Luận văn otomat hữu hạn và ứng dụng trong phân tích từ vựng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN DIỆU LINH

OTOMAT HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG PHÂN TÍCH TỪ VỰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN DIỆU LINH

OTOMAT HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG PHÂN TÍCH TỪ VỰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. KIỀU VĂN HƯNG

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tác giả chân thành cảm ơn TS. Kiều Văn Hưng đã tận tình hướng dẫn,
tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhân viên của Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ.
Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Diệu Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của TS. Kiều Văn Hưng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn
trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Diệu Linh


Mục lục

MỞ ĐẦU

5

1 Otomat hữu hạn

7

1.1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Bảng chữ, từ, ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính quy . . .

12

1.2. Otomat hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1. Otomat hữu hạn đơn định . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2. Otomat hữu hạn không đơn định . . . . . . . . .

21

1.2.3. Sự tương đương giữa otomat đơn định và không

đơn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.4. Quan hệ giữa otomat hữu hạn và ngôn ngữ chính
quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.5. Định lý Myhill – Nerode và tối thiểu hóa otomat
hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2 Ứng dụng của otomat hữu hạn trong phân tích từ vựng 38
2.1. Tổng quan về ứng dụng của otomat . . . . . . . . . . . .

3

38


2.1.1. Thiết kế và kiểm tra hoạt động của các mạch số .

39

2.1.2. Tìm kiếm từ trong văn bản . . . . . . . . . . . .

40

2.2. Phân tích từ vựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.1. Vai trò của bộ phân tích từ vựng . . . . . . . . .

46

2.2.2. Lưu trữ tạm chương trình nguồn . . . . . . . . .

50

2.2.3. Nhận dạng token . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2.4. Ngôn ngữ đặc tả cho bộ phân tích từ vựng . . . .

60

Kết luận

65

Tài liệu tham khảo

65

4

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngôn ngữ hình thức là một sự tổng quát của ngôn ngữ tự nhiên
dưới dạng mô hình toán học, được nghiên cứu từ năm 1879 bởi G.Frege
được phát triển bởi N. Chomsky cùng nhiều tác giả khác vào những năm
50 của thế kỉ trước. Otomat hữu hạn là một mô hình máy trừu tượng
khá đơn giản dùng để đoán nhận lớp ngôn ngữ chính quy - một lớp ngôn
ngữ có nhiều tính chất đặc biệt và được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực
công nghệ thông tin. Otomat hữu hạn có vai trò quan trọng trong xử lý
ngôn ngữ, mật mã và có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và
thực tế. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về otomat hữu hạn và những
ứng dụng của chúng, dưới sự hướng dẫn của TS. Kiều Văn Hưng em
quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Otomat hữu hạn và ứng dụng trong
phân tích từ vựng” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành Toán
ứng dụng.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về otomat hữu hạn và ứng dụng của chúng trong phân
tích từ vựng.

5


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết otomat hữu hạn và ứng
dụng của otomat hữu hạn trong phân tích từ vựng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Otomat hữu hạn và ứng dụng của otomat

trong phân tích từ vựng.
• Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu tổng quan về otomat hữu hạn
đơn định và otomat hữu hạn đa định.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu các tài liệu, sách, báo liên quan đến các kết quả đã có về
otomat hữu hạn. Tổng hợp kiến thức và trình bày một cách hệ thống.

6. Đóng góp mới
Hệ thống các kiến thức về otomat hữu hạn và ứng dụng của otomat,
góp phần làm sinh động hơn các kết quả, sự hiểu biết về otomat và ngôn
ngữ chính quy. Hi vọng luận văn là một tài liệu tham khảo hữu ích về
lý thuyết otomat, ngôn ngữ hình thức nói chung và lớp ngôn ngữ chính
quy nói riêng.

