Sách hướng dẫn học tập xác suất thống kê

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG





SÁCH HNG DN HC TP
XÁC SUT THNG KÊ
(Dùng cho sinh viên ngành CNTT và TVT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b









HÀ NI - 2006




HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

SÁCH HNG DN HC TP
XÁC SUT THNG KÊ

Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG


LI NÓI U
Lý thuyt xác sut thng kê là mt b phn ca toán hc, nghiên cu các hin tng ngu
nhiên và ng dng chúng vào thc t. Ta có th hiu hin tng ngu nhiên là hin tng không
th nói trc nó xy ra hay không xy ra khi thc hin mt ln quan sát. Tuy nhiên, nu tin hành
quan sát khá nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong các phép th nh nhau, ta có th rút ra
đc nhng kt lun khoa hc v hi
n tng này.
Lý thuyt xác sut cng là c s đ nghiên cu Thng kê – môn hc nghiên cu các các
phng pháp thu thp thông tin chn mu, x lý thông tin, nhm rút ra các kt lun hoc quyt
đnh cn thit. Ngày nay, vi s h tr tích cc ca máy tính đin t và công ngh thông tin, lý
thuyt xác sut thng kê ngày càng đc ng dng rng rãi và hiu qu trong mi lnh vc khoa
hc t nhiên và xã h
i. Chính vì vy lý thuyt xác sut thng kê đc ging dy cho hu ht các
nhóm ngành  đi hc.
Có nhiu sách giáo khoa và tài liu chuyên kho vit v lý thuyt xác sut thng kê. Tuy
nhiên, vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên phi làm vic đc
lp nhiu hn, vì vy cn phi có tài liu hng dn hc tp ca tng môn h
c thích hp cho đi
tng này. Tp tài liu “Hng dn hc môn toán xác sut thng kê” này đc biên son cng
nhm mc đích trên.
Tp tài liu này đc biên son cho h đi hc chuyên ngành in t-Vin thông theo đ

cng chi tit chng trình qui đnh ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung
ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc khi k thu
t và theo kinh nghim
ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc
tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng khi k thut.
Giáo trình gm 6 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Các khái nim c bn v xác sut.
Chng II: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng III: Véc t
ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng IV: Lut s ln và đnh lý gii hn.
Chng V:.Thng kê toán hc
Chng VI: Quá trình ngu nhiên và chui Markov.
iu kin tiên quyt môn hc này là hai môn toán cao cp đi s và gii tích trong chng
trình toán đi cng. Tuy nhiên vì s hn ch ca chng trình toán dành cho hình thc đào to t
xa, do đó nhiu kt qu và đnh lý ch đc phát bi
u và minh ha ch không có điu kin đ
chng minh chi tit.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc
cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn
gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong


mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt
và ch dn rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc
m rng tng quát hn các kt qu và hng ng dng vào thc t. Hu ht các bài toán đc xây
dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s
tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu
thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các
thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn

tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn tp. Có khong t 20 đn 30 bài tp
cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi cho mi tit lý thuyt. H th
ng câu hi này bao trùm
toàn b ni dung va đc hc. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc
nhng cng có nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin
thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý thuyt và kim
tra đc mc đ tip thu lý thuy
t ca mình.
Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca
Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong
s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó.
Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh
 Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã
khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này.

Hà Ni, đu nm 2006.
Lê Bá Long
Khoa c bn 1
Hc Vin CNBCVT


Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

3
CHNG I: CÁC KHÁI NIM C BN V XÁC SUT
GII THIU
Các hin tng trong t nhiên hay xã hi xy ra mt cách ngu nhiên (không bit trc kt
qu) hoc tt đnh (bit trc kt qu s xy ra). Chng hn ta bit chc chn rng lông ca qu có
mu đen, mt vt đc th t trên cao chc chn s ri xung đt... ó là nhng hin tng din

ra có tính quy lut, tt đ
nh. Trái li khi tung đng xu ta không bit mt sp hay mt nga s xut
hin. Ta không th bit có bao nhiêu cuc gi đn tng đài, có bao nhiêu khách hàng đn đim
phc v trong khong thi gian nào đó. Ta không th xác đnh trc ch s chng khoán trên th
trng chng khoán… ó là nhng hin tng ngu nhiên. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá
nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong nhng hoàn c
nh nh nhau, thì trong nhiu trng hp
ta có th rút ra nhng kt lun có tính quy lut v nhng hin tng này. Lý thuyt xác sut
nghiên cu các qui lut ca các hin tng ngu nhiên. Vic nm bt các quy lut này s cho phép
d báo các hin tng ngu nhiên đó s xy ra nh th nào. Chính vì vy các phng pháp ca lý
thuyt xác sut đc ng dng rng rãi trong vic gii quyt các bài toán thu
c nhiu lnh vc
khác nhau ca khoa hc t nhiên, k thut và kinh t-xã hi.
Chng này trình bày mt cách có h thng các khái nim và các kt qu chính v lý thuyt
xác sut:
- Các khái nim phép th, bin c.
- Quan h gia các bin c.
- Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê.
- Các tính cht ca xác sut: công th
c cng và công thc nhân xác sut, xác sut ca
bin c đi.
- Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác
sut đy đ và đnh lý Bayes.
- Dãy phép th Bernoulli và xác sut nh thc
Khi nm vng các kin thc v đi s tp hp nh hp, giao tp hp, tp con, phn bù ca
mt tp con … hc viên s
 d dàng trong vic tip thu, biu din hoc mô t các bin c.
 tính xác sut các bin c theo phng pháp c đin đòi hi phi tính s các trng hp
thun li đi vi bin c và s các trng hp có th. Vì vy hc viên cn nm vng các phng
pháp đm - gii tích t hp (đã đc hc  lp 12 và trong ch

ng 1 ca toán đi s A2). Tuy
nhiên đ thun li cho ngi hc chúng tôi s nhc li các kt qu chính trong mc 3.
Mt trong nhng khó khn ca bài toán xác sut là xác đnh đc bin c và s dng đúng
các công thc thích hp. Bng cách tham kho các ví d và gii nhiu bài tp s rèn luyn tt k
nng này.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

4
NI DUNG
1.1. PHÉP TH VÀ BIN C
1.1.1. Phép th (Experiment)
Trong thc t ta thng gp nhiu thí nghim, quan sát mà các kt qu ca nó không th d
báo trc đc. Ta gi chúng là các phép th ngu nhiên.
Phép th ngu nhiên thng đc ký hiu bi ch
C . Tuy không bit kt qu s xy ra nh
th nào, nhng ta có th lit kê đc hoc biu din tt c các kt qu ca phép th
C . Mi kt
qu ca phép th
C đc gi là mt bin c s cp. Tp hp tt c các bin c s cp ca phép
th đc gi là không gian mu, ký hiu
Ω
.
Ví d 1.1:
̇ Phép th tung đng xu có không gian mu là
{ }
NS,=Ω .
̇ Vi phép th tung xúc xc, các bin c s cp có th xem là s các nt trên mi mt xut
hin. Vy
{}
6,5,4,3,2,1=Ω .

