Đề cương bài giảng – toán học 2

Phần I: Cấu trúc đại số
Chương I: Nhóm
Phép toán hai ngôi ( 3 tiết)
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:
Định nghĩa phép toán hai ngôi, các tính chất, phần tử đặc biệt của phép
toán hai ngôi.Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh.
2. Kỹ năng:
Biết kiểm tra một tập hợp và một phép toán đã đƣợc học ở trƣờng phổ
thông có phải là một phép toán hai ngôi không và nếu là phép toán hai ngôi thì
chỉ ra các tính chất , phần tử đặc biệt của mỗi phép toán đó
3. Thái độ:
- Có thái độ nghiêm túc với môn học.
- Có liên hệ với thực tế chƣơng trình môn Toán ở Tiểu học.
B. Chuẩn bị:
1.Giảng viên:
Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng.
- Tài liệu chính:
[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.
- Tài liệu tham khảo :
[2] Trần Diên
NXBĐ SP, 2007.

iển và các tác giả –

ác t p h p

[3] Nguy n duy Thuận - Nguy n Mạnh Trinh -

i

– NXBGD&

- NXBGD, 1999.

2. Người học:
Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng và tài liệu học
tập nhƣ trên.
C.Nội dung:
1.Định nghĩa và ví dụ :
a. Định nghĩa :
Cho X là một tập hợp. Một phép toán hai ngôi trên X là một ánh xạ
T: X x X  X

 x, y 

xTy

1


Phần tử xTy  X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép toán T
thực hiện trên hai phần tử x và y. Phép toán hai ngôi còn gọi tắt là phép toán.
Nhƣ vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập X là một qui tắc đặt tƣơng
ứng mỗi cặp phần tử (x,y) thuộc tập X x X một phần tử xác định duy nhất xTy
thuộc X. Thay cho kí hiệu T ta còn viết các kí hiệu khác nhƣ +, . , ,  ,…
x + y đƣợc đọc là x cộng y và kết quả đó gọi là tổng của x và y.
x.y (hay xy) đƣợc đọc là x nhân y và kết quả đó gọi là tích của x và y.
b. Ví dụ:
1) Phép cộng thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập N, Z, Q, R.
2) Phép nhân thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập N, Z, Q, R.

3) Phép chia thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập Q* , R*
nhƣng không phải là phép toán hai ngôi trên N, vì  3,5  N  N nhƣng 3:5∉ N.
*

4) Cho tập N các số tự nhiên khác 0. ánh xạ
*

*

*: N × N → N
(a, b)

*

a * b = ab

là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0.
5) Phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z vì ta có ánh xạ
( -) : Z x Z → Z
(a,b)

a–b

Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N,
vì  3,5  N  N nhƣng 3 – 5 ∉ N.
2.Các tính chất đặc biệt của phép toán hai ngôi
a)Tính chất kết hợp:
Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phép toán T gọi là có tính chất kết
hợp nếu
a, b, c  X :  aTb  Tc  aT  bTc 

b)Tính chất giao hoán: Phép toán T gọi là có tính chất giao hoán nếu
a, b  X : aTb  bTa
2


Ví dụ: a. Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên có tính chất giao hoán và kết
hợp
Thật vậy:  a,b,c  N ta có:
a + b = b + a (tính chất giao hoán của phép cộng)
a.b=b.a

(tính chất giao hoán của phép nhân)

(a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp của phép cộng)
( a.b).c = a. (b.c) (tính chất kết hợp của phép nhân)
b. Phép cộng và phép nhân thông thƣờng các số trên Z, Q, R có tính chất
giao hoán và kết hợp.
c. Phép trừ các số nguyên không có tính chất giao hoán và kết hợp. Chẳng
hạn
1 -2  2 – 1
(1 – 2) – 3  1 – (2 – 3)
d. Phép lũy thừa trên N* không có tính chất giao hoán và kết hợp. Chẳng
hạn
12  2 1

(23 )4  2(3 )
4

3. Các phần tử đặc biệt của phép toán hai ngôi

a) Phần tử trung hòa:
* Định nghĩa: cho T là phép toán hai ngôi trên X.
Phần tử e' X ( e”  X ) gọi là phần tử trung hòa bên trái (phải) của phép toán T
nều với mọi x  X
e' T x = x

( x T e” = x )

Phần tử e gọi là phần tử trung hòa của phép toán T nếu e vừa là phần tử trung
hòa bên trái vừa là phần tử trung hòa bên phải, tức là với mọi x  X
eTx=xTe=x
* Định lí: Cho T là một phép toán hai ngôi trên X. Khi đó nếu e’ là phần tử trung
hòa bên trái và e” là phần tử trung hòa bên phải của T thì e’ = e”.
Chứng minh: Do e’ là phần tử trung hòa bên trái nên
e’T e” = e”
Do e” là phần tử trung hòa bên phải nên
3


e’T e” = e’
Từ hai đẳng thức trên suy ra e’ = e”.
Hệ quả: Phần tử trung hòa của một phép toán T, nếu có, là duy nhất.
* Ví dụ
- Số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng thông thƣờng trên N, Z, Q, R.
- Số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân thông thƣờng trên N, Z, Q, R.
- 0 là phần tử trung hòa bên phải của phép trừ trên Z, nhƣng không là phần tử
trung hòa bên trái.
b) Phần tử đối xứng:
*Định nghĩa : Cho T là một phép toán hai ngôi trên X có phần tử trung hòa là e,
x  X . Phần tử x’ X ( x”  X) đƣợc gọi là phần tử đối xứng bên trái ( phải) của x

nếu
x’ T x = e

( x T x” = e)

