n
2
 Bn 
 0.

(31)

Từ (30) và (31) ta có

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 16

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

n 
 t  
t2
(2)
(1)
   n    kn    1   n
2
 Bn  
k 1 

Tức là

 t 
t2 n 
  1  kn      n , t  .
2 k 1 
 Bn  
(2)
(1)
trong đó  n   n   n , lim  n  0 .
n

Điều này có thể viết lại dạng

t 2 n  
tx 
   1  cos    n ,
2 k 1  

Bn 
hay tương đương như sau

t2 n

2 k 1 x  B


n


tx 
tx 
1  cos  dFkn ( x )   n     1  cos  dFkn ( x)   n (32)

Bn 
Bn 

k 1 x  Bn 
n

trong đó lim  n  0 .
n

Bước 2: Chứng minh rằng

1 n
  2 x 2dFkn ( x)  0,   0
n B 2
n k 1 x  B

lim

(21)

n

Sử dụng bất đẳng thức (13), ta có ước lượng dưới của vế trái trong (32) như sau


t2 n
tx 
t2
t2 n
   1  cos  dFkn ( x )   2   x 2 dFkn ( x )  0 .
2 k 1 x  B 
Bn 
2 2 Bn k 1 x  B
n
n
Sử dụng bất đẳng thức 1  cos

(33)

tx
x2
 2  2 2 2 với x thỏa mãn điều kiện
Bn
 Bn

x   Bn , ta có ước lượng trên của vế phải trong (31) như sau

n


tx 
2 n
  1  cos B  dFkn ( x)   n   2 B 2   x 2dFkn ( x)   n
n 
k 1 x  Bn 
n k 1 x  Bn


2
 n
2

(34)

Từ (32), (33), (34) ta có

t2
t2 n
2
0   2   x 2dFkn ( x )  2   n ,
2 2 Bn k 1 x  B

n

hay

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM

Trang 17

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

0 1

1 n
4
2
  x 2dFkn ( x)   2t 2  t 2n ,
2
Bn k 1 x  B
n

Hay tương đương với

0

1 n
4
2
x 2 dFkn ( x)  2 2  2n .
2 
Bn k 1 x  B
 t
t
n

Cho n   , sau đó cho t   thì ta sẽ nhận được (21).

Một dạng khác của định lý giới hạn trung tâm là xét tính hội tụ cho mật độ của

Sn
(nếu mật độ này là tồn tại) về mật đọ phân phối chuẩn. Những định lý loại này
Bn
gọi là Định lý giới hạn địa phương.

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP:
IV.1 KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.
Giả sử  X kn , k  1,2,..., n, n  1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
phương sai hữu hạn. , ta quy ước đặt:
2
akn  X kn , kn  DX kn , k  1,2,..., n ; U n 
n

Sn  An
, n  1,2,... ;
Bn

n

2
2
Bn    kn ; S n   X kn ; Fkn ( x)  P ( X kn  0), x 
k 1

k 1

'
'
kn (t )   kn (0). kn (t )
t 0
i
t
''
 (0)
''
( Nếu EX kn  0 thì DX kn  kn2  kn (0) )
i
(trong đó  kn là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Xkn)

EX kn 

'
 kn (0)

.

, DX kn  lim

* Kiểm tra nếu EX kn  0 , ta tiến hành kiểm tra một trong các điều kiện sau đây:

1. Điều kiện Lindeberg:
1 n
lim gn     lim 2   x 2 dFkn ( x )  0,   0
n
n B
n k 1 x  B

(21)

n

2. Điều kiện Feller:

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 18

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.


 Sn

 x   ( x), x 
 lim P 

 x  Bn

2


 lim max   kn   0
 n 1k  n  B 2 
 n 





(22)
(23)

Hoặc
2

t

 t  2
 lim  S    e
,t 
 n n  Bn 

 2 



lim max  kn   0
 n 1k  n B 2
 n 



3. Điều kiện Liapunov:
1 n
2
2
lim 2  E X kn

 0 với E X kn
 a  ,   0 .
n B
k 1
n
* Kiểm tra nếu EX kn  a  0 , ta tiến hành kiểm tra điều kiện sau đây:
4. Điều kiện Lévy:
t2
x


1
 S n  na

 lim P 
 x    ( x) 
 e 2 dt , x 
2 
 n   n


 2 



lim max  kn   0
 n 1k n
2
 Bn 





(23)

(29)

(16)
(23)

BÀI TẬP 1.1
Kiểm tra điều kiện Lindeberg đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn ,
k  1,2,..., n ; n  1,2,... được xác định bởi:

k2
kn (t )  2 2 , t 
k t

.

