Luận văn rã của z boson trong mô hình g(2 2 1) với quark ngoại lai tựa vector

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN TRUNG VĂN

RÃ CỦA Z BOSON
TRONG MƠ HÌNH G(2-2-1)
VỚI QUARK NGOẠI LAI TỰA VECTOR

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN TRUNG VĂN

RÃ CỦA Z BOSON
TRONG MƠ HÌNH G(2-2-1)
VỚI QUARK NGOẠI LAI TỰA VECTOR
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. HOÀNG NGỌC LONG

HÀ NỘI, 2018


Lời cảm ơn
Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
GS.TS Hoàng Ngọc Long người thầy đã trực tiếp giảng dạy,hướng
dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tơi hồn thành bản luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy:PGS.TS Hà Thanh Hùng,
TS. Nguyễn Huy Thảo có nhiều giúp đỡ tơi trong q trình thực hiện
và hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành các quý thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2 tham gia giảng dạy lớp Cao học vật lý lý thuyết
và vật lý tốn K20.
Tơi xin chân thành cảm ơn các học viên cùng lớp Cao học vật lý
lý thuyết và vật lý toán K20 đặc biệt là học viên Nguyễn Duy Đạo đã
giúp đỡ tơi rất nhiều trong q trình học tập cũng như làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tinh thần
và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy,cô trong hội đồng
bảo vệ luận văn Thạc Sĩ đã có những nhận xét, đánh giá và góp ý cho
luận văn của tôi.
Hà Nội, tháng 06 - 2018
Học viên

Nguyễn Trung Văn


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng những số liệu và kết quả nghiên cứu thu được

trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn
này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Trung Văn


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Danh sách thuật ngữ viết tắt

1

Mở đầu

2

1 Giới thiệu mơ hình chuẩn.

5

1.1

Sắp xếp hạt trong mơ hình. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Khối lượng cho các trường chuẩn . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Tương tác của Z boson với trường vật chất . . . . . . . .

12

2 Rã của Z boson trong mơ hình G(2-2-1) với quark ngoại
lai tựa vector

14

2.1

Giới thiệu mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Khối lượng cho Z boson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Tương tác của Z boson với các fermion . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Tương tác của Z boson với các quark . . . . . . .

33

2.3.2

Tương tác của Z boson với các lepton . . . . . . .

33

2.4

Rã của Z boson hình G(2-2-1) với quark ngoại lai tựa vector 33
2.4.1

Các kênh rã đã biết của Z boson

. . . . . . . . .

33

2.4.2

Rã của Z boson trong mơ hình G(2-2-1) với quark
ngoại lai tựa vector . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Một số hiệu ứng khả dĩ
3.1

Bề rông của rã Z boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Hệ quả khả dĩ đóng góp của sự trộn lẫn Z − Z vào tham
số ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

34
38
38
40
43


1

Danh sách thuật ngữ viết tắt
Viết tắt Thuật ngữ
Br

Branching ratio

CERN

European Organization for Nuclear Research

GWS

Glashow-Weiberg-Salam

LHC

Large Hadron Collider

QCD

Quantum chromodynamics

SM

Standard Model

SSB

Spontaneus Symmetry Breaking

VEV

Vacuum Expectation Value

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Từ xa xưa con người khơng ngừng tìm hiểu và khám phá xem
những hạt cơ bản nào cấu tạo nên Thế giới cũng như Vũ trụ của
chúng ta,tương tác giữa các hạt cơ bản có mấy loại ,khi tương tác
chúng tương tác trực tiếp với nhau hay thông qua các hạt truyền
tương tác?. Sau rất nhiều nghiên cứu về lý thuyết cũng như thực
nghiệm các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới đã đưa ra mơ hình
chuẩn(SM) và thuyết tương đối lớn là nòng cốt của vật lý đương
đại trong việc nghiên cứu các hạt co bản và nghiên cứu lý thuyết
trường lượng tử. Trong mơ hình chuẩn và thuyết tương đối lớn đã
thống nhất có bốn loại tương tác là : tương tác mạnh,tương tác điện
từ, tương tác yếu và tương tác hấp dẫn. Các hạt truyền tương tác
bao gồm :boson, photon, gluon, các quark...
Trong các hạt truyền tương tác thì boson khơng chỉ truyền tương
tác mà bản thân boson cịn có sự sinh và hủy (phân rã) của tự
bản thân nó, mặt khác trong mơ hình chuẩn(SM) dựa trên nhóm
đối xứng chuẩn SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y các quark và các lepton
được chia làm hai loại là các hạt phân cực trái và các hạt phân
cực phải. Các hạt phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến SU (2),


