GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ÔN THI HỌC SINH GIỎI (LV thạc sỹ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải, người thầy với lòng nhiệt huyết đã luôn chỉ bảo
tận tình cho em từ những ngày đầu tiên, đồng thời đưa ra những lời khuyên
bổ ích giúp em hoàn thiện luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban lãnh đạo và các
đồng nghiệp trường Đại học Tân Trào cùng các bạn học viên lớp cao học
toán K7C, đã không chỉ trang bị cho em những kiến thức bổ ích mà còn luôn
giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập tại trường.
Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân là những người
luôn ủng hộ, động viên em vượt qua những khó khăn để em hoàn thành tốt
luận văn.

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................... i
Mục lục .......................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ………………………………….………………… ................... iii
Lời mở đầu …………………………………….……………… .................. 1
Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 2
1.1. Bài toán quỹ tích ......................................................................................................2
1.2. Một số quỹ tích cơ bản ....................................................................... 3

1.3. Các hướng giải bài toán quỹ tích thường gặp trong chương trình
phổ thông ........................................................................................................ 5
Chƣơng II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI........................................................................................... 16
2.1. Dạng quỹ tích cơ bản ...................................................................... 16
2.1.1 Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp ....................... 16
2.1.2. Các bài toán sử dụng phép biến hình ......................................... 31
2.1.3. Các bài toán sử dụng công cụ hình học giải tích ....................... 47
2.1.4. Các bài toán sử dụng công cụ đại số……………...................... 56
2.2. Dạng quỹ tích không cơ bản …………….. .................................... 69
Kết luận ……………………………………………………….. ................... 77
Tài liệu tham khảo ……………………………………………. .................. 78


1
PHẦN MỞ ĐẦU

Trong chương trình môn toán ở phổ thông, các bài toán quỹ tích đóng
một vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giúp học sinh hình thành, phát triển
năng lực tư duy và giúp học sinh được tiếp cận với các đối tượng toán học,
các mối quan hệ toán học trong quá trình vận động biến đổi của chúng từ đó
nhận biết được các yếu tố mang tính quy luật. Tuy nhiên đây cũng là một nội
dung khó đối với cả người dạy và người học nên trong thực tế việc nghiên
cứu sâu về bài toán quỹ tích thường chỉ được đặt ra đối với học sinh giỏi.
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để
phục vụ ngay chính công tác giảng dạy nội dung hình học trong ở trường phổ
thông chúng tôi chọn đề tài “Một số dạng toán quỹ tích trong đề thi học
sinh giỏi toán phổ thông” với mục đích có được một hệ thống bài tập để giúp
học sinh khá giỏi khi đứng trước một bài toán quỹ tích, có thể nhanh chóng
xác định đúng công cụ, cách tiếp cận để giải quyết đưa ra được lời giải cho

bài toán quỹ tích.
Luận văn có các nhiệm vụ cụ thể sau:
(1). Nghiên cứu một số lời giải các bài toán quỹ tích để đưa ra một số
cách tiếp cận, một số công cụ thường được sử dụng để giải bài toán quỹ tích
trong khuôn khổ kiến thức phổ thông.
(2). Tham khảo đề thi học sinh giỏi, tài liệu tham khảo chọn lọc ra một
hệ thống các bài toán quỹ tích để minh họa một cách trực quan các cách giải
bài toán quỹ tích.


