luận văn PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN HÖLDER

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN NGỌC HẢI

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN
HÖLDER


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2010
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN NGỌC HẢI


PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN
HÖLDER
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng


HÀ NỘI, 2010

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả luận văn là trung thực, chưa được công bố trong
các công trình nghiên cứu nào khác.

Hà nội, ngày

tháng

Đoàn Ngọc Hải

năm


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hưỡng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng,
người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình
thực hiện luận văn.


Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy
giáo, cô giáo của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong xuất quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nhà Trường THPT Minh Quang –
Chiêm Hóa – Tuyên Quang, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu.

Hà Nội, ngày

tháng

Đoàn Ngọc Hải

năm


Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mở đầu
Chương 1: Phương trình Elliptic với các hệ số hằng trên ¡

d

1.1 Toán tử Elliptic.
1.2 Tính giải được của phương trình Elliptic và biểu diễn Green
1.3

Các hàm Green như các giới hạn các hàm thông thường

1.4 Các hàm số Green như các hàm thông thường.
1.5 Tính khả vi của các hàm Green
1.6 Một vài tính chất của các nghiệm của Lu=f.
1.7

Một số thông tin trên hàm Green

Chương 2: Phương trình Laplace
2.1

Các công thức Green

2.2

Công thức Poisson

2.3 Các hàm Green trong các miền
2.4 Hàm Green và nhân Poisson trong hình cầu


2.5 Một vài tính chất của hàm điều hòa
2.6 Nguyên lý cực đại
2.7 Phương trình Poisson trong hình cầu
2.8 Toán tử Elliptic cấp hai với các hệ số hằng
2.9 Nguyên lý cực đại cho các phương trình cấp hai với hệ số biến
thiên
Chương 3: Tính giải được của các phương trình Elliptic trên không gian
Hölder
3.1 Không gian Hölder
3.2 Bất đẳng thức nội suy
3. 3 Chuẩn tương đương trong các không gian Hölder.
3.4 Đánh giá tiên nghiệm trong cả không gian đối với toán tử
Laplace
3.5 Một đánh giá cho các đạo hàm của các hàm L điều hòa.
3.6 Đánh giá tiên nghiệm trong cả không gian đối với toán tử Elliptic
tổng quát
3.7 Tính giải được của các phương trình Elliptic với các hệ số hằng.

Chương 4: Phương trình Elliptic với các hệ số biến thiên trên ¡

d

4.1 Đánh giá tiên nghiệm của Schauder
4.2 Lu càng chính quy thì u càng chính quy
4.3 Tính giải được của các phương trình Elliptic cấp hai với các hệ
số biến thiên. Phương pháp liên tục


4.4 Phương trình cấp hai

Lu − zu = f với z phức

4.5 Tính giải được của các phương trình Elliptic bậc cao với các hệ
số biến thiên.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Elliptic nói chung, phương trình Laplace Poison nói
riêng là một trong những lớp phương trình có vai trò rất quan trọng trong
thực tiễn. Loại phương trình này đã dành được rất nhiều quan tâm của
các nhà toán học trong nước cũng như trên thế giới. Trong chương trình
học ở bậc đại học cũng như cao học, tôi đã được nghiên cứu nghiệm cổ

điển, nghiệm suy rộng của lớp phương trình này. Việc mở rộng nghiên
cứu phương trình này trong một số không gian khác là một vấn đề có ý
nghĩa quan trọng. Trong luận văn này tôi đã chọn đề tài: “ Phương trình
Elliptic trong không gian Hölder”.

2. Mục đích nghiên cứu


Nghiên cứu một số tính chất nghiệm của phương trình Elliptic trong
không gian Hölder.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phương trình Elliptic với các hệ số hằng trong ¡ d ,
Phương trình Laplace,
Tính giải được của các phương trình Elliptic với các hệ số hằng trong
không gian Hölder,
Phương trình Elliptic với các hệ số biến thiên trong ¡ d .

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian Hölder,
Nghiệm của phương trình Elliptic trong không gian Hölder.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của giải tích hàm, phương
trình đạo hàm riêng để nghiên cứu phương trình Elliptic trong không gian
Hölder.

6. Giả thiết khoa học
Trình bày hệ thống các vấn đề nghiên cứu,
Chi tiết hóa các chứng minh trong tài liệu,

Chứng minh một số tính chất cụ thể của nghiệm.