3

các hạt phân cực phải được xếp vào đơn tuyến U (1).Ngồi những

thành cơng vang dội thì mơ hình chuẩn (SM) cịn có những hạn chế
nhất định như chưa giải thích được khối lượng của neutrino,chưa
giải thích được các tương tác mới, các hạt cơ bản trong mơ hìn
chuẩn cịn thiếu so với thực nghiệm ví dụ như trong các hạt quark
có các lưỡng tuyến quark mà thành phần trái và thành phần phải
biến đổi biến đổi giống nhau theo biểu diễn của nhóm SU (2) gọi
là quark ngoại lai tựa véc tơ. Từ đó dẫn đến việc xây dựng các
mơ hình mới được mở rộng từ mơ hình chuẩn(SM) như mơ hình
G(2 − 2 − 1), G(3 − 3 − 1), G(3 − 3 − 1 − 1), G(3 − 4 − 1)...
Hiện nay các quark ngoại lai tựa vector đang được thực nghiệm
quan tâm đặc biệt [1].
Mơ hình G(2 − 2 − 1) được xây dựng trên nhóm đối xứng chuẩn
SU (3)c ⊗ SU (2)1 ⊗ SU (2)2 ⊗ U (1)Y đã và đang nghiên cứu nhiều
tín vấn đề vật lý mới và thu được nhiều thành công. Trong mơ
hình G(2-2-1) thì nhóm SU(2)2 là lưỡng tuyến yếu biểu diễn cho
các quark ngoại lai tựa véc tơ - đối tượng đang được quan tâm rộng
rãi. Chính vì các lý do trên nên tôi đi đến quyết định chọn đề tài
nghiên cứu
Rã của Z Boson trong mơ hình G(2-2-1) với quark ngoại
lai tựa vector
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu tổng quan về Z boson trong mơ hình chuẩn.
• Hệ thống lại những nghiên cứu về mơ hình G(2-2-1).
• Sinh khối lượng của Z boson và rã của Z boson trong mơ hình
G(2-2-1).


4

• Một số hiệu ứng khả dĩ của Z Boson.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Sự sinh khối lượng, đỉnh tương tác và
tương tác của Z boson với các fermion , sự phân rã của Z boson.
• Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình G(2-2-1) của vật lý hạt cơ bản.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết, cụ thể là sử dụng lý thuyết trường lượng
tử, mơ hình chuẩn, lý thuyết nhóm và các số liệu thực nghiệm
về hạt cơ bản.
• Sử dụng phần mềm hỗ trợ tính tốn Mathematica.
5. Dự kiến cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, phần nội dung
của luận văn được chia thành ba chương:


5

Chương 1
Giới thiệu mơ hình chuẩn.
1.1

Sắp xếp hạt trong mơ hình.

SM mơ tả các hạt cơ bản và tương tác của chúng. Trước khi nghiên
cứu chi tiết về sự tương tác của các hạt trong SM, ta sẽ tìm hiểu về
các hạt cơ bản và cấu trúc của chúng. Các thành phần của vật chất có
thể được nhóm thành hai họ lớn là fermion và boson tuân theo các định
luật thống kê khác nhau. Boson là các hạt có spin nguyên và thường
liên kết với trường lượng tử để gây ra sự tương tác hạt. Các boson tuân
theo thống kê Bose-Einstein. Họ các boson gồm có các boson cơ sở là
các phần tử chứa lực cơ bản như ở bảng (1.1) và các boson phức hợp

cũng là một số hạt mang spin nguyên như pions (gồm có một quark và
một phản quark)
Bảng 1.1: Các boson cơ sở - phần tử chứa các lực

