ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG 8 HKI NGUYỄN TRƯỜNG TỘ (FULL)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ - HÀ NỘI
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I- TOÁN 8
DẠNG 1. PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC, ĐA THỨC
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (2x + 1)2 – 2(2x + 1)(3 – x) + (x – 3)2 
b) (x – 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (1 – 3x)(3x + 1) 
c) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x – 1)(x + 1) + 3x 
d) (3x – 2)2 – 3(x – 4)(4 + x) + (x – 3)3 – (x2 – x + 1)(x + 1) 
Lời giải:
2

a) Ta có   2 x  1  2  2 x  1 ( x  3)  ( x  3)2  
  2 x  1   x  3 
  2 x  1  x  3
  x  4

2

2

 

2

3





b) Ta có   x  1   x  1 x2  x  1  1  3x  3x  1  
2
 x3  3 x 2  3x  1   x3  1  1   3 x  


3
2
3
2
 
 x  3 x  3x  1  x  1  1  9 x

 6 x 2  3x  3





c) Ta có   x  2  x 2  2 x  4  x  x  1 x  1  3x  

 x 3  8  x  x 2  1  3 x
 x3  8  x3  x  3x

 

 4x  8
2

3





d) Ta có   3x  2   3  x  4 4  x    x  3  x2  x  1  x  1  
2
  3 x   2.  3 x  .2  2 2   3  x 2  16    x 3  3 x 2 .3  3 x.32  33    x 3  1


2
2
 
 9 x  12 x  4  3 x  48  x3  3 x 2 .3  3 x.32  33  x 3  1

 3 x 2  15 x  6
 
Bài 2: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: 





a) x  3x  12    7 x  20   x 2  2 x  3  x 2 x 2  5  
b) 3  2 x  1  5  x  3   6  3 x  4   19 x  
Lời giải:
2





a) Ta có  x  3x  12    7 x  20   x  2 x  3  x 2 x 2  5  

 3x 2  12 x  7 x  20  2 x3  3x 2  2 x3  5 x

 
 20
Vậy ta có điều phải chứng minh 
b) Ta có  3  2 x  1  5  x  3  6  3 x  4   19 x  
Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 1


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
 6 x  3  5 x  15  18 x  24  19 x
 
 12
Vậy ta có điều phải chứng minh 
Bài 3: Tìm x, biết.
a) 3x + 2(5 – x) = 0 
b) x(2x – 1)(x + 5) – (2x2 + 1)(x + 4,5) = 3,5 
c) 3x2 – 3x(x – 2) = 36. 
d)  (3x2 – x + 1)(x – 1) + x2(4 – 3x) =  2,5  
e)
f)
g)

h)
i)
j)

(3x – 5)(2x – 1) – (x + 2)(6x – 1) = 0 
(3x – 4)2 – (x – 2)2 – 3(x – 2)(2x – 1) = 13 
4x2 – 8x + 3 = 0 
(3x + 2)(3x – 2) – (3x + 1)2 = 5 
(x – 2)(x2 + 2x + 4) – x(x2 + 2) = 0 
x2(x2 – 7)2 = 36  
Lời giải:

 
a,3x  2(5  x)  0

 3x  10  2 x  0
 x  10  0
 x  10

b, x(2 x  1)( x  5)  (2 x 2  1)( x  4,5)  3,5
 x(2 x 2  10 x  x  5)  2 x3  9 x 2  x  4,5  3, 5

 

 2 x 3  9 x 2  5 x  2 x3  9 x 2  x  4, 5  3, 5
 6 x  3,5  4,5  8
8
x
6
d , (3 x 2  x  1)( x  1)  x 2 (4  3 x)  2,5

c, 3 x 2  3 x( x  2)  36

 

 3 x 3  3 x 2  x 2  x  x  1  4 x 2  3 x 3  2,5

 3 x 2  3 x 2  6 x  36  
 6 x  36
x6

 3 x 3  3 x 2  x 2  x  x  1  4 x 2  3 x 3  2,5  
 2 x  1  2,5

e, (3x  5)(2 x  1)  ( x  2)(6 x  1)  0

 2 x  3, 5
 x  1, 75
f ,(3x  4)2  ( x  2)2  3( x  2)(2 x  1)  13

 6 x 2  3 x  10 x  5  6 x 2  x  12 x  1  0

 9 x 2  24 x  16  x 2  4 x  4  6 x 2  3x  12 x  6  13

 24 x  6
6 1
x
  0, 25
24 4

 