2
Chƣơng I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bài toán quỹ tích
Khái niệm quỹ tích:
Quỹ tích những phần tử có tính chất  là tập hợp tất cả những phần tử
có tính  đó. Những phần tử trong quỹ tích có thể là điểm, là đường thẳng, là
đường cong... Tập hợp tìm được có thể là vô hạn, hữu hạn (một số điểm rời
rạc); thậm trí có thể là một tập hợp rỗng (không có phần tử nào).
Các bƣớc giải bài toán quỹ tích:
Khi giải một bài toán quỹ tích chúng ta thường phải chứng minh hai
phần Thuận và Đảo (hoặc các cặp mệnh để tương đương).
Xuất phát từ khái niệm quỹ tích ta có
- Gọi A là tập hợp những phần tử M có tính chất  : A  M  ;
- Gọi F là hình cần tìm (F có thể rỗng).
Thực chất chứng minh một bài toán quỹ tích là chứng minh: A  F.
- Phần thuận: Chứng minh A  F : Để chứng minh A  F , ta lấy 1
phần tử M bất kỳ thuộc A, ta chứng minh M  A kéo theo M  F . Chứng minh
điều này là đảm bảo tính không thiếu của quỹ tích, bất cứ phần tử nào của A
đều là của F.

- Phần đảo: Chứng minh F  A : Để chứng minh F  A , ta lấy một
phần tử M’ bất kỳ thuộc F, ta phải chứng minh M  F kéo theo M  A . Chứng
minh được điều này là đảm bảo tính chất không thừa của quỹ tích, mọi phần
tử của F đều là của A.
Sau khi chứng minh được hai phần trên, ta kết luận: A  F .


3
Trong lý thuyết tập hợp, người ta đã chứng minh: Thuận  Phản đảo;
Đảo  Phản. Vì vậy ngoài cặp mệnh đề Thuận và Đảo, ta còn có các cặp
mệnh đề khác tương đương. Sơ đồ các cặp mệnh có thể dùng để chứng minh
một bài toán quỹ tích là:
Cặp Thuận và Đảo

Cặp Đảo và Phản đảo

a) Thuận: M  A  M  F ;

a) Đảo: M  F  M  A;

b) Đảo: M  F  M  A.

b) Phản đảo: M  F  M  A.

Cặp Phản đảo và Phản

Cặp Thuận và Phản:

a) Phản đảo: M  F  M  A;

a) Thuận: M  A  M  F ;

b) Phản: M  A  M  F.

b) Phản: M  A  M  F.

Cặp “Thuận và Đảo” thường dùng để tìm quỹ tích. Cặp “Đảo và Phản
đảo” thường dùng để chứng minh quỹ tích (sau khi đã tìm ra tập F). Thường
hay sử dụng cặp (1) và cặp (2).
Vậy để giải một bài toán quỹ tích chúng ta tiến hành theo 5 bước cơ
bản sau: Dự đoán; Chứng minh Thuận; Chứng minh Đảo; Dựng hình và Biện
luận.
1.2. Các dạng quỹ tích
1.2.1. Các quỹ tích cơ bản
Một bài toán quỹ tích bao hàm hai yếu tố cơ bản: Yếu tố cố định và yếu
tố quỹ tích.
STT

1

Yếu tố cố
định

Mối liên hệ giữa yếu
tố quỹ tích với yếu
tố cố định

OR

OM = R

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
phẳng

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
không gian

Đường tròn tâm O

Mặt cầu tâm O

bán kính R

bán kính R


4

A và B
2

Góc 

Hai cung chứa góc

nhau qua A, B

A và B

3

MA
k
MB

  900

MA
k
MB

  00

A và B

Mặt cầu đường

kính AB

kính AB

A và B

(I, ) I là trung
MA  MB  k
2

MA = MB

ME  Ox

7

xOˆ y

MF  Oy
ME  MF

điểm A,B

2

thẳng d
Độ dài h

1
2k 2  AB 2
2

Apôlôniút

MH  d
MH  h

Là mặt cầu

(I, )


1
2k 2  AB 2
2

Đường thẳng

Mặt phẳng trung

trung trực của AB

trực của AB

Hai đường phân
giác của

xOˆ y

Hai đưởng thẳng

Đường
8

Mặt cầu

Apôlôniút đường



6

nhau qua A, B

kính IJ

2

(k  0)

dựng đối xứng

Đường tròn đường

Là đường tròn

5

chứa góc 

Đường tròn

A và B
4

 dựng đối xứng

AMˆ B  

Hai chỏm cầu

song song cách

đều đường thẳng
d một khoảng h

Hai mặt phẳng
phân giác của
xOˆ y

Mặt trụ tròn xoay
có trục là đường
thẳng d.