Lực

Tương tác điện từ Tương tác yếu

Boson

γ

W +, W −, Z

Tương tác mạnh Tương tác hấp dẫn
Gluon

Graviton

Fermion là các hạt có số spin bán nguyên, chúng là các thành phần
vật chất được biết tới trong vũ trụ. Fermion tuân theo thống kê Fermi-


6

Dirac và nguyên lý loại trừ Pauli - đó là một ngun lí cơ học lượng
tử cho rằng khơng thể tồn tại hai hoặc nhiều hơn các hạt fermion (các
hạt có spin bán nguyên) giống nhau ở tất cả bốn trạng thái lượng tử.
Fermion được chia làm hai họ chính là các lepton và quark và sau đó các
hạt lại chia thành ba thế hệ. Họ các lepton mang điện tích −1 gồm có

các electron e, muon µ, tauon τ , tương ứng với chúng là các neutino ν
khơng có khối lượng và có điện tích bằng 0. Các quark cũng được tách
ra thành ba thế hệ (u - up, d - down), (c - charm, s- strange) và (t - top,
b - bottom) chúng mang điện tích tương ứng là (-2/3, 1/3). Bảng (1.2)
tổng kết lại một số số lượng tử quan trọng của lepton và quark trong ba
thế hệ
Bảng 1.2: Ba thế hệ fermion
Thế hệ thứ 1
Lepton
Quark

Thế hệ 2 Thế hệ 3 Điện tích (Q) Số lepton (L)

νe

νµ

ντ

0

1

e

µ

τ

-1

1

u

c

t

2
3

0

b

− 13

0

d

s

Tương tác giữa các hạt cơ bản có thể được phân loại thành bốn lực
cơ bản: Lực tương tác điện từ, lực tương tác yếu, lực tương tác mạnh
và lực hấp dẫn. Lực điện từ là lực gây ra tất cả các quá trình tương tác
điện từ, trung gian là các photon (γ). Nhóm đối xứng mơ tả tương tác
này là U (1), liên kết mạnh được mô tả bởi hằng số tương tác điện từ
1

α
. Khi lực trung gian truyền photon đi với tốc độ ánh sáng và
137
không bị phân rã thì phạm vi của nó là ∞.
Lực tương tác yếu là lực gây ra trong hạt nhân như phân rã β,
trung gian là các gauge boson có khối lượng như W ± , Z nhóm đối xứng
cho tương tác này là SU (2). Hằng số tương tác yếu được xác định bởi


7

phương trình
g2
GF
√ =
2
2 8MW

(1.1)

trong đó MW là khối lượng của W boson và GF = 1.16637×10−5 GeV −2
là hằng số Fermi. Tương tác yếu chỉ có thể làm thay đổi vị các fermion.
Ngoài ra, tương tác yếu cũng gây ra vi phạm đối xứng tính chẵn lẻ P
cũng như là đối xứng liên hợp điện tích trong khơng gian CP .
Tương tác mạnh gây ra hai loại hiện tượng. Tương tác giữa các
quark qua trung gian là các gluon và lực liên kết giữa proton và nơtron
trong hạt nhân. Nhóm đối xứng của lực liên kết mạnh là SU (3).
Vào năm 1979, cơng trình nghiên cứu của Abdus Salam, Sheldon
Glashow, Steven Weinberg đã giành giải thưởng Nobel Vật lý cho đóng
góp của họ tạo nên một lý thuyết hợp nhất tương tác yếu và tương tác

điện từ giữa các hạt cơ bản gọi là lý thuyết điện yếu. Theo như nhóm đối
xứng của hai loại tương tác trước đó, được gộp lại thành một nhóm đối
xứng mới là SU (2)L ⊗ U (1)Y . Các gauge boson của nhóm này là photon,
W và Z boson. Chỉ số L cho biết rằng duy nhất các fermion phân cực
trái xảy ra tương tác yếu. Y là kí hiệu của siêu tích yếu được xác định
Y ≡ 2(Q − T3 ). Hàm Lagrangian mơ tả tương tác giữa các fermion và
boson có dạng
1
1
Lew = − Gµν Gµν − F µν Fµν
4
4
µ
¯ a γ Dµ Ψa
+
iΨ
a

(1.2)

trong đó Gµν , Fµ,ν kí hiệu của trường tensor
Gµν = ∂µ Wν − ∂ν Wµ + ig[Wµ , Wν ]
Fµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
Các hạt fermion xếp vào lưỡng tuyến SU (2)L được biểu diễn dưới