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC HỆ SỐ HẰNG TRÊN ¡

d

1.1 Toán tử Elliptic.
Cho ¡ d là không gian Euclide d chiều. Mỗi bộ α = (α1 ,..., α d ) các số
nguyên không âm, được gọi là một đa chỉ số. Với một đa chỉ số α và
ξ = (ξ 1 ,..., ξ d ) ∈ ¡ d , kí hiệu:
Dk =

∂
, α = α1 + ... + α d , Dα = D1α1 ...Ddαd , ξ α = (ξ 1 )α1 ...(ξ d )αd .
∂x k

Định nghĩa 1.1.1: Cho m ≥ 1 là một số nguyên và aα ∈ £ là các số đã
α α
cho ứng với mỗi đa chỉ số α có α ≤ m . Toán tử L = ∑ α ≤ m a D được gọi là

Elliptic (cấp m ) nếu
aα ξ α ≠ 0
∑
α
=m

d
với ∀ξ ∈ ¡ \ { 0} ,

∑a

α ≤m

α α

i ξ α ≠ 0 với ∀ξ ∈ ¡ d .

α α α
Đa thức P(ξ ) = ∑ α ≤m a i ξ được gọi là đa thức đặc trưng của L . Toán

tử

aα Dα
∑
được gọi là phần chính của
α
=m

L.


Giả sử g ( x ) là hàm số đã cho trên ¡ d , ta định nghĩa phép biến đổi
Fourier của g là F ( g ) = g%xác định bởi
F ( g )(ξ ) = g%
(ξ ) = cd ∫ d e − ixξ g ( x) dx, cd =
¡

1

(2π )

d

2

.

Dưới đây là một số tính chất đơn giản, cần thiết của phép biến đổi
∞
Fourier. Kí hiệu C0 ( ¡

d

)

là không gian của các hàm khả vi vô hạn trên ¡

d

với giá compact. Khi đó:
Nếu g ∈ C0α (¡ d ) thì g%xác định và bị chặn, hơn nữa với đa chỉ số α ta
có
α

i ξ α g%
(ξ ) = F ( Dα g )(ξ ) ,
−η
điều này cho thấy, g%→ 0 nhanh hơn ξ với ∀η > 0 khi ξ → ∞ .

Nếu g%có thể được xác định với mọi hàm số g ∈ L2 (¡ d ) sao cho
g%∈ L2 (¡ d ) và ∀f , g ∈ L2 ( ¡ d ) hằng đẳng thức parseval đúng

∫

¡

∫

fgdx =

d

¡

d

%ξ .
f%
gd

Nếu ∀g ∈ L2 (¡ d ) ta có
g ( x) = cd

∫e

¡

ixξ

g%
(ξ )d ξ

d

hầu khắp nơi khi vế phải được hiểu trong nghĩa L2 .
% = p (ξ ) g%. Thật vậy
Nhận xét 1.1.2: Ta có P(ξ ) = e−ixξ Leixξ . Từ đây có Lg

một cách hình thức sử dụng tích phân từng phần, toán tử
L* :=

∑a

α ≤m

α

( −1) α Dα ,

được gọi là toán tử liên hợp hình thức với L , và tính chất L*e−ixξ = p(ξ )e −ixξ ta
có


%(ξ ) = c
Lg
d

∫e

¡

− ixξ

Lg ( x)dx = cd

d

∫ g ( x) L e

* − ixξ

¡

d

dx = p (ξ )cd

∫e

¡

− ixξ

g ( x )dx = p ( ξ ) g%

.

d

Ví dụ 1.1.3: Đa thức đặc trưng của toán tử Laplace
∂2
∂2
∆=
+ ... +
(∂x1 ) 2
(∂x d ) 2
2
Là P ( ξ ) = − ξ . Ta thấy P ( ξ ) = 0 khi ξ = 0 . Do đó ∆ không phải là một toán

tử Elliptic theo định nghĩa trên.
Sau này ta sẽ đưa ra định nghĩa (Ví dụ 1.3.4) toán tử Elliptic thuần nhất,
khái niệm đó bao gồm cả toán tử Laplace. Chú ý rằng các toán tử Elliptic ở
đây cũng là Elliptic theo nghĩa rộng hơn trong cuốn sách của L. Bes, F. John
and M. Schechter[2]. Trong cuốn sách này ta có thể tìm thấy Elliptic mạnh
và Elliptic thực chặt.
Tiện lợi của định nghĩa trên ta có thể thấy khi ta cố gắng giải phương
trình
Lu = f trong cả không gian. Thật vậy, hình thức ta có p (ξ )u%= f%, và từ p ≠ 0

ta có u%= p −1 f%. Từ đây ta tìm u bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier
ngược.
Ví dụ 1.1.4: Toán tử 1− ∆ là Elliptic, vì đa thức đặc trưng của nó là
2

1+ ξ .

