TIỂU LUẬN sự TƯƠNG tự GIỮA điện và cơ

GVHD: Nguyễn Như Lê

Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài “Sự tương tự giữa điện và cơ”, bên cạnh sự nổ lực của bản
thân đã vận dụng những kiến thức tiếp thu được ở trường, tìm tòi học hỏi cũng như thu
thập thông tin có liên quan đến đề tài, em luôn nhận được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình.
Em xin gửi lời cảm ơn đến cô giáo Nguyễn Như Lê - GV học phần Cơ lý
thuyết. Em xin chân thành cảm ơn cô đã tạo điều kiện để em được thực hiện đề tài này.
Cô cũng là người đã hướng dẫn em làm đề tài này, cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và
là nguồn động lực quan trọng để em hoàn thành. Em xin cảm ơn cô.
Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoa Vật Lý, Trường Đại
Học Sư Phạm Huế đã tận tình truyền đạt kiến thức trong 2 năm học tập. V ới
vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá
trình nghiên cứu tiểu luận mà còn là hành trang quý báu đ ể em ti ếp t ục h ọc t ập
và bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và khả năng còn hạn chế, không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được sự góp ý chân tình từ các thầy cô
và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Tuyết Diễm

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm


GVHD: Nguyễn Như Lê

MỤC LỤC

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

GVHD: Nguyễn Như Lê

PHẦN A. MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Vật Lý, chương dao động cơ và chương dao động
điện từ có nhiều điểm tương tự về quy luật biến đổi theo thời gian và các đại
lượng nhưng đa số các bạn chưa có sự liên hệ giữa hai phần kiến thức này. Các
bạn có thể làm rất tốt các bài tập phần dao động cơ nhưng lại cảm thấy lúng túng
khi làm bài tập về phần dao động điện từ, điều đó dẫn đến tình trạng các bạn nhớ
máy móc các cách giải mà không có một cơ sở khoa học để hiểu và suy luận
kiến thức, như vậy thì các bạn không thể nhớ được lâu. Đa số các bạn không có
phương pháp sâu chuỗi các kiến thức lại với nhau nên thấy các chương học tách
rời nhau và nhàm chán với môn học dẫn tới kết quả học tập không cao.
Đối với sinh viên chuyên ngành Vật Lý, việc thâu tóm kiến thức giữa các
phần, tìm ra mối liên hệ logic giữa các chương Vật Lý để có thể nhớ và vận
dụng kiến thức một cách nhanh chóng, hiệu quả nhất là thực sự cần thiết. Việc
nghiên cứu sự tương tự giữa điện và cơ sẽ là công cụ hữu ích giúp sinh viên ghi
nhớ các công thức và giải các bài tập về dao động điện từ một cách linh hoạt,
nhanh chóng.
Chính vì lí do do đó, em quyết định chọn đề tài “Sự tương tự giữa điện
và cơ ” để nghiên cứu tiểu luận của mình. Em mong rằng tiểu luận này sẽ là tài
liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên chuyên ngành Vật Lý để phục vụ
cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy.
2. Mục đích nghiên cứu
Khai thác sự tương tự giữa dao động điện và dao động cơ nhằm giải
nhanh các bài toán về dao động điện từ, phục vụ tốt cho việc học tập các môn:
Điện động lực học, Cơ lý thuyết.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các giáo trình, bài giảng về dao động cơ và dao động điện.

- Các tài liệu trên trang web về dao động cơ và dao động điện, sự tương tự
giữa điện và cơ và những đề tài liên quan.
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

3


GVHD: Nguyễn Như Lê
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu, phân tích sự tương tự giữa điện và cơ:
- Tìm hiểu lý thuyết, bài tập về dao động cơ, dao động điện và sự tương tự
giữa chúng.
- Sưu tầm, tổng hợp các tài liệu, các bài tập hay trên Internet có thể đưa
vào giảng dạy chủ đề “Sự tương tự giữa điện và cơ” ở học phần Cơ lý thuyết,
khoa Vật Lý trường ĐHSP Huế.
Nghiên cứu các phương pháp giải bài tập của dao động điện một cách
tương tự với dao động cơ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu, phân tích: Nghiên cứu nội dung giáo trình dao
động cơ, dao động điện từ, các bài nghiên cứu sự tương tự giữa điện và cơ, các
tài liệu từ sách vở, trang web liên quan đến đề tài.
Phương pháp tổng hợp, xây dựng tài liệu: Tìm tòi các tài liệu Internet,
tổng hợp và xây dựng đầy đủ lý thuyết về dao động cơ, dao động điện, sự tương
tự giữa điện và cơ, xây dựng hệ thống bài tập áp dụng sự tương tự giữa điện và
cơ để giải các bài tập về dao động điện từ.
6. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu những điểm tương tự về quy luật biến đổi theo
thời gian và các đại lượng của dao động cơ và dao động điện, tìm ra các phương
pháp giải có thể áp dụng tương tự để gải nhanh các bài tập về dao động điện từ.