8

dạng như sau
LeL =

QL =

νL
eL
uL
dL

∼ (1, 2, −1)
1
∼ (3, 2, )
3

(1.3)

và thành phần các hạt được xếp vào trong đơn tuyến SU (2) có dạng
leR ∼ (1, 1, −2)
4
uR ∼ (3, 1, )
3
2
dR ∼ (3, 1, − )
3

(1.4)

Tương tác giữa các fermion và các gauge boson được xác định bởi
đạo hàm hiệp biến

Dµ = ∂µ − igta Aµa − ig Bµ

Y
2

(1.5)

trong đó Y là siêu tích,
g, g’ là hằng số tương tác ứng với nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y ,
σa
ta =
(σa là ma trận Pauli ).
2
Từ đó, ta xác định được một số số hạng trong hàm Lagrangian
Aµ1 ∓ iAµ2
√
2
= cos θW A3µ − sin θW Bµ

Wµ± =
Zµ

Aµ = sin θW A3µ + cos θW Bµ

(1.6)
(1.7)
(1.8)

với θW gọi là góc Weinberg, tham số thực nghiệm đo được sẽ tỷ lệ với
bình phương của hằng số tương tác. Đấy chính là sin2 θW . Giá trị thực
nghiệm như sau sin2 θW ≈ 0.231.

Cho tới nay, Lagrangian điện yếu mô tả một cách chính xác tương tác
giữa các fermion và tương tác giữa fermion và gauge boson. Tuy nhiên,


9

hàm Lagrangian này chỉ có thể mơ tả những hạt khơng có khối lượng
mà ta khơng quan sát được trong tự nhiên.
Để giải quyết vấn đề này người ta đưa vào cơ chế Higgs, tương ứng
Lagrangian của Higgs có dạng
LH = (Dµ φ )† Dµ φ − V (φ ),

(1.9)

V (φ ) = −µ2 φ + φ + λ(φ + φ )2

(1.10)

trong đó

SM là sự tổ hợp của lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh, Lagrangian
được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y với c là
kí hiệu chỉ số màu của QCD, L là kí hiệu của các fermion phân cực trái
tham gia vào tương tác yếu và Y biểu diễn cho siêu tích yếu. Sau phá
vỡ đối xứng, phạm vi năng lượng nhỏ hơn ∼ O(100GeV ) đó là phạm vi
khối lượng của W, Z boson, một phần của nhóm đối xứng này được rút
gọn như SU (2)L ⊗ U (1)Y thành U (1)em là nhóm thường gặp của QED
cổ điển.

1.2

Khối lượng cho các trường chuẩn

¯ = m(ψ¯L ψR + ψ¯R ψL ) chứa các thành
Số hạng khối lượng có dạng: mψψ
phần trái và phải biến đổi không giống nhau
W

L(x) → L (x) = e−iωa (x)ta e−iYL
W

R(x) → R (x) = e−iYR

ω (x)

ω (x)

L(x)

R(x)

(1.11)

nên nó khơng bất biến với biến đổi chuẩn, suy ra các fermion ban đầu
phải có khối lượng bằng khơng.
Đạo hàm hiệp biến có dạng:
3

Dµ ψL,R = ∂µ − ig

1
taL,R Aµa − ig YL,R Bµ ψL,R
2
a=1

(1.12)


10

Các trường Le , Re và các boson chuẩn vẫn khơng có khối lượng. Để
cho chúng có khối lượng, ta phải phá vỡ đối xứng tự phát bằng các hạt
Higgs.
Viết lại lưỡng tuyến Higgs như sau
φ =

ϕ+
ϕ0

≡ φ + φ,

(1.13)

trong đó
1
φ =√
2

0

ϕ+

và φ =
v
ϕ0
Từ biểu thức tốn tử điện tích với Y W = 1, ta có ngay
Q φ =0
và như vậy điện tích được bảo tồn. Hay nói khác đi sau khi phá vỡ đối
xứng tự phát ta còn lại nhóm U (1)Q . Các vi tử I1 , I2 và I3 − Y2 = 2I3 − Q
bị phá vỡ và các boson chuẩn tương ứng sẽ có khối lượng.
Khai triển thành phần động năng của trường Higgs
(Dµ φ )† Dµ φ = ∂µ φ ∂ µ φ + i[ φ