Ví dụ 1.1.5: Gọi PL là đa thức đặc trưng của L , thì PL L = PL PL
1 2

1

2

( xem Nhận xét 1.1.2). Do đó các toán tử L1 , L2 là Elliptic thì L1L2 cũng là
Elliptic. Nói riêng, toán tử (1 − ∆) k là Elliptic với mọi số nguyên k ≥ 1 .


d

k
Ví dụ 1.1.6: Các toán tử ∆ + ∑ b Dk − 1 với hằng số b ∈ ¡

d

k =1

và toán tử

d3
+ 1 với d = 1 là Elliptic.
(dx)3

Bổ đề 1.1.7: Nếu L là một toán tử Elliptic, thì ∃k > 0 được gọi là hằng số
Elliptic sao cho:

∑a

m

α α

i ξ α ≥ k(1 + ξ )

∀ξ ∈ ¡ d .

α ≤m

(1.1.1)
Hơn nữa ∃ε > 0 sao cho

∑b i

α α

α ≤m

1
m
ξ α ≥ k(1 + ξ )
2

∀ξ ∈ ¡

d

α
α
trong đó b − a ≤ ε , ∀α .

Chứng minh
Do hàm số
f (t , ξ ) =

∑a

α ≤m

α α m− α

i t

ξα ,

(1.1.2)
m
thuần nhất dương bậc m vì f ( λt , λξ ) = λ f ( t , ξ ) , ∀λ > 0 , liên tục và f > 0
2

trên hình cầu đơn vị t 2 + ξ = 1 trong ¡

d +1

nên f ≥ k trên hình cầu với

2
hằng số k > 0 . Điều này suy ra f (t , ξ ) ≥ k(t 2 + ξ )
m

m

2

2
f (1, ξ ) ≥ k(1 + ξ ) 2 . Bây giờ ta sử dụng bđt ∀γ , t ≥ 0

(1 + t )γ ≥

(1 + t γ )
.
2

hầu khắp nơi, vì vậy


Thật vậy, nếu t ≥ 1 thì

(1 + t γ ) (2t γ ) γ
<
= t < (1 + t )γ . Nếu t ≤ 1 thì
2
2

(1 + t γ )
< 1 < (1 + t )γ .
2
m

k
2

Vì vậy f (1, ξ ) ≥ (1 + ξ ) .
Để chứng minh khẳng định thứ hai của bổ đề, ta sử dụng

∑b i

α α

ξα ≥

α ≤m

∑a

α α

m

i ξ α − N ε (1 + ξ ),

α ≤m

ở đây hằng số N chỉ phụ thuộc vào d
Bổ đề 1.1.9: sử g (η ) là một hàm số thuần nhất dương cấp γ trên ¡ n . Nếu
γ
g bị chặn trên hình cầu đơn vị, thì g (η ) ≤ N η , ∀η ≠ 0 với một hằng số N

không phụ thuộc η . Nếu nó khả vi liên tục tại bất kỳ điểm η ≠ 0 , thì các đạo
hàm riêng là hàm thuần nhất dương bậc γ − 1 , bị chặn trên hình cầu đơn vị và
D j g (η ) ≤ N η

γ −1

, ∀η ≠ 0 trong đó hằng số N không phụ thuộc η . Đặc biệt, với

hàm số g = f −1 với f xác định bởi (1.1.2) ta có với mọi đa chỉ số α
Dα

1
1
≤N
, ∀ξ ∈ ¡ d ,
m+ α
p (ξ )
1+ ξ

ở đó hằng số N không phụ thuộc ξ .

1.2 Tính giải được của phương trình Elliptic và biểu diễn
Green
Cho L là một toán tử Elliptic. Như đã đề cập ở trên ta có thể tìm ra
nghiệm của phương trình Lu = f từ công thức u%= p −1 f%và biểu diễn u như
phép biến đổi Fourier ngược của p −1 f%. Do phép biến đổi Fourier của tích
chập hai hàm là một bội của tích các biến đổi Fourier của các nhân tử. Nên
ta tìm hàm số u có dạng


u ( x) =

∫

¡

f ( y )G ( x − y )dy = ∫ f ( x − y )G ( y )dy ,

d

¡

d

(1.2.1)
Trong đó
G( y) =

1
(2π ) d

1 iyξ
e dξ .
p (ξ )