 2 x 2  5 x  6  13
 2x 2  5x  7  0
 2x 2  5x  7  0

 

2

 2x  2x  7 x  7  0
 2 x( x  1)  7( x  1)  0
 (2 x  7)( x  1)  0
 x  3,5; 1

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 2


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
g, 4x2  8x  3  0

h, (3x  2)(3x  2)  (3x  1)2  5
 9x2  4  9 x2  6x 1  5

3
0
4

1
 x2  2 x  1   0
4
1
 
 ( x  1)2   0
4
1
1
 ( x  1  )( x  1  )  0
2
2
3
1
 ( x  )( x  )  0
4
2
3 1
 x ; 
4 2
i, ( x  2)( x 2  2 x  4)  x( x 2  2)  0
 x2  2 x 

 x3  8  x3  x  0
 x  8

 

 6 x  10
5

x
3

j, x 2 ( x 2  7)  36
 

 x 2 ( x 2  7) 2  36  0
  x( x 2  7)  6  x( x 2  7)  6  0
 ( x3  7 x  6)( x3  7 x  6)  0
2

 

2

 ( x  1)( x  x  6)( x  1)( x  x  6)  0
 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  1)( x  2)( x  3)  0
 x  3; 3; 1;1; 2;3
 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 3


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 2. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
1)  a2 – 1 + 4b – 4b2 

11)  a4 + 6a2b + 9b2 – 1 
2)  9x3 + 6x2 + x 
12)  4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) 
3)  x3 + x2y – 4x – 4y 
13*)  x3 – 2y3 – 3xy2 
4)  - 6x2 – 7x + 3 
14*)  x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) 
2
2
5)  5x  – 16xy + 3y  
15*)  x3 – 3x2 + 2 
6)  a3 + 3a2 – 6a – 8 
16)  (2x2 – y)3 – 64y3 
7)  4a2b2 – (a2 + b2)2 
17*)  a7 + a2 + 1 
8)  x3 – 3x2 + 2x 
18*)  81x4 + 4y4 
2
2
9)  x  – 2x – 4y  – 4y 
19*)  x3 – x2 - 4 
10)  (a2 + 9)2 – 36a2 
20*)  x8 + x4y4 + y
Lời giải:
1.  a –1  4b – 4b  a – 1 – 4b  4b    a –   1– 2b  a –1  2ba 1 – 2b  
2

2

2

2

2

2

2.  9 x3  6 x 2  x   x  .9 x 2  6 x   1     x.3x 1  
2

3.  x3  x 2 y  4 x – 4 y   x3  x 2 y   4 x  4 y   x 2   x    y  – 4  x  y   
  x  y  x 2 – 4   x  y  x – 2 x  2  

4.  – 6 x 2 – 7 x  3  – 6 x 2 – 9 x  2 x   
3 
 3 x  2 x  3    2 x  3    2 x  3 1 – 3 x   
5.  5 x 2 – 16 xy  3y 2  5 x 2 – 15 xy  xy  3y 2  5 x.  x  3y   y.  x  3y    x  3y  .  5 x  y   



 







6.  a3  
 3a2 – 6a  

 8   a3 – 8  3a2 – 6a   a – 2  a2  2a  4  3a  a – 2   







7.  4a  
b – (a  b )   2ab  a – b  2ab  a  b    
  a – b  a  b    a – b   
8.  x – 3 x  2 x  x  x – 3 x  2   x.  x – 2  x – 1  
9.  x – 2 x – 4 y – 4 y   x  4 y  –  2 x  4 y    x – 2 y  x  2 y  – 2  x  2 y    x  2 y  x  2 y – 2   
10.   a  9   36a  
  a  9 – 6a  a  9  6a    a – 3  a  3   a – 9   
11.  a  
 6a b  9b  1  a  3
 a b  3
 a b  9
 b  1  a  a  3b  +3b  a  3b   1
  
  a  3b  a  3b   1
   a  3b  – 1   a  3b  1 a  3b  1  
  a – 2  a2  2a  4  3a   a – 2  a2  5
 a  4   a – 2  a  4  a  1  
2

2

3

2 2

2

2

2

4

2

2 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12.  4 x 2   
25   2 x  7  5  2 x    2 x  5 2 x  5  
  2 x  7  2 x  5
  
  2 x – 5  2 x  5 – 2 x  7    2 x – 5  2   2  2 x – 5   

13*) x3  2 y 3  3xy 2  x3  y 3  3 y 3  3 xy 2   x3  y 3   3 y 2  y  x 

  x  y   x 2  xy  y 2   3 y 2  y  x    x  y   x 2  xy  y 2  3 y 2   
  x  y   x 2  xy  2 y 2 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 4