Giải:
'
 kn (0) 1 2k 2t
Ta có EX kn 

i
i (k 2  t 2 ) 2

DX k 

''
kn (0)

 0.
t 0

2k 2 (k 2  t 2 )  2k 2t (k 2  t 2 )2.2t

(k 2  t 2 ) 4


t 0

1
2
  kn .
2
k

Suy ra

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHĨA 20 – KHTN HCM


Trang 19

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

1 2


.
6
k2
k 1

n

n

2
2
Bn   kn  
k 1

Do đó

 kn
 2
lim max 
n 1k n  B 2
 n

 1 



 1
1

 k2 

 1 
 lim max  n
 lim  2 max  2    lim n


n B 1k n  k 
1
1
 n 1k n 

 n
 n
 k2 
 k2
 k 1 


k 1
1
1
6
 

 2  0.
1
2

 k2 6
k 1

Suy ra dãy biến ngẫu nhiên đã cho không thỏa mãn điều kiện Lindeberg.

BÀI TẬP 1.2
Kiểm tra điều kiện Lindeberg đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn
k  1,2,..., n ; n  1,2,... được xác định bởi:

kn (t )  e



k 2t 2
2 ,

t

.

Giải:
Ta có EX kn 

'
 kn (0)

i

2



k te

i



k 2t 2
2

 0.
t 0

DX kn

k 2t 2



''
 kn (0)    ( k 2t )   k 2te 2





2 2

k t


2
  ( k ) e 2





2
  k 2   kn .

 t 0

Suy ra
2
Bn

n


k 1

2
 kn

n

1
  k 2  n(n  1)(2n  1) .
6
k 1

Do đó

 kn 
 k2 
 1

 2 
 
lim max  2   lim max  2   lim  2 max k 2 
n 1k n  B  n 1k n  B  n B 1k n
 n 
 n
 n





n2
 lim 
 0.
n 1
 n( n  1)(2n  1) 
6


 

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 20

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Ta có
n

n

 t 
 t 
 Sn     kn     e
 Bn  k 1
 Bn  k 1
 t  
Như vậy lim  S n 
e
n
 Bn 

t2
2

,t 

k 2t 2
2
2 Bn





e

t2  n 2 1 
k

2  k 1 Bn2 

 e




t2
2

,t  .

.

Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg.

BÀI TẬP 1.3
Kiểm tra điều kiện Lindeberg đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn
k  1,2,..., n ; n  1,2,... được xác định bởi dãy hàm phân phối:

P  X kn   j  

1

, j  1,2,..., k .
2k

.
Giải:
Từ hàm phân phối ta tính được hàm đặc trưng với biến ngẫu nhiên rời rạc:

kn (t )  Ee

itX kn

k

k
1 itj
 itj 1
 itj 1 
  e
e
e  e itj

2k
2k  j 1 2k
j 1 





k

1
1 k
2cos  tj    cos tj .
k j 1
j 1 2k


Suy ra
k

EX kn 

'
 kn (0)

i

 sin tjk 2t


j 1

0.

ik
t 0
k

''

DX kn   kn (0)  
j 1

j 2 cos tj
k


t 0

1 k 2 2k 2  3k  1
2
  kn .
j 
k j 1
6

Suy ra
n

n
n 
2k 2  3k  1 1  n
n
   2k 2   3k  1  (4n 2  9n  11) .
6
6  k 1
36
k 1
k 1
k 1 

n

2
2
Bn    kn  
k 1

Do đó

 2 
 2k 2  3k  1 




lim max  kn   lim max 
0.
2
2
n 1k n  B  n 1k n 
6 Bn

 n 


Ta có

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM

Trang 21

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

 t  n
 t  n 1 k
tj
 Sn     kn      cos
Bn
 Bn  k 1
 Bn  k 1 k j 1
Suy ra
k
n
n 
n
 t 
 t 
1 k
tj 
lim  Sn    lim  kn    lim    cos   lim 
n
Bn  n k 1
 Bn  n k 1
 Bn  n k 1  k j 1



k

k

Vì

tj

 cos B

 k nên

n

j 1

tj

 cos B

n

j 1

k

tj

 cos B

n

j 1

k


 t 
Suy ra lim  Sn 
0e

n
 Bn 

t2
2

 1.

,t  .

Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho không thỏa mãn điều kiện Feller.

BÀI TẬP 1.4
Kiểm tra điều kiện Lindeberg đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn
k  1,2,..., n ; n  1,2,... được xác định bởi:

sin k  t
kn (t )   , t  ,   1 .
k t
Giải:

k  t cos k  t  sin k  t
k  sin k  t
Ta có
 lim
 lim
 0.
t 0
t 0
2
k t 2
'
 kn (0)
 0.
Suy ra EX kn 
i
'
kn (0)

'

 k  cos k  t  k 2 t sin k  t  k  cos k  t 
DX kn 
 lim 

t 0
3k  t 2


3


3

3

4

k cos k t  k cos k t  k cos k t  k sin k t  k 3 cos k  t
 lim
t 0
3k  t 2
k 2
2

  kn .
3
''
kn (0)

Suy ra
n

k 2 1 n 2
 k .
3
3 k 1
k 1
n

2
2

Bn    kn  
k 1

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 22

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Do đó
2
 kn

lim max 
n 1k n  B 2
 n

Vì

2
Bn





2

n2


 k

 0.
  lim max  n
  lim n
 n 1 k n  1 k 2  n 1 k 2


3

3 k 1
 k 1


1
1 n 2
  k nên Bn 
3 k 1
3

k 2
n
Do vậy 2  0 . Suy ra

Bn

n

n


 k 2  .
k 1

kt
Bn
n
 1 , k 


k t
Bn

sin

.

