Góc định hướng và ứng dung

/>TC/tabid/180/detail/1456/cat/1251/Default.aspx

Góc định hướng
Leave a reply

Chúng ta vẫn giải các bài toán hình học bằng định nghĩa góc hình học, và một số bài toán thì lời giải
phụ thuộc vào hình vẽ khá rắc rối. Nếu ta sử dụng khái niệm góc định hướng thì cho lời giải ngắn 
gọn, rõ ràng và không phụ thuộc vào hình vẽ. Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép 
biến hình, từ đó mở ra những ứng dụng khác.
Trong SGK hình học 10 có định nghĩa khá rõ ràng về góc định hướng (hay góc lượng giác) của hai
tia và hai đường thẳng,  ở đây xin không nhắc lại, chỉ nêu một vài tính chất quan trọng giúp ích cho
việc giải toán.
Tính chất 1. Hệ thức Charles
a) Cho 
b) Cho 

 là ba đường thẳng bất kì thì 
 là ba tia thì 

Tính   chất   2. (Điều   kiện   3   điểm   thẳng   hàng) Cho   3   điểm 
đó 

 và   đường   thẳng  .   Khi

 thẳng hàng khi và chỉ khi 

Tính chất 3. (Điều kiện 4 điểm đồng viên) Cho 4 điểm 

. Khi đó 

 cùng thuộc

một đường tròn khi và chỉ khi 
Tính   chất   4. Nếu   $latex a   $   là   phân   giác   của   góc   tạo   bởi   hai   đường   thẳng 
thì 
Tính chất 5. Nếu   và   đối xứng nhau qua đường thẳng   thì 
Tính chất 6. Nếu   là ảnh của   qua phép quay với góc quay   thì 
Áp dụng các tính chất trên, ta sẽ giải một số bài toán sau.

.

 


Bài   1. (Định   lý   Migel) Cho   tam   giác 
thẳng 
 và 
.

;   Gọi 

 lần   lượt   là   các   điểm   thuộc   các   đường

a)     Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác 
một điểm  .
b)     Nếu 

 thẳng hàng thì điểm 

nữa tâm các đường tròn 
tròn đó qua  .

 cùng đi qua 

 thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác 

cùng thuộc một đường tròn và đường 

Lời giải.

a) Gọi 

 là giao điểm của 

Ta có 

b)

, ta chứng minh 

 (Do 

Suy ra 
Do đó 

 và 

 (Do 

Mà 

 đồng viên.

; hơn 

 đồng viên.
đồng viên)
 đồng viên)


Ta có 

, 

và 

 

.

Do đó 

 thẳng hàng khi và chỉ khi 

khi 

 khi và chỉ 

 khi và chỉ khi 

Gọi 

Ta chứng minh 
Thật vậy ta có 
đó 

 đồng viên.

 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác 
 đồng viên.

 đồng viên. Tương tự 

. 

. Do 
 đồng viên. Suy ra điều cần chứng minh.

Bài 2.(Định lý Steiner)
a)     Cho tam giác 
 nội tiếp đường tròn 
lần lượt là điểm đối xứng của   qua 
đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâm 

 là một điểm thuộc 
. Chứng minh rằng 
 của tam giác 
.

b)     Ngược lại lấy   là một đường thẳng qua  . Gọi 
xứng   của   qua 
.   Chứng   minh   rằng 

tròn 
Lời giải

.

. Gọi $latex A’, B’, C’ $
cùng thuộc một

 lần lượt là các đường thẳng đối
 đồng   qui   tại   một   điểm   thuộc   đường


Gọi 

 là điểm đối xứng của 

 qua 

. Ta có 

a) 
Vậy 

 thẳng hàng.

b)
Ta thấy 
Ta có:

. Gọi 

 là giao điểm của 

. Ta chứng minh 

.


Do đó 

.

Bài 3. Cho hai hình vuông 
 và 
minh rằng 
 đồng quy.

 cùng hướng, 

 không thẳng hàng. Chứng 

Lời giải.

Xét phép quay tâm A góc quay 
đó B biến thành D, E biến thành G. Gọi H là giao điểm của BE và GD. Khi 
đó 

. Suy ra 

. Khi 

 đồng viên.

Từ đó ta có 
Hơn nữa, 

 nên 

 cũng đồng viên. Suy 

ra 
Ta có 
hay 

 mà 

 thẳng hàng nên 

 thẳng hàng, 

 đồng quy.

Bài tập rèn luyện.
Bài 1 (VMO 2006) Cho tứ giác lồi ABCD. Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB sao cho M 
không trùng với A và B. Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, C và 
đường tròn đi qua 3 điểm M, B, D. Chứng minh:
a)     Điểm N di động trên một đường tròn cố định.
b)     Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.


Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn. Gọi P, Q, R, S là giao điểm của các đường 

phân giác ngoài của các góc ADB và ADB, DAB và DBA, ACD và  ADC, DAC và DCA tương ứng. 
Chứng minh rằng P, Q, R, S đồng viên.
Bài 3. Cho tứ giác ABC. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam giác ABC, ACD, ABD và 
BCD cùng đi qua một điểm.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt (O) và (O’) tại
M và N. Một đường thẳng qua B cắt (O) và (O’) tại P và Q. Chứng minh MP//NQ.