PHẦN B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Lý thuyết về dao động cơ
 Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh vị trí cân bằng.
 Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng
nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ.

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

4


GVHD: Nguyễn Như Lê
1.1 Dao động điều hòa
1.1.1. Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật
là một hàm côsin hay sin của thời gian.
1.1.2. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong
con lắc lò xo:

Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang. Con lắc lò
xo có độ cứng k gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng không
đáng kể, đầu kia của lò xo cố định
Trục x như hình vẽ, gốc O ứng với vị trí cân bằng. Tọa độ x của vật tính
từ vị trí cân bằng gọi là li độ.
Lực F tác dụng lên vật nặng là lực đàn hồi của lò xo, lực này luôn hướng
về O (trái dấu với li độ) và độ lớn tỉ lệ với li độ, nên:
F = -kx
Gia tốc của vật nặng có khối lượng m bằng đạo hàm hạng hai của li độ
theo thời gian
Bỏ qua ma sát và áp dụng định luật II Newton :

ω2 =
Đặt:

k
m

⇒ x '' + ω 2 x = 0

(*)

1.1.3. Phương trình dao động điều hòa:
Nghiệm của phương trình động lực học (*) :
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

5


x = A cos( ωt + ϕ )

GVHD: Nguyễn Như Lê
(1)

Trong đó:
 Li độ x: là độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng.
 Biên độ A: là giá trị cực đại của li độ, luôn dương.
 Pha dao động : xác định li độ x của dao động tại thời điểm t với một
biên độ đã cho.
 Pha ban đầu : xác định li độ x tại thời điểm t=0
 Tần số góc : là tốc độ biến đổi của góc pha, có giá trị xác định (không

đổi) đối với hệ vật đã cho. Đơn vị rad/s hoặc độ/s
1.1.4. Chu kì, tần số:
T=

Chu kì T(s) :

2π
t
=
ω
N

f =

Tần số f (Hz) :

(t là thời gian, N là số dao động)

1 ω
N
=
=
T 2π
t

1.1.5. Vận tốc: (2)
1.1.6. Gia tốc: (3)
- Nhận xét:
+ Áp dụng đẳng thức :

sin 2 α + cos 2 α = 1

, rút và ở (1) và (2) thế vào ta

được:
2

2

v2
x  v 
2
2
  +
 =1
A =x + 2
 A   ωA 
⇒
ω

+ Lấy (1) thế vào (3) ta được :

(4)

a = −ω 2 x

(5)

(4) và (5) là hai công thức độc lập thời gian giữa li độ, vận tốc và gia tốc

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

6


GVHD: Nguyễn Như Lê
1.1.7. Mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều :
Xét 1 điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O theo chiều
dương với tốc độ góc . Gọi P là hình
chiếu của M lên trục Ox.
Giả sử ban đầu (t=0) điểm M ở vị
trí được xác định bằng góc . Ở thời điểm
t, nó chuyển động đến điểm M, xác định
bởi góc: với
Khi đó, tọa độ của điểm P là :
Đặt OM=A, phương trình tọa độ P viết lại:
Suy ra, điểm P dao động điều hòa.
Vậy: Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật
chuyển động tròn đều lên một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
1.1.8. Các khoảng thời gian ngắn nhất thường sử dụng trong các bài
dao động điều hòa:
+ Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng O đến vị trí là (T là chu
kì)
Chứng minh:
Dựa vào mối quan hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa, ta có thời gian vật đi từ vị trí cân
bằng O đến vị trí cũng bằng thời gian
vật đi từ đến trên vòng tròn, ta có góc

ở tâm có:

A
1
sinϕ = 2 =
A 2
ϕ=

suy ra:

π
6

ϕ=
hay

5π
6

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

(loại)
7


GVHD: Nguyễn Như Lê

⇒

π

ϕ
T
t= = 6 =
ω 2π 12
T

+ Bằng cách chứng minh tương tự ta có thời gian ngắn nhất vật đi từ:

.

Vị trí cân bằng O đến vị trí là
Vị trí cân bằng O đến vị trí là .

