Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức.
Chuyên đề : Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để
chứng minh bất đẳng thức.
ANội dung:
Cho hai bộ n số
Xét tất cả các tổng có dạng:
S =
Trong đó là một hoán vị nào đó của các số là một hoán vị nào đó của các
số: 1,2,3,…,n.
Nhận xét rằng số các tổng như vậy là hữu hạn và ta luôn có:
Chứng minh:
Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho (*)
• Với n=1: (*) luôn đúng.
• Giả sử (*) đúng đến n=k-1; ; . Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là (2).
• Xét (*) khi n=k và cũng gọi là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3,…,k. Đồng
thời giả sử =1 mà bài toán không mất tính tổng quát, ta được:
Nhưng:
Do theo giả thiết quy nạp (2) mà (*) đã đúng đến n=k-1, nên:
Suy ra (*) đúng với n=k
Theo nguyên lí quy nạp thì (*) được chứng minh xong.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trường hợp của (1), chứng minh tương tự.
Vậy (1) được chứng minh hoàn toàn.
Áp dụng: Cơ sở của phương pháp cực trị bộ n số sắp thứ tự cần thực hiện hai bước cơ
bản:
Bước1: Tuỳ theo giả thiết bài toán BĐT, ta thiết lập hai dãy tăng gọi là phương pháp
thuận
Bước2: Áp dụng nguyên lý cực trị của hai bộ n sắp thứ tự để suy ra yêu cầu bài toán.
Ghi chú: Khi sử dụng hai dãy một tăng một giảm gọi là phương pháp nghịch, cũng suy
ra yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Phương pháp cực trị hai bộ n số sắp thứ tự được sử dụng để chứng minh các

bất đẳng thức khi trong giả thiết và kết luận của bài toán, vai trò của các số là như nhau
qua một phép hoán vị vòng quanh.

B Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho 3 số dương bất kỳ a, b, c. Chứng minh rằng:
BG:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử :, khi đó ta có:
Xét hai bộ 3:
Theo phương pháp cực trị hai bộ 3 sắp thứ tự thì tổng nhỏ nhất là
Và
Tóm lại
=>
Ta được đpcm

Bài tập tự luyện:
1/ Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR :

(BĐT thức Nesbit)
2/ Cho a, b, c là 3 số dương bất kỳ. CMR :

3/ Cho n số thực không âm : CMR :

(BĐT thức Côsi)
4/ Cho các số thực dương thoả mãn :
CMR :