Phần tử x’ đƣợc gọi là phần tử đối xứng của x nếu x’ vừa là phần tử đối xứng
bên trái vừa là phần tử đối xứng bên phải của x, tức là
x ’ T x = x T x’ = e
Nếu x có phần tử đối xứng thì x gọi là phần tử khả đối xứng.
* Định lí: Nếu phép toán T trên X kết hợp, x ’ là phần tử đối xứng bên trái của x,
x” là phần tử đối xứng bên phải của x thì x’ = x”.
Chứng minh:
Theo định nghĩa: x’T x = e và xTx” = e ( e ở đây là phần tử trung hòa của T)
Theo giả thiết ta có
x ’ = x ’T e
= x’T (x T x”)
= (x’T x)T x”
= e T x”
= x”
Vậy x’ = x”
* Hệ quả: Nếu phép toán T kết hợp thì phần tử đối xứng của một phần tử nếu có
là duy nhất.
Ví dụ:

4


- e là phần tử trung hòa của phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó
vì eTe  e .
- Đối với phép cộng trên Z, Q, R, mọi phần tử x đều có phần tử đối xứng là -x.

- Đối với phép nhân trên Q*, R*, mọi phần tử x đều có phần tử nghịch đảo là x-1.
- Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có phần tử 0 là có phần tử đối xứng.
Phần tử đối xứng của 0 là 0.
- Đối với phép nhân các số tự nhiên, chỉ có 1 là có phần tử đối xứng. Phần tử đối
xứng của 1 là 1.
- Đối với phép nhân các số nguyên chí có 1 và -1 là có phần tử đối xứng trong Z.
Phần tử đối xứng của 1 là 1; phần tử đối xứng của -1 là -1.
c. Vài quy ƣớc về cách gọi:
Nếu phép toán trên X là phép cộng (+) thì phần tử trung hòa thƣờng gọi là phần
tử không, kí hiệu là 0x hoặc 0; phần tử đối xứng của x gọi là phần tử đối của x,
kí hiệu là –x.
Nếu phép toán trên X là phép nhân (.) thì phần tử trung hòa thƣờng gọi là phần
tử đơn vị, kí hiệu là 1x hoặc 1; phần tử khả đối xứng gọi là phần tử khả nghịch,
phần tử đối xứng của x gọi là phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là x -1. Cũng nhƣ
với phép nhân số thông thƣờng dấu (.) thƣờng đƣợc bỏ đi.
4. Tập con ổn định, phép toán cảm sinh
a.Định nghĩa:
Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con của X. A đƣợc
gọi là tập con ổn định ( bộ phận ổn định) đối với phép toán T nếu với mọi x, y
 A ta có xTy  A.

Phép toán T ở định nghĩa trên gọi là phép toán ổn định trên A.
Nếu phép toán T ổn định trên A thì
T: AxA  A, T(x,y) = xTy cũng là một ánh xạ, do đó cũng là một phép toán
Trên A.
Phép toán này trên tập A đƣợc gọi là phép toán cảm sinh bởi phép toán T
trên X.
b. Ví dụ:
5

1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên
đối với phép cộng và phép nhân.
Thật vậy: Kí hiệu 2N = 2a / a  N  là tập các số tự nhiên chẵn
2N  N vì mọi số tự nhiên chẵn đều là số tự nhiên
 2a,2b  2N ; a,b  N, ta có 2a + 2b = 2(a+b) = 2t  2N

2a.2b = 2(2ab) = 2q  2N
Vậy tập các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với
phép cộng và phép nhân.
2. Tập các số tự nhiên là tập con ổn định của của tập các số nguyên Z đối với
phép cộng và phép nhân . Nhƣng nó không ổn định đối với phép trừ.
3. Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép
nhân nhƣng không là tập con ổn định đối với phép cộng.
4. Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh bởi phép cộng các số
tự nhiên.
5. Phép cộng các số tự nhiên, phép cộng các số nguyên chẵn là phép toán là
phép toán cảm sinh bởi phép cộng các số nguyên.
D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:
1.Thế nào là phép toán hai ngôi ? Liên hệ xem các phép toán cộng, trừ, nhân,
chia trên các tập N, Z, Q, Q * phép toán nào là phép toán hai ngôi, phép toán


nào không là phép toán hai ngôi. Nếu là phép toán hai ngôi thì chỉ ra các tính
chất và tìm phẩn tử đặc biệt của mỗi phép toán đó.
D: Xét các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên Tập Z.
- Phép cộng, trừ, nhân là các phép toán hai ngôi vì ta có các ánh xạ... chẳng hạn:
(-) : ZxZ  Z
(a,b) a-b
Phép chia không là phép toán hai ngôi vì 3,4  Z nhƣng (3:4)  Z.