∫

¡

d

(1.2.2)
Vậy ta đã chứng minh định lí sau đây, trong đó Cb∞ (¡ d ) là không gian của

các hàm số khả vi vô hạn với các đạo hàm bị chặn trên ¡ d .
Định lí 1.2.1: Với mỗi f ∈ C0∞ (¡ d ) tồn tại một hàm số u ∈ Cb∞ (¡ d ) sao
cho Lu = f trong ¡ d .
Chứng minh
Nếu m > d thì hàm số G ( x ) xác định bởi công thức (1.2.2) là một hàm liên
tục, bị chặn. Ngoài ra p −1 ∈ L2 (¡ d ) nên F −1 (G) tồn tại trong L2 và
F −1 (G ) = cd p −1 . Tiếp theo đặt

u ( x) :=

∫

¡

f ( x − y )G ( y ) dy = f * G ( x )

d

.

Do Dα u = ( Dα f ) ∗ G , nên u ∈ Cb∞ (¡ d ) . Cuối cùng theo Định lí Parseval
Lu ( x) =

%

∫ G( x − y) Lf ( y)dy = ∫ F%(G%( x − .))(ξ ) Lf%(ξ )dy

¡

d

¡

d

=
1
(2π )

d

2

∫e

¡

d

ixξ

1
p (ξ ) f%
(ξ )d ξ = cd ∫ eixξ f%
(ξ )d ξ = f ( x ) .
p(ξ )
d
¡

Nói riêng, ∀x ∈ ¡

d

và f ∈ C0∞ (¡ d ) , ta có
L ∫ f ( x − y )G ( y )dy = ∫ G ( x − y ) Lf ( y )dy = f ( x )
¡

(1.2.3)

d

¡

d


Nếu m ≤ d . ∀k ∈ ¢ sao cho 2k + m > d . Theo chứng minh trên ta có phương
trình (1 − ∆) k Lu = (1 − ∆) k f có nghiệm (vì cấp của toán tử (1 − ∆)k L bằng
2k + m > d ). Theo cách xác định trên thì
1
G '( x) =
(2π ) d

eixξ

∫

¡

2 k

p (ξ )(1 + ξ )

d

d ξ , và u ( x) =

∫ G '( x − y)(1 − ∆)

¡

k

f ( y )dy

d

.

Từ (1.2.3) áp dụng toán tử L ' = (1 − ∆) k L thay cho L ta có
Lu ( x) =

∫ G '( x − y) L(1 − ∆)

¡

f ( y ) dy = f ( x)

k

d

.

Điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.3: Hàm suy rộng G ( x ) được gọi là một hàm Green của
phương trình Lu = f trong cả không gian nếu LG ( x ) = δ 0 ( x) hoặc tương
đương, nếu đẳng thức (1.2.3) cố định.
Nhớ lại rằng:
Hàm suy rộng f là một phiếm hàm tuyến tính trên C0∞ (¡ d ) , liên tục theo
nghĩa: nếu φ , φn ∈ C0∞ (¡ d ) có giá trong cùng một hình cầu nào đó và nếu
φn → φ đều trong ¡ d cùng với mọi đạo hàm của chúng thì ( f , φn ) → ( f , φ ) ,

trong đó ( f , φ ) =

∫

¡

d

f ( x)φ ( x) dx

.

Mỗi hàm số khả tích địa phương f đều xác định một hàm suy rộng (bởi
Định lí hội tụ bị trội) theo công thức ( f , φ ) =

∫ f ( x ) φ ( x ) dx , φ ∈ C ( ¡ )

¡

d

∞
0

d

Mọi hàm suy rộng đều khả vi vô hạn và với bất kỳ đa chỉ số α , Dα f là
α
α
α
hàm suy rộng xác định bởi ( D f , φ ) = ( −1) ( f , D φ ) .

Nếu φ ∈ C0∞ (¡ d ) và f là một hàm suy rộng thì hàm số ( f ;φ ( x − .) ) khả vi
vô hạn và với bất kỳ đa chỉ số α
α
α
Dα ( f , φ ( x − .)) = ( D f , φ ( x − .)) = ( f , ( D φ )( x − .)) .


Nếu f n là một dãy các hàm suy rộng, ta nói nó hội tụ tới một hàm suy
rộng f nếu ( f n , φ ) → ( f , φ ) với ∀φ ∈ C0∞ (¡ d ) . Khi đó ta có Dα f n → Dα f với
bất kỳ đa chỉ số α .

