Sáng kiến kinh nghiệm giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là phần khó của chương trình toán, nhất là phần hình hoc không
gian, đa số học sinh rất sợ khi học về hình học không gian.
Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình học
không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả phương pháp
hình học thuần tuý và cả phương pháp tọa độ. Việc giải toán Hình học không gian
bằng phương pháp hình học thuần túy gặp rất nhiều khó khăn cho học sinh vừa học
xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quen kiến thức, kỹ năng chứng minh,
dựng hình ...trong không gian.
Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh
cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này không được đề cập nhiều
trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình học
không gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng kiến kinh
nghiệm của mình, tôi xin trình bày một số kỹ năng giải giải hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ.
2. Phạm vi nghiên cứu
Sau khi học sinh học hết chương trình lớp 12 chuẩn bị thi đại học.
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Chương 1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
Chương 2 Cở sở thực tiễn
Chương 3 Một số kỹ năng giải giải hình học không gian bằng phương pháp
tọa độ.

1
PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất
bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ
đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã
khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng
ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự
khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh
được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng
hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
• Bước 2 : Xây dựng thuật giải
• Bước 3 : Thực hiện thuật giải
• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc
biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải
toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ
độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng
phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :
• Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ
Oxyz
thích hợp, chú ý đến vị trí
của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
• Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
• Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính
chất hình học tương ứng.
2
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào
giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng
hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số
bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học

không gian bằng phương pháp toạ độ.
Các dạng toán thường gặp :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
II. Cở sở thực tiễn
a. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp
11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa
đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối
tượng trong hình học không gian.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho
cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu.
Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái
niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu
ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
b. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động
phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các
em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúc không
3
phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không
như mong đợi.

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được
phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú
trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy
mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò
III.Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
A. Các bài toán về hình chóp tam giác:
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB
= SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) vuông góc nhau.
Gọi H là tâm của tam giác ABC
vì M là trung điểm của BC
° Ta có:
SA SB SC
HA HB HC ( ABC ñeàu)
= =


= = ∆

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc
A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
       
−
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.

°
a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
= = − = − −
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uur uuur
°
2
1
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r
với
1
n (3h 3; 3h; a 3)= −
r
°
2
2
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,

2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uuur
r

với
2
n (3h 3; 3h; a 3)= −
r
.
° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SB
uuur uur
nên có pháp vectơ
1
n
r
.
4
S
z
A
z
H
B
M y
C

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SC
uuur uuur
nên có pháp vectơ
2
n
r
.
°
1 2
(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0⊥ ⇔ =
r r
2 2 2
2 2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a 6
18h 3a h .
6
⇔ − + − = ⇔ − − =
⇔ = ⇔ =
 Vậy:
a 6
h .
6
=
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC
= 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh
tam giác MAB cân và tính diện tích tam giác MAB theo a.
° Tam giác ABC vuông tại B có:
2 2 2 2 2 2

AC AB BC a 4a 5a
AC a 5
= + = + =
⇒ =
° Dựng
BH AC (H AC),⊥ ∈
ta có:
⋅
2 2
AB a a
AH
AC
a 5 5
= = =
⋅
2 2 2 2
1 1 1 5
BH AB BC 4a
= + =
2a
BH
5
⇒ =
° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với
2a a
A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0
5 5
 
 ÷
 

° Tọa độ trung điểm M của SC là
a 5
M 0; ; a
2
 
 ÷
 
° Ta có:
a 5 3a
MA 0; ; a MA
2 2
 
= ⇒ =
 ÷
 
uuuur
2a 3a 3a
MB ; ; a MB .
2
5 2 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuur
5
z
S
2a
M

C
y
a 5
H
B
A
K
x
a
5
suy ra: MA = MB ⇒ tam giác MAB cân tại M.
° Ta có:
2 2
2 2
a 2a
[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a 2
5 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuuur uuur uuuur uuur
° Diện tích tam giác MAB:
2
2
MAB
1 1 a 2
S [MA; MB] .a 2 .
2 2 2
= = =

uuuur uuur

Bài toán 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có AB=AC=a,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
2
2a
SA =
.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của
cạnh BC.
 Lời giải:
Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O
)0;0;0(A≡
, B(a;0;0), C(0;a;0),
)
2
2
;0;0(
a
S

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là
)0;0;1(=i
Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:
)
2
2

;;0();
2
2
;0;(
a
aSC
a
aSB −=−=

Ta cĩ
[ ]
)2;1;1(
2
2
;
2
2
;
2
2
,
2
2
22
a
a
aa
SCSB =









=
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
)21;1(=n
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
6
z
x
y
A
S
B
C
I