̇ Phép th tung đng thi 2 đng xu có không gian mu là

{}
),(),,(),,(),,( NNSNNSSS=Ω .
Chú ý rng bn cht ca các bin c s cp không có vai trò đc bit gì trong lý thuyt xác
sut. Chng hn có th xem không gian mu ca phép th tung đng tin là
{}
1,0=Ω , trong đó 0
là bin c s cp ch mt sp xut hin và 1 đ ch mt nga xut hin.
1.1.2. Bin c (Event)
Vi phép th
C ta thng xét các bin c (còn gi là s kin) mà vic xy ra hay không
xy ra hoàn toàn đc xác đnh bi kt qu ca
C .
Mi kt qu
ω
ca C đc gi là kt qu thun li cho bin c A nu A xy ra khi kt
qu ca
C là
ω
.
Ví d 1.2: Nu gi
A là bin c s nt xut hin là chn trong phép th tung xúc xc  ví
d 1.1 thì
A
có các kt qu thun li là 2, 4, 6.
Tung hai đng xu, bin c xut hin mt mt sp mt mt nga (xin âm dng) có các kt
qu thun li là
),(;),( SNNS .
Nh vy mi bin c

A đc đng nht vi mt tp con ca không gian mu Ω bao gm
các kt qu thun li đi vi
A .
Mi bin c ch có th xy ra khi mt phép th đc thc hin, ngha là gn vi không gian
mu nào đó. Có hai bin c đc bit sau:
• Bin c chc chn là bin c luôn luôn xy ra khi thc hin phép th, bin c này trùng
vi không gian mu
Ω .
• Bin c không th là bin c nht đnh không xy ra khi thc hin phép th. Bin c
không th đc ký hiu
φ .
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

5
Tung mt con xúc xc, bin c xut hin mt có s nt nh hn hay bng 6 là bin chc
chn, bin c xut hin mt có 7 nt là bin c không th.
1.1.3. Quan h gia các bin c
Trong lý thuyt xác sut ngi ta xét các quan h sau đây cho các bin c.

a. Quan h kéo theo
Bin c
A kéo theo bin c
B , ký hiu BA ⊂ , nu A xy ra thì B xy ra.
b. Quan h bin c đi
Bin c đi ca
A là bin c đc ký hiu là
A và đc xác đnh nh sau: A xy ra khi và
ch khi
A không xy ra.
c. Tng ca hai bin c

Tng ca hai bin c
BA, là bin c đc ký hiu
BA ∪ . Bin c BA ∪ xy ra khi và ch
khi có ít nht
A hoc
B xy ra.
Tng ca mt dãy các bin c
{ }
n
AAA ,...,,
21
là bin c
∪
n
i
i
A
1=
. Bin c này xy ra khi có
ít nht mt trong các bin c
i
A xy ra.
d. Tích ca hai bin c
Tích ca hai bin c
BA, là bin c đc ký hiu
AB . Bin c AB xy ra khi và ch khi
c hai bin c
A ,
B cùng xy ra.
Tích ca mt dãy các bin c

{ }
n
AAA ,...,,
21
là bin c
∏
=
n
i
i
A
1
. Bin c này xy ra khi tt
c các bin c
i
A cùng xy ra.
e. Bin c xung khc
Hai bin s
BA, gi là xung khc nu bin c tích
AB là bin c không th. Ngha là hai
bin c này không th đng thi xy ra.
Chú ý rng các bin c vi phép toán tng, tích và ly bin c đi to thành đi s Boole
do đó các phép toán đc đnh ngha  trên có các tính cht nh các phép toán hp, giao, ly phn
bù đi vi các tp con ca không gian mu.
f. H đy đ các bin c
Dãy các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là mt h đy đ các bin c nu:

i. Xung khc tng đôi mt, ngha là
φ
=
ji
AA
vi mi
nji ,...,1
=≠
,
ii. Tng ca chúng là bin c chc chc, ngha là
Ω=
=
∪
n
i
i
A
1
.
c bit vi mi bin c
A , h
{ }
AA, là h đy đ.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

6
Ví d 1.3: Mt nhà máy có ba phân xng sn xut ra cùng mt loi sn phm. Gi s rng
mi sn phm ca nhà máy ch do mt trong ba phân xng này sn xut. Chn ngu nhiên mt
sn phm, gi
321

,, AAA ln lt là bin c sn phm đc chn do phân xng th nht, th
hai, th ba sn xut. Khi đó h ba bin c
321
,, AAA là h đy đ.
g. Tính đc lp ca các bin c
Hai bin c
A
và
B
đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c
này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia.
Tng quát các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra
ca mt nhóm bt k
k bin c, trong đó nk
≤≤1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay
không xy ra ca các bin c còn li.
nh lý 1.2: Nu
BA,
đc lp thì các cp bin c:
BA,
;
BA,
;
BA,
cng đc lp.
Ví d 1.4: Ba x th A, B, C mi ngi bn mt viên đn vào mc tiêu. Gi

CBA ,, ln
lt là bin c A, B, C bn trúng mc tiêu.
a. Hãy mô t các bin c:
,,ABC A B C A B C∪∪.
b. Biu din các bin c sau theo
CBA ,, :
-
:D Có ít nht 2 x th bn trúng.
- :E Có nhiu nht 1 x th bn trúng.
-
:F Ch có x th C bn trúng.
-
:G Ch có 1 x th bn trúng.
c. Các bin c
CBA ,, có xung khc, có đc lp không ?
Gii:
a.
ABC : c 3 đu bn trúng.
A BC : c 3 đu bn trt. CBA ∪∪ : có ít nht 1 ngi
bn trúng.
b. CABCABD ∪∪= .
Có nhiu nht mt x th bn trúng có ngha là có ít nht hai x th bn trt, vy

ACCBBAE ∪∪= .
CBAF = . CBACBACBAG ∪∪= .
c. Ba bin c
CBA ,, đc lp nhng không xung khc.
1.2. NH NGHA XÁC SUT VÀ CÁC TÍNH CHT
Vic bin c ngu nhiên xy ra hay không trong kt qu ca mt phép th là điu không th
bit hoc đoán trc đc. Tuy nhiên bng nhng cách khác nhau ta có th đnh lng kh nng

xut hin ca bin c, đó là xác sut xut hin ca bin c.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

