Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HP


1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách :
==

−
kk
nn
n!
A,A
(n k)!
k
nk
C.P

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7. Tam giác Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3

2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

Tính chất :

k
1n
k
n

1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nhò thức Newton :

*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC...baCbaC)ba( +++=+
−
a = b = 1 : ...

01 n
nn n
CC...C2+++=
n
Với a, b
∈
{
±
1,
±
2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C,...,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC...xaCaC)xa( +++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách :

n
n
1
n
0
n
C,...,C,C
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x =
±
1,
±
2, ... a =
±
1,
±
2, ...
TRANG 1
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x =
±
1,
±
2, ... , a =
±
1,
±
2, ...
- Cho a =
±

1,
±
2, ..., hay
∫∫
±± 2
0
1
0
...hay
β
α
∫

Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
knkk m
n
Ca b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

mr
knkk
pq

n
Ca b Kc d
−
=

Giải hệ pt :
⎩
⎨
⎧
∈
∈
Zq/r
Z
p/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n
∈
N
...C,A
k
n
k
n
*
..., k
≤
n. Cần biết đơn
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế :
a + b = c
⇔
a = c – b; ab = c
⇔

⎢
⎢
⎣
⎡
⎩

⎨
⎧
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c
⇔
;
⎩
⎨
⎧
≠
=
0b
bca
1n2
1n2
baba
+
+
=⇔=

TRANG 2

2n
2n
2n 2n

b a
aba b, ab
a0
⎧
=
=⇔=± = ⇔
⎨
≥
⎩


⎩
⎨
⎧
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba


⎩
⎨
⎧
>

<
⎩
⎨
⎧
<
>
>
=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba

2. Giao nghiệm :


⎩
⎨
⎧
<⇔
<
<
⎩
⎨
⎧
>⇔
>

>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax

⎧
⎨
Γ
⎧
>∨
<< <
⎧
⎩
⇔⇔
⎨⎨
<Γ
≥
⎧
⎩
⎩
⎨
Γ
⎩
p
xa pq
axb(nếuab)
;

xb
VN(nếua b)
q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.

⎩
⎨
⎧
≤≤
≥
⎩
⎨
⎧
⇔≤
=
≥
⇔=
22
ba0
0b
ba,
ba
0b
ba


⎩

⎨
⎧
≥
≥
⎩
⎨
⎧
∨
≥
<
⇔≥
2
ba
0b
0a
0b
ba


)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=

b.
.
: phá
.

bằng cách bình phương :
2
2
aa =
hay bằng đònh nghóa :

)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
=


baba;
ba
0b
ba ±=⇔=
⎩
⎨
⎧
±=
≥
⇔=


ab b a ≤⇔− ≤ ≤b


b0

a b b 0hay
aba
≥
⎧
≥⇔ <
⎨
≤− ∨ ≥
⎩
b


0baba
22
≤−⇔≤

c. Mũ :
.1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
TRANG 3

0m/n mmnmn
n
mn mn mn m.n nn n
nn n m n
a1;a 1/a;a.aa
a/a a ;(a) a ;a/b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
−+
−

== =
===
==⇔=<≠∨


α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa

d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a
≠
1, y
∈
R
y
↑
nếu a > 1, y
↓
nếu 0 < a < 1,

α
= log
a
a
α
log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (
⇐
)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (
⇐
)

2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(

⇒
)
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a
α
=
α

log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N
⇔
M = N

aa
0MN(nếua1)
logM logN
MN0(nếu0a1
<< >
<⇔
>> <<
)

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt
a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t =
f
(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác đònh của
f
.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x
2

= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
TRANG 4
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0
g

Biết S, P thỏa S
2
– 4P ≥ 0, tìm x

1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P = 0
* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x
1
< 0 < x
2
⇔ P < 0, 0 < x
1
< x
2
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
x
1

< x
2
< 0 ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
>Δ
0S
0P
0
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔ ; x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<α

>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
1
< x
2
< α ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
α<
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <
⎧
⎪

α >
⎨
⎪
α<β
⎩
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(
f.a

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1

+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x

1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :

• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
>Δ
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
∨
⎩
⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
()
Δ

⎧
Δ
⎨
α
⎩
= 0
< 0hay
f =
0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
TRANG 5
3 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

2 nghiệm ⇔
⎩
⎨

⎧
=
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

1 nghiệm ⇔ Δ
y'
≤ 0 ∨
⎩
⎨
⎧
>
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
⎩
⎨
⎧
=
>Δ
0y
0

uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'
CĐ CT
CĐ
0

y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α<
⎪
⎪
α<
⎩

α
x
1
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
<α
>α
<
>Δ
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α
x
1
x
x
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
α<
<α
<
>Δ
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α

x
1
x
x
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'
CĐ CT
CT
0

y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α>
⎪
⎪
<α
⎩

α

x
1
x
x
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
TRANG 6

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
⎩
⎨

⎧
>Δ
≠α
0
0)(f
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
⎩
⎨
⎧
=α
>
Δ
0)(f
0
0)(f
0

Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=α
=Δ
0)(f
0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.

9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
⎩
⎨
⎧
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t

4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P

0
⎩
⎨
⎧
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
>
=Δ
<
02/S
0
0P
⎩
⎨
⎧
=
=Δ
⎩
⎨
⎧
<
=
02/S
0

0S
0P

VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
≥Δ
0S
0P
0
0
0
P
S
⎧
⎪
>
⎨
⎪
<
⎩

4 nghiệm CSC ⇔
⎩
⎨

⎧
=
<<
12
21
t3t
tt0

Giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +

x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t ≥

c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=
, t ∈ R.

TRANG 7
10. Hệ phương trình bậc 1 :
⎩
⎨
⎧
=+
=+
'cy'bx'a
cb
yax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a

a

D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?

Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :

⎩
⎨
⎧
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :

* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.

* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d

15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
TRANG 8

Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x
∈
I :

Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC

+
2π
0
2−π


1. Đường tròn lượng giác :

Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
2−π

2π
0

Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
α

0
A
x+k2
π
M
x = α +
n
k2 π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
trên đường tròn lượng giác.

2. Hàm số lượng giác :

3. Cung liên kết :

* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos
đối, tg cotg hiệu π).
cotg
chiếu xuyên tâm
t
g
M
cos
chiếu
⊥
sin
M
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :

a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
f. Đưa về
2
a
tgt =

: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.

TRANG 9
5. Phương trình cơ bản :
sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos :
asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c

2
* Chia 2 vế cho
22
ba +
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt =
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t1
2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
42
π −
⎛⎞
+−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

8. Phương trình chứa
⏐
sinu + cosu
⏐
và sinu.cosu :

Đặt :
2
1
202
42
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=+ = + ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :

Đặt :
π −
⎛⎞
=− = −−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠
2
1t
t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
42

10. Phương trình chứa
⏐
sinu – cosu

⏐
và sinu.cosu :

Đặt :
2
1
202
42
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=−= − ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos

3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
TRANG 10
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*

⎩
⎨
⎧
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
*
⎩

⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔
⎩
⎨
⎧
−=
−=
∨
⎩
⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=

∨
⎩
⎨
⎧
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình :
Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
⎩
⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)
y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=−
=+
byx

a
yx

b. Dạng 2 :
⎩
⎨
⎧
=±
=
nyx
m)
y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành
+.
c. Dạng 3 :
⎩
⎨
⎧
=±
=
nyx
m)
y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d

c
b
a
−
−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán
Δ
:

* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
TRANG 11