+

Pµφ ∂ µ φ − ∂µ φ+ P φµ φ ]

+i[φ+ Pµφ ∂ µ φ − ∂µ φ+ P φµ φ] + φ + Pµφ P φµ φ

(1.14)

trong đó ta đã sử dụng tính hermitic của các ma trận Pauli. Trước tiên
ta xét số hạng cuối cùng của biểu thức trên
φ + Pµφ P φµ φ = φ+ Pµφ P φµ φ + φ

+

Pµφ P φµ φ + φ+ Pµφ P φµ φ

+ φ Pµφ P φµ φ

(1.15)

Để sinh khối lượng cho các trường chuẩn, ta cũng xét số hạng cuối cùng
của cơng thức (1.15)

Lmass = (Dµ φ )† Dµ φ = φ Pµφ P φµ φ


11

=

φ PµCCφ P CCφµ φ + φ PµN Cφ P N Cà

g2v2
(0, 1)
=
4
v2
+
(0, 1)
8
ì

0

Wà+

0

W +à

0

Wà

0

W à

0

1

gA3à + g Bà

0

0

gA3à + g Bµ

gA3µ + g B µ

0

0

0

−gA3µ + g B µ

1

g 2 v 2 − µ+ v 2
Wµ W + (gAµ3 − g Bµ )2
4
8
1
= m2W Wµ− W µ+ + m2Z Zµ Z µ
2

=

(1.16)

trong đó ta đã thu được khối lượng của W boson
m2W

gv 2
gv
=
, hay mW =
4
2

(1.17)

Để thu được khối lượng của Z boson ta phải chéo hóa

1 2
m Z Zµ Z µ =
2

v2
8

=

A
1
2

3µ

B

µ

Zµ A µ

g2

−gg

A 3µ

−gg

g2

Bµ

m2Z 0
0

0

Zµ
Aµ

.

(1.18)

Chéo hóa ma trận khối lượng bằng ma trận trực giao
Zµ = cos θW Aµ3 − sin θW Bµ
Aµ = sin θW Aµ3 + cos θW Bµ

(1.19)

và thu được khối lượng của Z boson
m2Z

g2v2
gv
mW
=
,
hay

m
=
=
Z
4 cos2 θW
2 cos θW
cos θW

Trường Aµ vẫn khơng có khối lượng và được đồng nhất với các photon.


12

1.3

Tương tác của Z boson với trường vật chất

Để việc xét tương tác có tính tổng qt, ta ký hiệu

Lf =

fLu
fLd

, Rfu = fRu , Rfd = fRd

(1.20)

Ở đây, điện tích của fermion trên f u lớn hơn điện tích của fermion dưới
f d là một, ta xét Lagrangian Dirac của các fermion trong một thế hệ

u
d
µ
u µ
d µ
LD
f = iLf γ Dµ Lf + iRf γ Dµ Rf + iRf γ Dµ Rf

Y
(Zµ sw − Aµ cw ) Lf
2
Y
+ iRfu γ µ (−ig) I3 (Zµ cw + Aµ sw ) − tw (Zµ sw − Aµ cw ) Rfu
2
Y
+ iRfd γ µ (−ig) I3 (Zµ cw + Aµ sw ) − tw (Zµ sw − Aµ cw ) Rfd
2
g
g
= Zµ Lf γ µ I3 − s2w Q Lf + Zµ Rfu γ µ I3 − s2w Q Rfu
cw
cw
g
+ Zµ Rfd γ µ I3 − s2w Q Rfd
cw
= iLf γ µ (−ig) I3 (Zµ cw + Aµ sw ) − tw

+ gsw Aµ Lf γ µ QLf + Rfu γ µ QRfu + Rfd γ µ QRfd
= eAµ Lf γ µ QLf + Rfu γ µ QRfu + Rfd γ µ QRfd
g

+ Zµ f¯Lu γ µ I3 (fLu )fLu + f¯Ld γ µ I3 (fLd )fLd
cw
+ s2 Q(f u )f¯u γ µ f u + Q(f d )f¯d γ µ f d
w