7
Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó
khi thc hin phép th.
Da vào bn cht ca phép th (đng kh nng) ta có th suy lun v kh nng xut hin
ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo phng pháp c đin.
Khi thc hi
n nhiu ln lp li đc lp mt phép th ta có th tính đc tn sut xut hin
ca mt bin c nào đó. Tn sut th hin kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta
có đnh ngha xác sut theo thng kê.
1.2.1. nh ngha c đin v xác sut
Gi s phép th
C tho mãn hai điu kin sau:
(i) Không gian mu có mt s hu hn phn t.
(ii) Các kt qu xy ra đng kh nng.
Khi đó ta đnh ngha xác sut ca bin c
A là
thÓ cã hîptr−êng sè
víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A
AP
đ
)(
= (1.1)
Nu xem bin c A nh là tp con ca không gian mu
Ω thì
Ω
=
Ω

=
A
A
AP
cña tö phÇn sè
cña tö phÇn sè
)(
(1.1)’
Ví d 1.5: Bin c A xut hin mt chn trong phép th gieo con xúc xc  ví d 1.1 có 3
trng hp thun li (
3=A ) và 6 trng hp có th ( 6=Ω ). Vy
2
1
6
3
)( ==AP
.
 tính xác sut c đin ta s dng phng pháp đm ca gii tích t hp.
1.2.2. Các qui tc đm
a. Qui tc cng
Nu có
1
m cách chn loi đi tng
1
x ,
2
m cách chn loi đi tng
2
x , ... ,
n

m cách
chn loi đi tng
n
x . Các cách chn đi tng
i
x không trùng vi cách chn
j
x nu
ji ≠
thì có
n
mmm
+++ 
21
cách chn mt trong các đi tng đã cho.
b. Qui tc nhân
Gi s công vic
H gm nhiu công đon liên tip
k
HHH ,...,,
21
và mi công đon
i
H có
i
n cách thc hin thì có tt c
k
nnn
××× 
21

cách thc hin công vic H .
c. Hoán v
Mi phép đi ch ca
n phn t đc gi là phép hoán v n phn t. S dng quy tc
nhân ta có th tính đc:
Có
!n
hoán v
n
phn t.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

8
d. Chnh hp
Chn ln lt
k phn t không hoàn li trong tp
n
phn t ta đc mt chnh hp chp
k ca n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc s các chnh hp chp k ca n phn
t là

)!(
!
kn
n
A
k
n
−
= (1.2)

e. T hp
Mt t hp chp k ca n phn t là mt tp con k phn t ca tp n phn t. Cng có
th xem mt t hp chp k ca n phn t là mt cách chn đng thi k phn t ca tp n phn
t.
Hai chnh hp chp
k ca n phn t là khác nhau nu:
̇ có ít nht 1 phn t ca chnh hp này không có trong chnh hp kia.
̇ các phn t đu nh nhau nhng th t khác nhau.
Do đó vi mi t hp chp
k ca n phn t có !k chnh hp tng ng. Mt khác hai
chnh hp khác nhau ng vi hai t hp khác nhau là khác nhau.
Vy s các t hp chp
k ca n phn t là
)!(!
!
! knk
n
k
A
C
k
n
k
n
−
==
(1.3)
Ví d 1.6: Tung mt con xúc xc hai ln. Tìm xác sut đ trong đó có 1 ln ra 6 nt.
Gii: S các trng hp có th là 36. Gi
A

là bin c “ trong 2 ln tung con xúc xc có 1
ln đc mt 6”. Nu ln th nht ra mt 6 thì ln th hai ch có th ra các mt t 1 đn 5, ngha là
có 5 trng hp. Tng t cng có 5 trng hp ch xut hin mt 6  ln tung th hai. Áp dng
quy tc cng ta suy ra xác sut đ ch có mt ln ra mt 6 khi tung xúc xc 2 ln là
36
10
.
Ví d 1.7: Cho các t mã 6 bit đc to t các chui các bit 0 và bit 1 đng kh nng. Hãy
tìm xác sut ca các t có cha
k bit 1, vi
6,...,0
=k
.
Gii: S trng hp có th
6
2=Ω . t
k
A là bin c " t mã có cha
k
bit 1" . Có th
xem mi t mã có cha
k bit 1 là mt t hp chp k ca 6 phn t, vy s trng hp thun li
đi vi
k
A là s các t hp 6 chp k . Do đó
)!6(!
!6
6
kk
CA

k
k
−
==

Vy xác sut ca các bin c tng ng
()
6,...,0,
2)!6(!
!6
6
=
−
= k
kk
AP
k
.
Ví d 1.8: Mt ngi gi đin thoi quên mt hai s cui ca s đin thoi và ch nh đc
rng chúng khác nhau. Tìm xác sut đ quay ngu nhiên mt ln đc đúng s cn gi.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

9
Gii: Gi A là bin c “quay ngu nhiên mt ln đc đúng s cn gi”. S các trng hp
có th là s các cp hai ch s khác nhau t 10 ch s t 0 đn 9. Nó bng s các chnh hp 10
chp 2. Vy s các trng hp có th là
90910
2
10
=⋅=A . S các trng hp thun li ca

A là
1. Do đó
90
1
)( =AP .
Ví d 1.9: Mt công ty cn tuyn 2 nhân viên. Có 6 ngi np đn trong đó có 4 n và 2
nam. Gi s kh nng trúng tuyn ca c 6 ngi là nh nhau. Tính xác sut bin c:
a. Hai ngi trúng tuyn là nam
b. Hai ngi trúng tuyn là n
c. Có ít nht 1n trúng tuyn.
Gii: S trng hp có th
2
6
15CΩ= = .
a. Ch có 1 trng hp c 2 nam đu trúng tuyn do đó xác sut tng ng là
15/1=P
.
b. Có
6
2
4
=C cách chn 2 trong 4 n, vy xác sut tng ng 15/6
=P .
c. Trong 15 trng hp có th ch có 1 trng hp c 2 nam đc chn, vy có 14 trng
hp ít nht 1 n đc chn. Do đo xác sut tng ng
15/14
=P
.
1.2.3. nh ngha thng kê v xác sut
nh ngha xác sut theo c đin trc quan, d hiu. Tuy nhiên khi s các kt qu có th vô

hn hoc không đng kh nng thì cách tính xác sut c đin không áp dng đc.
Gi s phép th
C có th đc thc hin lp li nhiu ln đc lp trong nhng điu kin
ging ht nhau. Nu trong
n ln thc hin phép th C , bin c A xut hin )( Ak
n
ln thì t s
n
Ak
Af
n
n
)(
)( =

