Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh đh

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG
KỲ THI TUY N SINH
IH C
BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
Ph n m t: Các d ng h cơ b n
I . H phương trình i x ng.
1.Phương trình i x ng lo i 1.
a) nh nghĩa
M t h phương trình n x, y ư c g i là h phương trình i x ng lo i 1 n u m i
phương trình ta i vai trị c a x, y cho nhau thì phương trình ó khơng i
b) Tính ch t
N u ( x0 , y0 ) là m t nghi m thì h ( y0 , x0 ) cũng là nghi m
S = x + y
c) cách gi i 
i u ki n S 2 ≥ 4 P
 P = x. y
Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi
(S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn i u ki n: S 2 − 4 P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ư c ta có
(x;y) là nghi m c a phương trình: X 2 − SX + P = 0 .
Gi s phương trình có 2 nghi m là X1, X2.
+ N u ∆ > 0 thì X 1 ≠ X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t ( X 1 ; X 2 ) ; ( X 2 ; X 1 )
+ N u ∆ = 0 thì X 1 = X 2 nên h có nghi m duy nh t ( X 1 ; X 2 ) .
+ H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1
nghi m (S;P) tho mãn.
∆ = S 2 − 4 P ≥ 0

S ≥ 0
P ≥ 0


VD 1: Gi i h phương trình

 x 2 + y 2 + xy = 7
H có nghi m là (1;2), (2;1)

x + y + xy = 5

VD2: nh m h sau có nghi m
 x + y + xy = m
S: 0 ≤ m ≤ 8
 2
x + y2 = m

2) H phương trình i x ng lo i 2.
-M t h phương trình 2 n x, y ư c g i là i x ng lo i 2 n u trong h phương trình ta
i vai trị x, y cho nhau thì phương trình tr thành phương trình kia.
 x 3 + x 2 y = 10 y

VD:  3
 y + y 2 x = 10 x

b) Tính ch t.
- N u (x0 ; y0 ) là 1 nghi m c a h thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m
c) Cách gi i

1


- Tr v v i v hai phương trình c a h ta ư c m t phương trình có d ng
(x − y )[ f (x; y )] = 0
x − y = 0
 f ( x; y ) = 0



3x3 = x 2 + 2 y 2

Ví d : Gi i h phương trình sau:  3
2
2
3 y = y + 2 x

HD: Tr hai phương trình c a h ta thu ư c
3( x3 − y 3 ) = −( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0
H ã cho tương ương v i
 x − y = 0
(I )
 3
2
2
 3 y = y + 2 x
Gi i (I) ta ư c x=y=0 ho c x=y=1
 2
2
3( x + y + xy ) + x + y = 0

( II )
 3 y 3 = y 2 + 2 x 2

Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y dương thì h vơ nghi m suy ta h
có nghi m duy nh t
x=y=0
K t lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1

3) H phương trình v trái ng c p b c II
a) Các d ng cơ b n.
2
 2
ax + bxy + cy = d
. 2
2
a1 x + b1 xy + c1 y = d1

b) Cách gi i.
+ Xét trư ng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay khơng
+ t x=ty thay vào h r i chia 2 phương trình c a h cho nhau ta ư c phương trình b c
2 theo t. Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t trong hai phương trình c a h
tìm
x,y
Phương pháp này cũng úng khi v trái là phương trình ng c p b c n.
 x 2 − 3xy + y 2 = −1

Ví d : Gi i h  2
2
 x + 2 xy − 2 y = 1

+ D th y y=0 không ph i là nghi m
2
2
2 2
t y − 3ty + y = −1
+ t x=ty th vào h ta có  2 2
chia 2 phương trình c a h cho nhau ta
2

2
t y + 2ty − 2 y = 1

có
t = 1
x = y
t 2 − 3t + 1
2

t ó th hai trư ng h p vào
= −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒
⇔
t = − 1
x = − 1 y
t 2 + 2t − 2

2

2
m t trong hai phương trình c a h
gi i.