5
Là đường thẳng
A và B
9

(k  0)

d  AB tại H sao

MA2  MB 2  k 2

cho IH 

2

k
d
2AB

trung điểm AB)

Mặt phẳng  d tại
H sao cho
k2
IH 
2AB

1.2.2. Các quỹ tích không cơ bản
STT

Yếu tố cố
định

Mối liên hệ giữa yếu
tố quỹ tích với yếu
tố cố định

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
phẳng

F1, F2
1

F1F2 = 2c

MF1+MF2 = 2a
(a > c)

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
không gian

Quỹ tích là mặt
Quỹ tích là Elip

Elipxoit tròn
xoay

(c >0)
F1, F2
2

F1F2 = 2c

|MF1+MF2| = 2a

Quỹ tích là

Quỹ tích là mặt

(a < c)

Hypecbol

Hyperboloid

d(F; (Δ)) = p

Quỹ tích là

Quỹ tích là mặt

Parabol

Paraboloid

(c >0)
F, (Δ)
3
p

1.3. Các hƣớng giải bài toán quỹ tích thƣờng gặp trong chƣơng
trình phổ thông
1.3.1. Sử dụng biểu thức hình học tổng hợp:
Trong chương trình phổ thông, học sinh thường giải bài toán quỹ tích
theo phương pháp tổng hợp. Sau khi dự đoán sẽ chứng minh thuận, đảo sau
đó kết luận.


6
Ví dụ 1.1.([16])
Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động trên đường
tròn. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho MD = DB. Tìm quỹ tích của
điểm D.
Lời giải

D'

D
M

B

O

C

M'
D''
E
Hình 1.1
- Phân tích
+ Chọn vị trí của M trên đường tròn đường kính BC
Lấy điểm M bất kỳ trên cung BC nối B với M và trên BM lấy
MD = MC ta được điểm D.
Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C và cũng làm như trên ta
cũng có điểm D thứ 2.
Tương tự lấy điểm M gần điểm B trên cung BC ta cũng được điểm D
thứ 3.


7
+ Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hàng. Nên ta đoán quỹ
tích là một đường tròn hay một cung tròn
Mặt khác:
̂ = 90 (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn).
∆ CMD cân → ̂ = 45

(MD = MC)
Nên ta thấy quỹ tích của điểm D có khả năng là cung chứa góc 45 trên
đường kính BC.
Chứng minh:
- Phần thuận
Nối CM với CD
Xét ∆ CMD
̂

(góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC)

→̂

,

MD = MC (gt)

→̂
→ ∆ CDM vuông cân tại M
Khi M di động trên đường tròn đường kính BC cố định nên ta luôn có
̂

nên ta có ∆ CDM vuông cân tại

→ ̂ = 45o không đổi.

Vậy khi M chuyển động trên đường tròn đường kính BC và MD = MC
thì D cũng chuyển động theo và luôn nhìn BC dưới một góc 45 không đổi.
Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC.
Giới hạn: kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa

góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’.
Khi M → B thì D → D’ lúc này thì tia BD cũng gần tiếp tuyến BD’.


8
Khi M ≡ B thì không còn cung BM nửa nên không còn tia BD do đó
D’ là điểm giới hạn của quỹ tích và D không thuộc quỹ tích.
Khi M → C thì D → C. Khi M ≡ C thì không ∃ ∆ CMD nên không có
điểm D. Mặt khác ta thấy M di chuyển trên toàn bộ đường tròn nên còn có
những điểm D nằm trên cung thứ 2 chứa góc 45 vẽ trên BC. Hai cung này
đối xứng nhau qua BC cùng cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn cho trước tại
D’ và D”.
Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ
đường cong D’CD” trừ D’, D”, C.
- Phần đảo:
Lấy điểm E thuộc cung D’CD”
EB ∩ (O) = M’
Ta chứng minh M’E = M’C
Nối C, E ta có: ̂