= eAµ [Q(f u )f¯u γ µ f u + Q(f d )f¯d γ µ f d ]
(1.21)
g
+ Zµ f¯u γ µ [I3 (fLu )PL − s2w Q(f u )]f u + f¯d γ µ [I3 (fLd )PL − s2w Q(f d )]f d
cw
(1.22)
trong đó để có tương tác từ cho Aµ , ở cơng thức (1.21) ta đã đồng nhất
hằng số tương tác điện từ như sau
e = gsw = g cw

(1.23)


13

Cũng từ (1.21) có số hạng
Jµem = Q(f u )f¯u γµ f u + Q(f d )f¯d γµ f d

(1.24)

là dịng điện từ tương tác với photon
Lem = eJµem Aµ

(1.25)

Tương tự ta cũng xét số hạng trong phương trình (1.22)
Jµ0 = f¯u γµ [I3 (fLu )PL − s2w Q(f u )]f u + f¯d γµ [I3 (fLd )PL − s2w Q(f d )]f d
≡ Jµ0 (f u ) + Jµ0 (f d )

(1.26)

là dòng trung hòa tương tác với Z boson
C
LN
=
f

g µ 0
Z Jµ
cw

(1.27)

Biểu thức (1.26) cịn được viết dưới dạng trái (L) - phải (R)
Jµ0 (f ) =

1 f¯
gL f γµ (1 − γ5 )f + gRf f¯γµ (1 + γ5 )f
2

(1.28)

với
f
gL,R

= I3 (fL,R ) − s2w Q(f )

(1.29)

Để cho đầy đủ ta đưa ra dạng V − A của dịng trung hịa
Jµ0 (f ) =

1 f ¯
gV f γµ f + gAf f¯γµ γ5 f
2

(1.30)

Mối liên hệ giữa hai loại hệ số như sau
gVf = gLf + gRf , gAf = gLf − gRf

(1.31)

Từ các biểu thức trên ta thấy dòng trung hòa nối các fermion cùng loại,
nghĩa là cùng ở phía trên hoặc cùng ở phía dưới của lưỡng tuyến. Điều
này cũng xảy ra tương tự khi BSM, ta sẽ dễ dàng tính tốn được cho
những phần sau.


14

Chương 2
Rã của Z boson trong mơ hình
G(2-2-1) với quark ngoại lai tựa
vector

2.1

Giới thiệu mơ hình

Mở rộng nhóm chuẩn đối xứng SU (2)L của SM, ta được mơ hình mới
SU (3)c ×SU (2)1 ×SU (2)2 ×U (1)Y , trong đó các hạt trong SM phụ thuộc
vào biểu diễn của nhóm chuẩn SU (2)1 × U (1)Y và đơn tuyến của nhóm
SU (2)2 . Để phá vỡ nhóm đối xứng chuẩn về dạng U (1)em , ta thêm vào
đó hai lưỡng tuyến Higgs H1 = (2, 1)1/2 và H2 = (1, 2)1/2 .
Để giảm thiểu hóa số lượng hạt mới và tăng q trình phân rã cho
các boson vơ hướng nặng của H2 , ta thêm vào mơ hình một lưỡng tuyến
quark ngoại lai tựa vector (VLQ) Q T = (U , D )của nhóm SU (2)2 vào
mơ hình. Ngồi ra, ta cũng thêm vào một đơn tuyến Higgs S để sinh ra
các Higgs nặng trong q trình ggF .
Tốn tử điện tích của nhóm SU (3)c × SU (2)1 × SU (2)2 × U (1)Y có
dạng
(1)

(2)

Qem = T3 + T3 + Y.