2


PH N HAI: M T S

PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG
TRONG GI I H

I) PHƯƠNG PH P BI N
I TƯƠNG ƯƠNG
Phương pháp này ch y u là dùng các k năng bi n i phương trình cu h
dưa v
phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác
c ah
Ta xét ví d sau:
Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ó ta rút x
theo y ho c y theo x th vào phương trình còn l i
 x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1)

Ví d 1) Gi i gh phương trình 
2
 xy + y + 1 = x (2)

HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có
x2 − 1
y +1 =
thay vào phương trình (1) ta có
x
 x 2 − 1  x 2 − 1

x2 
+ x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1)

 x  x


(

)

⇔ ( x − 1) 2 x3 + 2 x 2 − 4 x = 0
 x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy

Ví d 2) Gi i h phương trình: 
 x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy

Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m.
Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m.
1 1
 x + y + 2x + y = 5

Xét xy ≠ 0. chia 2 v phương trình cho xy ≠ 0 ta ư c 
 1 + 1 + 3x − y = 4
x y

1 1
Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1
x y
Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu ư c:
2 y − 1 + y + y ( 2 y − 1)( 5 y − 3) = 4 ( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y 10 y 2 − 11y + 3 = 8 y 2 − 4 y

(

)

⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 10 y 2 − 9 y + 1
⇔ y = 1; y =

9 + 41
9 − 41
;y =
20
20

3

(

)


( y = 1; x = 1)

9 + 41
41 − 1 
áp s :  y =
;x =



20
10 


9 + 41
− 41 − 1 
;x =
y=




20
10 

Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a 2 phương trình b c nh t
hai n. Khi ó ta ưa v gi i 2 h phương trình tương ương
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)

Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)

i u ki n là y ≥ 0; x ≥ 1
x = − y
Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có 
thay l n lư t hai trư ng h p
x = 2 y +1
vào phương trình (2) gi i
 x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)

Ví d 2)Gi i h phương trình: 
 x + y = 1(2)

Gi i: i u ki n x ≥ y ≥ 0
(1) ⇔ ( x + y − 1)

H

(

)

x − y −1 = 0

 x + y = 1


 x + y = 1

ã cho tương ương v i: 

 x − y = 1
 x + y = 1



x + y = 1
x = 1
x = 0

⇔
và 
gi i 
 x + y =1 y = 0
y =1

x − y = 1
x = 1


gi i 
⇔
 x + y =1 y = 0

áp s : x=1,y=0 và x=0, y=1.
y −3

(1)
 x+ y + x+3 =
x
Ví d 3) Gi i h phương trình: 
 x + y + x = x + 3(2)

Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ 3
y −3
y −3
Ta có: (1) ⇔
=
x
x+ y − x+3
V i y=3 ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (lo i)

4


 x+ y − x+3 = x

V i y ≠ 3 ta có 
 x+ y + x = x+3


Suy ra x + 3 − x = x + y = x + x + 3
Suy ra

x + 3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ư c:

y +1 = 3 ⇔ y = 8

x = 1
áp s : 
y = 8
Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 phương trình
c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích
 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41

Ví d 4) Gi i h phương trình : 
2
2
 xy ( x + y ) = 10


(

)

ng th c: ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2
4

Gi i: S d ng h ng

 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41

HD: H ã cho tương ương v i 
2
2
4 xy x + y = 40

c ng v v i v 2 phương trình ta thu ư c:

(

(

)

)

x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3
4

 x + y = 3


2
2
  xy x + y = 10

h ã cho tương ương v i 
  x + y = −3



2
2
  xy x + y = 10

x + y = 3
x + y = 3



x + y = 3
⇔
⇔
a) Xét 
2
2
2


 xy ( 9 − 2 xy ) = 10


 xy ( x − y ) − 2 xy  = 10
 xy x + y = 10
 
 x + y = −3


 x + y = −3
b) Xét 

⇔
2
2
 xy ( 9 − 2 xy ) = 10
 xy x + y = 10



(
(

(

)

)

(

)

)

Lo i 3) M t phương trình c a h là phương trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là
n. Khi ó ta coi y như là tham s gi i x theo y.
 2
(1)
 y = (5 x + 4)(4 − x)
Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
2

2
−5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 )

HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y5x2+16x+16=0

5


 y = 5x + 4
Gi i y theo x ta có 
thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i
y = 4− x
ư c các nghi m c a h
2 x 2 + 2 xy + y = 5

Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2
 y + xy + 5 x = 7

Tr hai phương trình c a hê cho nhau ta có 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔
y +1

x=
2
2
2
2
2
2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒ 
2


x = 2− y

Thay l n lư t 2 trư ng h p vào h ta gi i ư c x, y
II) PHƯƠNG PHÁP
T N PH
i m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y)
ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n i
Thông thư ng các phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình
c a h ho c chia các v phương trình cho m t s h ng khác khơng có s n trong các
phương trình c a h
tìm ra nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph
 x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y
(1)

Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2
(2)
 x + 1 ( y + x − 2) = y

HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v phương trình (1) và (2) cho y
ta có h tương ương sau
 x2 + 1
+x+ y =4

u + v = 2
x2 + 1
 y
t u=
; v=x+y-2 ta có h sau 
Gi i h tìm u,v
 2

y
x +1
uv = 1
(
)( x + y − 2) = 1
 y


(

)

sau ó tìm x, y.
3

2
2
=7
2
4 xy + 4( x + y ) +
( x + y)

Ví d 2) Gi i h phương trình sau 
i u ki n x+y ≠ 0
1
2 x +
=3

x+ y


3
2
2

=7
2
3 ( x + y ) + ( x − y ) +
1
(x + y)

;v = x − y
Khi ó ta có h sau 
t u = x+ y+
x+ y
x + y + 1 + x − y = 3

x+ y


V i u ≥2
3u 2 + v 2 = 13
Thay vào ta có 
Gi i h tìm u;v sau ó thay vào tìm x; y
u + v = 3

6


 x3 + y 2 x + 3 x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0


Ví d 3) Gi i h phương trình:  3
2
2
2 y + xy + y − 3x − 3 = 0

( x + 1)3 + ( x + 1) y 2 = 2 y

Gi i: H phương trình tương ương v i 
2
3
( x + 1) y + 2 y = 3 ( x + 1)

t u=x+1
u 3 + uy 2 = 2 y

Ta có h m i  2
3
uy + 2 y = 3u

D th y u=y=0 là m t nghi m
Xét y ≠ 0 t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho nhau ta ư c phương
trình m t n t.
( ây là m t bi n th c a h phương trình ng b c)
( x + y )(1 + xy ) = 18 xy

Ví d 4) Gi i h phương trình:  2
2
2 2
2 2
 x + y 1 + x y = 208 x y


Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H phương trình tương ương v i

(



1 
( x + y ) 1 +  = 18

 xy 
.

 x 2 + y 2 1 + 1  = 208

2 2 

 x y 


(

)

)

u + v = 18
1
1
t u = x + , v = y + ta ư c  2 2

x
y
u + v = 208



1 
( x + y ) 1 +  = 5

 xy 
Ví d 5)Gi i h phương trình 
 xy + 1 = 4

xy

Gi i:
1
1
u + v = 5
i u ki n xy ≠ 0 . t u = x + , v = y + ta ư c h 
y
x
uv = 6
 x y 
 +  ( x + y ) = 15
 y x 
Ví d 6) Gi i h phương trình :  2
2
 x + y  x 2 + y 2 = 85
 y 2 x 2 



x y
Gi i: t u = + , v = x + y .Ta có:
y x
2
2
x
y
+ 2 = u2 − 2
2
y
x

(

x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = v 2 − 2 xy
2

7

)


u=

x2 + y 2
⇔ u.xy = x 2 + y 2
xy

v2
u+2
2
2v
uv 2
15v
Suy ra x 2 + y 2 = v 2 −
=
=
( vì uv=15)
u+2 u+2 u+2
uv = 15

Ta ư c h  2
 15v 
( u − 2 )  u + 2  = 85



Suy ra u.xy = v 2 − 2 xy ⇒ xy =

 x 2 y + 2 y + x = 4 xy

Ví d 7) Gi i h :  1
1 x
 x 2 + xy + y = 3

Gi i: i u ki n xy ≠ 0 .

1 1 1


x + x + x + y = 4

h phương trình tương ương v i 
.
1  1 1 

 x+
 +  = 4

x  x y 

u + v = 4
u = 2
1
1 1
t u = x + , v = + ta ư c: 
⇔
x
x y
uv = 4
v = 2
1

x + x = 2

H phương trình tương ương v i 
⇔ ( x = 1, y = 1)
1 + 1 = 2
x y



III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S
Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t phương trình cho ta bi t t p
giá tr c a x ho c y. T ó suy ra hàm f(x) ơn i u suy ra x=y
 x3 − 5x = y3 − 5 y
(1)

Ví d 1) Gi i h phương trình sau  8
4
( 2)
x + y = 1

T phương trình (2) ta suy ra x , y ≤ 1 Xét phương trình f ( x) = x3 − 5 x v i
x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = 3 x 2 − 5 < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào
phương trình (2) ta d dàng gi i ư c nghi m
Lo i 2) H
i x ng mà sau khi bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0
trong ó f là hàm ơn i u
 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1