- Phép cộng, phép nhân có tính chất giao hoán và kết hợp. Phần tử trung hòa của
phép cộng là 0, của phép nhân là 1.
- Phép trừ không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp và không có
phần tử trung hòa.
- Đối với phép cộng thì a  Z có phần tử đối xứng là -a Z . Đối với phép nhân
chỉ có 1 và -1 là có phần tử đối xứng, phần tử đối xứng của 1là 1, của -1 là -1.
2. Các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 17 ở [2] và bài 1.1, 1.2 ở [1].
6


Bài tập ( 3 tiết)
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Giải các bài tập về phép toán hai ngôi . iểu rõ những phép toán nào dạy
cho học sinh tiểu học là phép toán hai ngôi, phép toán nào không là phép toán
hai ngôi
2. Kỹ năng:
- Kiểm tra một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là phép toán hai
ngôi ; kĩ năng xét các tính chất và những phần tử đặc biệt của phép toán hai
ngôi; kĩ năng xét tập con ổn định của một tập hợp đối với một phép toán.
- Rèn kỹ năng giải toán.
3. Thái độ:
- Giáo dục đức tính cẩn thận, yêu thích môn học và có liên hệ với thực tế
chƣơng trình Toán ở Tiểu học.
B. Chuẩn bị:
1.Giảng viên:
Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng, tài liệu
giảng dạy
- Tài liệu chính:
[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.

- Tài liệu tham khảo :
[2] Trần Diên
NXBĐ SP, 2007.

iển và các tác giả –

ác t p h p

[3] Nguy n duy Thuận - Nguy n Mạnh Trinh -

i

– NXBGD&

- NXBGD, 1999.

2. Người học:
Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng và tài liệu học
tập nhƣ trên.
C.Nội dung:
Bài 1: Cho các tập hợp: N, Z, Q, Q *


a) Xét các phép toán cộng, trừ, nhân, chia có phải là phép toán hai ngôi trên
chúng không ?

7


*

+ Phép cộng, nhân phép toán hai ngôi trên N, Z, Q, Q vì …
*
+ Phép trừ không là phép toán hai ngôi trên N, Q vì

1 5
 1 5
*
* 
  ;  Q :   Q 
2 2
 2 2


+ Phép trừ là phép toán hai ngôi trên Z, Q.
*
+ Phép chia là phép toán hai ngôi trên Q

( không là phép toán hai ngôi trên N, Z ,Q vì 1,0  Q mà 1: 0  Q .
b) Nếu là phép toán hai ngôi thì có những tính chất gì? Những phần tử đặc
biệt ?
*
+ Phép cộng có tính chất kết hợp, giao hoán trên các tập N, Z, Q, Q ; có

*
phần tử trung lập là 0.(trừ Q )

*
+ Phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán trên các tập N, Z, Q, Q ; có

phần tử trung lập là 1.

+ Phép trừ trên Z, Q không có tính chất kết hợp, không có tính chất giao hoán
; không có phần tử trung lập.
*
+ Phép chia trên Q không có tính chất giao hoán, kết hợp; không có phần tử

trung lập.
Bài 2:
+ Phép  có tính chất giao hoán, kết hợp
 0 1  1 0  1
 1  2  2  1  0...



1 2 = 2 1 = 0

+ Có phần tử trung lập là 0 vì
 0X
 0  1  1  0  1;0  2  2  0  2,...

+ 0 có phần tử đối xứng là 0 vì
 0X
 000
8


Tƣơng tự: 1 có phần tử đối xứng là 2, 2 có phần tử đối xứng là 1.
Bài 3
+ Phép toán * có tính chất kết hợp vì
(a  b)  c  a  c  a
a  (b  c)  a  b  a

 ( a  b)  c  a  ( b  c )

+ Phép toán * không có tính chất giao hoán vì a, b  Y mà
a*b = a và b*a = b nên a*b  b*a.
+ Y không có phần tử trung lập đối với phép toán *.

Bài 4 : Cho phép toán
T : N*  N*  N*

 a, b 

ab

+ T không có tính chất giao hoán vì 2,3,4  N* nhƣng

 2 T3 T 4  23 T 4  23.4  212
2 T  3T 4   2 T34  2 T81  2 81
  2 T 3  T 4  2 T  3T 4 
+ Trong N* không tồn tại phần tử trung hòa. GS e là phần tử trung hòa
e
aTe  a a  a
 a
 không tồn tại e  N*
Với a  N ta có 
eTa  a e  a
*

Bài 5.
a) Cho quy tắc x, y  R

x*y= x + y + xy

+ * là phép toán hai ngôi vì ta có ánh xạ:
R R  R
x  y  xy

( x, y)

+ T có tính chất giao hoán : x, y  R : x  y  x  y  xy  y  x  yx  y * x .
+ T có tính chất kết hợp:

9


x, y, z  R
( x * y )* z  ( x  y  xy )* z
 ( x  y  xy )  z  ( x  y  xy ) z (1)
 x  y  xy  z  xz  yz  xyz

x *( y * z )  x *( y  z  yz )
 x  y  z  yz  x( y  z  yz )
 x  y  z  yz  xy  xz  xyz (2)
Từ 1 &2 suy ra ( x * y)* z  x *( y * z)
b) Xét quy tắc m  n  m  2n, m, n  N
+ CM  là phép toán 2 ngôi trên N
+  không có tính chất giao hoán
+  không có tính chất kết hợp
c) Cho quy tắc a  b  a  b  ba, a, b  Q \ 1
++ CM  là phép toán 2 ngôi trên Q \ 1
+  có tính chất giao hoán

+  có tính chất kết hợp
Bài 6.
- Đặt A  2a / a  Z  là tập các số nguyên chẵn
iển nhiên A  Z.