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
14*) x 2  y  z   y 2  z  x   z 2  x  y   x 2 y  x 2 z  y 2  z  x   xz 2  yz 2

  x 2 y  yz 2    x 2 z  xz 2   y 2  z  x   y  x 2  z 2   xz  x  z   y 2  z  x 
 y  x  z  x  z   xz  x  z   y 2  z  x   y  x  z  x  z   xz  x  z   y 2  x  z 
  x  z   y  x  z   xz  y 2    x  z   xy  yz  xz  y 2 

 

  x  z   xy  xz    yz  y 2     x  z   x  y  z   y  z  y  
  x  z   x  y  z   y  y  z     x  z  y  z  x  y 

15*) x3  3x 2  2  x3  2 x 2  x 2  2   x3  x 2    2 x 2  2   x 2  x  1  2  x 2  1
 x 2  x  1  2  x  1 x  1   x  1  x 2  2  x  1    x  1  x 2  2 x  1

 

3
3
2
3

2
16)  2 x 2  y   64 y 3   2 x 2  y    4 y    2 x 2  y  4 y   2 x 2  y   4 y  2 x 2  y    4 y  

 

  2 x 2  y  4 y  4 x 4  4 x 2 y  y 2  8 x 2 y  4 y 2  16 y 2    2 x 2  y  4 y  4 x 4  4 x 2 y  13 y 2 
17*)a 7  a 2  1  a 7  a  a 2  a  1   a 7  a    a 2  a  1  a  a 6  1   a 2  a  1
 a  a 3  1 a3  1   a 2  a  1  a  a  1  a 2  a  1 a3  1   a 2  a  1
  a 2  a  1  a  a  1  a3  1  1   a 2  a  1  a 2  a  a 3  1  1

 

  a 2  a  1 a 5  a 4  a 2  a  1
2

2

18*)81x 4  4 y 4   9 x 2    2 y 2   36 x 2 y 2  36 x 2 y 2
2

  9 x 2  2 y 2   36 x 2 y 2

 

  9 x 2  2 y 2  6 xy  9 x 2  2 y 2  6 xy 

19*) x 3  x 2  4  x3  2 x 2  x 2  4   x3  2 x 2    x 2  4 
 x 2  x  2    x  2  x  2    x  2   x 2  x  2 
2

2

 

2

20*) x8  x 4 y 4  y 8   x 4   x 4 y 4   y 4    x 4  y 4   2 x 4 y 4  x 4 y 4
2

  x 4  y 4   x 4 y 4   x 4  y 4  x 2 y 2  x 4  y 4  x 2 y 2 
  x 4  y 4  2 x 2 y 2  x 2 y 2  x 4  y 4  2 x 2 y 2  3 x 2 y 2 
2

2

  x 2  y 2   x 2 y 2   x 2  y 2   3x 2 y 2 








  x 2  y 2  xy  x 2  y 2  xy  x 2  y 2  3 xy x 2  y 2  3 xy

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ



Page 5


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 3. PHÉP CHIA ĐA THỨC
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau
12
4
e)
a)   x 4 y 3 z 5  : x 4 yz 2 .  
(5x4  2x3  x2 ) : 2x2  
25
5


1
7
b)
f)  xy 2  x 2 y 2  x3 y  : 5xy
8
3
13(a  b) :5(a  b) .  
3
2


 

c)

g)

(21xy5 z3 ) : 7 xy2 z3  

(15x3 y5  20x4 y4  25x5 y3 ) : (5x3 y2 )

d)  3 ( x  y )6 : 3 ( x  y)3
2

4

 
Lời giải:

3
 12
 4
a)    x 4 y 3 z 5  : x 4 yz 2   y 2 z 3   
5
 25
 5





c)  21xy 5 z 3 : 7 xy 2 z 3  3 y 3  

 

8

3

 

b)  13  a  b  : 5  a  b  

 

d)  