đc gi là tn sut xut hin ca bin c
A
trong n phép th.
Ngi ta chng minh đc (đnh lý lut s ln) khi
n tng lên vô hn thì )(Af
n
tin đn
mt gii hn xác đnh. Ta đnh ngha gii hn này là xác sut ca bin c
A , ký hiu )(AP .
)(lim)( AfAP
n
n
∞→
= (1.4)
Trên thc t )( AP đc tính xp x bi tn sut )(Af

n
khi n đ ln.
Ví d 1.10: Mt công ty bo him mun xác đnh xác sut đ mt ngi M 25 tui s b
cht trong nm ti, ngi ta theo dõi 100.000 thanh niên và thy rng có 798 ngi b cht trong
vòng 1 nm sau đó. Vy xác sut cn tìm xp x bng 0,008.
Ví d 1.11: Thng kê cho thy tn sut sinh con trai xp x 0,513. Vy xác sut đ bé trai ra
đi ln hn bé gái.
Nhn xét: nh ngha xác sut theo thng kê khc phc đc hn ch ca đnh ngha c
đin, nó hoàn toàn da trên các thí nghim quan sát thc t đ tìm xác sut ca bin c. Tuy nhiên
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

10
đnh ngha thng kê v xác sut cng ch áp dng cho các phép th mà có th lp li đc nhiu
ln mt cách đc lp trong nhng điu kin ging ht nhau. Ngoài ra đ xác đnh mt cách tng
đi chính xác giá tr ca xác sut thì cn tin hành mt s
n đ ln ln các phép th, mà vic này
đôi khi không th làm đc vì hn ch v thi gian và kinh phí.
Ngày nay vi s tr giúp ca công ngh thông tin, ngi ta có th mô phng các phép th
ngu nhiên mà không cn thc hin các phép th trong thc t. iu này cho phép tính xác sut
theo phng pháp thng kê thun tin hn.
1.2.4. nh ngha xác sut theo hình hc
nh ngha 1.3: Gi s không gian mu
Ω
có th biu din tng ng vi mt min nào
đó có din tích (th tích, đ dài) hu hn và bin c
A
tng ng vi mt min con ca
Ω
thì
xác sut ca bin c

A đc đnh ngha:
Ω
=


)(
tÝch diÖn
tÝch diÖn A
AP
.
Ví d 1.12: Hai ngi bn hn gp nhau  mt
đa đim trong khong thi gian t 12h đn 13h. Mi
ngi có th đn đim hn mt cách ngu nhiên ti
mt thi đim trong khong thi gian nói trên và h
quy c rng ai đn trc thì ch đi ngi kia trong
vòng 15 phút. Tính xác sut đ hai ngi gp nhau.
Gii: Gi s
y
x,
là thi đim ngi th nht
và th hai đn đim hn thì
600 ≤≤ x , 600
≤≤ y .
Vy mi cp thi đim đn
);( yx là mt đim
ca hình vuông
[ ]
2
60,0=Ω .
Gi

A là bin c hai ngi gp nhau thì
{ }
15);( ≤−Ω∈= yxyxA
{ }
1515);( +≤≤+−Ω∈= xyxyx
.
16
7
16
9
1
60
45
1


)(
2
2
=−=−=
Ω
=⇒
tÝch diÖn
tÝch diÖn A
AP
.
1.2.6. Các tính cht và đnh lý xác sut
1.2.6.1. Các tính cht ca xác sut
Các đnh ngha trên ca xác sut tho mãn các tính cht sau:
1. Vi mi bin c

A :

1)(0
≤≤ AP . (1.5)
2. Xác sut ca bin c không th bng 0, xác sut ca bin c chc chn bng 1.
() 0, ( ) 1PP
φ =Ω= (1.6)
A
15
60
x
O
15
60
y
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

11
1.2.6.2. Qui tc cng xác sut
a. Trng hp xung khc
Nu
BA, là hai bin c xung khc thì
)()()( BPAPBAP
+=∪ . (1.7)
Tng quát hn, nu
{}
n
AAA ,...,,
21
là dãy các bin c xung khc tng đôi mt thì

∑
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
1
1
)(
∪
. (1.7)’
T công thc (1.6) và (1.7)’ ta có h qu: Nu
{ }
n
AAA ,...,,
21

là mt h đy đ thì

1)(
1
=
∑
=
n
i
i
AP
(1.8)
b. Trng hp tng quát
̇ Nu
BA, là hai bin c bt k thì
)()()()( ABPBPAPBAP
−+=∪ (1.9)
̇ Nu
CBA ,, là ba bin c bt k thì
)()()()()()()()( ABCPCAPBCPABPCPBPAPCBAP +
−−−++=∪∪ (1.9)’
̇ Nu
{}
n
AAA ,...,,
21
là dãy các bin c bt k
)...()1()()()(
21
1

1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=
−+−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑∑

∪

. (1.9)”
Ví d 12: Mt lô hàng có 25% sn phm loi I, 55% sn phm loi II và 20% sn phm loi
III. Sn phm đc cho là đt cht lng nu thuc loi I hoc loi II. Chn ngu nhiên 1 sn
phm tìm xác sut đ sn phm này đt tiêu chun cht lng.
Gii: Gi
321
,, AAA ln lt là bin c sn phm đc chn thuc loi I, II, III. Ba bin c
này xung khc tng đôi mt.
25,0)(
1
=AP , 55,0)(
2
=AP , 20,0)(
3
=AP . Gi A là bin c sn
phm đc chn đt tiêu chun cht lng. Vy
21
AAA ∪
= .
8,055,025,0)()()(
21
=+=+= APAPAP
.
Áp dng công thc (1.8) cho h đy đ
{ }
AA, ta đc quy tc xác sut bin c đi
1.2.6.3. Quy tc xác sut ca bin c đi
Vi mi bin c
A

)(1)( APAP −=
. (1.10)
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

12
1.2.5. Nguyên lý xác sut ln, xác sut nh
Mt bin c không th có xác sut bng 0. Tuy nhiên mt bin c có xác sut bng 0 vn có
th xy ra trong mt s ln các phép th. Qua thc nghim và quan sát thc t, ngi ta thy rng
các bin c có xác sut nh s không xy ra khi ta ch thc hin mt phép th hay mt vài phép
th. T đó ta tha nhn nguyên lý sau đây, gi là “Nguyên lý xác su
t nh”: Nu mt bin c có
xác sut rt nh thì thc t có th cho rng trong mt phép th bin c đó s không xy ra.
Chng hn mi chic máy bay đu có mt xác sut rt nh b xy ra tai nn. Nhng trên
thc t ta vn không t chi đi máy bay vì tin tng rng trong chuyn bay ta đi s kin máy bay
ri không xy ra.
Hi
n nhiên vic quy đnh mt mc xác sut th nào đc gi là nh s ph thuc vào tng
bài toán c th. Chng hn nu xác sut đ máy bay ri là 0,01 thì xác sut đó cha th đc coi
là nh. Song nu xác sut mt chuyn tàu khi hành chm là 0,01 thì có th coi rng xác sut này
là nh.
Mc xác sut nh này đc gi là mc ý ngha. Nu
α
là mc ý ngha thì s
αβ
−= 1 gi
là đ tin cy. Khi da trên nguyên lý xác sut nh ta tuyên b rng: “Bin c
A có xác sut nh
(tc là
α