2a,2b  A
2a  2b  2(a  b)  2t  A
2a.2b  2(2ab)  2q  A
Vậy tập các số nguyên chẵn là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với
phép cộng và phép nhân.
- Chứng minh tƣơng tự với tập các số nguyên lẻ.

10


Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép nhân
nhƣng không ổn định đối với phép cộng.
Bài 7.
Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của các phép toán sau:
a) m  n = m + 2n trên N
b) m  n = m.2n trên N
c) ) m  n = m + n2 trên N
Giải:
a)

m, n  N
-

m  n  m  2n  n  2m  n  m

Vậy * không có tính chất giao hoán.
m, n, t  N
(m  n)  t  (m  2n)  t  m  2n  2t
m  (n  t )  m  (n  2t )  m  2(n  2t )  m  2n  4t

Từ hai đẳng thức trên suy ra

(m  n)  t  m  (n  t )

Vậy * không có tính chất kết hợp.

m  N : m  0  m  2.0  m .
Vậy 0 là phần tử trung hòa bên phải.
b)chứng minh tƣơng tự
Phép toán * không giao hoán, không kết hợp và 0 là phần tử trung hòa bên phải.
c) Phép toán * không giao hoán, không kết hợp và 0 là phần tử trung hòa bên
phải.
Bài 8.
Trên N* đặt: a) a*b = ƢCLN(a,b)
b) a b = BCNN[a,b]
Giải:
Phép toán * và

là phép toán hai ngôi trên N.
11


- Tính chất giao hoán:
a, b  N : a  b  UCLN (a, b)  UCLN (b, a)  b  a

Vậy * trên N có tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp:
a, b, c  N : (a  b)  c  UCLN (a, b)  c
 UCLN ((a, b), c)  UCLN (a,(b, c))
 a UCLN (b, c)  a  (b  c)

Vậy phép toán * có tính chất kết hợp.
- Phép toán * không có phần tử trung hòa.
Chứng minh tƣơng tự: Phép toán

có tính chất giao hoán,kết hợp, 1 là phần tử

trung hòa.chỉ có phần tử 1 là có phần tử đối xứng. đối xứng của 1 là 1.
D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:
1. Xem lại các bài tập đã làm.
2. Về nhà đọc tài liệu phần nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con,
đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, nửa nhóm sắp thứ tự.
Chú ý các định nghĩa và ví dụ.

Nửa nhóm, vị nhóm ( 3 tiết)
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:
- Định nghĩa nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con.
- Đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, các tính chất. Nửa nhóm sắp
thứ tự.
2. Kỹ năng:
- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó có phải là
nửa nhóm, vị nhóm không.
- Kiểm tra đƣợc một tập đã cho có là nửa nhóm con, vị nhóm con hay
không.

- Kiểm tra đƣợc một ánh xạ đã cho có là đồng cấu nửa nhóm, đơn cấu,
toàn cấu, đẳng cấu nửa nhóm hay không.
12


3. Thái độ:
- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học.
II. Chuẩn bị:
1. Giảng viên:
Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng.
- Tài liệu chính:
[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.
- Tài liệu tham khảo :
[2] Trần Diên
NXBĐ SP, 2007.

iển và các tác giả –

ác t p h p

[3] Nguy n duy Thuận - Nguy n Mạnh Trinh -

i

– NXBGD&

- NXBGD, 1999.

2.Người học:
Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng và tài liệu học

tập nhƣ trên.
III.Nội dung:
I) Nửa nhóm
1.Định nghĩa nửa nhóm:
a. Định nghĩa:
Cho X là một tập hợp và T là một phép toán hai ngôi trên X. Tập X cùng với
phép toán T đƣợc kí hiệu là (X,T) hoặc X.
* (X,T) gọi là một nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp.
* (X,T) gọi là một Vị nhóm nếu phép toán T kết hợp và có phần tử trung
hòa.
Nửa nhóm (vị nhóm) (X,T) gọi là nửa nhóm ( vị nhóm) giao hoán nếu phép toán
T là giao hoán.
b. Ví dụ:
- (N*, +) là một nửa nhóm giao hoán nhƣng không là vị nhóm.
- (N,+); (N,.) là 1vị nhóm giao hoán.
- (Z,+), (Z,.) là 1vị nhóm giao hoán.
13


- (mZ, +) là 1vị nhóm giao hoán.
- Cho X là một tập hợp. Trên X xét phép toán
x T y = x với mọi x, y  X.