1.1.9. Năng lượng trong dao động điều hòa:
Wt =

 Thế năng :

1 2 1
kx = mω 2 A 2 cos 2 ( ωt + ϕ )
2
2

Wđ =
 Động năng :

1 2 1
mv = mω 2 A 2 sin 2 ( ωt + ϕ )
2
2

W = Wt + Wđ =
 Cơ năng :

1 2
kA
2

= hằng số

Nhận xét:
- Cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn
- Thế năng, động năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc

ω '= 2ω

,tần số

f’=2f, chu kì T’=T/2.
1.1.10. Con lắc đơn, con lắc vật lí:
a. Con lắc đơn
Con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m, treo ở
đầu một sợ dây mềm không dãn có độ dài l và có khối lượng không đáng kể.

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

8


GVHD: Nguyễn Như Lê

-Phương trình động lực học của dao động :

l
g
1
T = 2π
f =
g
l
2π

ω=
- Tần số góc, chu kì, tần số:

,

- Phương trình dao động ( khi
hoặc

s"+ω 2 s = 0

α ≤ 10 0

,

g
l

s = S 0 cos(ωt + ϕ ) S 0 << l

):
(
)

α = α 0 cos(ωt + ϕ )

Trong đó: s là li độ cong,

α

α=
li độ góc với

F=
- Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ:

S
s
α0 = 0
l
l
;

− mg
s
l

- Năng lượng:
Wđ =

+ Động năng:

1
mv 2
2

Wt = mgl (1 − cos α ) =

+ Thế năng:

1
mglα 2
α ≤ 10 0 , α (rad )
2
(
)

W = Wt + Wđ = mgl (1 − cos α 0 ) =

+ Cơ năng:

1
mglα 02
2

b. Con lắc vật lí
Con lắc vật lí là một vật rắn quay được quanh một trục nằm ngang cố định.
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

9

GVHD: Nguyễn Như Lê

α "+ω 2α = 0

- Phương trình động lực của dao động:
α = α 0 cos(ωt + ϕ )
α 0 << 1rad
- Phương trình dao động:
với

ω=
- Tần số góc:

mgd
I

, với m là khối lượng của vật rắn, d là khoảng

cách từ trọng tâm của vật rắn đến trục quay, I là momen quán tính của vật rắn.
I
1 mgd
T = 2π
f =
mgd
2π
I
- Chu kì, tần số:
;

1.2. Dao động tắt dần và dao động duy trì
a. Dao động tắt dần
 Khi không có ma sát, con lắc dao động điều hòa với tần số riêng. Tần số
riêng của con lắc chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của con lắc.
 Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.
Nguyên nhân làm tắt dần dao động là do lực ma sát và lực cản của môi trường
làm tiêu hao cơ năng của con lắc, chuyển hóa dần cơ năng thành nhiệt năng. Vì
thế biên độ của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại.
 Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt, tức là lực cản
của môi trường càng lớn.
 Nếu vật (hay hệ) dao động điều hòa với tần số góc chịu thêm tác dụng
của lực cản nhỏ thì dao động của vật (hay hệ) ấy trở thành tắt dần chậm.
Dao động tắt dần có thể coi gần đúng là dạng sin với tần số góc và biên
độ giảm dần theo thời gian cho đến bằng 0.
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

10


GVHD: Nguyễn Như Lê
 Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ô
tô, xe máy,… là những ứng dụng của dao động tắt dần.
b. Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại
sự tiêu hao vì ma sát mà không làm thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động sẽ
kéo dài mãi và được gọi là dao động duy trì.
1.3. Dao động cưỡng bức cộng hưởng
a. Dao động cưởng bức
- Khái niệm: Dao động chịu tác dụng của một ngoại lực cưởng bức tuần
hoàn

F = F0 cos Ωt

gọi là dao động cưởng bức.

- Đặc điểm:
+ Dao động cưỡng bức là điều hòa (có dạng sin).
+ Tần số góc của dao động cưỡng bức bằng tần số góc

Ω

của ngoại lực.

+ Biên độ của dao động cưỡng bức tỉ lệ thuận với biên độ của ngoại lực
và phụ thuộc vào tần số góc

Ω

của ngoại lực.

b. Dao động cộng hưởng
- Giá trị cực đại của biên độ A của dao động cưỡng bức đạt được khi tần
số góc của ngoại lực (gần đúng) bằng tần số góc riêng của hệ dao động tắt dần.
Khi biên độ A của dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, người ta nói rằng có
hiện tượng cộng hưởng.
- Điều kiện để xảy ra cộng hưởng là

Ω = ω0

(gần đúng).

- Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ A vào tần số góc Ω của
ngoại lực gọi là đồ thị cộng hưởng. Nó càng nhọn khi lực cản của môi trường
càng nhỏ.

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

11


GVHD: Nguyễn Như Lê

- Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng:
Tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, ... đều là những hệ dao động và có
tần số riêng. Phải cẩn thận không để cho chúng chịu tác dụng của các lực cưởng
bức mạnh, có tần số bằng tần số riêng để tránh sự cộng hưởng, gây dao động
mạnh làm gãy, đổ.
Hộp đàn của đàn ghi ta, viôlon, ... là những hộp cộng hưởng với nhiều
tần số khác nhau của dây đàn làm cho tiếng đàn nghe to, rõ.
2. Lí thuyết về dao động điện từ
2.1. Mạch dao động điện từ LC
 Gồm một tụ điện C, một cuộn
cảm L, pin P và chuyển mạch K, điện trở
R dùng để hạn chế dòng điện nạp.
 Nếu r rất nhỏ : mạch dao động lí
tưởng.
 Muốn mạch hoạt động tích điện cho tụ điện rồi cho nó phóng điện tạo ra
một dòng điện xoay chiều trong mạch.
2.2. Sự biến thiên điện tích, dòng điện và hiệu điện thế trong mạch
dao động điện từ LC

a. Khảo sát mạch LC
 Đầu tiên chuyển K sang a để nạp điện cho tụ điện C từ pin P, điện tích q
của tụ tăng từ 0 đến giá trị cực đại , tụ điện ngừng tích điện.
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

12


GVHD: Nguyễn Như Lê
 Chuyển K sang b tạo thành mạch kín giữa L và C gọi là mạch dao động,
tụ điện C đang tích điện sẽ phóng điện qua L, ban đầu dòng điện tăng gây ra
e = −L

hiện tượng tự cảm với

di
dt

. Suất điện động tự cảm làm chậm sự phóng

điện của tụ điện, và khi tụ điện hết điện tích thì dòng tự cảm lại nạp điện cho tụ
điện, làm cho tụ điện lại được tích điện nhưng theo chiều ngược lại. Sau đó, tụ
điện lại phóng điện theo chiều ngược với ban đầu. Hiện tượng sẽ lặp đi lặp lại
tạo thành dao động điện và đao động từ trong mạch.
Quá trình dao động điện và dao động từ trong mạch LC tượng tự như dao
động của con lắc đơn.
 Xét khoảng thời gian vô cùng nhỏ thì dòng điện trong mạch thỏa mãn
i=

dq

= q'
dt

tự cảm:

. Trong cuộn dây có từ thông biến thiên làm phát sinh suất điện động

e = − Li ' = − Lq"

Cuộn cảm đóng vai trò như một máy thu, theo định luật Ôm đối với đoạn
mạch chứa máy thu ta được:

u = e − ir

Mà

r≈0

nên

q
= − Lq"
C
ω=

Đặt

u ≈ e = − Lq"
q"+

hay

u=

. Ta lại có:

q
C

, nên:

q
=0
LC

1
LC

, ta có phương trình:

q"+ω 2 q = 0

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

13


GVHD: Nguyễn Như Lê
Tương tự như ở phần cơ dao động cơ, nghiệm của phương trình này có
dạng:

q = Q0 cos(ωt + ϕ )

Từ đó :
 Cường độ dòng điện tức thời:
i = q ' = −ωQ0 sin(ωt + ϕ ) = I 0 cos(ωt + ϕ +
u=

 Hiệu điện thế giữa 2 bản tụ:

π
)
2

q Q0
=
cos(ωt + ϕ ) = U 0 cos(ωt + ϕ )
C C

Nhận xét : Trong mạch LC thì q, u, i biến thiên điều hòa cùng tần số,

trong q và u cùng pha và cùng chậm pha hơn i một góc

π
2

.

b.Chu kì và tần số dao động riêng của mạch LC
1

ω=

LC

 Tần số góc riêng:
T=

2π
= 2π LC
ω

f =

1
1
=
T 2π LC

 Chu kì riêng:

 Tần số riêng:

2.3. Năng lượng điện từ
 Năng lượng điện trường tập trung giữa hai bản tụ điện:
Wđ =

⇒ Wđ max

1 2 1
q2

Cu = qu =
2
2
2C

Q02
1
1
2
= CU 0 = Q0U 0 =
2
2
2C

 Năng lượng từ trường tập trung trong lòng ống dây:
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