Ví d 1) Gi i h phương trình sau 
 y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1


8


2
v


u + u + 1 = 3
HD: t x-1=u; y-1=v ta có h 
v + v 2 + 1 = 3u

Tr theo v hai phương trình trên ta ư c

u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v Xét hàm s
x
f ( x) = x + x 2 + 1 + 3x ; f '( x) = 1 +
+ 3x ln 3 > 0∀x ⇒ u = v . Thay vào (1) ta có
2
x +1

(

)

u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ; f (u ) = ln(u + u 2 + 1) − u ln 3 ta có
1+

u

u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0∀u ⇒ f (u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có
u + u2 +1
u2 +1
khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h
ban u
 x3 − 3x2 + 2 = y3 − 3 y − 2


Ví d 2) Gi i h phương trình sau: 
 x−2
2
 y −1 
log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 2011)





f '(u ) =

Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x 3 − 3 x 2 = u 3 − 3u 2 . Ta th y bài
toán xác nh khi
 0 < y < 1

 0 < x < 2 Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − 3 x 2 ⇒ f '( x) = 3 x( x − 2)
 x > 2

 y > 1

luôn ơn i u nên
Ta có x = u ⇔ x = y + 1 thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m.
Chú ý: Trong bài t p này ta cũng có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v
d ng
3
x3 − 3x 2 = ( y + 1) − 3( y + 1) 2

 2
( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0

Ví d 3) Gi i h phương trình sau: 
4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

2
5−t
HD: t 5 − 2 y = t ⇒ y =
thay vào phương trình (1) c a h ta có
2
5 − t2
4 x3 + x = t (3 −
) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3 x 2 + 1 suy ra hàm
2
5 − 4 x2
s f ( x) ln ng bi n t ó suy ra t = 2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y =
th vào
2
phương trình (2) c a h ta có

9


2

 5 − 4 x2 
 3
g ( x) = 4 x + 
 + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  .
 4
 2 
D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i là nghi m

4
4
5

 3
g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  −
= 4 x(4 x 2 − 3) −
< 0 v i x ∈  0;  Ta có
3 − 4x
3 − 4x
2

 4
1
1
g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h .
2
2
2

IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ
V i phương pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c khơng âm trong
h , qua ó v n d ng các b t ng th c
ánh giá
2 xy

= x2 + y
x + 3 2
x − 2x + 9


Ví d 1) Gi i h phương trình 
2 xy
y +
= y2 + x
2
3

y − 2y + 9

HD:C ng 2 v c a hai phương trình v i nhau ta có
2 xy
2 xy
+
= x 2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h
3 2
2
3
x − 2x + 9
y − 2y + 9
Có 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ 2 xy; x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ VP ≥ 2 xy . D u b ng x y
ra khi và ch khi x=y=1
K t lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1
3

 y = − x + 3x + 4
Ví d 2) Gi i h phương trình sau 
3
x = 2 y − 6 y − 2

( y − 2 ) = −( x + 1)2 ( x − 2)

(1)

H ã cho tương ương v i 
2
(2)
( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2)

N u y > 2 t (1) suy ra x<2. Nhưng i u này là vô lý vì (2) vơ nghi m
L p lu n tương t cho trư ng h p y<2
K t lu n x=y=2 là nghi m duy nh t c a h phương trình.
2
4
7

(1 + x)(1 + x )(1 + x ) = 1 + y
Ví d 3) Gi i h phương trình sau: 
2
4
7
(1 + y )(1 + y )(1 + y ) = 1 + x

HD: D th y x=y=0 ho c x=y=-1 là nghi m
Xét x>0 ta có
(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) = 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 + x 7 > 1 + x 7

⇒y>x
⇒ 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y
V y h vô nghi m. Tương t khi y>0 h cũng vô nghi m
Xét x<-1 ⇒ 1 + x 7 < 0 ⇒ 1 + y < 0 ⇒ y < −1

10


Ta có 1 + ( x + x 2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x . Tương t khi y<-1 ta có
x>y . V y h vơ nghi m
Xét trư ng h p -1K t lu n: x=y=0 ho c x=y=-1
V) GI I H B NG CÁCH ƯA V PHƯƠNG TRÌNH CÙNG B C
Cơ s c a pp này là khi 2 phương trình c a h có th ưa v d ng phương trình
cùng b c so c i x,y thì ta t x=ty sau ó ưa v phương trình m t n s và gi i như
bình thư ng
2
2