≤)(AP ) s không xy ra trên thc t” thì đ tin cy ca kt lun trên là
β
. Tính đúng
đn ca kt lun ch xy ra trong
%100
β
⋅ trng hp.
Tng t nh vy ta có th đa ra “Nguyên lý xác sut ln”: “Nu bin c
A có xác sut
gn bng 1 thì trên thc t có th cho rng bin c đó s xy ra trong mt phép th”. Cng nh
trên, vic quy đnh mt mc xác sut th nào đc gi là ln s tùy thuc vào tng bài toán c
th.
1.3. XÁC SUT CÓ IU KIN
1.3.1. nh ngha cà các tính cht ca xác sut có điu kin
Xác sut ca bin c
B đc tính trong điu kin bit rng bin c A đã xy ra đc gi
là xác sut ca
B vi điu kin A . Ký hiu
( )
ABP .
Tính cht
Ü Nu
0)( >AP
thì
()
)(
)(
AP
ABP
ABP =

. (1.11)
Ü Khi c đnh
A vi 0)( >AP thì xác sut có điu kin
( )
ABP có tt c các tính cht
ca xác sut thông thng (công thc (1.5)-(1.10)”) đi vi bin c
B .
Chng hn:

( )
()()( ) ( ) ( )
ABBPABPABPABBPABPABP
212121
,1 −+=∪−= .
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

13
Ví d 13: Gieo đng thi hai con xúc xc cân đi. Tính xác sut đ tng s nt xut hin
trên hai con xúc xc
10≥ bit rng ít nht mt con đã ra nt 5.
Gii: Gi
A là bin c " ít nht mt con ra nt 5".
()
2
511
() 1 1
636
PA P A
⎛⎞
=− =− =

⎜⎟
⎝⎠
.
Gi
B là bin c "tng s nt trên hai con
10≥
"
Bin c
AB
có 3 kt qu thun li là (5,6), (6,5), (5,5).
Vy
()
3
3113
()
36 36 11
36
PAB PBA=⇒ = =
.
1.3.2. Quy tc nhân xác sut
1.3.2.1. Trng hp đc lp:
̇ Nu
BA, là hai bin c đc lp thì

)()()( BPAPABP
= . (1.12)
̇ Nu
{}
n
AAA ,...,,

21
là càc bin c đc lp thì
()( ) ( ) ( )
nn
APAPAPAAAP ......
2121
= . (1.13)
1.3.2.2. Trng hp tng quát:
̇
( )
ABPAPABP )()( = (1.14)
̇
()
()
()
( ) ( )
12 1 2 1 3 12 12 1
... ... ...
nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−
= . (1.15)
Ví d 1.14: Túi I cha 3 bi trng, 7 bi đ, 15 bi xanh.
Túi II cha 10 bi trng, 6 bi đ, 9 bi xanh.
T mi túi ly ngu nhiên 1 bi. Tìm xác sut đ 2 bi đc rút t 2 túi là cùng màu.
Gii: Gi
xđt
AAA ,, ln lt là bin c bi đc rút t túi I là trng, đ, xanh.

xđt

BBB ,, ln lt là bin c bi đc rút t túi II là trng, đ, xanh.
Các bin c
xđt
AAA ,, đc lp vi các bin c
xđt
BBB ,, . Vy xác sut đ 2 bi đc
rút cùng mu là
()( ) ( ) ( )
tt đđ xx tt đđ xx
PAB AB AB PAB PAB PAB∪∪ = + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
tt đđ xx
PA PB PA PB PA PB=+ +

331,0
625
207
25
9
25
15
25
6
25
7
25
10
25

3
≈=++=
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

14
Ví d 1.15: Mt th kho có mt chùm chìa khóa gm 9 chic, b ngoài chúng ging ht
nhau nhng trong đó ch có đúng 2 chic m đc kho. Anh ta th ngu nhiên tng chìa (chìa nào
không trúng thì b ra). Tính xác sut đ m đc kho  ln th ba.
Gii: Ký hiu
i
A là bin c "th đúng chìa  ln th i". Vy xác sut cn tìm là
()()
()
()
123 1 2 1 312
762 1
987 6
PAAA PA PA A PA AA===
.
1.3.3. Công thc xác sut đy đ
nh lý 1.3: Nu
{ }
12
, , ...,
n
AA A là mt h đy đ các bin c. Vi mi bin c B ca
cùng mt phép th, ta có
()
1

() ( )
n
ii
i
PB PA P B A
=
=
∑
(1.16)
1.3.4. Công thc Bayes
nh lý 1.4: Nu
{ }
12
, , ...,
n
A AA là mt h đy đ các bin c. Vi mi bin c B ca
cùng mt phép th sao cho
0)( >BP ta có :
()
( )
()
1
()
()
()
()
kk
k
k
n

ii
i
PA PB A
PAB
PA B
PB
PA PB A
=
==
∑
. (1.17)
Gii thích: Trong thc t các xác sut
{ }
12
( ), ( ), ..., ( )
n
PA PA PA đã bit và đc gi là
các xác sut tin nghim. Sau khi quan sát bit đc bin c
B xy ra, các xác sut ca
k
A đc
tính trên thông tin này (xác sut có điu kin
( )
BAP
k
) đc gi là xác sut hu nghim. Vì vy
công thc Bayes còn đc gi là công thc xác sut hu nghim.
Ví d 1.16: Mt trm ch phát hai tín hiu A và B vi xác sut tng ng 0,85 và 0,15. Do
có nhiu trên đng truyn nên 1/7 tín hiu A b méo và thu đc nh tín hiu B còn 1/8 tín hiu
B b méo và thu đc nh A.

a. Tìm xác sut thu đc tín hiu A.
b. Gi s đã thu đc tín hiu A. Tìm xác sut thu đ
c đúng tín hiu lúc phát.
Gii: Gi là
A bin c "phát tín hiu A" và
B là bin c "phát tín hiu B". Khi đó
{ }
BA,
là h đy đ. Gi là
A
T bin c "thu đc tín hiu A" và là
B
T bin c "thu đc tín hiu B".