(X,T) là nửa nhóm. Thật vậy, mọi x, y, z  X, ta có:
(xTy) T z = xTz = x (1)
xT(yTz) = xT y = x (2)
Từ (1) & (2) suy ra (xTy) T z = xT(yTz)



Nếu X có hơn một phần tử thì nửa nhóm (X,T) không giao hoán. Thật
vậy, giả sử x, y  X,x  y, ta có xTy = x, yTx = y, tức là xTy  yTx.



Mọi y  X đều là phần tử trung hòa bên phải. Thật vậy, mọi x  X ta có
xTy = x nên y là phần tử trung hòa bên phải.



Nếu X có hơn 1 phần tử thì trong X không có phần tử trung hòa bên trái.

Thật vậy, với mọi y  X, chọn x  X, x  y. Khi đó yTx = y  x nên y không là
phần tử trung hòa bên trái.
2. Tích các phần tử trong nửa nhóm
Cho (X,.) là một nửa nhóm nhân. Vì phép toán kết hợp nên với các phần tử x 1,
x2, …, xn  X ta định nghĩa
x1 x2 x3 = (x1 x2) x3
x1 x2 ...xn-1 xn = (x1 x2…xn-1) xn với n  3.
* Định lý 1: Cho a1, a2 ,..., an là các phần tử của một nửa nhóm nhân X. Giả sử
1 = k1 < k2 <…< kh  n. Đặt
b1 = a1a2…ak2-1
b2 = ak2ak2+1…ak3-1
……………………
bh = akhakh+1…an
Khi đó ta có a1a2…an = b1b2…bh
CM: GT. ƣớng dẫn: Chứng minh theo quy nạp.
* Nhận xét:
- 1) Ta viết a.a…a (n lần) là an. Theo định lý 1 với mọi phần tử a của nửa nhóm

nhân X và p, q  N* ta có
14


a p aq  a pq
a pq  (a p )q
- 2) Nếu X là nửa nhóm cộng thì ta viết a + a + …+ a (n lần) là n.a. Các quy
tắc trong 1) trở thành : với mọi a  X, p, q  N* ta có:
Pa + qa = (p+q)a
(pq)a

= q(pa)

* Định lý 2: Cho x1, x2 ,..., xn là các phần tử của một nửa nhóm nhân giao hoán
X. Khi đó

x1x2 ...xn  x (1) x (2) ...x ( n)
Trong đó



là một hoán vị bất kỳ của các số 1, 2,…, n.

CM: GT
Nhận xét:
- 1) Theo định lý 2, với mọi a, b  X, X là nửa nhóm nhân giao hoán và n  N* ta
có
(ab)n  a nbn

- 2) Nếu X là nửa nhóm cộng giao hoán thì quy tắc trong 1) trở thành : Với mọi

a, b  X, n  N* ta có n(a+b) = na + nb.
3. Tính chất của phần tử khả nghịch
Định lý 3: Cho X là một vị nhóm nhân với phần tử đơn vị 1x. Khi đó:
1) 1x 1  1x
1 1
2) x  X khả nghịch thì x-1 khả nghịch và ( x )  x.

1
1 1
3) x, y  X khả nghịch thì xy khả nghịch và ( xy)  y x

* Nhận xét: Nếu (X,+) là một vị nhóm với phần tử không 0 x thì các quy tắc
trong định lý 3 trở thành
1) -0x = 0x
2) –(-x ) = x nếu x có phần tử đối.
3) –(x +y) = -y –x nếu x, y có phần tử đối.
Ở đây ta dùng kí hiệu x + (-y) = x – y, nếu y có phần tử đối.
15


4. Luật giản ƣớc
Phần tử a của nửa nhóm nhân X gọi là thỏa mãn luật giản ƣớc nếu
 x,y  X, ta có

ax = ay  x = y
xa = ya  x = y
Định lý 6: Nếu a là một phần tử khả nghịch của một vị nhóm nhân X thì a thỏa
mãn luật giản ƣớc.
CM: Với mọi x,y  X ta có
ax = ay  a-1(ax) = a-1(ay)

-1

-1

 (a a)x = (a a)y
 1xx = 1xy
 x = y.

Tƣơng tự: xa = ya  x = y
II) Nửa nhóm con
1.Định nghĩa
Cho(X,T) là một nửa nhóm và tập con A  X ổn định đối với phép toán T. Phép
toán T cảm sinh trên A hiển nhiên là kết hợp, do đó (A,T) là một nửa nhóm, gọi
là nửa nhóm con của (X,T).
Để chứng minh A là một nửa nhóm con của nửa nhóm X ta chỉ cần kiểm tra
phép toán trên X là ổn định trên A.
Nếu X là một vị nhóm và nửa nhóm con A của X chứa phần tử trung hòa thì A
là một vị nhóm và đƣợc gọi là vị nhóm con của vị nhóm X.
2.Ví dụ
- Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) bất kỳ. Khi đó X là một nửa nhóm con (vị
nhóm con) của chính nó.
- Tập A các số nguyên chẵn là một vị nhóm con của của vị nhóm cộng các số
nguyên Z.
- Tập B các số nguyên lẻ là một vị nhóm con của của vị nhóm nhân các số
nguyên Z.
- Cho m là một số tự nhiên. Tập mZ tất cả các số nguyên là bội số của m là một
16


vị nhóm con của vị nhóm cộng các số nguyên. Thật vậy,

+ mZ là bộ phận ổn định đối với phép cộng.
mk1, mk2  mZ : mk1  mk2  m(k1  k2 )  mZ vì k1  k2  Z .