2 x + 3 y = x + 3xy + y
Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2
2
x + 2 y = x + 2 y

HD: Rõ ràng ban u h không thu c d ng c bi t nào c nhưng quan sát k Hs s th y
i m m u ch t c a bài toán n m v n sau
Ta th y x=y=0 là m t nghi m c a h
Xét trư ng h p x, y ≠ 0 h ã cho tương ương v i
(2x+3y)(x 2 +2y 2 )=(x+2y)(x 2 +3xy+y 2 ) ⇔ x 3 + 4 y 3 − 3 xy 2 − 2 x 2 y = 0
t x=ty th vào phương trình ta có

t = 1

1 + 17
3

2
2
t − 2t − 3t + 4 = 0 ⇔ (t − 1)(t `−t − 4) = 0 ⇔ t =

2

t = 1 − 17

2

T ó ta gi i h theo 3 trư ng h p c a t. Sau khi gi i xong chú ý vi c th nghi m
ch n nghi m chính xác

2 x 2 y 2 + x 2 + 2 x = 2

Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2
2 2
2 x y − x y + 2 xy = 1

2( xy ) 2 + ( x + 1) 2 = 3

HD: Ta th y h tương ương v i 
t xy=u;x+1=v Ta ư c h
2
2 xy ( x + 1) − xy = 1

ng b c
2u 2 + v 2 = 3



2
2uv − u = 1

Trong m t s bài t p vi c ưa v h
ng b c nhi u khi òi h i nh ng k th t tương
khó nhưng sau ó ta thư ng thu ư c cách gi i h khá hay. Ta xét ví d sau:
2
 2
 x + y + xy + 2 y + x = 2
Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  2
2
2 x − y − 2 y − 2 = 0

HD: t x=u+a,y=y+b thay vào phương trình u c a h ta có

11

i


(u + a ) + ( v + b)

+ (u + a)(v + b) + 2(v + b) + u + a = 0
h phương trình ịng b c thì
i u ki n c n là trong phương trình khơng có s h ng b c nh t.
2a + b + 1 = 0
a = 0
Suy ra 
⇒
2b + a + 2 = 0 b = −1

2

2

 x 2 + u 2 + xu = 3

t y=u-1 ta có h sau:  2
2
2 x − u = 1


M TS

BÀI T P GI I H PHƯƠNG TRÌNH

Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
5
 2
3
2
3
2 2
 x + y + x y + xy + xy = − 4
 4

x + 2x y + x y = 2 x + 9
1) 
2)  2
 x + 2 xy = 6 x + 6
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5



4

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
x 2 + y 2 + x − y = 4

3) 
4) 
x 2 y − y x − 1 = 2x − 2 y
 x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 2


 x 2 + y 2 + xy = 7

5)  4
 x + y 4 + x 2 y 2 = 21


1 + x 3 y 3 = 19 x 3

6) 
 y + xy 2 = −6 x 2




1 
(x + y )1 +  = 5
 xy 

 xy + 3 y 2 − x + 4 y = 7




7) 
8) 
2 xy + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0
 x 2 + y 2 1 + 1  = 49



 x2 y2 




 x+ y − x− y = 2
 x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0


10)  2
9) 
2
2
2
2
8 y + x 2 = 12
 x +y + x −y =4



 x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17
+
=

2 x 2 + 5 xy + 2 y 2 + x + y + 1 = 0

2
2
2
2
4 12) 
11)  x − x − y
x+ x − y
 2
 x + y 2 + 4 xy + 12 x + 12 y + 10 = 0


2
 x( x + y ) + x + xy + 4 = 52

2
 2( x − y ) = xy
 2
x + y + x − 2 y = 2

13)  2
14) 
2
2

2
 x + y + 2 x + 2 y = 11
x − y = 3


2 xy
 2
2
 y x 2 − y 2 = 48
x + y + x + y = 1

15) 
16) 
 x + y = x2 − y
 x + y + x 2 − y 2 = 24


2y

= −2
2 xy + 3 x + 4 y = −6
x − y +
17)  2
18) 
x
2
 x + 4 y + 4 x + 12 y = 3
2 xy − 2 y 2 + x = 0


(

)