6


Chương 1
Otomat hữu hạn
Lý thuyết otomat đề cập một mô hình tính toán có vai trò quan
trọng trong lĩnh vực khoa học máy tính. Mô hình otomat hữu hạn là
công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về lý thuyết tính toán và những lĩnh vực
liên quan đến khoa học máy tính với nhiều ứng dụng quan trọng trong
xử lý văn bản, trình biên dịch, thiết kế phần cứng, ngôn ngữ lập trình
và trí tuệ nhân tạo. Một số nhà khoa học tiêu biểu phát triển mạnh
hướng nghiên cứu này là Mecullock, Pittis (1943), Kleene (1956), Mc –
Naughton, Yamad (1960), Rabin, Shepherdson (1959),... Với các nghiên
cứu về otomat hữu hạn đơn định (DFA – Deterministic Finite Automat),
otomat hữu hạn không đơn định (NFA – Nondeterministic Finite Automat), otomat không đơn định với ε chuyển (ε − N F A), otomat hữu

hạn 2 phía (two – way Finite Automat), otomat hữu hạn có ra (Finite
Automat with output),... Trong luận văn này, chúng ta chỉ tìm hiểu
otomat hữu hạn đơn định (DFA) và otomat hữu hạn không đơn định
(NFA).

7


1.1.

Kiến thức cơ sở

1.1.1.

Bảng chữ, từ, ngôn ngữ

Định nghĩa 1.1. Một tập hợp khác rỗng, hữu hạn hay vô hạn được gọi
là bảng chữ. Mỗi phần tử của bảng chữ được gọi là một chữ hay một kí
hiệu.
Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các bảng chữ hữu hạn, thường
được kí hiệu là Σ.
Ví dụ 1.1. Sau đây là một số bảng chữ:
+ Σ = {a, b, c, d, e, ..., z};
+ ∆ = {α, β, γ, δ};
+ Γ = {0, 1}.
Định nghĩa 1.2. Cho bảng chữ Σ. Một từ (hay chuỗi) là một dãy hữu
hạn các chữ của bảng chữ Σ. Đặc biệt, từ rỗng là từ mà không chứa bất
kì chữ nào trong bảng chữ và được kí hiệu là ε.
Như vậy, một từ trên bảng chữ Σ là một dãy hữu hạn gồm một số
lớn hơn hay bằng không các chữ của Σ, trong đó một chữ có thể xuất

hiện nhiều lần.
Tổng số vị trí của các kí hiệu xuất hiện trong từ α được gọi là độ
dài của từ α và kí hiệu |α|. Quy ước |ε| = 0.
Tập tất cả các từ trên bảng chữ Σ được kí hiệu là Σ∗ và Σ+ =
Σ∗ \ {ε}. Nói cách khác, Σ∗ = Σ+ ∪ {ε}.
Ví dụ 1.2. Cho Σ = {1, 2, 3, ..., n}, Γ = {x, y} là 2 bảng chữ. Khi đó
xyx và xxy là các từ trên bảng chữ Γ và |xyx| = |xxy| = 3. 1, 12, 21,
8


1111, 111222 là các từ trên bảng chữ Σ và |1| = 1, |12| = 2, |1111| = 4,
|111222| = 6.
Nhận xét: Nếu α là một từ trên bảng chữ Σ và Σ ⊆ ∆ thì α cũng
là từ trên bảng chữ ∆.
Các phép toán trên từ: Cho bảng chữ Σ và các từ α = a1 a2 ...am ,
β = b1 b2 ...bn và γ = c1 c2 ...ck (m, n, k ∈ N). Ta xác định các phép toán
sau:
- Phép nhân ghép: Tích ghép (hay nhân ghép) của hai từ α và β
là từ α.β = β.α = a1 a2 ...am b1 b2 ...bn .
- Phép lấy từ ngược: Giả sử từ α = ε thì từ αR = am am−1 ...a2 a1 là
từ ngược (hay từ soi gương) của từ α.
- Phép chia từ: là phép ngắt bỏ phần đầu hay phần cuối của một
từ. Phép chia trái (phải) của từ α cho từ β(tương ứng, γ) hay gọi là
thương bên trái (phải) của α và β(tương ứng, γ) cho kết quả là phần
còn lại của từ α sau khi ngắt bỏ phần đầu (cuối) β(tương ứng, γ) trong
từ α, và được ký hiệu là α /γ (tương ứng, β \α ).
Ví dụ 1.3. Cho các từ α = 1231331223, β = 123, γ = 223 trên bảng
chữ Σ = {1, 2, 3}. Khi đó:
+ α.β = 1231331223123, γ.α = 2231231221223;
+ αR = 3221331321, β R = 321;