1.3 Các hàm Green như các giới hạn các hàm thông thường
Lưu ý rằng đẳng thức LG ( x) = δ 0 ( x) có nghĩa là với bất kỳ f ∈ C0∞ (¡ d ) ta có

∫ G( y) L f ( y)dy = f (0)

*

¡

d

Bằng cách sử dụng f ( x − y ) thay cho f ( y ) , ta có đẳng thức LG ( x) = δ 0 ( x)
được hiểu theo công thức (1.2.3).
Hệ quả 1.3.2: Lấy bất kỳ k = 0,1, 2,.... sao cho 2k + m > d và định nghĩa
G '( x ) =

1
(2π ) d

∫

¡

d

1
2 k

p (ξ )(1 + ξ )

eixξ d ξ , G ( x ) = (1 − ∆ )k G '( x ) .

Thì G là một hàm Green đối với L .
Nhận xét 1.3.3: Hàm Green G Có thể được xác định bởi công thức cụ thể
hơn công thức G = cd F −1 ( p −1 ) . Đó là:

G ( x) =

1
1 ixξ
lim
e dξ .
d R →∞ ∫
(2π )
p
(
ξ
)
ξ ≤R

(1.3.1)
Khi đó với mỗi đa chỉ số α và số hạng r = 0,1, 2,3,...
Dα G ( x ) =

α

1
1
i ξα
ixξ
r
lim
e
(
−∆
)

[
ς
(
ξ
)
]d ξ ,
R
(2π ) d x 2 r R→∞ ¡∫d
p (ξ )

(1.3.2)
với ς là một hàm bất kỳ thuộc lớp C0∞ (¡ d ) sao cho ς (0) = 1 và ς R (ξ ) = ς (ξ R ) .
Để chứng minh (1.3.1) chú ý từ Hệ quả 1.3.2 (luôn theo phương của các
hàm suy rộng)


1
1
(1 − ∆) k lim ∫
eixξ d ξ
2 k
d
R
→∞
(2π )
ξ ≤ R p (ξ )(1 + ξ )

G ( x) =

1

− ∆) k
= (2π ) d Rlim(1
→∞
=

1

∫

ξ ≤R

2 k

p (ξ )(1 + ξ )

eixξ d ξ

1
1 ixξ
lim
e dξ
d R →∞ ∫
(2π )
p(ξ )
ξ ≤R

2

do (1 − ∆)k eixξ = (1 + ξ ) k eixξ . Để chứng minh (1.3.2) ta thấy

x

2r

eixξ = (−∆ξ ) r eixξ ,

(1.3.3)
khi chỉ số dưới ξ tồn tại là ∆ được áp dụng với biến ξ . Thì
G ( x) =

1
1
lim(1 − ∆) k ∫ ς R (ξ )
eixξ dξ
2 k
d R →∞
(2π )
p (ξ )(1 + ξ )
¡d

1

1

ς R (ξ )
eixξ d ξ ,
= (2π ) d Rlim
→∞ ∫
p (ξ )
¡

d

α

1
i ξ α ixξ
D G ( x) =
lim ς R (ξ )
e dξ
(2π ) d R →∞ ¡∫d
p(ξ )
α

α

1
1
i ξα
lim
ς
(
ξ
)
( −∆ξ ) r eixξ d ξ .
= (2π ) d 2 r R→∞ ∫ R
p
(
ξ
)

x
¡d

Sau đó ta tích phân từng phần.

1.4 Các hàm số Green như các hàm thông thường.
Từ đây về sau ta luôn giả thiết m ≥ 2 .
Định lí 1.4.1: Hàm suy rộng G là một hàm thông thường (hàm khả tích
địa phương). Nếu m > d , thì G bị chặn và liên tục. Trong trường hợp chung
với x ≠ 0 và số nguyên bất kỳ r = 0,1, 2,3,... sao cho m + 2r > d ta có
G ( x) =

(1.4.1)

1
(2π ) x
d

2r

∫e

¡

d

ixξ

(−∆) r [p(ξ ) −1 ]d ξ .

Ngoài ra, nếu m ≤ d và d − m chẵn, thì với x ≠ 0 và m + 2r = d + 2

1 ix k
G ( x) =
(2π ) d x 2 r

∫e

¡

ixξ

d

(−∆ ) r −1[p(ξ ) −1 ]ξ k d ξ .