(2.1)


15

Phổ hạt của các fermion trong mơ hình này tương tự như trong SM
νa

LaL =

∼

la

1, 2, 1, −

1
2

,

laR ∼ (1, 1, 1, −1) ,

(2.2)

L

trong đó a = e, µ, τ .
ua

qaL =

da

∼

3, 2, 1,

1
6

,

uaR ∼

3, 1, 1,

2
,
3

daR ∼

3, 1, 1, −

L

(2.3)

trong đó a = 1, 2, 3 là họ chỉ số
Lưỡng tuyến quark ngoại lai tựa vector (cũng có thể coi là thế hệ thứ
tư)
QL/R =

U
D

∼

3, 1, 2,

1
6

,

(2.4)

L/R

Phổ hạt Higgs bao gồm
H1 =
H2 =

H1+
H10
H2+
H20

=

=

0

+

v1

√
2

0

+

v2
√
2

H1+
H10
H2+
H20

≡ H1 + H1 ∼

1, 2, 1,

1
2

≡ H2 + H2 ∼

1, 1, 2,

1
2

S = vs + S ∼ (1, 1, 1, 0)

,

(2.5)

Sự biểu diễn và phân bố điện tích của các hạt theo nhóm chuẩn SU (3)C ×
SU (2)1 × SU (2)2 × U (1)Y được liệt kê ở bảng 2.1
Mặc dù giới thiệu các hạt mới phụ thuộc vào nhóm chuẩn SU (2)2 ,
nhưng chúng có thể kết cặp với các hạt trong SM qua sự trộn tương tác
Yukawa, thế vơ hướng và nhóm chuẩn.
Xuất phát từ lý thuyết chuẩn, các hạt tuân theo một số biến đổi
trường như sau
(1)

Φ(x) → Φ (x) = e−iωa

(1)

(2)

(2)

(x)ta −iωa (x)ta −iω (x)Y

Φ(x) ≡ SΦ(x),

1
,
3

16

Bảng 2.1: Biểu diễn và phân bố điện tích của các hạt dưới nhóm đối xứng chẩn SU (3)C ⊗
SU (2)1 ⊗ SU (2)2 ⊗ U (1)Y
Fermions

Scalar

qL

uR

dR

LL

lR

QL(R)

H1

H2

S

SU (3)C

3

3

3

1

1

3

1

1

1

SU (2)1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

SU (2)2

1

1

1

1

1

2

1

2

1

U (1)Y

1
3

4
3

− 32

−2

1
3

1

1

0

−1

Φ(x) → Φ (x) = Φ(x)S +

(2.6)

trong đó, đạo hàm hiệp biến được xác định
(2)
Dµ = ∂µ − ig1 Aµa t(1)
a − ig2 Aµa ta − igY Bµ Y,

(2.7)

với g1 , g2 , gY hằng số tương tác tương ứng với nhóm SU (2)1 , SU (2)2 , U (1)Y .
(i)

Tương tự có các trường chuẩn Aµa , Aµa , Bµ . Và ta , i = 1, 2 là biểu diễn
của các ma trận.

2.2

Khối lượng cho Z boson

Để sinh khối lượng cho các boson chuẩn, ta xét đạo hàm hiệp biến của
phổ hạt Higgs H1 , H2
Dµ H1 =
≡

i
σa
− gY Bµ H1
2
2
∂µ − iPµCC (H1 ) − iPµN C (H1 ) H1 ,
∂µ − ig1 Aµa

(2.8)

với
PµCC (H1 )

g1
g1
=
Aµa σa = √
2 a=1,2
2

0

Wµ+

Wµ−

0

,

Wµ± =

Aµ1 ∓ iAµ2
√
2
(2.9)


17

và
PµN C (H1 )

Aµ3 +

g1
1
g1
= Aµ3 σ3 + gY Bµ =
2
2
2

gY
g1 Bµ

0
−Aµ3 +

0

gY
g1 Bµ

.

(2.10)
Tiếp theo
Dµ H1 = Dµ H1 + Dµ H1 ,
Dµ H1

= −i[PµCC (H1 ) + PµN C (H1 )] H1
ig1

= −√
2
ig1
−
2

0

Wµ+

0

Wµ−

0

v1
√
2

Aµ3 +

Aµ3 +

gY
g1 Bµ

−Aµ3 +

0

Wµ+

H1+

Wµ−

0

H10

gY
g1 Bµ

v1
√
2

0

ig1 v1
− √
2 2

0

g1
= ∂µ H1 − i √
2
g1

− i
2

−Aµ3 +

Wµ+

0

0

0

ig1 v1
= −
2
Dµ H1

gY
g1 Bµ

gY
g1 Bµ

H1+

0
−Aµ3 +

0

gY
g1 Bµ

H10

, (2.11)

. (2.12)