12


 x 2 + y 2 + xy = 3

19)  2
 x + 2 xy = 7 x + 5 y − 9

2
 2
 x + y + xy = 3
21)  2
 y − xy + 5 x + 4 y = 9

2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x + y

23)  2
2 y + 2 x + y + 1 = 6 xy

2

2 y − x + 6 y + y x − 2 y = 0
25) 
 x + x − 2 y − x − 3y = 2


 x+ y + x− y =2 y

26) 
 x + 5y = 3


 x − 2 y − xy = 0

27) 
 x −1 − 2 y −1 = 1


1
 2
2 x + x − y = 2
28) 
 y − y 2 x − 2 y 2 = −2


 x2 y + y = 2

29)  2 1
2 2
x + 2 + x y = 3
x

y −3

(1)
 x+ y + x+3 =

x
31) 
 x + y + x = x + 3(2)


x2 y + 2x + 3y = 6
20) 
3 xy + x + y = 5
2
 2 2
2 x y + x + 2 x = 2
22)  2
2 2
2 x y − x y + 2 xy = 1

 x2 y 2 + y 4 + 1 = 3 y 2

24)  2
 xy + x = 2 y


 x3 + y 2 x + 3x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0

30)  3
2
2
2 y + xy + y − 3 x − 3 = 0

 x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)


32) 
 x + y = 1(2)


3

2
2
=7
 x 2 y + 2 y + x = 4 xy
2
4 xy + 4( x + y ) +
( x + y)


33) 
34)  1
1 x
 x 2 + xy + y = 3
2 x + 1 = 3


x+ y

2 xy

= x2 + y
x + 3 2
 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1
x − 2x + 9



35) 
36 ) 
2 xy
 y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1
y +
= y2 + x

2
3

y − 2y + 9

 x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41
 x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy


37) 
38) 
2
2
 x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy
 xy x + y = 10



(

 x2 y + y3 = x 4 + x6


39) 
2
( x + 2) y + 1 = ( x + 1)

 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y

41) 
2
2
 y ( x + y ) = 2( x + 1) + 7 y


)

 x 3 + 4 y = y 3 + 16 x

40) 
2
2
1 + y = 5( x + 1)

 x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy

42) 
2
2
 x + x y + xy = y + xy + 1


13


 x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2
( 4 x 2 + x ) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0


43) 
44) 
 x−2
3
 y −1 
2
2
log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 3)
4 x + y + 2 3 − 4 x = 7






 x − y sin x
e = sin y
 π
x, y ∈  0; 
45) 
 4
3 8 x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y


2
 1− x
3
2
(1 + 42 x − y ) 51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1

2 x − 2 y = − xy −
47) 
46) 
2
3
2
( x 2 y + 2 x ) 2 − 2 x 2 y + 1 − 4 x = 0
 y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0


 x2 +1 8 y 2 + 1
2
= 3(2 y − x )
2 − 4
48) 
2
3
7
2( x + y ) +
x+ y =
2
2

2

2
x + 2 y + 2x + 8 y + 6 = 0

50)  2
 x + xy + y + 4 x + 1 = 0


 x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2

49)  2
2
2 x = 2 + y + 2 y

 x 2 + xy + y 2 = 3

51)  3
3
x + 2 y = y + 2x


 x 2 + y 2 + xy = 3
 x2 + y 2 + 2 x = 3


53)  x 5 + y 5 31
52)  3
3
2
2
2

2( x + y ) + 6 x = 5 + 3( x + y )

 x3 + y3 = 7

 x 2 − 8 x + 9 − 3 xy + 12 − 6 x ≤ 1
 x2 + y 2 = 5


54)  4
55) 
4
2 2
 x + y + 6 x y + 20 xy = 81

 2( x − y ) 2 + 10 x − 6 y + 12 − y = x + 2

 y 6 + y 3 + 2 x 2 = xy − x 2 y 2
 y 2 + (4 x − 1) 2 = 3 4 x(8 x + 1)


57) 
56) 
1
2
3
3
2
2
40 x + x = y 14 x − 1
4 xy + y + ≥ 2 x + 1 + ( 2 x − y )


2



1 
 3x 1 +
=2

 x+ y
58) 
 7 y 1 − 1  = 4 2



 x+ y

Trong bài vi t có s d ng m t s tư li u trích t bài vi t c a th y Nguy n Minh
Nhiên, th y Nguy n T t Thu.Tôi xin chân thành c m ơn các th y.

14