PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Phần một: Các dạng hệ cơ bản
I . Hệ phương trình ñối xứng.
1.Phương trình ñối xứng loại 1.
a)Định nghĩa
Một hệ phương trình ẩn x, y ñược gọi là hệ phương trình ñối xứng loại 1 nếu mỗi
phương trình ta ñổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình ñó không ñổi
b) Tính chất
Nếu
( )
00
, yx là m
ộ
t nghi
ệ
m thì h
ệ

( )
00
,xy c
ũ
ng là nghi
ệ
m

c) cách gi
ả

i



=
+=
yxP
yxS
.

ñ
i
ề
u ki
ệ
n
PS 4
2
≥

Ta bi
ế
n
ñổ
i
ñư
a h
ệ

ñ

ã cho (1) v
ề
h
ệ
2
ẩ
n S, P (2) (x;y) là nghi
ệ
m c
ủ
a (1) khi và ch
ỉ
khi
(S,P) là 1 nghi
ệ
mc c
ủ
a (2) tho
ả
i mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
04
2
≥− PS
v

ớ
i m
ỗ
i (S;P) tìm
ñượ
c ta có
(x;y) là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
0
2
=+− PSXX
.
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m là X
1
, X
2
.

+ N
ế
u
0>∆
thì
21
XX ≠
nên h
ệ
(1) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
21
; XX
;
( )
12
; XX

+ N
ế
u
0=∆
thì
21
XX =
nên h

ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
( )
21
;
XX
.
+ H
ệ
có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m tho
ả
mãn
0≥x
khi và ch
ỉ
khi h
ệ
(2) có ít nh
ấ
t 1

nghi
ệ
m (S;P) tho
ả
mãn.






≥
≥
≥−=∆
0
0
04
2
P
S
PS

VD 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình




=++
=++
5
7
22
xyyx
xyyx
H
ệ
có nghi
ệ
m là (1;2), (2;1)
VD2:
Đị
nh m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m




=+
=++

myx
mxyyx
22

Đ
S:
80 ≤≤ m

2) Hệ phương trình ñối xứng loại 2
.
-M
ộ
t h
ệ
ph
ươ
ng trình 2
ẩ
n x, y
ñượ
c g
ọ
i là
ñố
i x
ứ
ng lo
ạ
i 2 n
ế

u trong h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñổ
i vai trò x, y cho nhau thì ph
ươ
ng trình tr
ở
thành ph
ươ
ng trình kia.
VD:





=+
=+
xxyy
yyxx
10
10
23
23

b) Tính ch
ấ

t.
- N
ế
u
( )
00
; yx là 1 nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì
( )
00
;xy c
ũ
ng là nghi
ệ
m
c) Cách gi
ả
i
2
- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược một phương trình có dạng
( ) ( )
[ ]
0; =− yxfyx

( )




=
=−
0;
0
yxf
yx

Ví dụ :
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x

= +


= +




HD:
Tr
ừ
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta thu
ñượ
c
3 3 2 2 2 2
3( ) ( ) ( )[3( ) ] 0
x y x y x y x y xy x y− = − − ⇔ − + + + + =

H
ệ

ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
3 2 2

2 2
3 2 2
0
( )
3 2
3( ) 0
( )
3 2
x y
I
y y x
x y xy x y
II
y y x

− =



= +




+ + + + =




= +




Gi
ả
i (I) ta
ñượ
c x=y=0 ho
ặ
c x=y=1
Xét (II) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta suy ra x, y không âm . N
ế
u x, y d
ươ
ng thì h
ệ
vô nghi
ệ
m suy ta h
ệ

có nghi
ệ
m duy nh

ấ
t
x=y=0
K
ế
t lu
ậ
n: H
ệ
có 2 nghi
ệ
m x=y=0 và x=y=1

3) Hệ phương trình vế trái ñẳng cấp bậc II
a) Các d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n.
.
2 2
2 2
1 1 1 1
ax bxy cy d
a x b xy c y d

+ + =



+ + =



b) Cách gi
ả
i.
+ Xét tr
ườ
ng h
ợ
p y=0 xem có ph
ả
i là nghi
ệ
m hay không
+
Đặ
t x=ty thay vào h
ệ
r
ồ
i chia 2 ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
cho nhau ta

ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c
2 theo t. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình tìm t sau
ñ
ó th
ế
vao m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

ñể
tìm
x,y
Ph
ươ
ng pháp này c
ũ

ng
ñ
úng khi v
ế
trái là ph
ươ
ng trình
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c n.
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
2 2
2 2
3 1
2 2 1
x xy y
x xy y

− + = −


+ − =




+ D
ễ
th
ấ
y y=0 không ph
ả
i là nghi
ệ
m
+
Đặ
t x=ty th
ế
vào h
ệ
ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
3 1
2 2 1
t y ty y
t y ty y

− + = −


+ − =



chia 2 ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
cho nhau ta
có
2
2
2
1
3 1
1 2 1 0
1 1
2 2
2 2
t x y
t t
t t
t t
t x y
= =
 
− +
 
= − ⇔ − − = ⇒ ⇔
 
+ −

= − = −
 
t
ừ

ñ
ó th
ế
hai tr
ườ
ng h
ợ
p vào
m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

ñể
gi
ả
i.