vì E ∈ cung D’CD’’, ̂

∆ CM’E vuông và có ̂

nên nó là tam giác vuông cân

→ M’E = M’C.(đpcm)
Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mãn bài toán là cung D’DC và CED”
đối xứng nhau qua CB trừ D’, C, D”.
1.3.2. Sử dụng các phép biến hình trong mặt phẳng và không gian

a) Ý tƣởng
Để giải một bài toán bằng phương pháp biến hình, ta phải qua ba giai
đoạn. Giả sử M là điểm cần tìm quỹ tích.
- Bước 1: Tìm ra một phép biến hình f biến điểm trung gian M’ thành
M;


9
- Bước 2: Tìm quỹ tích M’;
- Bước 3: Tìm quỹ tích M, thường được suy từ quỹ tích của M’ qua
phép biến hình.
Chú ý rằng nếu quỹ tích trung gian M’ mà phức tạp (không phải quỹ
tích cơ bản thì cần chứng minh Thuận và Đảo của M’). Quỹ tích M không cần
chứng minh Thuận và Đảo.
b) Ví dụ 1.2. (Đề thi HSG toàn quốc, bảng A, tháng 3 năm 2002)
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường tròn (O) thay đổi đi
qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O chuyển động
trên đường thẳng BC. Đường tròn này cắt lại các đường AB và AC lần lượt ở
M và N. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN.
Lời giải

Hình 1.2
Ta thấy ̂

vì nếu ̂

thì H = A.


10

* Lời giải 1:
Gọi D là điểm xuyên tâm - đối của điểm A trên đường tròn (O) Thế thì
M và N theo thứ tự chính là các hình chiếu (vuông góc) của D trên (AB) và
(AC). Do đó trực tâm H của tam giác AMN là điểm đối xứng với D qua trung
điểm của MN. Gọi M' và N' trên (AC) và (AB). Dễ thấy rằng tam giác AHM'
đồng dạng nghịch với tam giác ADM.
Từ đó ta được: (AH, AM = -(AD, AM) (modπ).
|

̂ | và do đó

̂ |

|

|

|, trong đó

̂ .
Các đẳng thức trên nói lên rằng (AH) đối xứng với (AO) qua phân giác
Ap của góc ̂ của tam giác ABC và

(k không đổi), trong đó k=2|cos |.

Vậy H là ảnh của O trong phép vị tự - đối xứng Z(A, Ap, k). Trả lời:
Nếu ký hiệu (BC = ) thì {H} là đường thẳng a’, ảnh của a trong phép đồng
dạng nghịch (vị tự - đối xứng) ( ∆

|

|), bỏ đi hai điểm Hi

là ảnh của Oi (i = 1, 2) trên a = (BC), ở đó ̂ = ̂ = 90o.
Vậy {H} = a’/{H1, H2}; {Hi}= Z(Oi), I = 1, 2.
Chú thích: {H} ∪ {H1, H2} = a’ đi qua hai điểm E và F. Trong đó
E = PE ⊥ AC, F = QF ⊥ AB và P = DB(A), Q = DC(A). Đường thẳng (PQ)
cũng được suy ra từ a = (BC) qua phép vị tự V(A, 2).
* Lời giải 2:
Gọi P = DB(A), Q = DC(A); E = PF ⊥ AC, F = QF ⊥ AB.
Thế thì: O ∈ (BC) ⇔ D ∈ (PQ)

(1)

Ta có: MH cùng hướng và bằng DN, DN song song với PE, MD cùng
hướng và bằng HN, HN song song với QF.