14


GVHD: Nguyễn Như Lê
Wt =
⇒ Wt max =

1 2
Li
2

1 2
LI 0

2

 Năng lượng điện từ của toàn mạch:

W = Wđ + Wt

Q02 1
1 2 1 2
1
1
2
⇒ W = Cu + Li = Wđ max = Wt max = CU 0 =
= Q0U 0 = LI 02
2
2
2
2C 2
2

=h

ằng số (6)
Vậy:  Trong quá trình dao động của mạch, năng lượng từ trường và năng
lượng điện trường luôn chuyển hóa cho nhau, nhưng tổng năng lượng điện từ là
không đổi.
 Gọi T và f là chu kì và tần số biến đổi của i (hoặc u) thì năng lượng điện
trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn cùng chu kì T’=0,5T, tần số
f’=2f và ngược pha .
 Trong một chu kì dao động điện từ, có 4 lần năng lượng điện trường
bằng năng lượng từ trường.

 Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện trường bằng năng lượng từ

t0 =
trường là

T
4

.
W =

 và biến thiên từ 0 đến giá trị cực đại

bằng”

1 2
LI 0
4

1 2
LI 0
2

và quanh giá trị “cân

.

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

15

GVHD: Nguyễn Như Lê
 Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện trường hay năng lượng từ
t0 =

trường có giá trị cực đại là

T
2

.

2.4. Xây dựng biểu thức liên hệ giữa các giá trị tức thời và cực đại
dựa vào sự bảo toàn năng lượng điện từ
Wđ max = Wt max ⇔

Ta có :

C
I = i + u2
L
2
0

Từ (6) suy ra:

U 02 = u 2 +

q2

I =i +
= i 2 + q 2ω 2
CL
2
0

2

hay

2

hay

L 2
i
C
i2
Q = q + CLi = q + 2
ω
2
0

Suy ra

hay

1
1
L

C
CU 02 = LI 02 ⇔ U 0 = I 0
⇔ I0 = U0
2
2
C
L

 i

 I0

2

2

2

2

2

  q 
 + 
 = 1
Q
  0

hay

 i

 I0

2

2

  u 
 + 
 = 1
U
  0

2.5. Dao động điện từ tắt dần
 Nguyên nhân: Do mạch có , do sự bức xạ sóng điện từ ra không gian.
 Mạch dao động có điện trở thuần thì dao động sẽ tắt dần. Để duy trì
dao động cần cung cấp cho mạch một năng lượng có công suất:

ω 2 C 2U 02
U 02 RC
P=I R=
R=
2
2L
2

2.6. Dao động điện từ cưỡng bức. Sự cộng hưởng điện:
Mạch dao động điện từ cưỡng bức là mạch được mắc với nguồn có tần số
là ω và dao động theo tần số ω khác ω0 (tần số riêng).

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

16


GVHD: Nguyễn Như Lê
Khi tần số của nguồn cưỡng bức ω bằng tần số riêng ω0 của mạch xảy ra
cộng hưởng điện. Khi đó biên độ dao động cực đại.
Điều kiện : ω = ω0
II. SỰ TƯƠNG TỰ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỆN VÀ DAO ĐỘNG CƠ
Từ các nội dung trên, ta thấy giữa dao động điện từ trong mạch LC và dao
động cơ của con lắc có nhiều điểm tương tự về quy luật biến đổi theo thời gian
và các đại lượng. Các phương trình và công thức biểu thị hai loại dao động có
cùng một dạng.
1. Sự tương tự về các đại lượng
Bảng 1
Đại lượng cơ
x
v
m
k
F

Đại lượng điện
q
i
L
u
R

2. Các phương trình và công thức biểu thị hai loại dao động có cùng
một dạng
Bảng 2
Dao động điện

Dao động cơ

Đối của lực hồi phục:
-F=-ma=kx

Hiệu điên thế giữa hai bản tụ:
Suất điện động tự cảm:

Động năng:
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

Năng lượng từ trường:
17


GVHD: Nguyễn Như Lê
Thế năng:

Năng lượng điện trường:

Cơ năng:

Năng lượng điện từ:

3. Mối quan hệ tương đồng qua cách mắc thành bộ
Trong cấu trúc mạch qua hai cách mắc cơ bản là nối tiếp và song song
các phần tử (điện trở R, cuộn cảm L, tụ điện C, lò xo k) với nhau, ta cũng thấy
có những điểm tương đồng.
Bảng 3: Mối quan hệ tương đồng qua cách mắc thành bộ
Các
Điện trở
Cuộn cảm
Tụ điện
Lò xo
h
mắ
c
Nối Rtđ = R1 + R2 + ... + Rn L = L1 + L2 + ... + Ln 1 = 1 + 1 + ... + 1 1 = 1 + 1 + ... + 1
C C1 C 2
C nk k1 k 2
kn
tiếp
Son
g
son
g