(1.4.2)
Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh công thức (1.4.2). Đặt g ( x ) bằng vế phải của
công thức (1.4.2) . Ta chứng minh G ( x ) = g ( x ) . Ta thấy do m ≥ 2 và
2r = d − m + 2 nên tích phân trong định nghĩa của g bị chặn,
g ( x) ≤ N x

− (2 r −1)

=N x

m−2

x

− ( d −1)

và hàm số g khả tích địa phương. Lấy

ς ∈ C0∞ (¡ d ) sao cho ς (ξ ) = 1 với ξ ≤ 1 và ς (ξ ) ≠ 0 với ξ ≥ 2 và định nghĩa
g R ( x) :=
=

1 ix k
(2π ) d x 2 r
1
1
d
(2π ) x 2 r

∫e

¡

( −∆) r −1[ς R (ξ ) p −1 (ξ )]ξ k d ξ

ixξ

( −∆) r [ς R (ξ ) p −1 (ξ )]dξ ,

d

∫e

¡

ixξ

d

(nhờ tính tích phân từng phần). Theo Nhận xét 1.3.3, g R → G theo nghĩa của
các hàm suy rộng. Hơn nữa, với các hằng số C αβ ta có
g R ( x) =

+

1 ix k
(2π ) d x 2 r

1 ix k
(2π ) d x 2 r

∫e

¡

ixξ

ς R (ξ )(−∆) r −1[p(ξ ) −1 ]ξ k dξ

d

∑

C αβ

α + β = 2 r −1
α ≥1

∫e

¡

ixξ

d

[Dα ς R (ξ )]D β [ p (ξ ) −1 ]dξ

.

(1.4.3)
Trong đó tích phân đầu tiên của vế phải bị chặn đều theo x và số hạng
đầu tiên ở vế phải hội tụ tới g ( x) với ∀x ≠ 0 . Do giá trị tuyệt đối của nó được
làm trội bởi hàm số khả tích địa phương N x

−2 r +1

với hằng số N không phụ


thuộc ¡ , nên nó cũng hội tụ tới g theo nghĩa của hàm suy rộng. Bây giờ, để
chứng minh công thức (1.4.2) ta chứng minh số hạng thứ hai của vế phải

trong (1.4.3) tiến tới 0 theo nghĩa của hàm suy rộng .
Để chứng minh được điều này ta lại sử dụng tính khả tích địa phương
của x

−2 r +1

và chú ý rằng nếu α + β = 2r − 1 và α ≠ 0 , R > 1 thì từ tính chất của

ς ta nhận được (xem Bổ đề 1.1.9)

ξ
1
1
[Dα ς ( )]D β [ p(ξ ) −1 ] ≤ N α
I ξ ≤2 R ,
m+ α
R
¡ 1+ ξ

Trong đó I ξ ≤ 2R là hàm đặc trưng của tập {ξ : ξ ≤ 2 R} . (nhìn chung nếu A là
một tập, I A (ξ ) = 1 với ξ ∈ A và I A (ξ ) = 0 với ξ ∉ A ). Mà,
1+ ξ

m+ β

≥ (2 R)1− α (1 + ξ

m + β + α −1

d

) = (2 R)1− α (1 + ξ )

với ξ ≤ 2 R, R ≥ 1 . Do vậy
[Dα ς R (ξ )]D β [ p(ξ ) −1 ] ≤

và ta có

∫ [D ς
α

R

(ξ )]D β [ p −1 (ξ )] d ξ ≤

Rd

N
R

∫

ξ ≤2 R

1
1+ ξ

d

N 1

R 1+ ξ

d

I ξ ≤2 R ,

dξ → 0

k ixξ
ixξ
khi R → ∞ . Vậy ta có (1.4.2). Ta thấy ix e = ( e ) ξ và tích phân từng phần
k

trong (1.4.2), ta thu được (1.4.1) như một trường hợp riêng. Nếu m ≤ d và
d − m chẵn, nhưng với giá trị lớn hơn của r thì tích phân từng phần và sử

dụng (1.3.3) thì ta có (1.4.1).
Trường hợp cuối cùng hoặc m > d , hoặc m ≤ d và d − m lẻ, đầu tiên ta
lấy số nguyên nhỏ nhất r0 ≥ 0 sao cho m + 2r0 ≥ d + 1 . Nếu r0 = 0 ( m > d ) thì từ
(1.2.2) với r = r0 ta có (1.4.1). Nếu r0 ≥ 1 thì m ≤ d và d − m lẻ. Cũng trong
trường hợp m + 2r0 = d + 1 , 2r0 < d ( m ≥ 2 !) ta có hàm số x

−2 r0

khả tích địa


phương nên tương tự như trên ta có (1.4.1) với r = r0 tương tự ta có khẳng
định với giá trị lớn hơn của r . Định lí được chứng minh.