11
̅̅̅̅̅

Suy ra: D ∈ (PQ) ⇔ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

⇔ H ∈ (EF)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
{O} = (BC)/{O1, O2} ⟺ {H} = (EF)/{H1, H2},
Hi = AOj ∩ (EF), ở đó i ≠ j; {i, j} = {1, 2}.
1.3.3. Sử dụng công cụ hình học giải tích
a) Ý tƣởng
Dùng một hệ trục toạ độ thích hợp để tìm mối liên hệ giữa yếu tố quỹ
tích M(x, y) với các điểm cố định bằng một phương trình biểu diễn một đường
cong cơ bản.
b) Ví dụ 1.3 (T9/273/[8])
Cho đường tròn (O; R) và một điểm P nằm trong đường tròn. Hai cạnh
Px và Py của góc vuông xPy cắt đường tròn ở A và B, các tiếp tuyến của
đường tròn tại A và B cắt nhau ở điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M khi góc
vuông xPy quay quanh P.
Lời giải
Gọi M là giao điểm của OM và AB thế thì N là trung điểm của AB và
OM vuông góc với AB ở N.
Trong tam giác AOM vuông ở A, ta có hệ thức:
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

i

(1)

Từ (1) suy ra M là ảnh của N trong phép nghịch đảo cực O đối với
đường tròn (O; R) đã cho với phương tích nghịch đảo
hết ta tìm quỹ tích trung điểm N của AB.

. Bởi vậy, trước


12

B

M

N

I

F
D

E
O

P

J

C

A

Hình 1.3
Trong ∆APM vuông ta có
.
Gọi I là trung điểm của OP, theo công thức đường trung tuyến ta có:
(2)
Mặt khác, vì PN = AN và ON ⊥ AN nên ta được:
ON2 + PN2 = ON2 + AN2 = OA2 = R2

(3)

Từ (2) và (3) suy ra 4IN2 + OP2 = 2R2
Từ đó ta được

√

trong đó d = OP < R

Vậy N nằm trên đường tròn tâm I, bán kính

√

Đảo lại, lấy một điểm N bất kỳ trên đường tròn (I; p), thế thì
√

và do đó 4IN2 = 2R2 – OP2

.


13
. Từ đó ON < R nghĩa là N

hay là

nằm bên trong đường tròn (O; R). Bây giờ qua N kẻ dây cung AB của đường
tròn đã cho (O; R) vuông góc với ON ở điểm N. Thế thì N là trung điểm của
AB và ta được:

.
Suy ra: PA ⊥ PB.
Vậy, quỹ tích các trung điểm N của dây cung AB là đường tròn tâm I
(trung điểm của OP), bán kính

√

.

Kết luận: Từ (1) dẫn đến kết luận:
Quỹ tích các điểm M là một đường tròn, là ảnh của đường tròn tâm I
bán kính xác định bởi

√

(Hình 1.3).

1.3.4. Sử dụng công cụ đại số
a) Ý tƣởng: Giả sử M là một điểm thay đổi phụ thuộc tham số m. Có
hai trường hợp sau đây:
 Trường hợp 1: Tọa độ điểm M biểu thị được theo tham số m.
Khi đó để tìm quỹ tích đại số của một điểm M, ta thực hiện theo các
bước sau:
1. Biểu thị tọa độ x; y  của M theo tham số m
 x  h(m) (1)
 x  h(m, x)
hoặc 

 y  g ( m) ( 2 )
 y  g (m, x)


14
2. Khử m trong hệ trên suy ra (C): y  f (x) .
3. Giới hạn và kết luận quỹ tích: Từ điều kiện tồn tại điểm M, suy ra
điều kiện của m và điều kiện của x (nhờ (1)), chẳng hạn x ∈ D.
 y  f ( x)
x  D

Vậy quỹ tích của điểm M là đường (C) : 
(1) được gọi là phương trình hoành độ;
(2) được gọi là phương trình tung độ.
Các trường hợp đặc biệt:

x  a
(a là hằng số)
 y  g (m)

* Nếu tọa độ của điểm M có dạng 

(1' )
( 2)

Thì (1’) là phương trình quỹ tích, (2) là điều kiện giới hạn.
 x  h ( m)
(a là hằng số)
y  a