() ()
8
1
,
7
1
;15,0)(,85,0)( ==== BTPATPBPAP
AB
.
a. Áp dng công thc xác sut đy đ ta có xác sut thu đc tín hiu A:
()
() ()
7473,0
8
1
15,0

7
6
85,0)()( =×+×=+= BTPBPATPAPTP
AAA
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

15
b. Áp dng công thc Bayes ta có
()
()
()
975,0
7473,0
7
6
85,0
)(
=
×
==
A
A
A
TP
ATPAP
TAP
.
Ví d 1.17: Ngi ta dùng mt thit b đ kim tra mt loi sn phm nhm xác đnh sn
phm có đt yêu cu không. Bit rng sn phm có t l ph phm là

%p . Thit b có kh nng
phát hin đúng sn phm là ph phm vi xác sut
α
và phát hin đúng sn phm đt cht lng
vi xác sut
β
. Kim tra ngu nhiên mt sn phm, tìm xác sut sao cho sn phm này:
a. c kt lun là ph phm (bin c
A ).
b. c kt lun là đt cht lng thì li là ph phm.
c. c kt lun đúng vi thc cht ca nó.
Gii: Gi H là bin c “sn phm đc chn là ph phm”. Theo gi thit ta có:
()
()
() , ,PH p P AH P A H
α β
== =.
a. Áp dng công thc đy đ cho h đy đ
{ }
,HH ta có:
()
( ) ( )
() ( ) (1 )(1 )PA PHP AH PH P AH p p
α β
= +=+−−.
b.
()
()
()
(1 )

(1 ) (1 )
PHA
p
PH A
p p
PA
α
α β
−
==
−+−
.
c.
()
( )
( )
( )
( )
() (1 )PAHPAH PHPAHPHPAH p p
α β
+= + =+−.
1.4. DÃY PHÉP TH BERNOULLI
Dãy các phép th lp li, đc lp, trong mi phép th ch có 2 kt cc:
A ,
A
và xác sut
xut hin ca bin c
A không đi )10(,)(
<<= ppAP đc gi là dãy phép th Bernoulli.
p là xác sut thành công trong mi ln th.

Kí hiu
k
H là bin c "
A xut hin ra đúng k ln trong n phép th".
t
)();(
kn
HPpkP = .
nh lý 1.1:
nkppCpkP
knkk
nn
,...,1,0;)1();( =−=
−
. (1.18)
Chng minh:
k
H là tng ca
k
n
C các bin c xung khc tng đôi nhn đc bng cách
hoán v các ch
A và A trong bin c tích sau:


lÇn lÇn knk
AAAA
−
......
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

16
Mi bin c này có xác sut
knk
knk
ppAAAAP
−
−
−= )1()......(

lÇn lÇn
.
Vy
knkk
nn
ppCpkP
−
−= )1();( .
nh lý 1.2:
(i).
);1(
)1(
);( pkP
kq
pkn
pkP
nn
−
+−
=

(1.19)
(ii). Khi
k tng t 0 đn n thì );( pkP
n
mi đu tng sau đó gim và đt giá tr ln nht
ti
mk = tho mãn:
pnmpn )1(1)1(
+≤≤−+ (1.20)
Nh vy,
̇ Khi
pn )1( + không nguyên thì
[ ]
pnm )1( += (là phn nguyên ca pn )1( + ).
̇ Khi
pn )1( + nguyên thì 1)1(
−+= pnm hoc pnm )1( +=

);();1(
max
pmPpmPP
nn
=−= (1.20)’
Chng minh:
kq
pkn
qp
knk
n
qp

knk
n
pkP
pkP
knk
knk
n
n
)1(
)!1()!1(
!
)!(!
!
);1(
);(
11
+−
=
+−−
−
=
−
+−−
−
, t đó có (1.19).
(1.19)
pkn
pk
pkP
pkP

n
n
)(
)1)(1(
);1(
);(
−
−+
=
+
⇒
. Do đó
pnk
pkP
pkP
n
n
)1(11
);1(
);(
+<+⇔<
+
.
Vy
);1();( pkPpkP
nn
+< khi 1)1( −+< pnk

⇒ );();( pmPpkP
nn

< ∀ 1)1( −+< pnk .
và
);1();( pkPpkP
nn
+> khi pnk )1( +≥

⇒ );();( pmPpkP
nn
< ∀ pnk )1( +> ,
trong đó
m là s t nhiên tha mãn pnmpn )1(1)1(
+≤≤−+ .
Khi
pnm )1( += thì
()
1
1)1(
)1)(1(
);(
);1(
=
++−
−+
=
−
ppnn
ppn
pmP
pmP
n

n

);();1( pmPpmP
nn
=−⇒ .
nh ngha 1.1:
m xác đnh bi công thc (1.20) hoc (1.20)’ đc gi là giá tr chc
chn nht ca s thành công hay giá tr có kh nng xy ra ln nht.
);( pmP
n
là s hng trung
tâm ca phân b nh thc.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

17
Ví d 1.19: Tín hiu thông tin đc phát đi 3 ln đc lp nhau. Xác sut thu đc mi ln là
0.4.
a) Tìm xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đúng 2 ln.
b) Tìm xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đó.
c) Nu mun xác sut thu đc tin
9,0≥ thì phi phát đi ít nht bao nhiêu ln.
Gii: Có th xem mi ln phát tin là mt phép th Bernoulli mà s thành công ca phép th
là ngun thu nhn đc tin, theo gi thit xác sut thành công ca mI ln th là 0,4. Vy:
a) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đúng 2 ln là
( ) ( )
288,06,04,0)4,0;3(
2
2
32
== CP .

b) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin là
( )
784,06,01
3
=−=P .
c) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin khi phát
n
ln là
()
n
P 6,01−= .
Vy nu mun xác sut thu đc tin
9,0≥
thì phi phát đi ít nht n ln sao cho:
() ()
( )
()
504,4
778,01
1
6,0lg
1,0lg
1,06,09,06,01 =
=−
−
=≥⇔≤⇔≥− n
nn
. Chn 5=n .
TÓM TT
Phép th

Trong thc t ta thng gp nhiu thí nghim, quan sát mà các kt qu ca nó không th d
báo trc đc. Ta gi chúng là các phép th ngu nhiên. Mi kt qu ca phép th
C đc gi
là mt bin c s cp. Tp hp tt c các bin c s cp ca phép th đc gi là không gian mu,
ký hiu
Ω .
Bin c
Mi bin c
A đc đng nht vi mt tp con ca không gian mu Ω bao gm các kt
qu thun li đi vi
A .
Xác sut
Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó
khi thc hin phép th.
nh ngha c đin v xác sut
Xác sut ca bin c
A
là
thÓ cã hîptr−êng sè
víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A
AP
đ
)( =

nh ngha thng kê v xác sut
Xác sut ca bin c
A là
n
Ak
AfAP

n
n
)(
)()( =≈
trong đó )(Ak
n
s ln xut hin bin
c
A trong n phép th.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