13
5
 a  b  
5

3
6 3
3
3
 x  y  :  x  y   2  x  y   
2
4

5 2
1
x x  
2

2
1
7
1
1
7


f)   xy 2  x 2 y 2  x3 y  : 5 xy  y  xy  x 2  
3
2
5
15
10


e)   5 x 4  2 x3  x 2  : 2 x 2 







3
2
2
g)  15x3 y 5  20 x 4 y 4  25 x5 y 3 : 5 x3 y 2  3 y  4xy  5x y  

Bài 6: Sắp xếp rồi làm tính chia:

a) (17 x2  6 x 4  5x3  23x  7) : (7  3x2  2 x)    
b) (17 x 2  2 x3  3x 4  4 x  5) : ( x2  x  5)  
c) (10 x 2  x4  9) : ( x 2  2 x  3)                     
d) (15x 4  x2  41x  x3  70) : (2 x  3x 2  7)  
Lời giải:
a)  - 6x4 + 5x3 + 17x2 - 23x + 7  
- 
4  
3 
2
  - 6x - 4x +14x  
   9x3 + 3x2 - 23x + 7 
- 
 
   9x3 + 6x2 - 21x 
 
 

- 

2

 -3x -2x+7 
  2x2 - 3x + 1 

 - 3x2 -   2x + 7 
 - 3x2 -   2x + 7 
 0 

 

Vậy: - 6x4 + 5x3 + 17x2 - 23x + 7=(- 3x2 - 2x + 7)(2x2 - 3x + 1) 
 

 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 6


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
b) 
- 
 
 

- 3x4 - 2x3 + 17x2 - 4x - 5 

  x2 + x - 5 

- 3x4 - 3x3 + 15x2 
 x3 +   2x2 - 4x - 5 
-  3 
 x +     x2 - 5x  

  -3x2 + x + 1 

 

- 

 

     x2  + x  - 5 
     x2  + x  - 5 
0 

 

Vậy: -3x4 - 2x3 + 17x2 - 4x – 5 = (x2 + x – 5)(  -3x2 + x + 1) 
c 
 
 

- 

   x4          -  10x2                      -  9 

  x2 - 2x - 3 

   x4  - 2x3 -   3x2 
  x2 + 2x -3 
3 
2                      
2x -   7x
-  9 
-  3 
2

2x -    4x   - 6x 

 

- 

 

- 3x2 +   6x     -9 
- 3x2 +  6x     + 9 
      -18 

 

Vậy:   x4 - 10x2  -  9 =( x2 - 2x – 3)(  x2  +2x  -3) -18 
d) 
 
 

- 

15x4  -    x3  -    x2  + 41x - 70 

  3x2 - 2x + 7 

15x4  - 10x3  + 35x2 
  9x3  - 36x2 + 41x - 70 
- 
  9x3  -   6x2 + 21x 

  5x2 + 3x - 10 

 
- 
 

- 30x2 - 20x -70 
- 30x2 - 20x -70 

 

0 

Vậy: 15x4  -  x3  -  x2  + 41x - 70 = (3x2 - 2x +7)(5x2 + 3x – 10)

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 7


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
Bài 7: Tìm a, b sao cho:  
a) Đa thức  x4 – x3 + 6x2 – x + a chia hết cho đa thức x2 – x + 5 
b) Đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 2. 
c) Đa thức 3x3 + ax2 + bx + 9 chia hết cho x + 3 và x – 3. 
Lời giải

a.  x4 – x3 + 6x2 – x + a      x2 – x + 5 
     x4 – x3 + 5x2                  x2 + 1   

                    x2  - x + a 
                    x2 – x + 5 
                              a – 5 
Để đa thức  x4 – x3 + 6x2 – x + a  chia hết cho đa thức   x2 – x + 5  a – 5 = 0  a = 5 
Cách 2: ( dùng phương pháp hệ số bất định)
b.            2x3 – 3x2 + x + a        x + 2 
               2x3 + 4x2                     2x2  -7 x +15 
                        -7 x2 + x + a  
                        -7x2 -14x 
                              15x + a 
                              15 x +30 
                                  a -30 
Để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 2  a - 30 = 0  a = 30 
Cách 2 : ( dùng định lý Bơ-zu)  
c.         3x3 + ax2 + bx + 9           x2 – 9 
           3x3          - 27x                 3x + a 
                ax2 + (b + 27) x + 9 
                ax2                     - 9a 
                ( b + 27) x + 9 + 9a 
Để đa thức 3x3 + ax2 + bx + 9  chia hết cho x2 – 9 [ vì x2 – 9 = ( x – 3)(x + 3) ] thì 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 8