* Nếu tọa độ của điểm M có dạng 

(1)
( 2' )

Thì (2’) là phương trình quỹ tích, (1) là điều kiện giới hạn.
* Nếu M thuộc đồ thị (D) : y = g(x) thì y = g(x) chính là phương trình
tung độ.
 Trường hợp 2: Tọa độ điểm M không biểu thị được theo m
Khi đó việc tìm quỹ tích đại số của điểm M được đưa vào điều kiện tồn
tại của điểm ấy.
b) Ví dụ 1.4 (Quỹ tích trung điểm dây cung)([2])
Cho Hypebol (H) : y 

x 2  4x  3
và đường thẳng (d) : y = kx + 1.
x2

1. Tìm k để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Tìm quỹ tích trung điểm I của dây cung AB.


15
Lời giải
1. Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (d) là
x2  4x  3
 kx  1  (1  k ) x 2  (3  2k ) x  1  0
x2

(1)

Gọi h( x)  (1  k ) x2  (3  2k ) x  1 . Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm
phân biệt A và b khi phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt hay
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2. Điều ấy xảy ra khi và chỉ
khi:
1  k  0
k  1
a  0



2
2
 x  0  (3  2k )  4(1  k )  0  4(k  1)  1  0  k  1 (2)
h(2)  0
4(1  k )  2(3  2k )  1  0
 1  0





2. Gọi x1, x2, xI theo thứ tự là hoành độ các điểm A, B, I.
Theo đính lý Vi-ét: x1  x2 

2k  3
.
1 k
( 3)

I là trung điểm AB  x1  x2  2 x1 

(3)
2k  3
2x  3
 2 x1  k  1
.
1 k
2 x1  2

(4)

I  (d )  y1  kx1  1.

(5)

2 x12  5 x1  2
Thế vào (4) và (5) có y 
.
2 x1  2

(6)

Kết quả (4) chứng tỏ k  1 với mọi x1  1 . Bởi vậy, từ (6) kết luận quỹ
tích I là đồ thị y 

2 x2  5x  2
.
2x  2


16
Chƣơng II
MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

2.1. Các bài toán quỹ tích cơ bản
2.1.1. Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp
Bài toán 2.1.1.1: (Bài 194 (T5/269)/[8])
Cho đường tròn (O; R) với hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy
điểm P trên đường tròn đó. Trên tia OP lấy điểm M sao cho OM bằng tổng
các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD. Tìm quỹ tích các điểm
M khi P chuyển động trên đường tròn.
Lời giải
M

A
P

H

N

D

O

B
Hình 2.1.1.1

K

C


17
Giả sử điểm P thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O) (hình 2.1.1.1).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của P trên AB, AC và N là hình chiếu của C
trên tia OP.
Dễ thấy: ON = OK = PH; CN = PK.
*Phần thuận:
Nếu điểm M trên tia OP thỏa mãn OM = PH + PK = PH + HO > OP
thì M nằm ngoài đường tròn (O).
Lại có MN = OM – ON = PH + PK – ON = ON + CN – ON = CN
⇒ ∆NCM vuông cân tại N.
,

tứ giác AOCM nội tiếp

,

.
Vậy M thuộc nửa đường tròn đường kính AC nằm ngoài đường tròn
(O ; R). Lập luận tương tự kết luận được: khi P chạy trên đường tròn (O ; R)
thì M chạy trên các nửa đường tròn đường kính AC, CB, BD, DA nằm ngoài
đường tròn (O ; R).
* Phần đảo:
Giả sử M thuộc các nửa đường tròn nói trong kết luận của phần thuận.
Không mất tính tổng quát, coi M thuộc nửa đường tròn đường kính AC nằm
ngoài đường tròn (O ; R) Tia OM cắt cung nhỏ AC của đường tròn (O) tại P.
Xác định các điểm H, K, N như trên.
Từ

suy ra ∆ NCM vuông cân tại N nên MN = CN.