18
Nguyên lý xác sut nh
Nu mt bin c có xác sut rt nh thì thc t có th cho rng trong mt phép th bin c
đó s không xy ra.
Nguyên lý xác sut ln
Nu bin c A có xác sut gn bng 1 thì trên thc t có th cho rng bin c đó s xy ra
trong mt phép th.
Quan h kéo theo
Bin c A kéo theo bin c B , ký hiu BA ⊂ , nu A xy ra thì B xy ra.
Quan h bin c đi

A
là bin c đi ca A . A xy ra khi và ch khi
A
không xy ra.
Tng ca hai bin c
Bin c
BA ∪ tng ca hai bin c BA, xy ra khi và ch khi có ít nht A hoc B xy ra.
Bin c tng

∪
n
i
i
A
1=
ca mt dãy các bin c
{ }
n
AAA ,...,,
21
xy ra khi có ít nht mt trong
các bin c
i
A xy ra.
Tích ca hai bin c
Bin c
AB ca hai bin c BA, xy ra khi và ch khi c hai bin c A , B cùng xy ra.
Bin c tích
∏
=
n
i
i
A
1
ca dãy các bin c
{ }
n
AAA ,...,,

21
xy ra khi tt c các bin c
i
A
cùng xy ra.
Bin c xung khc
Hai bin s
BA, gi là xung khc nu AB là bin c không th.
H đy đ các bin c
Dãy các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là mt h đy đ các bin c nu chúng xung khc
tng đôi mt và tng ca chúng là bin c chc chc.
Tính đc lp ca các bin c
Hai bin c
A và B đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c
này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia.
Tng quát các bin c
n
AAA ,...,,
21
đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra
ca mt nhóm bt k
k bin c, trong đó nk
≤≤1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay
không xy ra ca các bin c còn li.
Qui tc cng
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

19
Trng hp xung khc: )()()( BPAPBAP +=∪ ;
∑
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
1
1
)(
∪
.
Trng hp tng quát
)()()()( ABPBPAPBAP
−+=∪

)()()()()()()()( ABCPCAPBCPABPCPBPAPCBAP +
−−−++=∪∪
)...()1()()()(
21
1
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=
−+−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
∑∑∑

∪
.
Quy tc xác sut ca bin c đi

)(1)( APAP −= .
Xác sut có điu kin
Xác sut ca bin c
B đc tính trong điu kin bit rng bin c A đã xy ra đc gi là
xác sut ca
B
vi điu kin
A
, ký hiu
( )
ABP .
Quy tc nhân
Trng hp đc lp:
)()()( BPAPABP = .
( ) ( ) ( ) ( )
nn
APAPAPAAAP ......
2121
= .
Trng hp không đc lp:
()
ABPAPABP )()( = ;

()
()
( )
( ) ( )
12 1 2 1 3 12 12 1
... ... ...
nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−
= .
Công thc xác sut đy đ
Gi s
{ }
12
, , ...,
n
AA A là mt h đy đ . Vi mi bin c B ta có:
()
1
() ( )
n
ii
i
PB PA P B A
=
=
∑
.
Công thc Bayes
Nu

{ }
12
, , ...,
n
AA A là mt h đy đ và vi mi bin c
B
sao cho
0)( >BP
ta có :
()
( )
()
1
()
()
()
()
kk
k
k
n
ii
i
PA PB A
PAB
PA B
PB
PA PB A
=
==

∑
.
Dãy phép th Bernoulli
Dãy các phép th lp li, đc lp, trong mi phép th ch có 2 kt cc:
A ,
A
và xác sut
xut hin ca bin c
A không đi )10(,)( <<= ppAP đc gi là dãy phép th Bernoulli.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

20
Khi
[]
pnm )1( +=
thì
mnmm
nn
ppCpmP
−
−= )1();( đt giá tr ln nht. Gi m là giá tr
có kh nng xy ra ln nht ca dãy phép th Bernoulli.
CÂU HI ÔN TP VÀ BÀI TP
1.1 Ta có th có hai không gian mu
Ω các bin c s cp cho cùng mt phép th C ?
úng Sai .
1.2 Các bin c
A
và BA∪ là xung khc.
úng Sai .

1.3 Hai bin c
A và
B xung khc thì )()()( BPAPBAP +=∪ .
úng Sai .
1.4 Thông tin liên quan đn vic xut hin bin c
B làm tng xác sut ca bin c A , tc là
)()( APBAP ≥ ?
úng Sai .
1.5 Hai bin c xung khc là hai bin c đc lp.
úng Sai .
1.6 Các bin c đi ca hai bin c đc lp cng là đc lp.
úng Sai .
1.7 Xác sut ca tng hai bin c đc lp bng tng xác sut ca hai bin c này.
úng Sai .
1.8 Xác sut ca tích 2 bin c xung khc bng tích 2 xác sut.
úng Sai .
1.9
H 2 bin c
{ }
AA, là h đy đ.
úng Sai .
1.10 Cho
{}
dcba ,,,=Ω trong đó các bin c s cp là đng kh nng. Bin c
{ }
baA ,= và
{}
caB ,=
là ph thuc vì chúng cùng xy ra khi bin c s cp a xy ra.
úng Sai .

1.11 Trong mt hòm đng 10 chi tit đt tiêu chun và 5 chi tit là ph phm. Ly đng thi 3
chi tit. Tính xác sut:
a) C 3 chi tit ly ra thuc loi đt tiêu chun.
b) Trong s 3 chi tit ly ra có 2 chi tit đt tiêu chun.
1.12 Thang máy ca mt tòa nhà 7 tng xut phát t tng mt vi 3 khách. Tìm xác sut đ:
a) Tt c cùng ra  t
ng bn.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

21
b) Tt c cùng ra  mt tng
c) Mi ngi ra mt tng khác nhau.
1.13 Mt ngi gi đin thoi cho bn nhng li quên mt 3 ch s cui và ch nh rng chúng
khác nhau. Tìm xác sut đ ngi đó quay s mt ln đc đúng s đin thoi ca bn.
1.14 Ta kim tra theo th t mt lô hàng có 10 s
n phm. Mi sn phm thuc mt trong hai loi:
Tt hoc Xu. Ký hiu
k
A (
10,1=k ) là bin c ch sn phm kim tra th k thuc loi xu.
Biu din các bin c sau theo
k
A :
a) C 10 sn phm đu xu.
b) Có ít nht mt sn phm xu.
c) Có 6 sn phm kim tra đu là tt, các sn phm còn li là xu.
d) Có 6 sn phm kim tra đu là xu.
1.15 Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu. Kh nng bn trúng ca tng ngi là 0,8 và 0,9.
Tìm xác sut:
a) Ch có mt ngi bn trúng mc tiêu.