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

 b  27  0

b   27

( b + 27)x + 9 + 9a  = 0   
  
9  9a  0
a   1
Cách 2: dùng phương pháp xét giá trị riêng
Cách 3: dùng phương pháp hệ số bất định
Bài 8: Tìm giá trị nguyên của n
a) Để giá trị của biểu thức 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n+1. 
b) Để giá trị của biểu thức 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 1 . 
c) Để đa thức x4 - x3 + 6x2 - x + n chia hết cho đa thức x2 - x + 5 
Lời giải:
a) Để giá trị của biểu thức A = 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức B = 3n+1. 
3n3 + 10n2      – 5     3n+1.
3n3 + n2                  n2 + 3n-1
         9n2      - 5 
        9n2  +3n 
                -3n - 5 
                -3n - 1 
                      - 4 
Vậy  khi A chia cho B ta được đa thức dư là -4. Do đó giá trị của A chia hết cho giá trị của B khi 
4
 có giá trị nguyên. 
3n  1
 3n  1U (4)  1; 2; 4   
3n+1 
n 
Kết quả 
Vậy  n  1;0;1   

-1 
-2/3 
KTM 

1 
0 
Chọn 

-2 
-1 
Chọn 

2 
1/3 
KTM 

-4 
-5/3 
KTM 

4 
1 
Chọn 

b) Để giá trị của biểu thức A = 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị của biểu thức B =  n – 1 . 
Thực hiện phép chia tương tự câu a)
Vậy  khi A chia cho B ta được đa thức dư là 1. Do đó giá trị của A chia hết cho giá trị của B khi 
1
 có giá trị nguyên. 

n 1
 n  1U (1)  1   
n - 1 
n 
Kết quả 

-1 
0 
Chọn 

1 
2 
Chọn 

Vậy  n  0;2   

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 9


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
c) Để đa thức A =  x4 - x3 + 6x2 - x + n chia hết cho đa thức B = x2 - x + 5 

x 4  x 3  6 x 2  x  n     x 2  x  5  

x 4  x 3  5x 2                 x 2  1  
                 x 2  x  n  
                 x 2  x  5  

     n  5  
Vậy  khi A chia cho B ta được đa thức dư là  n  5 . Do đó giá trị của A chia hết cho giá trị của B khi
n  5  0  n  5 
Vậy  n  5   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 10


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 4. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 9*. Tìm GTLN hoặc GTNN (nếu có) của mỗi biểu thức sau: 
1) A = x2 – 4x + 2013 
2 x 2  16 x  33
C 2
2
4) 
  

2) B = 2014 – x  + 5x 
x  8 x  17
5) E = - x2 + 4xy - 5y2 + 6y – 17 
3x 2  8 x  6
 
D

3) 
 
6) G = x2 - 4xy + 5y2 + 10x - 22y + 28 
x2  2x  1
Lời giải :
2
2
1) A  x  4 x  2013  ( x  4 x  4)  2009  (x  2)2  2009
Mà  ( x  2) 2  0, x  ( x  2) 2  2009  2009, x  A  2009,  x  
Dấu "=" xảy ra <=> x-2 = 0 <=> x = 2 
Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2009 khi x = 2 
5 25 8081
5
8081
)  ( x  ) 2 
2) B  2014  x 2  5 x  ( x 2  2.x.  
 
2 4
4
2
4
5
5

5
8081 8081

, x  
Mà  ( x  )2  0, x  ( x  )2  0, x  ( x  ) 2 
2
2
2
4
4
8081
 B 
, x  
4
5
5
Dấu "=" xảy ra <=> x   0  x   
2
2
8081
5
Vậy biểu thức B đạt giá trị lớn nhất bằng 
 khi  x   
4
2
2
2
2
3 x  8 x  6 2( x  2 x  1)  ( x  4 x  4)
( x  2) 2

3) D  2
( với  x  1  ) 


2

x  2x 1
x2  2 x  1
( x  1) 2
( x  2) 2  0, x

( x  2) 2
Mà  ( x  1) 2  0, x  0 
 1 
( x  1) 2
 x  2  x 1

( x  2) 2
 2, x  D  2, x  
( x  1) 2
Dấu "=" xảy ra <=> x = 2 
Vậy biểu thức D đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 2 

=> 2 

4) C 

2 x 2  16 x  33 2( x 2  8 x  17)  1
1
1

 

 2 2
 2
2
2
x  8 x  17
x  8 x  17
x  8 x  17
( x  4) 2  1

Lại có:  ( x  4)2  0, x  ( x  4) 2  1  1, x  
1
1
 1, x  
 1, x
2
( x  1)  1
( x  1) 2  1
 
1
 2 
 1, x  C  1, x
( x  1) 2  1
Dấu " = " xảy ra <=> x – 4 = 0 <=> x = 4 
Vậy biểu thưc C đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 4. 