+ mZ là bộ phận ổn định trong Z mà phép cộng trong Z có tính chất kết hợp 
phép cộng trên mZ có tính chất kết hợp.
+ 0  m.0  mZ mà mk  m.0  m.0  mk  mk, mk  mZ
vậy mZ là vị nhóm con của vị nhóm (Z,+).
- Xét tập R với phép toán
a*b = a + b – ab
và tập con S = [0,1]. Với mọi a, b, c  R ta có
(a*b)*c = (a + b – ab) *c = a + b – ab + c – (a + b - ab)c
= a + b +c – ab – ac – bc + abc
Tƣơng tự ta tính đƣợc a*(b*c) và ta có (a*b)*c = a*(b*c).
Vì phép toán * kết hợp nên (R,*) là một nửa nhóm.
 a, b  R, ta có a*b = a + b – ab = b + a – ba = b*a nên phép toán * giao

hoán.
 a  R, ta có a*0 = a + 0 – a.0 = a và 0*a = 0 + a - 0.a = a.

Do đó 0 là phần tử trung hòa của phép toán *.
Vậy (R,*) là một vị nhóm giao hoán.
Ta có a*b = a + b – ab = a(1 – b) + b . Với mọi a,b  S:
0  a(1 – b) + b  (1 – b) + b = 1  a*b  S. vậy phép toán * ổn định trên
S nên S là nửa nhóm con của (R,*). Do 0  S nên S là vị nhóm con của (R,*).
III. Đồng cấu nửa nhóm
1.Định nghĩa
Cho 2 nửa nhóm (X,*) và (Y, ). Một ánh xạ
f : X  Y gọi là một đồng cấu nửa nhóm nếu
f(x*y) = f(x)

f(y) với mọi x, y  X.

Nếu X và Y đều là vị nhóm thì đồng cấu nửa nhóm gọi là đồng cấu vị nhóm.
Khi ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì đồng cấu f tƣơng ứng gọi là đơn
cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
17


2. Ví dụ
- Cho f: (N,+)  (N,.), f(n) = 2n
 m, n  N, ta có f(m+n) = 2

m+n

= 2m. 2n = f(m) . f(n) nên f là đồng cấu.

 n1, n2  N, n1  n2 , ta có f(n1) =

2n1  2n2 = f(n2) nên f là đơn ánh, do đó f

là đơn cấu từ (N,+) vào (N,.). Chú ý rằng f cũng là đơn cấu vị nhóm.
- Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) . Khi đó ánh xạ đồng nhất
Ix : X  X, Ix(x) = x với  x  X là đẳng cấu nửa nhóm (vị nhóm).
- Cho A là một nửa nhóm con của X. Khi đó ánh xạ
JA : A  X, JA(x) = x với  x  A
là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc A vào X.
3. Định lý
Cho f : (X,*)  (Y, ) là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó
1) A là nửa nhóm con của X thì f(A) là nửa nhóm con của Y.
2) B là nửa nhóm con của Y thì f-1(B) là nửa nhóm con của X.

Chứng minh: D
1) Lấy tùy ý y1, y2  f(A) thì phải chứng minh y1 y2  f(A).
2) Lấy tùy ý x1, x2  f-1(B) cần chứng minh x1* x2  f-1(B).
IV. Nửa nhóm sắp thứ tự
1.Định nghĩa
Cho (X,T) là một nửa nhóm giao hoán và  là một quan hệ thứ tự toàn phần trên
X. Nếu mọi x, y, z  X
x  y  xTz  yTz

(1)

thì (X,T,  ) gọi là một nửa nhóm sắp thứ tự.
Nếu x  y và x  y thì ta viết x < y. Nếu điều kiện (1) thay bởi điều kiện
x < y  xTz < yTz
thì nửa nhóm gọi là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt.
Trên N hoặc Z ta có quan hệ thứ tự thông thƣờng:
m  n nếu tồn tại k  N sao cho m + k = n.
Ta có  là quan hệ thứ tự toàn phần trên N và trên Z.
2. Ví dụ:
18


- (N,+,  ), (N*, . ,  ) là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt.
(N, .,  ) là nửa nhóm sắp thứ tự (không nghiêm ngặt). Vì chẳng hạn
3 < 4 nhƣng 3.0 = 4.0
- (Z, +,  ) là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt,
(Z, .,  ) không là nửa nhóm sắp thứ tự. Vì chẳng hạn
2  3 nhƣng 2.(-4)  3.(-4)
- Mọi nửa nhóm con của một nửa nhóm sắp thứ tự là nửa nhóm sắp thứ tự.
D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

1.Chú ý cho học sinh các cấu trúc: Nửa nhóm sắp thứ tự, nửa nhóm sắp thứ tự
nghiêm ngặt.
2. bài tập 1.4 đến 1.7, 1.11 trang 22, 23 của [1]; 1,2, 3, 4 trang 33, 34 của [2]
3. về nhà đọc phần nhóm. Chú ý phải nắm đƣợc định nghĩa và ví dụ.