+ α /γ = 1231331 , β \α = 1221223.
Định nghĩa 1.3. Cho bảng chữ Σ. Mỗi tập con L ⊆ Σ∗ được gọi là một
ngôn ngữ trên bảng chữ Σ.
Chú ý rằng tập rỗng, kí hiệu ∅, là một ngôn ngữ không gồm một
chữ cái nào và được gọi là ngôn ngữ rỗng. Ngôn ngữ rỗng là ngôn ngữ
9


trên mọi bảng chữ. Ta phân biệt ngôn ngữ rỗng L = ∅ khác với ngôn
ngữ chỉ gồm một phần tử rỗng L = {ε}.
Ví dụ 1.4.
+ Σ∗ là ngôn ngữ gồm tất cả các từ trên Σ và Σ+ là ngôn ngữ gồm tất
cả các từ khác rỗng trên Σ.
+ A = {a, b, c}, B = {aa, bb, cc, ab, bc, ca}, C = {abca, cba, a, bc}, D =
{abccda, acbab, abcc, ac} là ngôn ngữ trên bảng chữ Σ = {a, b, c}.
+ L1 = {0}, L2 = {000, 10, 1111, 110}, L3 = {0100, 01010, 100, 01010}
là các ngôn ngữ trên bảng chữ Γ = {0, 1}.
Các phép toán trên ngôn ngữ: Do mỗi ngôn ngữ là một tập
hợp nên ta có các phép toán đại số tập hợp như là phép giao, phép hợp,
phép hiệu, phép lấy phần bù trên các ngôn ngữ. Chẳng hạn, với L1 và
L2 là hai ngôn ngữ trên bảng chữ Σ thì ta có các ngôn ngữ mới sau đây
trên bảng chữ Σ.
- Phép hợp: Hợp của hai ngôn ngữ L1 và L2 trên bảng chữ Σ, ký
hiệu L1 ∪ L2 , là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ xác định như sau
L1 ∪ L2 = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ L1 hoặc ω ∈ L2 .
Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa hợp của một số hữu hạn các
ngôn ngữ L1 , L2 , ..., Ln (n ≥ 2) trên bảng chữ Σ như sau
n

Li = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ Li , với i nào đó, 1 ≤ i ≤ n .

i=1

- Phép giao: Giao của hai ngôn ngữ L1 và L2 trên bảng chữ Σ, ký
hiệu L1 ∩ L2 , là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ xác định như sau
L1 ∩ L2 = ω ∈ L1 và ω ∈ L2 .
10


Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa giao của của một số hữu hạn các
ngôn ngữ L1 , L2 , ..., Ln (n ≥ 2) trên bảng chữ Σ như sau
n

Li = ω ∈ Σ∗ | ω ∈ Li , với mọi i, 1 ≤ i ≤ n .

i=1

- Phép hiệu: Cho hai ngôn ngữ L1 và L2 trên bảng chữ Σ, ký hiệu
L1 \ L2 hoặc L1 − L2 , là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ xác định như
sau
L1 − L2 = ω ∈ L1 và ω ∈
/ L2 .
- Phép lấy phần bù: Ngôn ngữ phần bù của ngôn ngữ L trên bảng
chữ Σ, ký hiệu L là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ xác định như sau
L = {ω ∈ L∗ | ω ∈
/ L}.
- Phép nhân ghép: Với hai ngôn ngữ L1 trên bảng chữ Σ1 và L2
trên bảng chữ Σ2 , nhân ghép (hay tích) của hai ngôn ngữ L1 và L2 là
một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ1 ∪ Σ2 , ký hiệu L1 L2 , được xác định bởi
L1 L2 = αβ | α ∈ L1 và β ∈ L2 .