1.5 Tính khả vi của các hàm Green
Hệ quả 1.5.1: Hàm số G ( x ) khả vi vô hạn với x ≠ 0 . Nói riêng theo
nghĩa thông thường (tại từng điểm). Với bất kỳ đa chỉ số α ta có
−n

Dα G ( x ) = 0( x ) khi x → ∞ với ∀n > 0 . Hơn nữa ∀x ≠ 0 , với mọi đa chỉ số α

và số nguyên r = 0,1, 2,... sao cho m + 2r > d + α ta có
α

i ξα
e
(
−∆
)
[
]d ξ .
∫
p(ξ )
¡d

1
1
D G ( x) =
d
(2π ) x 2 r
α

ixξ

r

(1.5.1)
Thật vậy ba khẳng định đầu tiên là đúng vì r trong (1.4.1) có thể lớn tuỳ
ý. Để chứng minh khẳng định cuối cùng chú ý rằng Dα G ( x) là một hàm
thông thường, liên tục tại ∀x ≠ 0 . Hơn nữa, giới hạn bên phải trong (1.3.2) là
đều trên ¡ d . Thật vậy (xem Bổ đề 1.1.9)

∫

¡

eixξ ς R (ξ )(−∆) r [

d

α

α

i ξα
i ξα
]dξ − ∫ eixξ (−∆) r [
]d ξ
p (ξ )
p(ξ )
¡ d
≤

∫

¡

≤N

α

i ξα
] dξ
p(ξ )

1 − ς R (ξ ) (−∆) r [

d

∫ 1− ς

¡

R

(ξ )

d

1
1+ ξ

m+2 r − α

dξ ,

Vế phải tiến tới 0 khi R → ∞ . vì ς (0) = 1 và m + 2r − α ≥ d + 1 . Tương tự
như trên, với γ + β = 2r và γ ≠ 0

∫

Rd

iα ξα
[D ς R (ξ )]D [
] d ξ ≤ NR − γ
p (ξ )
γ

β

∫
ξ

≤2R

1
1+ ξ

m+ β − α

dξ

∫

≤ NR −1

ξ ≤2R

≤ NR −1

1
m + γ + β − α −1

1+ ξ

∫

1

ξ ≤2 R 1 + ξ

Hệ quả 1.5.1 cho thấy hàm số G ( x ) khả tích trên ¡

d

d

dξ

d ξ → 0. W

chữ không chỉ

khả tích địa phương. Do đó, công thức (1.2.1) có nghĩa ít nhất là với mọi
hàm f bị chặn. Nếu các đạo hàm cấp n của f cũng bị chặn, và liên tục, thì
ta cũng có kết luận của hệ quả trên đối với các đạo hàm cấp n của u . Hơn
nữa, nếu n ≥ m, công thức (1.2.1) vẫn xác định nghiệm của phương trình
Lu = f . Để thấy điều này, lấy các hàm số bị chặn đều f n ∈ C0∞ (¡ d ) sao cho

f n ( x) → f ( x) tại ∀x , và để ý rằng G ∗ f n bị chặn đều và hội tụ tới G ∗ f tại ∀x .

Do đó, theo nghĩa hàm suy rộng, G ∗ f n → G ∗ f , f n = L(G ∗ f n ) → L ( G ∗ f ) và
L ( G ∗ f ) = f . Vậy ta có định lí 1.5.2 sau là sự tổng quát hơn của định lí 1.2.1.

Kí hiệu Cbn (¡ d ) là không gian tất cả các hàm số trên ¡

d

có các đạo hàm tới

cấp n liên tục và bị chặn.
Định lí 1.5.2: Cho n ≥ m là số nguyên. Với mỗi f ∈ Cbn (¡ d ) công thức
(1.2.1) xác định một hàm số u ∈ Cbn (¡ d ) sao cho Lu = f trong ¡ d . Nói cách
khác, công thức (1.2.3) đúng với ∀x ∈ ¡

d

và f ∈ Cbn (¡ d ) .

Nhận xét 1.5.3: Trong các mục sau ta sẽ cần các kết quả sâu sắc hơn về
tính giải được của phương trình Lu = f . Tại thời điểm này để có (1.2.3) ta
chưa cần tới tính bị chặn của f và các đạo hàm của nó. Công thức này vẫn

đúng nếu f và đạo hàm của nó đến cấp m bị chặn bởi một đa thức. Thật
vậy, với hàm ς như trên và sử dụng
f ( x) = lim f ( x )ς R ( x)
R →∞

= lim

R →∞

∫ G ( x − y ) L( f ς

¡

d

R

)( y ) dy =

∫ G( x − y) Lf ( y )dy .