Nhóm - Bài tập ( 3 tiết)
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Sinh viên phải nắm vững định nghĩa nhóm, các tính chất của nhóm.
- Giải các bài tập về Nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con để củng
cố các kiến thức về Nửa nhóm, vị nhóm.
2. Kỹ năng:
- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là nửa
nhóm, vị nhóm, nhóm.
- Kiểm tra đƣợc một tập con của nửa nhóm ( vị nhóm) đã cho là nửa
nhóm con( vị nhóm con).
3. Thái độ:
- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học. Giáo
dục tính cẩn thận.
B. Chuẩn bị:
1.Giảng viên:
Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng, tài liệu
giảng dạy.
19


- Tài liệu chính:
[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.
- Tài liệu tham khảo :
[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p

– NXBGD&
NXBĐ SP, 2007.
[3] Nguy n duy Thuận - Nguy n Mạnh Trinh - i - NXBGD, 1999.
2. Người học:
Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng và tài liệu học
tập nhƣ trên.
C. Nội dung
1. Định nghĩa nhóm
Một vị nhóm đƣợc gọi là một nhóm nếu mọi phần tử của nó đều khả đối
xứng.
Nếu phép toán của nhóm giao hoán thì nhóm đƣợc gọi là nhóm giao hoán
hay nhóm Abel.
Nếu X là tập hữu hạn, có n phần tử thì X đƣợc gọi là một nhóm có cấp n.
Nếu X là 1 tập vô hạn thì X đƣợc gọi là một nhóm có cấp vô hạn.
Nhƣ vậy nhóm có thể định nghĩa trực tiếp nhƣ sau:
* Tập X cùng với phép toán nhân trên nó gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
1) Mọi x, y, z  X
(xy)z = x(yz)
2) Tồn tại 1x  X (gọi là phần tử đơn vị) sao cho với mọi x  X
1x x = x 1x = x
3) Mọi x  X tồn tại x-1  X (gọi là phần tử nghịch đảo của x) sao cho
x-1x = xx-1 = 1x
* Tập X cùng với phép toán cộng trên nó gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
1) Mọi x, y, z  X
(x+y) + z = x + (y+z)
20

2) Tồn tại 0x  X (gọi là phần tử không) sao cho với mọi x  X
0x+ x = x + 0x = x
3) Mọi x  X tồn tại -x  X (gọi là phần tử đối của x) sao cho
( - x) + x = x + (-x) = 0x
Nhận xét:
1) Trong 1 nhóm nhân có phép chia (:) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
x : y = x y-1
Trong 1 nhóm cộng có phép trừ (-) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
x – y = x + (-y)
2) Để đơn giản kí hiệu, các kết quả lý thuyết về sau ta thƣờng chỉ xét với
nhóm nhân (d dàng chuyển các kết quả này cho nhóm cộng hay nhóm với
phép toán tùy ý.
Ví dụ
1. Tập các số nguyên với phép cộng thông thƣờng là một nhóm Abel
Thật vậy:
* Phép (+) các số nguyên có tính chất kết hợp:
∀a, b, c ∈Z ta có (a+b) + c = a + b + c = a + (b+c)
* 0 là phần tử trung hòa trên Z đối với phép cộng vì
+ 0 Z
+  a  Z ta có 0 + a =0 và a+0 = a
* Mỗi phần tử a Z có phần tử đối xứng là –a  Z sao cho
( –a) + a = 0 và a + (-a) = 0
* Phép (+) các số nguyên có tính chất giao hoán:
∀a, b ∈Z ta có a + b = b + a
2. (Q,+) là một nhóm Aben. (CM)
3. (R,+) là một nhóm Aben.(CM)
1

(4) ( Q* , .) ( Q* , .) là 1 nhóm Aben. Phần tử nghịch đảo của x là x .
2. Tính chất của các phần tử trong nhóm

Nếu a là một phần tử của 1 nhóm X thì ta định nghĩa
21


a0  1
a n =a a...a (n lần) nếu n > 0

a n  (a 1 )n

nếu n < 0

1. Với mọi phần tử a của một nhóm X và p,q ∈Z ta có
ap.aq = ap+q
a pq  (a p )q

2. Với mọi phần tử a, b của 1 nhóm X và m ∈Z ta có

(ab)m  a mbm
3. Với mọi phần tử a, b của 1 nhóm X ta có

(a1 )1  a,(ab)1  b1a1
4. Mọi phần tử của nhóm X đều thỏa mãn luật giản ƣớc, tức là ∀a, b, c ∈X
ab = ac  b = c; ba = ca  b = c.
* Bài tập
Bài 1.
a) (5Z,+) là vị nhóm .
5 Z  5 x | x  Z là tập các số nguyên chia hết cho 5.