- Phép lặp: Cho ngôn ngữ L trên bảng chữ Σ, ta có
∞

+ Tập từ ε ∪ L ∪ L2 ∪ ... ∪ Ln ∪ ... =

Ln được gọi là ngôn ngữ lặp của

n=0

ngôn ngữ L (hay bao đóng ghép của ngôn ngữ L), ký hiệu L∗ . Nói cách
khác ngôn ngữ lặp của L là hợp mọi lũy thừa của L: L∗ =
+ Tập từ L ∪ L2 ∪ ... ∪ Ln ∪ ... =

∞

∞

Ln .

n=0

Ln được gọi là ngôn ngữ lặp cắt

n=1

của ngôn ngữ L, ký hiệu L+ . Mặt khác ngôn ngữ lặp cắt của L là hợp
mọi lũy thừa của L: L+ =

∞

Ln .

n=1

11


- Phép lấy ngôn ngữ ngược: Cho ngôn ngữ L trên bản chữ Σ, khi
đó ngôn ngữ ngược của L là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ, ký hiệu LR ,
xác định bởi
LR = ω ∈ Σ∗ | ω R ∈ L .
- Phép chia ngôn ngữ: Cho ngôn ngữ X và Y trên bảng chữ Σ, khi
đó thương bên trái (phải) của ngôn ngữ X cho ngôn ngữ Y là một ngôn
ngữ trên Σ, ký hiệu Y \X (X /Y ), được xác định
X
Y\

= z ∈ Σ∗ | x ∈ X, y ∈ Y mà x = yz

(X /Y = z ∈ Σ∗ | x ∈ X, y ∈ Y mà x = zy ).
Ví dụ 1.5. Xét các ngôn ngữ L0 = {x, y}, L1 = {xx, yyy, yx, yyx}, L2 =
{xx, yyy, xyxx, yxx, xyx} và L3 = {ε, yx} trên bảng chữ Σ = {x, y}. Ta
thực hiện các phép toán sau:
+ Phép hợp: L1 ∪ L2 = {xx, yyy, yx, yyx, xyxx, yxx, xyx};
+ Phép giao: L1 ∩ L2 = {xx, yyy};
+ Phép lặp: L20 = {xx, yx, xy, yy}, L30 = {xxx, xxy, xyx, yxx, yyx, yxy, xyy, yyy};
+ Phép lấy phần bù: L20 = {ω ∈ Σ∗ | |ω| = 2};
+ Phép lấy ngôn ngữ ngược: LR
1 = {xx, yyy, xy, xyy};
+ Phép nhân ghép: L1 L0 = {xxx, yyyx, yxx, yyxx, xxy, yyy, yxy, yyxy};

+ Phép chia ngôn ngữ:
L1
L3 \

1.1.2.

= {xx, yyy, yx, yyx, ε},

L1

/L3 = {xx, yyy, yx, yyx, ε, y}.

Ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính quy

Định nghĩa 1.4. Cho bảng chữ Σ = {a1 , a2 , ..., an }. Khi đó ngôn ngữ
chính quy được định nghĩa đệ quy như sau:
12


(i) Các ngôn ngữ rỗng và ngôn ngữ gồm một phần tử {ai } với
i = 1, n được gọi là ngôn ngữ chính quy trên Σ.
(ii) Nếu L1 và L2 là hai ngôn ngữ chính quy trên Σ thì L1 ∪ L2 ,
L1 L2 , L∗1 , L∗2 cũng là các ngôn ngữ chính quy trên Σ.
(iii) Không có ngôn ngữ chính quy nào khác trên Σ ngoài các ngôn
ngữ chính quy được định nghĩa ở trên.
Ví dụ 1.6.
+ {ε} là ngôn ngữ chính quy vì φ∗ = {ε} .
+ L1 = a2 , ab = {a} {a, b} = {a} ({a} ∪ {b}) là ngôn ngữ chính
quy.
+ L2 = a∗ b, a2 = {a∗ b} ∪ a2 là ngôn ngữ chính quy.

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của ngôn ngữ chính quy.
Định lý 1.1. Mọi ngôn ngữ chính quy trên bảng chữ Σ đều nhận được
từ các ngôn ngữ hữu hạn bằng cách áp dụng một số hữu hạn lần các phép
toán hợp, nhân ghép và lặp.
Định lý 1.2. (Bổ đề Bơm) Nếu L là ngôn ngữ chính quy thì tồn tại một
số nguyên dương n sao cho với mọi w ∈ L và |w| ≥ n đều tồn tại một
cách phân tích w có dạng w = xyz với |xy| ≤ n và |y| ≥ 1, sao cho
xy i z ∈ L, ∀i = 0, 1, 2, ...
Định lý 1.3. Cho L1 , L2 là các ngôn ngữ chính quy trên bảng chữ Σ.
Khi đó, L1 × L2 , L1 ∪ L2 , L∗1 cũng là các ngôn ngữ chính quy.
Định lý 1.4. Cho L1 , L2 là các ngôn ngữ chính quy trên bảng chữ Σ.
Khi đó, L1 , L1 ∩ L2 , L1 \ L2 , LR
1 là ngôn ngữ chính quy.
13


Định nghĩa 1.5. Cho bảng chữ Σ = {a1 , a2 , ..., an } , khi đó biểu thức
chính quy được định nghĩa đệ quy như sau:
(i) φ, ai (ai ∈ Σ) được gọi là biểu thức chính quy trên bảng chữ Σ
biểu diễn ngôn ngữ rỗng và ngôn ngữ {ai } .
(ii) Nếu l1 và l2 là hai biểu thức chính quy trên bảng chữ Σ thì
l1 + l2 , l1 .l2 , l1∗ , l2∗ cũng là các biểu thức chính quy trên bảng chữ Σ biểu
diễn các ngôn ngữ L1 ∪ L2 , L1 L2 , L∗1 , L∗2 .
(iii) Không có biểu thức chính quy nào khác trên bảng chữ Σ ngoài
các biểu thức chính quy được định nghĩa ở trên.
Định nghĩa 1.6. Hai biểu thức chính quy l1 và l2 gọi là tương đương
nếu chúng biểu diễn cùng một ngôn ngữ, kí hiệu l1 = l2 .
Một số tính chất của biểu thức chính quy
Với l1 , l2 , l3 là các biểu thức chính qui trên Σ ta có các kết quả sau:
+ l1 + l2 = l2 + l1 .

+ (l1 + l2 ) + l3 = l1 + (l2 + l3 ) .
+ l1 + l1 = l1 .
+(l1 l2 ) l3 = l1 (l2 l3 ) .
+ l1 (l2 + l3 ) = l1 l2 + l1 l3 ; (l1 + l2 ) l3 = l1 l3 + l2 l3 .
+ φ∗ = {ε} .
+ (l1∗ )∗ = l1∗ ; l1+

+

= l1+ .