5) E   x 2  4 xy  5 y 2  6 y  17  ( x 2  2.x.2 y  4 y 2 )  ( y 2  2. y.3  9)  8  
 ( x  2 y ) 2  ( y  3)2  8  

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 11


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

( x  2 y )2  0, x, y
 ( x  2 y )2  ( y  3)2  0, x, y  
Mà  
2
(y 3)  0, y
=> ( x  2 y ) 2  ( y  3) 2  8  8, x, y  
=> E  8,  x , y  
x  2 y  0
x  2 y
x  6
Dấu " = " xảy ra <=> 
 
 
 
y 3  0
y  3
y  3
Vậy biểu thức E đạt giá trị lớn nhất bằng -8 khi x =6 ; y = 3 
6) G  x 2  4 xy  5 y 2  10 x  22 y  28  

 ( x 2  2.x.2 y  4 y 2 )  y 2  10 x  22 y  28
 ( x  2 y )2  2( x  2 y ).5  25  ( y 2  2 y  1)  2  

 (x  2 y 5)2  ( y  1)2  2
2
( x  2 y  5)  0, x, y
 ( x  2 y  5) 2  ( y  1) 2  0, x, y  
Mà  
2
(
y

1)

0,

y


 ( x  2 y  5)2  ( y  1)2  2  2, x, y
 
 G  2, x, y
x  2 y  5  0
x  2 y  5
 x  3
Dấu " = " xảy ra <=> 
 
 
 
 y 1  0
y 1
y 1
Vậy biểu thức G đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = -3 ; y = 1  

Bài 10*. Chứng minh đẳng thức:
1 1 1
1
1 1 1
1
,  abc  0, a  b  c  0  .  Chứng minh:  3  3  3  3 3 3 . . 
1. Cho    
a b c abc
a b c
a b c
2. Chứng minh nếu   x  by  cz ;  y  ax  cz ;  z  ax  by và   x  y  z  0  thì:   

1
1
1


 2 . 
1 a 1 b 1 c
Lời giải:
1. Với   abc  0, a  b  c  0 , ta có:

1 1 1
1
  
  ab  bc  ac  a  b  c   abc  
a b c abc

  ab  bc  ac  a  b   abc  bc 2  ac 2  abc  0  
  ab  bc  ac  a  b   c 2  a  b   0  

  a  b   ab  bc  ac  c 2   0  
  a  b  b  a  c   c  a  c    0  
  a  b  b  c  a  c   0  
Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 12


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

a  b  0
 b  c  0  
 a  c  0
Nếu  a  b  0    b  a 

1 1 1 1 1 1 1
       
a 3 b3 c 3 a 3 a 3 c 3 c 3

1
1
1
 3 3 3 3 
3
3
a b c
a a c
c

3

        

1 1 1
1
 3 3 3 3 3
3
a b c
a b c  

Tương tự, nếu  b  c  0  hoặc  a  c  0  thì ta cũng có  
Vậy nếu 

1 1 1
1
 3 3 3 3 3
3
a b c
a b c  

1 1 1
1
1 1 1
1
  
,  abc  0, a  b  c  0  thì  3  3  3  3 3 3 .  (đpcm)
a b c abc
a b c
a b c

2. Ta có: x  by  cz ;  y  ax  cz ;  z  ax  by ( x  y  z  0 )
Cộng vế với vế ta được:  x  y  z  2  ax  by  cz   2  ax  x   2 x  a  1  
 

 

 

        

Tương tự, ta cũng có:   

1
2x
 

a 1 x  y  z
1
2y
 

b 1 x  y  z

1
2z

c 1 x  y  z  
        

1
1
1
2x
2y
2z





 2  (đpcm)
1 a 1 b 1 c x  y  z x  y  z x  y  z
 

 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 13


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 5. PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH, CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC
Bài 11 : Tìm x để các phân thức sau xác định :
x6
5
9 x 2  16
 A = 

                     
 B =  2
                  C =  2
              
x2
x  6x
3x  4 x
x2  4 x  4
2x  x2
3 x 2  6 x  12
D = 
            
E =  2
                         F = 
 
2x  4
x 4
x3  8
Lời giải
a) Phân thức  A  xác định khi  x  2  0   x  2.  

x  0
b) Phân thức  B  xác định khi  x( x  6)  0  
 
x  6
x  0

c) Phân thức  C  xác định khi  3x  4 x  0  x(3x  4)  0  
4 
 x  3

2

d) Phân thức  D  xác định khi  2 x  4  0  x  2.  