Từ đó ta có

 k t 
sin
t2


 t  n
 t  n 
Bn  n
 Sn     kn      
 1  e 2 , t 


Bn  k 1
Bn  k 1  k t 




 Bn 
Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho không thỏa mãn điều kiện Lindeberg.

BÀI TẬP 1.5
Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X kn k  1,2,..., n ; n  1,2,... với mật độ tương
ứng:

 k 3
, khi x  1
k 3

f k ( x)   2 x
0
, khi x  1

Kiểm tra xem dãy X kn có tuân theo định lý giới hạn trung tâm?
Giải:
Với mật độ đã cho, ta có


EX kn 

 xf k ( x)  0 ( do xfk ( x) là hàm lẻ )




DX kn 

x



2


2

f k ( x)dx  2  x f k ( x)dx  2  x 2
0

1

k 3
dx
2 x k 3

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHĨA 20 – KHTN HCM


Trang 23

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

2

Suy ra Bn 

n

2
 kn
k 1

k  3
1  k  3
2
 lim 
  kn .
1  k   
A  k 
k
A 
n
k 3
.

k
k 1

Ta có

1 n
lim g n     lim 2   x 2 dFkn ( x )
n
n B

n k 1 x  B
n

1 n
k 3
x 2 k 3 dFkn ( x)
2 
n B
2x
n k 1 x  B

 lim

n



1 n
k 3
 2  x 2 2 x k 3 dFkn ( x)
n B 2
n k 1  B

 lim

n

 1 n  k  3 
1
1

 lim  2  
lim
  A k 
n  B
A
( Bn ) k
 n k 1   k  
2 

n 1
 1

 lim  2  kk  1 
k
n B
 n k 1  Bn 



 1
1  1
1
 lim 2 .   2  
.
2
n B
Bn k 1 (k  1) Bn   k
n  k 1
 0.






Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg. Do đó dãy X kn
tuân theo định lý giới hạn trung tâm.

IV.2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.
BÀI TẬP 2.1
Một con súc xắc cân đối đồng chất được gieo 30 lần. Tìm xác suất để tổng số nốt
xuất hiện lớn hơn 120.
Giải:
Gọi Xk là số nốt xuất hiện ở lần gieo thứ k ( k  1,2,...,30 ). Khi đó X1, X2,…, X30
là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, được cho như sau:
Xk

1

2

3

4

5

6

p

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM


Trang 24

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM.

Ta tính được EX k 

7
35

và DX k 
( k  1,2,...,30 ).
2
12

30

Đặt S30 

 X k . Ta cần tính P(S

30 >

120).

k 1

Phân phối chính xác của S30 rất phức tạp. Nhưng theo định lý giới hạn trung tâm
S30 có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn S với:

35
7
 87,5 và kỳ vọng: 30.  105 .
12
2
 120  105 
 120)  P( S  120)  1   
  1   (1,6)  0,054 .
87,5 


Phương sai: 30.
Do đó P( S30

Vậy xác suất để tổng số nốt xuất hiện lớn hơn 120 là 0,054.

BÀI TẬP 2.2
Trong một khu phố có 180 hộ 2 người và 50 hộ có nhiều hơn 2 người. Lượng
nước sinh hoạt mỗi hộ ít người dung một ngày là một biến ngẫu nhiên có giá trị
trung bình 0,6m 3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,04m3; cịn mỗi hộ có nhiều người là biến
ngẫu nhiên có giá trị trung bình 1,9m3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3.
Tìm xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205m3 nước?
Giải:
Gọi X1, X2,…, X180 là lượng nước dùng của các hộ 2 người.
Gọi Y1, Y2,…, Y50 là lượng nước dùng của các hộ nhiều người.
Đặt X = X1 + X2 +…+ X180 và Y = Y1 + Y2 +…+ Y50
Ta có:
EX = 180.0,6 = 108 và DX = 180.(0,04)2 = 0,288
EY = 50.1,9 = 95 và DY = 50.(0,14)2 = 0,98.
Theo định lý giới hạn trung tâm, X có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 180,
phương sai 0,288 và Y có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng 95, phương sai 0,98.
Vì X, Y độc lập nên X + Y cũng có phân bố xấp xỉ phân phối chuẩn với:
E(X + Y) = EX + EY = 108 + 95 = 203.
D(X + Y) = DX + DY = 0,288 + 0,98 =1,268.
Suy ra

 205  203 
P( X  Y  205)  1   
  1  (1,776)  0,0379 .
 1,268 

Vậy xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205m3 nước là 0,0379.

BÀI TẬP 2.3
Trọng lượng trung bình của của đàn ơng một nước nào đó là 78,5kg, với độ lệch
tiêu chuẩn 11,2kg. Chọn ngẫu nhiên 20 người và X là trọng lượng trung bình của
20 người này. Tìm xác suất để X lớn hơn 80kg ?

TRƯƠNG VĂN KÌM – CAO HỌC LTXS VÀ TK TH KHÓA 20 – KHTN HCM