Định lý 1.5. Một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ là chính quy khi và chỉ khi
nó được biểu diễn bằng một biểu thức chính quy.
Ví dụ 1.7.
14


+ Biểu thức 01 biểu diễn ngôn ngữ chính quy {01} .
+ Biểu thức chính quy a. (a + b) biểu diễn ngôn ngữ chính quy
{a} ({a} ∪ {b}) = {a} {a, b} = a2 , ab .
+ Biểu thức chính quy (0 + 1)∗ 000(0 + 1)∗ biểu diễn ngôn ngữ
chính quy {0, 1}∗ {000} {0, 1}∗ , tức ngôn ngữ đó gồm tất cả các từ có ba
số 0 liên tiếp.

Ví dụ 1.8.
+ Ngôn ngữ L = {a, ba} được biểu diễn bởi biểu thức chính quy
a + ba.
+ Ngôn ngữ L = {a}∗ {ba} được biểu diễn bởi biểu thức chính quy
an .ba, ∀n ∈ N.
+ Ngôn ngữ L = {a, ε} {bba} được biểu diễn bởi biểu thức chính

quy abba + bba.

1.2.

Otomat hữu hạn

1.2.1.

Otomat hữu hạn đơn định

Mô cách phi hình thức, otomat hữu hạn là "máy" đoán nhận từ
gồm 3 thành phần:
+ Có một băng vào, mỗi ô ghi một chữ của bảng chữ Σ.
+ Có một đầu đọc, mỗi thời điểm quan sát một ô trên băng vào.
15


+ Có một bộ điều khiển gồm hữu hạn trạng thái, tại mỗi thời điểm
có một trạng thái hiện thời.

Hình 1.1: Mô tả một DFA

Hoạt động của otomat hữu hạn
+ Otomat hữu hạn làm việc theo từng bước rời rạc. Một bước làm
việc như sau: Tùy theo trạng thái hiện thời của Q và kí hiệu mà đầu đọc
quan sát được mà otomat chuyển sang trạng thái mới, đồng thời đầu
đọc dịch chuyển sang phải 1 ô. Quy luật chuyển trạng thái được cho bởi
1 hàm, gọi là hàm chuyển δ : Q × Σ → Q.
+ Trong Q có một phân biệt một trạng thái q0 -trạng thái đầu và
một tập F - các trạng thái kết thúc (trạng thái cuối).

+ Ta nói otomat đoán nhận một xâu vào ω ∈ Σ∗ nếu otomat xuất
phát từ trạng thái đầu q0 với đầu đọc nhóm vào kí tự trái nhất của ω,
sau một số hữu hạn bước làm việc, nó đọc xong xâu ω và đầu đọc rơi
vào một trong những trạng thái cuối.
+ Tập hợp mọi xâu đoán nhận của otomat lập thành ngôn ngữ
đoán nhận được bởi otomat đó.
Định nghĩa 1.7. Otomat hữu hạn đơn định(DFA) là một bộ gồm 5
thành phần A = (Q, Σ, δ, q0 , F ), trong đó:
16


+ Q là một tập hữu hạn khác rỗng các trạng thái;
+ Σ là một bảng chữ, được gọi là bảng chữ vào;
+ δ : Q × Σ → Q là hàm chuyển trạng thái;
+ q0 ∈ Q được gọi là trạng thái bắt đầu;
+ F ⊆ Q được gọi là tập trạng thái kết thúc.
Nếu δ (q, a) xác định ∀q ∈ Q, ∀a ∈ Σ, thì otomat A được gọi là
otomat hữu hạn đơn định đầy đủ.
Hàm chuyển trạng thái mở rộng:
Để mô tả hoạt động của một DFA trên chuỗi, ta mở rộng hàm
chuyển δ như sau: δ : Q × Σ∗ → Q
+ δ (q, ε) = q;
+ δ (q, wa) = δ δ (q, w) , a .
Vì δ(q, a) = δ(δ(q, ε), a) = δ(q, a), với mọi a ∈ Σ nên người ta
thường kí hiệu δ thay cho δ.
Ngôn ngữ đoán nhận bởi DFA:
Một chuỗi w được đoán nhập bởi otomat hữu hạn đơn định A =
(Q, Σ, δ, q0 , F ) , nếu δ (q0 , w) = p với p ∈ F.
Ngôn ngữ được đoán nhận bởi A, ký hiệu L(A) là tập hợp:
L (A) = {w|δ (q0 , w) ∈ F } .