1
1
1
11
1
1
1 C = C1 + C 2 + ... + C n k = k1 + k 2 + ... + k n

=
+
+ ... +
=
+
+ ... +
Rtđ R1 R2
RnL L1 L2
Ln

4. Sự tương tự về quy luật biến đổi theo thời gian
1. Trong dao động điều hòa của con lắc, có sự chuyển hóa qua lại giữa thế
năng và động năng nhưng tổng của chúng tức cơ năng luôn không đổi. Khi động
năng đạt cực đại, thế năng bằng 0 và ngược lại. Động năng và thế năng cũng dao
động tuần hoàn ngược pha nhau với chu kì bằng một nửa chu kì riêng của con
lắc, tần số gấp đôi tần số riêng. Thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng
thế năng là 1/4 chu kỳ.
Trong dao động điện từ của mạch LC, có sự chuyển hóa qua lại giữa
năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng tức
năng lượng điện từ không đổi. Khi năng lượng từ trường đạt cực đại, năng
lượng điện trường bằng 0 và ngược lại. Năng lượng điện trường và năng lượng
từ trường cũng dao động tuần hoàn ngược pha nhau với chu kì bằng một nửa
chu kỳ riêng của mạch LC, tần số gấp đôi tần số riêng. Thời gian giữa hai lần
liên tiếp năng lượng từ trường bằng năng lượng điện trường là 1/4 chu kỳ.
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

18


GVHD: Nguyễn Như Lê

2. Khi vật dao động điều hòa, vận tốc của nó nhanh pha hơn li độ một góc

π
2

trong khi gia tốc cũng như lực hồi phục thì dao động ngược pha với li độ.
Trong mạch dao động điện từ LC, cường độ dòng điện nhanh pha hơn

điện tích một góc trong khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ ngược pha với điện
tích.
3. Thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí cân bằng đến các vị

trí có li độ A lần lượt là

T T T T
, , và
12 8 6
4

.

Thời gian ngắn nhất để điện tích trên bản tụ tăng từ 0 đến các giá trị lần
lượt là và

.

4. Dao động của vật tắt nhanh hay chậm tùy thuộc vào độ lớn lực cản của
môi trường.
Dao động điện từ trong mạch LC tắt nhanh hay chậm phụ thuộc vào điện
trở R.

5. Có thể tăng chu kì dao động bằng cách treo thêm vào vật một khối
lượng mới . Chu kì mới sau đó được tính bằng công thức:

Với là các chu kì dao động nếu hệ chỉ có mỗi .
Có thể tăng chu kỳ dao động của mạch LC bằng cách mắc nối tiếp với
cuộn dây một cuộn dây . Chu kỳ mới sau đó được tính bằng công thức:

với là các chu kỳ dao động khi hệ chỉ có cuộn cảm .
6. Có thể tăng chu kì dao động của con lắc lò xo bằng cách ghép nối tiếp
thêm các lò xo khác có độ cứng để tạo thành một lò xo dài hơn. Lò xo ghép có
độ cứng xác định từ:

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

19


GVHD: Nguyễn Như Lê
Chu kì sau khi ghép:
trong đó là chu kì dao động của con lắc khi chỉ mắc vào lo xo .
Có thể tăng chu kì dao động của mạch LC bằng cách ghép song song các
tụ điện có điện dung để tạo thành bộ tụ có điện dung được xác định như sau:
Khi đó chu kỳ của mạch dao động là:
trong đó là chu kì dao động của mạch khi chỉ có từng tụ điện .
7. Có thể giảm chu kì dao động của con lắc lò xo bằng cách mắc song
song với lò xo sẵn có các lò xo khác có độ cứng . Hệ lò xo song song có độ
cứng xác định từ:
Chu kì sau khi ghép:
Có thể giảm chu kỳ dao động của mạch LC bằng cách mắc nối tiếp các tụ
điện có điện dung để tạo thành bộ tụ có điện dung được xác định như sau:

Khi đó chu kì dao động của mạch là:
Ở mệnh đề 6 và 7, việc thay thế máy móc các cụm từ “ghép lò xo song
song” thành “ghép các tụ điện song song” hay “ghép lò xo nối tiếp” thành “ghép
các tụ điện nối tiếp” sẽ tạo ra các mệnh đề sai. Điều này nói lên rằng: Tương tự
điện-cơ chỉ là sự tương tự về mặt toán học, không có một tương tự nào về bản
chất Vật lý của con lắc lò xo và mạch dao động LC.
Sự đồng nhất về dạng này không chỉ là hình thức, mà là sự đồng nhất về
quy luật biến đổi theo thời gian. Điều đó dẫn đến một loạt các đặc tính tương tự
của hai loại dao động đó như : tính tuần hoàn, chu kì riêng, tần số riêng, bảo
toàn và chuyển hóa năng lượng, sự tắt dần, việc duy trì dao động, sự cộng
hưởng,...
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

20


GVHD: Nguyễn Như Lê
5. Sử dụng các phương trình Lagrange loại 2
5.1

Dao động cơ
Phương trình Lagrange loại 2:
Hàm Lagrange:

với T là động năng và U là thế năng
Trong trường hợp có ma sát, ta xác định được thế năng “” thì hàm
Lagrange là:

5.2 Dao động điện
Nguyên lí biến phân đúng cho mọi hệ vật lý nên cũng đúng cho phần điện.

Hay nói cách khác, phương trình Lagrange loại 2 đúng cho phần điện.
Hàm Lagrange trong dao động điện cũng tương tự như hàm Lagrange
trong dao động cơ, với:
- Động năng là năng lượng của cuộn dây.
- Thế năng là năng lượng tụ điện.
- Công của lực cản là nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở.

III. MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thấy giữa dao động điện từ và dao động cơ só sự tương tự. Vì vậy, ta có
thể giải các bài tập về mạch dao động điện giống như các bài tập về dao động cơ.
Dạng 1.Viết biểu thức của q, i, u trong mạch dao động lý tưởng
Phương pháp giải :
a. Viết biểu thức của q :
Ta thấy biểu thức của q và x là tương tự nhau: và

x = A cos( ωt + ϕ )

. Để

viết biểu thức của q ta áp dụng tương tự như viết biểu thức của phương trình dao
động điều hòa, tức là ta phải tìm , .
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

21


GVHD: Nguyễn Như Lê
Q0 =

Tìm : Ta thường áp dụng công thức hoặc

ω=
Tìm : ta có

I0
ω

1
LC

Tìm : Ta dựa vào điều kiện ban đầu lúc t = 0 ta có

⇒ϕ

b.Viết biểu thức của i
Ta có i = q’ nên ta dễ dàng suy ra được biểu thức i
u=

c.Viết biểu thức của u: Ta có

q
C

nên ta có thể suy ra biểu thức u từ

biểu thức q.
Bài tập 1: Một mạch dao động điện từ lý tưởng gồm tụ điện có điện dung
C= 10pF và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L= 10 mH. Tụ điện được tích
điện đến hiệu điện thế 12V. Sau đó tụ điện phóng điện trong mạch. Lấy và gốc
thời gian lúc tụ điện bắt đầu phóng điện.

a. Viết biểu thức của điện tích.
b. Viết biểu thức của cường độ dòng điện.
c. Viết biểu thức của điện áp tức thời trên tụ.
Giải:
a. Điện tích trên tụ điện biến thiên điều hòa nên có dạng:

ω=

1
LC

=

1
−3

10.10 .10.10

− 12

=

10 6 π (rad / s )

Ta có:
Q0 = CU 0 = 10.10 −12.12 = 1,2.10 −12 C
và
Q0 = Q0 cos ϕ ⇒ ϕ = 0
Lúc t = 0 thì ta có
. Vậy biểu thức của q là:

−10
6
q = 1,2.10 cos 10 πt
(C)

i = q ' = −1,2.10 π sin10 πt
−4

b. Ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

1,2.10 − 4 π cos(10 6 πt +

6

=

π
)
2
22


GVHD: Nguyễn Như Lê

c. Ta có biểu thức của u là:

q 1,2.10 −10 cos10 6 πt
u= =

= 12 cos 10 6 πt
−12
C
10.10

Bài tập tương tự:
1.

Mạch dao động gồm tụ điện có điện dung 1800pF; cuộn cảm có độ tự cảm

2 µH

.

Người ta nạp điện cho tụ đến điện áp cực đại là 1 mV. Bỏ qua điện trở của các dây
nối và điện trở của cuộn cảm. Lấy gốc thời gian là lúc điện tích trên tụ cực đại. Viết
2.

phương trình của điện tích và cương độ dòng điện trong mạch.
Cho mạch dao động LC gồm cuộn cảm có hệ số tự cảm L= 0,4 mH và tụ điện có

điện dung C= 4pF. Lúc bắt đầu đóng khóa K, điện tích của tụ điện là
a. Viết biểu thức điện tích q trên tụ điện.
b. Viết biểu thức cường độ dòng điện trên cuộn cảm.
c. Viết biểu thức hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện.