b)
Có ngi bn trúng mc tiêu.
c) C hai ngi bn trt.
1.16 C cu cht lng sn phm ca nhà máy nh sau: 40% sn phm là loi I, 50% sn phm là
loi II, còn li là ph phm. Ly ngu nhiên mt sn phm ca nhà máy. Tính xác sut sn
phm ly ra là ph phm.
1.17 Có 1000 vé s trong đó có 20 vé trúng thng. Mt ngi mua 30 vé, tìm xác sut đ ngi
đó trúng 5 vé.
1.18  đc nhp kho, sn phm ca nhà máy phi qua 3 vòng kim tra cht lng đc lp nhau.
Xác sut phát hin ra ph phm  các vòng ln lt theo th t là 0,8; 0,9 và 0,99. Tính xác
sut ph phm đc nhp kho.
1.19 Mt th kho có mt chùm chìa khóa gm 9 chic trông ging ht nhau trong đó ch có mt
chic m đc kho. Anh ta th ngu nhiên tng chìa khóa mt, chic nào đc th
 thì không
th li. Tính xác sut anh ta m đc ca  ln th th 4.
1.20 Mt lô hàng có 9 sn phm. Mi ln kim tra cht lng ly ngu nhiên 3 sn phm. Sau
khi kim tra xong tr li vào lô hàng. Tính xác sut đ sau 3 ln kim tra lô hàng, tt c các
sn phm đu đc kim tra.
1.21 Mt nhà máy ôtô có ba phân xng I, II, III cùng sn xut ra mt loi pít-tông. Phân xng
I, II, III sn xu
t tng ng 36%, 34%, 30% sn lng ca nhà máy, vi t l ph phm
tng ng là 0,12; 0,1; 0,08.
a) Tìm t l ph phm chung ca nhà máy.
b) Ly ngu nhiên mt sn phm kim tra và đc sn phm là ph phm. Tính xác sut đ
ph phm đó là do phân xng I, II, III sn xut.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

22
1.22 Có bn nhóm x th tp bn. Nhóm th nht có 5 ngi, nhóm th hai có 7 ngi, nhóm th
ba có 4 ngi và nhóm th t có 2 ngi. Xác sut bn trúng đích ca mi ngi trong nhóm

th nht, nhóm th hai, nhóm th ba và nhóm th t theo th t là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chn
ngu nhiên mt x th và bit rng x th này bn trt. Hãy xác đnh xem x th này có kh
nng  trong nhóm nào nht.
1.23 Bn hai ln đc lp vi nhau mi ln mt viên đn vào cùng mt bia. Xác sut trúng đích ca
viên đn th nht là
7,0 và ca viên đn th hai là 4,0 . Tìm xác sut đ ch có mt viên đn
trúng bia (bin c A). Sau khi bn, quan trc viên báo có mt vt đn  bia. Tìm xác sut đ
vt đn đó là vt đn ca viên đn th nht.
1.24 Mt nhà máy sn xut mt chi tit ca đin thoi di đng có t l sn phm đt tiêu chun
cht lng là 85%. Trc khi xut xng ngi ta dùng mt thi
t b kim tra đ kt lun sn
phm có đt yêu cu cht lng hay không. Thit b có kh nng phát hin đúng sn phm đt
tiêu chun vi xác sut là 0,9 và phát hin đúng sn phm không đt tiêu chun vi xác sut
là 0,95. Tìm xác sut đ 1 sn phm đc chn ngu nhiên sau khi kim tra:
a) c kt lun là đt tiêu chun.
b) c kt lu
n là đt tiêu chun thì li không đt tiêu chun.
c) c kt lun đúng vi thc cht ca nó.


Chng 2: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng


23
CHNG II: BIN NGU NHIÊN VÀ CÁC C
TRNG CA CHÚNG
PHN GII THIU
Trong chng này ta kho sát các bin c gn vi các giá tr nào đó, khi các giá tr này thay
đi ta đc các bin ngu nhiên.
Khái nim bin ngu nhiên (còn đc gi là đi lng ngu nhiên) và các đc trng ca

chúng là nhng khái nim rt quan trng ca lý thuyt xác sut.
i vi bin ngu nhiên ta ch quan tâm đn vn đ biên ngu nhiên này nhn mt giá tr
nào đó hoc nhn giá tr trong mt kho
ng nào đó vi xác sut bao nhiêu. Nói cách khác biên
ngu nhiên
X có th đc kho sát thông qua hàm phân b xác sut ca nó
{ }
()F xPXx=<
.
Nh vy khi ta bit qui lut phân b xác sut ca mt bin ngu nhiên thì ta đã nm đc toàn b
thông tin v bin ngu nhiên này.
Khi bin ngu nhiên ch nhn các giá tr ri rc thì hàm phân b xác sut hoàn toàn đc
xác đnh bi bng phân b xác sut, đó là bng ghi các giá tr mà bin ngu nhiên nhn vi xác
sut tng ng. Khi bin ngu nhiên nhn giá tr liên tc thì hàm phân b
xác sut đc xác đnh
bi hàm mt đ xác sut.
Ngoài phng pháp s dng hàm phân b đ xác đnh bin ngu nhiên, trong nhiu trng
hp bài toán ch đòi hi cn kho sát nhng đc trng c bn ca bin ngu nhiên.
Các đc trng ca bin ngu nhiên đc chia thành hai loi sau:
¬ Các đc trng cho v trí trung tâm ca bin ngu nhiên nh: K v
ng, Trung v, Mt.
¬ Các đc trng cho đ phân tán ca bin ngu nhiên nh: Phng sai,  lch chun, H
s bin thiên, H s bt đi xng và H s nhn.
Trong các bài toán thc t k vng đc s dng di dng li nhun k vng còn phng
sai đ tính mc đ ri ro ca quyt đnh. Trong k thut
đ lch chun biu din sai s ca phép
đo.
Trong chng này ta xét các quy lut phân b xác sut quan trng sau:
- Quy lut nh thc, quy lut này thng gp trong dãy phép th Bernoulli.
- Quy lut Poisson, quy lut này thng gp trong bài toán v quá trình đm s xut

hin bin c A nào đó. Quá trình đn ca các h phc v.
- Quy lut phân b đu, quy lut phân b đu trên mt đon là quy lut phân b xác sut
ca bin ngu nhiên liên tc đng kh nng ly giá tr trong khong đó. Quy lut phân
b đu có ng dng rng trong thng kê toán. Nó có ý ngha to ln trong các bài toán
s dng phng pháp phi tham s.