Vậy OM = ON = OM + MN = P + CN = PH + PK.
* Kết luận:
Quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài là các nửa đường tròn
đường kính AC, CB, BD, DA nằm ngoài đường tròn (O ; R). (Hình 2.1.1.1).


18
Bài toán 2.1.1.2: (Bài 196 (T5/270)/[8])
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại điểm A. Trên
yy’ lấy điểm B (khác A) cố định. Với mỗi điểm N trên xx’ lấy điểm M trên
sao cho BM = AN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi N di động trên
xx’.
Lời giải
Ta xét bài toán tổng quát hơn khi ̂ = α (0o < α < 180o). Không mất
tính tổng quát coi B thuộc tia Ay (hình 2.1.1.2). Khi N ≡ A thì M ≡ B và I

trùng với trung điểm E của đoạn thẳng AB, do đó chỉ cần xét với N khác A.

y

Hình 2.1.1.2
1) Trường hợp điểm N thuộc tia Ax, điểm M thuộc tia By.
*Phần thuận:
Dựng hình bình hành AMPN thì BM = AN = PM
và

=

.


19
Vì EI là đường trung bình của tam giác ABP nên
điểm I nằm trên tia Et với gốc E và

. Vậy

.

* Phần đảo:
Lấy điểm I (khác E) thuộc tia Et. Lấy điểm P đối xứng với điểm A qua
điểm I. Dựng hình bình hành AMPN sao cho N ∈ Ax và M ∈ Ay thì I là trung
điểm của MN.
Hơn nữa, EI là đường trung bình của tam giác ABP nên
nên M phải thuộc tia By và BM = PM = AN.

mà

* Kết luận:
Quỹ tích trung điểm I của đoạn MN thỏa mãn cho N ∈ Ax và M ∈ Ay,
AN = BM là tia Et có gốc E là trung điểm của AB và

.

2) Lập luận tương tự khi cho N chạy trên xx’ và M chạy trên yy’ với
AN = BM thì quỹ tích trung điểm I của MN là hai đường thẳng t’t và vv’
vuông góc với nhau tại trung điểm E của AB và

.(Hình 2.1.1.2).

Bài toán 2.1.1.3: (Đề thi HSG Quốc gia Bảng B - năm 2002)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định (O ; R1) và (O ; R2) có
R1 > R2. Một hình thang ABCD (AB // CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A, B,
C, D nằm trên đường tròn (O ; R1) và giao điểm của hai đường chéo AC, BD
nằm trên đường tròn (O ; R2). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng
AD và BC.
Lời giải


20
P

D

C

Hình 2.1.3
*Phần thuận:
Gọi I = AC ∩

. Vì ABCD là hình thang nội tiếp nên nó là hình thang

cân. Suy ra OI là trục đối xứng của hình thang ABCD và O, I, P thẳng hàng.
Vì ̂

̂

̂

⇒ tứ giác AIOD nội tiếp

= 180o - ̂ ⇒ ̂

̂ = 180o

2

⇒PA.PD = PI.PO = OP(OP-OI) = OP2 - OP.OI.
Mặt khác: PA.PD =
Suy ra: OP.OI =

PP/(O) = OP

⇒ OP =

2

= hằng số.

Vậy P chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính

.


21
* Phần đảo:
Lấy điểm P bất kỳ trên đường tròn (O ;

). Gọi I là giao điểm của OP

và (O ; R2). Ta dựng được hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R1),
nhận I làm giao điểm của hai đường chéo và nhận P là giao điểm của hai
đường thẳng chứa hai cạnh bên.
Kết luận:
Tập hợp các điểm P là đường tròn tâm O, bán kính

. (Hình 2.1.1.3)

Bài toán 2.1.1.4: ([4])
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và hai điểm A, B thay đổi trên a, b.
Tìm quỹ tích điểm M thuộc đoạn AB sao cho
Lời giải

Hình 2.1.1.4

( dương, cho trước).