Q0 = 1nC

.

Dạng 2. Tính thời gian điện tích của tụ biến thiên từ đến
Phương pháp giải: Ta xem , tương ứng với li độ , và tương ứng với
biên độ A của dao động điều hòa khi đó thời gian cần tìm là thời gian chất điểm
chuyển động từ đến thỏa mãn điều kiện đã cho và đây là dạng bài tập ta thường
gặp rất nhiều trong phần dao động cơ và ta đã có phương pháp giải.
Bài tập 1: Một tụ điện có điện dung được tích điện đến một hiệu điện thế
xác định. Sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ
tự cảm 1H. Bỏ qua điện trở của các dây nối, lấy . Sau khoảng thời gian ngắn
nhất là bao nhiêu (kể từ lúc nối) điện tích trên tụ điện có giá trị bằng một nửa giá
trị ban đầu?
Giải:
Cách 1: Ta có thể giải bài toán trên theo phương pháp truyền thống.
Phương trình của điện tích có dạng: . Chọn thời điểm t = 0 là tụ bắt đầu
phóng điện, ta có phương trình của điện tích:
Vào thời điểm điện tích trên tụ có giá trị bằng một nửa giá trị cực đại, ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

23


GVHD: Nguyễn Như Lê

q=

⇔

ωt =

⇔

t=

Q0
Q
1
⇒ 0 = Q0 cos ωt ⇔ cos ωt =
2
2
2

π
+ 2kπ
3

T
+ kT
6

ωt = −
hoặc
t=−

hoặc

π
+ 2kπ
3

T

+ kT
6
t=

Vì thời gian nhỏ nhất nên ta lấy nghiệm:

T
6

T = 2π LC = 2π 1.10.10 −6 = 2.10 − 2 ( s ) ⇒ t =

Ta có:

1
(s)
300

Cách 2: Ta có thể phân tích bài toán: Ban đầu điện tích của tụ điện cực đại
nên ứng với trường hợp vật ở vị trí biên (x=A) trong dao động cơ. Khi điện tích
trên tụ có giá trị bằng một nửa giá trị ban đầu ứng với trường hợp vật có li độ
x =

A
2

. Thời gian ngắn nhất để điện tích của tụ có giá trị bằng một nửa giá trị

x=
ban đầu ứng với thời gian ngắn nhất chất điểm đi từ vị trí x=A đến vị trí

A
2

.

Khoảng thời gian này trong

dao động cơ là

T
6

.

Áp dụng cho bài toán ta có thể giải nhanh như sau:
T = 2π LC = 2π 1.10.10 −6 = 2.10 −2 ( s )
∆t =

Vậy thời gian cần tìm
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

T
1
=
(s)
6 300

.
24

GVHD: Nguyễn Như Lê
Bài tập 2: (ĐH-2012) Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao
động điện từ tự do. Biết điện tích cực đại trên bản tụ điện là

độ dòng điện cực đại trong mạch là

0,5π 2

4 2 µC

và cường

A. Thời gian ngắn nhất để điện tích

trên một bản tụ giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại là :
4
µs
3

B.

16
µs
3

C.

2
µs

3

D.

8
µs
3

Giải:

Ta có :

I0
Q0
4 2 .10 −6
I 0 = Q0 ω ⇒ ω =
⇒ T = 2π
= 2π
= 16.10 −6 ( s )
Q0
I0
0,5π 2

Thời gian ngắn nhất để điện tích trên tụ giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá

trị cực đại là:

T 8.10 −6
8
∆t = =

s = µs
6
3
3

Bài tập 3: (ĐH-2011) Trong mạch dao động LC lí tưởng đang có dao
động điện từ tự do. Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện trường giảm từ cực

1,5.10 −4 ( s)
đại xuống còn một nửa giá trị cực đại là

. Thời gian ngắn nhất để

điện tích trên tụ giảm từ giá trị cực đại xuống còn một nửa giá trị đó là:
A.

4.10 −4 s

B.

3.10 −4 s

C.

2.10 −4 s

D.

12.10 −4 s

Giải:

Năng lượng điện trường cực đại

q=±
bằng nửa giái trị cực đại thì
SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Diễm

Q02
W =
2C

, khi năng lượng điện trường

Q0
2

. Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện
25