Do đó
†

†

(Dµ H1 ) Dµ H1 = (Dµ H1 + Dµ H1 ) (Dµ H1 + Dµ H1 )
†

= (Dµ H1 ) Dµ H1
†

+ (Dµ H1 ) Dµ H1 + (Dµ H1 )† Dµ H1
+ (Dµ H1 )† Dµ H1 = L1Gauge

mass

+ L(ggH) + L(ggHH)
(2.13)

Khối lượng của boson chuẩn được cho bởi

†

(1)

LGauge

mass

= (Dµ H1 ) Dµ H1


18

gY
g12 v12 + −µ g12 v12
gY
Wµ W +
(−Aµ3 + Bµ )(−Aµ3 + B µ ).
=
4
8
g1
g1
(2.14)
Tương tự với H2 , ta có :
Dµ H2 =
≡

σa
i

− gY Bµ H2
2
2
∂µ − iPµCC (H2 ) − iPµN C (H2 ) H2 ,
∂µ − ig2 Aµa

(2.15)

với
PµCC (H2 )

g2
g2
Aµa σa = √
=
2 a=1,2
2

0

Wµ+

Wµ−

0

Aµ1 ∓ iAµ2
√
2
(2.16)

Wµ± =

,

và
PµN C (H2 )

Aµ3 +

g2
1
g2
= Aµ3 σ3 + gY Bµ =
2
2
2

gY
g2 Bµ

0
−Aµ3 +

0

gY
g2 Bµ

.

(2.17)
Đạo hàm hiệp biến
Dµ H2 = Dµ H2 + Dµ H2 ,
Dµ H2

= −i[PµCC (H2 ) + PµN C (H2 )] H2
ig2
= −√
2
ig2
−
2

Wµ+

0

Wµ−

0

v2
√
2

Aµ3 +

0

Aµ3 +
0

0

0
−Aµ3 +

Wµ+

g2
= ∂µ H2 − i √
2
g2
− i
2

gY
g2 Bµ

0

ig2 v2
= −
2
Dµ H2

0

gY

g2 Bµ

v2
√
2

0

ig2 v2
− √
2 2

−Aµ3 +

0

Wµ+

H2+

Wµ−

0

H20

gY
g2 Bµ

H2+

0
−Aµ3 +

gY
g2 Bµ

gY
g2 Bµ

H20

, (2.18)

. (2.19)


19

Do đó
†

†

(Dµ H2 ) Dµ H2 = (Dµ H2 + Dµ H2 ) (Dµ H2 + Dµ H2 )
†

†

= (Dµ H2 ) Dµ H2 + (Dµ H2 ) Dµ H2

+ (Dµ H2 )† Dµ H2 + (Dµ H2 )† Dµ H2
= L2Gauge

mass

+ L(ggH) + L(ggHH)

(2.20)

Để sinh khối lượng cho Z boson ta căn cứ vào (Aµ3 , Aµ3 , Bµ )



µ
2 2
2
A
v2 g2
0
−v2 g2 gY
  3µ 

1
 A .
LM =
−v12 g1 gY 
0
v12 g12
Aµ3 Aµ3 Bµ 


 3 

2
Bµ
−v22 g2 gY −v12 g1 gY (v12 + v22 )gY2
(2.21)
Điều này có nghĩa là ma trận trộn khối lượng của các boson chuẩn trung
hòa được cho bởi:

MN2 G

1
= 
4

v22 g22

0

0

v2g2

−v22 g2 gY
−v 2 ggY

−v22 g2 gY −v 2 ggY (v 2 + v22 )gY2




 ≡ M12 + M22 ,


(2.22)

trong đó g = g1 và v = v1 và M12 chứa các số hạng xuất hiện ở lần SSB
đầu tiên chỉ phụ thuộc v2 trong khi M22 chỉ phụ thộc v.
Bước thứ nhất: Khi H2 = v2 = 0

g22
2 
v
M12 = 2 
0
4 
−g2 gY
Ma trận này được chéo hóa bởi ma

cθ

C1 = 
 0
sθ

và v = 0, chúng tơi có ma trận

0 −g2 gY

(2.23)
0

0 
.
0
gY2

trận
0 −sθ
1
0




0 
.
cθ

(2.24)