+ Phép (+) có tính chất kết hợp:
+ có phần tử trung hòa là 5.0

b)(5Z, .) là nửa nhóm nhƣng không là vị nhóm
+ Phép nhân trên 5Z có tính chất kết hợp

5 x,5y,5t  5Z :

5 x.5y .5t  52  xy .5t  53  xy  t   53  x  yt   5 x.52 ( yt )  5 x.5y.5t 
e  5 Z

+ Giả sử e là phần tử đơn vị của 5Z : 5 x  5Z ta có e.5 x  5 x  e  1  5 Z
5 x.e  5 x


Bài 2 X  2n  1| n  Z
22


a) CM X là vị nhóm con của nhóm (Z,.)
+ X là bộ phận ổn định trong Z đối với phép nhân
+ Phép nhân trong X có tính chất kết hợp.
+ Có phần tử trung lập là 1 = 2.0 + 1  X
b) CM X không là nửa nhóm con của nhóm (Z,+) vì X không là bộ phận ổn
định đối với phép cộng.
Bài 3.
Cho N* là tập các số tự nhiên khác 0. Ta định nghĩa:
m  n == m + n – 1,

 m,

n  N*

a) Tìm 2  1; 4  5; 5  5
b) Chứng minh (N,  ) là một vị nhóm giao hoán.
Giải
a) 2  1 = 2; 4  5 = 8; 5  5 = 9
b) CM (N,  ) là 1 vị nhóm giao hoán
* Phép toán  có tính chất kết hợp vì với

 m,

n, t  N*

(m  n)  t = (m + n - 1)  t = (m + n – 1) + t - 1
= m + ( n - 1 + t) – 1
= m + (n + t – 1) - 1= m  (n + t - 1) = m  (n  t)
* 1  N* là phần tử trung hòa đối với phép toán  vì

m 

N* ta có

1  m = 1 + m - 1 = m và m  1 = m + 1 - 1 = m
* Tính chất giao hoán:

 m,n 

N*

m  n = m + n - 1 = n + m - 1 = n  m. Suy ra  trên N* có tính chất giao hoán.
Vậy (N*,  ) là một vị nhóm giao hoán
Bài 4. Chứng minh rằng các tập và các phép toán tƣơng ứng sau đây là những

nửa nhóm giao hoán
a) R, x* y =x + y + xy.
b) N, x  y = x + y + 2
Giải.
a) Chứng minh Phép toán * có tính chất kết hợp, giao hoán.
23


+ T có tính chất giao hoán : x, y  R : x  y  x  y  xy  y  x  yx  y * x .
+ T có tính chất kết hợp:
x, y, z  R
( x * y ) * z  ( x  y  xy ) * z
 ( x  y  xy )  z  ( x  y  xy ) z (1)
 x  y  xy  z  xz  yz  xyz

x *( y * z )  x *( y  z  yz )
 x  y  z  yz  x( y  z  yz )
 x  y  z  yz  xy  xz  xyz (2)
Từ 1 &2 suy ra ( x * y)* z  x *( y * z) .
Vậy (R,*) là nửa nhóm giao hoán.
b) Chứng minh phép toán  có tính chất kết hợp, giao hoán.
Bài 5.
Trên R* xét phép toán a*b = |a|b. Chứng tỏ rằng (R*,*) là một nửa nhóm không
giao hoán.
Giải:
a, b, c  R*
(a  b)  c  (| a | b)  c || a | b | c | a || b | c
a  (b  c)  a  (| b | c) | a || b | c

Từ 2 đẳng thức trên suy ra

(a  b)  c  a  (b  c)
Vậy * có tính chất kết hợp. Do đó (R*, *) là một nửa nhóm. Nửa nhóm này
không giao hoán. Vì:

a, b  R* , a  b | a | b | b | a  b  a
Bài 6.
Phép toán * trên X gọi là lũy đẳng nếu x*x = x với  x.
Cho (X,*) là một nửa nhóm giao hoán lũy đẳng. Trên X đặt

x  y nếu x*y = y
24


Chứng minh  là 1 quan hệ thứ tự trên X.
Giải:

x  X , x  x  x  x  x
x, y  X , x  y & y  x  x  y  y & y  x  x  y  x
x, y, z  X , x  y & y  z  x  y  y, y  z  z
 x  ( y  z )  y  z , y  z  z  x  z  z  x  z.
Vậy  là 1 quan hệ thứ tự trên X.
Bài 7.
Kí hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của X.
a) Chứng tỏ (P(X),  ) là một vị nhóm giao hoán. Tìm các phần tử khả đối xứng
của vị nhóm này.
b) Chứng tỏ (P(X),  ) là một vị nhóm giao hoán. Tìm các phần tử khả đối xứng
của vị nhóm này.
D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:
1. D giải bài 7:

+ Phép toán có tính chất kết hợp:  A, B, C  P(X) ta luôn có
(A  B)  C = A  ( B  C)
+  là phần tử trung hòa vì  A  P(X) ta có
  A = A và A   = A

+ Phép toán có tính chất giao hoán:  A, B  P(X) ta luôn có
A  B = B A
 (P(X),  ) là một vị nhóm giao hoán. Chỉ có  là có phần tử đối xứng nên
 là phần tử khả đối xứng.

b) (P(X),  ) là vị nhóm giao hoán. Phần tử trung hòa là X, chỉ có X có phần tử
đối xứng là X.
2.Khi xét cấu trúc nhóm, nhóm Abel chú ý cách tìm phần tử trung hòa.
Ví du:
3.Bài tập về nhà 2.1, 2.2, 2.3 trang 44 thuộc [1]; 5, 6(ý 1,2,8,),7 trang 34 thuộc
[2].

25