x  2  0 x  2

e) Phân thức  E  xác định khi  x 2  4  0   x  2 x  2   0  
 
 x  2  0  x  2
f) Phân thức  F  xác định khi  x3  8  0  x3  8  x  2.  
Bài 12 Thực hiện các phép tính sau :
x 1 2x  3

a)
  
2 x  6 x 2  3x
3
x6
 2
b)
  
2x  6 2x  6x
2 x  6 x 2  3x
c)
 
:
3x2  x 1  3x

d)

x
x
4 xy
  

 2
x  2 y x  2 y 4 y  x2

1
1
3x  6


             
3x  2 3x  2 4  9 x 2
x  3 2x 1 x  5


f)
  
x  1 x  1 x2  1
Lời giải
e)

a) 
x 1
2x  3
x 1
2x  3
 2



2 x  6 x  3x 2( x  3) x( x  3)

x( x  1) 2(2 x  3) x 2  x  4 x  6 x 2  5 x  6 x 2  2 x  3x  6





2 x( x  3) 2 x( x  3)
2 x( x  3)
2 x( x  3)
2 x( x  3)  
x( x  2)  3( x  2) ( x  2)( x  3) x  2



2 x( x  3)
2 x( x  3)
2x
b) 
3
x6
3
x6
3x
x6
3x  x  6
2x  6

2( x  3)
1
 2








2 x  6 2 x  6 x 2( x  3) 2 x ( x  3) 2 x ( x  3) 2 x ( x  3) 2 x ( x  3) 2 x ( x  3) 2 x ( x  3) x
c) 

2 x  6 x 2  3 x 2( x  3) x( x  3) 2( x  3) 1  3 x
2( x  3) (3 x  1) 2
:

:

.

.

2
3x  x 1  3x
x(3 x  1) 1  3 x
x(3 x  1) x ( x  3) x(3 x  1) x( x  3) x 2  

 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 14


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
d) 

x
x
4 xy
x
x
4 xy

 2



2
x  2y x  2y 4y  x
x  2 y x  2 y (2 y  x)(2 y  x)
x( x  2 y )
x( x  2 y )
4 xy



( x  2 y )( x  2 y ) ( x  2 y )( x  2 y ) ( x  2 y )( x  2 y )

2



2

 

2

x  2 xy  x  2 xy  4 xy
2 x  4 xy
2 x( x  2 y )
2x



( x  2 y )( x  2 y )
( x  2 y )( x  2 y ) ( x  2 y )( x  2 y ) ( x  2 y )

e) 
1
1
3x  6
1
1
3x  6
1
1
3x  6





 2



2
3x  2 3 x  2 4  9 x
3 x  2 3 x  2 9 x  4 3 x  2 3 x  2 (3 x  2)(3 x  2)
3x  2
3x  2
3x  6
3 x  2
(3 x  2)
1  






(3 x  2)(3 x  2) (3 x  2)(3 x  2) (3 x  2)(3 x  2) (3 x  2)(3 x  2) (3x  2)(3 x  2) (3 x  2)

f)  
x  3 2x 1 x  5 x  3 2x 1
x5
( x  3)( x  1) (2 x  1)( x  1)
x5


 2






x  1 x  1 x  1 x  1 x  1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)

x2  2 x  3
2 x2  x  1
x5
3x 2  4 x  1 3x 2  3x  x  1




( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1)
3x( x  1)  ( x  1) ( x  1)(3x  1) 3x  1



( x  1)( x  1)
( x  1)( x  1) ( x  1)


Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

 

Page 15


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 6. BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ PHÂN THỨC
 3  x 3  x 4 x2  
x2  x  1 

 2
Bài 13. Cho biểu thức:   A  
 . 2  x 

2 x 
 3 x x  3 x 9  
 
a)  Rút gọn biểu thức A.      
b)  Tính giá trị của biểu thức A biết  2 x  1  3 .      
c)  Tìm  x    để  A  .
Lời giải
3  x  0
x  3


a. Điều kiện:  3  x  0   x  3  
2  x  0
x  2




 3  x 3  x 4x2  
x2  x  1 
A

 2
 . 2  x 

2 x 
 3 x x 3 x 9  
 3  x 3  x 4 x2  
x2  x 1 



.
2

x


2  
2 x 
 3 x 3 x 9 x  
 3 x 3 x
   2  x  2  x  x 2  x  1 
4x2
 




 . 

3

x
3

x
3

x
3

x
2

x





 2  x  


  3  x 2  3  x  2
   2  x  2  x   x 2  x  1 
4 x2




.