Định nghĩa 1.8. Hai otomat cùng đoán nhận một ngôn ngữ thì gọi là
hai otomat tương đương.
Biểu diễn otomat hữu hạn đơn định

17


Cho otomat hữu hạn đơn định A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) với Q = {q0 , q1 , ..., qm }
và Σ = {a1 , a2 , ..., an }.
Biểu diễn otomat bằng bảng chuyển
Dựa vào hàm chuyển của otomat hữu hạn A, ta lập bảng chuyển
với các ô (i, j) như sau:

 δ (q , a ) , nếu δ (q , a ) ∈ Q;
i j
i j
(i, j) =
 ∅, nếu δ (qi , aj ) ∈
/ Q.

Ta đánh dấu → trước trạng thái bắt đầu và trạng thái kết thúc
được in đậm trong cột đầu tiên của bảng.
Biểu diễn otomat bằng đồ thị chuyển
Hàm chuyển của otomat A có thể được biểu diễn bằng một đồ thị
chuyển có hướng, có khuyên G được xây dựng như sau:
+ Tập đỉnh của G được gán nhãn bằng các trạng thái qi , với qi ∈ Q.
+ Một cung có hướng từ đỉnh qi sang đỉnh qj và trên cung được
gán nhãn a nếu có hàm chuyển δ (qi , a) = qj .
+ Đỉnh vào của đồ thị G luôn là q0 và được đánh đấu → ở phía
bên trái. Các đỉnh có các trạng thái kết thúc của đồ thị được vẽ bằng

đường tròn nét đậm và các đỉnh còn lại được vẽ bằng đường tròn nét
mảnh.
18


Ví dụ 1.9.
Cho otomat hữu hạn đơn định A = (Q, Σ, δ, q0 , {q3 }), trong đó
Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }, Σ = {a, b} và hàm chuyển δ xác định như sau:
δ (q0 , b) = q1 ; δ (q1 , b) = q2 ; δ (q2 , a) = q3 ; δ (q3 , a) = q3 ; δ (q3 , b) = q3 .
Ta có bảng chuyển và đồ thị chuyển của otomat A được cho trong
các hình sau:

Hình 1.2: Bảng chuyển trạng thái của otomat A

Hình 1.3: Đồ thị chuyển của otomat A

Dãy trạng thái của otomat A đoán nhận từ w = bbabaa. Suy ra
từ w được đoán nhận bởi otomat A. Vậy ngôn ngữ được đoán nhận bởi
otomat A là L (A) = {bbaw|w ∈ {a, b}∗ } .
Ví dụ 1.10.
Cho otomat hữu hạn đơn định A = (Q, Σ, δ, q0 , {q2 }), trong đó Q =
{q0 , q1 , q2 , q3 }, Σ = {0, 1} và hàm chuyển δ xác định như sau: δ (q0 , 1) =
q1 ; δ (q1 , 1) = q2 ; δ (q2 , 0) = q3 ; δ (q3 , 0) = q3 ; δ (q3 , 1) = q1 .
19


Hình 1.4: Bảng chuyển của otomat A

Ta có bảng chuyển đổi và đồ thị chuyển của otomat A được cho
trong các hình sau:

Hình 1.5: Bảng chuyển của otomat A

Hình 1.6: Đồ thị chuyển của otomat A

Dãy trạng thái của otomat A trong quá trình đoán nhận từ
w = 110110.
Vậy otomat A không đoán nhận từ w. Dễ kiểm tra được otomat
A đoán nhận ngôn ngữ L (A) = {(110)n (011)m |n ≥ 1, m ≥ 1} .

20


Hình 1.7: Quá trình đoán nhận từ w của otomat A

1.2.2.