3

PHẦN HAI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯỜNG DÙNG

TRONG GIẢI HỆ

I) PHƯƠNG PHẤP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này chủ yếu là dùng các kỹ năng biến ñổi phương trình cuả hệ ñể dưa về
phương trình ñơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại ñể thế vào phương trình khác
của hệ
Ta xét ví dụ sau:
Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc ẩn y. Khi ñó ta rút x
theo y hoặc y theo x ñể thế vào phương trình còn lại
Ví dụ 1) Giải ghệ phương trình
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1(1)
1 (2)
x y x y x x
xy y x

+ + + = − +


+ + =



HD: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) từ phương trình (2) ta có
2
1
1
x
y

x
−
+ =
thay vào phương trình (1) ta có
( )
( )
( )( )
2 2
2 2 3 2
1 1
3 4 1 1 2 2 1 1 3 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
  
− −
+ = − + ⇔ − + − − = − −
  
  

( )
( )
3 2
1 2 2 4 0x x x x⇔ − + − =

Ví dụ 2) Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 5
3 4

x y xy x y xy
x y xy x y xy

+ + + =


+ + − =



Giải: Ta có x=y=0 là nghiệm.
Các cặp số (x,y) với x=0, y
≠
0 hoặc x
≠
0, y=0 không là nghiệm.
Xét xy
≠
0. chia 2 vế phương trình cho xy
≠
0 ta ñược
1 1
2 5
1 1
3 4
x y
x y
x y
x y


+ + + =




+ + − =



Suy ra
1 1
5 2 4 3 2 1x y y x x y
x y
− − = + = + − ⇔ = −

Thay x=2y-1 vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai ta thu
ñượ
c:
( )( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1 5 3 4 2 1 3 1 10 11 3 8 4y y y y y y y y y y y y y− + + − − = − ⇔ − + − + = −

( )
( )
3 2 2

10 19 10 1 0 1 10 9 1
9 41 9 41
1; ;
20 20
y y y y y y
y y y
⇔ − + − = ⇔ − − +
+ −
⇔ = = =

4
Đáp số:
( )
1; 1
9 41 41 1
;
20 10
9 41 41 1
;
20 10
y x
y x
y x
= =
 
+ −
= =
 
 
 

 
+ − −
= =
 
 
 

Loại 2) Một phương trình của hệ có thể ñưa về dạng tích của 2 phương trình bậc nhất
hai ẩn. Khi ñó ta ñưa về giải 2 hệ phương trình tương ñương
Ví dụ 1)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
2 2
2 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y

+ + = −


− − = −



Đ
i
ề
u ki
ệ
n là
0; 1y x≥ ≥

Ph
ươ
ng trình (1)
⇔
(x+y)(x-2y-1)=0 t
ừ

ñ
ó ta có
2 1
x y
x y
= −


= +

thay l
ầ
n l
ượ
t hai tr

ườ
ng h
ợ
p
vào ph
ươ
ng trình (2)
ñể
gi
ả
i
Ví dụ 2)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
1 (1)
1(2)
x y x y x y
x y

+ + − = + −


+ =




Giải:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0x y≥ ≥


( )
(1) ( 1) 1 0
x y x y⇔ + − − − =

H
ệ

ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
1
1

1
1
x y
x y
x y
x y

+ =




+ =




− =





+ =




gi
ả

i
1
1
0
1
x y
x
y
x y
+ =

=


⇔
 
=
+ =
 

và
0
1
x
y
=


=


gi
ả
i
1
1
0
1
x y
x
y
x y
− =

=


⇔
 
=
+ =
 


Đ
áp s
ố
: x=1,y=0 và x=0, y=1.
Ví dụ 3)
Gi

ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3
3 (1)
3(2)
y
x y x
x
x y x x
−

+ + + =



+ + = +


Giải:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n

0, 3x y> ≥

Ta có:
3 3
(1)
3
y y
x
x y x
− −
⇔ =
+ − +


V
ớ
i y=3 ta có
2 3 0 3x x+ = ⇔ = −
(lo
ạ
i)
5
 Với
3y ≠
ta có
3
3
x y x x
x y x x


+ − + =


+ + = +




Suy ra
3 3x x x y x x+ − = + = + +

Suy ra
3 3 1x x x+ + = ⇔ =
thay vào (2) ta ñược:
1 3 8y y+ = ⇔ =

Đáp số:
1
8
x
y
=


=


Chú ý: Trong một số bài toán nhiều khi các em cần cộng hoặc trừ 2 phương trình
của hệ sau ñó mới xuất hiện phương trình dạng tích
Ví dụ 4) Giải hệ phương trình :

( )
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y

+ + =


+ =



Giải: Sử dụng hằng ñẳng thức:
( )
( )
4
4 4 2 2 2 2
4 6x y x y xy x y x y+ = + + + +

HD: Hệ ñã cho tương ñương với
( )
4 4 2 2
2 2
6 41
4 40
x y x y
xy x y


+ + =


+ =



cộng vế với vế 2 phương trình ta thu ñược:
( )
( )
4
4 4 2 2 2 2
4 6 81 81 3x y xy x y x y x y x y+ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ±

hệ ñã cho tương ñương với
( )
( )
2 2
2 2
3
10
3
10
x y
xy x y
x y
xy x y

+ =





+ =




+ = −




+ =





a)

Xét
( )
( ) ( )
2
2 2
3
3
3

10 2 10 9 2 10
x y
x y
x y
xy x y xy x y xy xy xy
+ =

+ =

+ =

  
⇔ ⇔
  
 
+ = − − = − =





 


b)

Xét
( )
( )
2 2

3
3
10 9 2 10
x y
x y
xy x y xy xy
+ = −

+ = −

 
⇔
 
+ = − =






Loại 3) Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn chẳng hạn x là
ẩn. Khi ñó ta coi y như là tham số giải x theo y.
Ví dụ 1)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau

2
2 2
(5 4)(4 )
5 4 16 8 16 0
y x x
x y xy x y

= + −


− + − + − + =



( )
( )
1
2


HD:
Coi ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình theo
ẩ
n y ta có (2)
⇔
y

2
–4(x+2)y-
5x
2
+16x+16=0