¡

d


(đẳng thức cuối đúng vì L( f ς R ) → Lf và L( f ς R ) bị chặn bởi một đa thức
không phụ thuộc vào R nếu R > 1 ).

1.6 Một vài tính chất của các nghiệm của Lu=f.

d
d
iθ
Kí hiệu BR = {x ∈ ¡ : x < R}, BR ( x0 ) = {x ∈ ¡ : x − x0 < R}, e . Với n = 1, 2,... kí
n
( BR ) là không gian các hàm số u sao cho uς ∈ Cbn (¡ d ) với
hiệu Cloc

∀ς ∈ C0∞ (¡ d ) sao cho ς = 0 ngoài BR và gần ∂BR . Cuối cùng, nhớ rằng m ≥ 2 .
m
( BR ) và Lu khả vi vô hạn trong BR
Hệ quả 1.6.1: Nếu R > 0 và u ∈ Cloc

(chẳng hạn khi Lu = 0 ), thì u khả vi vô hạn trong BR .
Thật vậy, lấy bất kỳ ε ∈ (0; R) và ς ∈ C0∞ (¡ d ) sao cho ς ( x) = 1 với
ε
x ≤ R − ε và ς ( x) = 0 với x ≥ R − . Khi đó, theo Định lí 1.5.2 với x ≤ R − ε ,
2

ta có
u ( x) = u ( x)ς ( x) =

∫ G( x − y) L(uς )( y)dy = ∫ G ( x − y )ς ( y)Lu ( y)dy

¡

+ ∫ G( x − y)
¡

d

d

∑

¡

d

C αβ [Dα ς ]D β u ( y )dy =

α + β ≤m

∫ G ( y )ς ( x − y ) Lu ( x − y )dy

¡

d

α ≥1

+

∫

y > R −ε

G( x − y)

∑

C αβ [Dα ς ]D β u ( y )dy ,

α + β ≤m

(1.6.1)

α ≥1

với C αβ là các hằng số. Tích phân đầu tiên vế phải khả vi vô hạn tại mọi x vì
ς Lu ∈ C0∞ (¡ d ) . Tích phân thứ hai khả vi vô hạn tại x < R − ε vì G ( x ) khả vi

tại ∀x ≠ 0 .
m
( ¡ d ) , Lu = 0 trong
Định lí 1.6.2: <Tính duy nhất nghiệm> Nếu u ∈ Cloc
n

¡ d và u ( x) ≤ N (1 + x ) , ∀x , trong đó N , n là các hằng số, thì u ≡ 0 .

Chứng minh:


Lấy ς ∈ C0∞ (¡ d ) sao cho ς ( x) = 1 với x ≤ 1 và ς ( x) = 0 với x ≥ 2 , và đặt
x
ς R ( x) = ς ( ) . Khi đó với R > 1 , và với mọi đa chỉ số phức α , hàm số Dα ς R bị
R

chặn bởi một hằng số không phụ thuộc vào R , và bằng cách tính tích phân
từng phần như trong (1.6.1) ta nhận được các hằng số bαβ sao cho.

u (0) =

∫ G(− y ) ∑

¡

α + β ≤m

d

C αβ [Dα ς R ]D β u ( y )dy

α ≥1

=

∑

bαβ

α + β ≤m

∫

u ( y )[D β G (− y )]Dα ς R ( y )dy

∫

D β G (− y ) dy ,

y >R

α ≥1

≤ NR n max
β ≤m

y >R

số hạng cuối dần tới 0 khi R → ∞ (theo Hệ quả 1.5.1). Vì vậy u ( 0 ) = 0 .
Tương tự, ta cũng có điều đó tại x ≠ 0 . Định lí được chứng minh.

1.7 Một số thông tin trên hàm Green
Các kết quả sau đây là những đánh giá quan trọng của G ( x ) và các đạo
hàm của nó ở gần 0 . Nó cho thấy nếu d > m thì dáng điệu của G và các đạo
1

hàm của nó gần 0 giống như của hàm x d −m . Hơn nữa, nếu α = m , thì hạch
K ( x ) := Dα G ( x ) thỏa mãn
K ( x) ≤

N
x

d

, D j K ( x) ≤

N
x

d +1

với bất kỳ j = 1, 2,...d . Những ước lượng như vậy có vai trò quyết định trong
lý thuyết không gian Hölder và lý thuyết không gian Sobolev.