Otomat hữu hạn không đơn định

Xét một dạng sửa đổi mô hình DFA để chấp nhận không, một
hoặc nhiều hơn một phép chuyển từ một trạng thái trên cùng một ký
hiệu vào. Mô hình này gọi là otomat hữu hạn không đơn định (NFA).
Định nghĩa 1.9. Otomat hữu hạn không đơn định (NFA) là một bộ 5
thành phần (Q, Σ, δ, q0 , F ) , trong đó Q, Σ, q0 và F có ý nghĩa như trong
DFA, nhưng hàm chuyển δ là ánh xạ từ Q × Σ → 2Q .
Khi đó δ (q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p sao cho có phép
chuyển trên nhãn a từ trạng thái q tới p.
Tương tự DFA, NFA cũng được biểu diễn bởi bảng chuyền và đồ
thị chuyển.
Hàm chuyển trạng thái mở rộng:

Để thuận tiện trong việc mô tả hoạt động otomat trên chuỗi, ta
mở rộng hàm chuyển δ : Q × Σ∗ → 2Q như sau:
+ δ (q, e) = {q} ;
+ δ (q, wa) = p| vớir ∈ δ(q, w), p ∈ δ(r, a) = δ (δ (q, w) , a) .
+ δ (P, w) = ∪q∈P δ(q, w).
Dễ kiểm tra rằng δ(q, a) = δ(q, a), ∀a ∈ Σ. Do đó người ta cũng
đồng nhất δ với δ.
21


Hình 1.8: Sơ đồ chuyển của một NFA

Ngôn ngữ được đoán nhận bởi NFA:
Một chuỗi ký hiệu vào a1 a2 ...an được chấp nhận bởi một NFA nếu
có tồn tại một chuỗi các phép chuyển, tương ứng với chuỗi vào, từ trạng
thái bắt đầu đến trạng thái kết thúc. Chẳng hạn, chuỗi 01001 được chấp
nhận bởi otomat trong hình 1.12 vì có chuỗi phép chuyển qua các trạng
thái q0 , q0 , q0 , q3 , q4 , q4 có nhãn tương ứng là 0, 1, 0, 0, 1. NFA này chấp
nhận tất cả các chuỗi có hai số 0 liên tiếp hoặc hai số 1 liên tiếp.
Chú ý rằng có thể xem otomat hữu hạn đơn định (DFA) là một
trường hợp đặc biệt của NFA, trong đó mỗi trạng thái chỉ có duy nhất
một phép chuyển trên mỗi ký hiệu vào. Vì thế trong DFA, với một chuỗi
vào w và trạng thái q, chỉ có đúng một đường đi nhãn w bắt đầu từ
q. Để xác định chuỗi w có được chấp nhận bởi DFA hay không chỉ cần
kiểm tra đường đi này. Nhưng đối với NFA, có thể có nhiều đường đi có
nhãn là w, và do đó tất cả phải được kiểm tra để thấy có hay không có
đường đi tới trạng thái kết thúc.

22

Hình 1.9: Quá trình đoán nhận từ 01001 của otomat NFA

Ngôn ngữ L(A), với A là otomat hữu hạn không đơn định (Q, Σ, δ, q0 , F )
là tập hợp:
L (A) = {w|δ (q0 , w) có chứa một trạng thái trong F } .
Ví dụ 1.11.
Cho otomat hữu hạn không đơn định A = (Q, Σ, δ, q0 , {q0 }), trong
đó Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }, Σ = {0, 1} và hàm chuyển δ xác định như sau:
δ (q0 , 1) = {q0 , q1 } ; δ (q0 , 0) = q0 ; δ (q1 , 0) = q2 ; δ (q2 , 1) = q0 .
Ta có bảng chuyển và đồ thị chuyển của otomat A được cho trong
các hình sau

Hình 1.10: Bảng chuyển của otomat A

23