  3  x   3  x   3  x  3  x   
 2  x



  3  x 2   3  x 2  4 x 2   4  x 2  x 2  x  1 

 . 



3

x
3

x



 2  x



 9  6 x  x 2   9  6 x  x 2   4 x2   3  x 

 .


  2  x 
3  x  3  x 



 9  6 x  x 2  9  6 x  x 2  4 x2   3  x 
 
 . 

 3  x  3  x 

  2 x 
 12 x  4 x 2   3  x 
4x 3  x  3  x 
 
.
 . 

3

x
3

x
2

x

3

x
3

x






 2  x




4x

2 x

 

 x  2  KTM 
2 x  1  3
b. 2 x  1  3  
 

 x  1 TM 
 2 x  1  3

c. Ta có:  A 

4x
8
 4 
 
2 x
x 2

Vì  4   nên để  A thì  x  2  Ö  8  1; 2; 4; 8  
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 

2 = 1 → = 3 
2 = 1 → = 1 
2 = 2 → = 4 
2 = 2 → = 0 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 16


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
TH5: 
2 = 4 → = 6 

TH6: 
2 = 4 → = 2 
TH7: 
2 = 8 → = 10 
TH8: 
2 = 8 → = 6 
Vậy ∈ {3; 1; 4; 0; 6; 2; 10; 6} 

Bài 14. Cho biểu thức:   B 

x 1  x2  2
x
1 
: 3
 2


2  x 1 x  x  1 1  x 

a)  Rút gọn biểu thức B.      
b)  Chứng minh biểu thức B > 0  x  1 .           
c)  Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 
Lời giải.
a) Điều kiện:  x  1.  
x 1 
x2  2
x
1 

B

:


2
2   x  1  x 2  x  1 x  x  1 x  1 

 
1 x 2  x  1 
x  x  1
x 1 
x2  2


:


2   x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1 

 
x 1  x2  2  x2  x  x2  x 1  x  1
x 2  2x  1


:

:
2 
 x  1  x 2  x  1  2  x  1  x 2  x  1  

2

 x  1
x 1
x 1
x 1
x  1 x2  x  1 x2  x  1

:

:

.

 
2  x  1  x 2  x  1
2 x2  x  1
2
x 1
2
b)  Chứng minh biểu thức B > 0  x  1 .  
Ta có  B 

2
x2  x  1 1 2
1
1 1 3  1 
1 3
  x  x  1   x 2  2.x.       x      
2
2

2
2 4 4  2  
2  4 

2
2
2
1
1 3
1 
1 3


Ta có   x    0 x  R   x     0  B    x      0  đpcm. 
2
2 4
2  
2  4 


c)  Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 
2
2
2
1
1 3 3
1 
1 3 1 3
3



Ta có   x    0 x  R   x      B    x      .  B   


2
2 4 4
2 
2 4 2 4
8


2

3
1
1
1

 GTNN  B     x    0  x   0  x   .  
8
2
2
2


 ( x  1)2
1  2 x2  4 x
1  2x



Bài 15. Cho biểu thức:   C  
:
2
3
x 1
1  x  x3  x
 3x  ( x  1)
a)  Rút gọn biểu thức C.             
b)  Tìm giá trị của x để 4C = x + 8.            
c)  Tìm giá trị nhỏ nhất của C. 
Lời giải
a) ĐKXĐ:  x  0; x  1  

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 17


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

 ( x  1)2
1  2 x2  4 x
1  2x
C 


:
2
3

x 1
1  x  x3  x
 3x  ( x  1)
 
2
2


 x  1
1  2x  4x
1
2x
:
 



2
2
2
 3 x  x  2 x  1  x  1  x  x  1 x  1  x  x  1
  x  1 2
1  2x2  4x
1 
2
: 2
 
 2



2
 x  x  1  x  1  x  x  1 x  1  x  1
3


 x  1
1  2x2  4 x
x2  x  1
2
 
: 2



2
2
2
  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1
x3  3x 2  3x  1  1  2 x 2  4 x  x 2  x  1 2

: 2
 
x 1
 x  1  x 2  x  1


x3  3x 2  3x  1  1  2 x 2  4 x  x 2  x  1 2
 
: 2
x 1

 x  1  x 2  x  1



x3  1
2
: 2
 
2
 x  1  x  x  1 x  1

 1:


2
 
x 1
2

x2  1
 
2

x2  1
với  x  0; x  1  
2
b) 4C = x + 8 

Vậy  C 

 4.

x2  1
 x8 
2

 2 x2  2  x  8  0  
 2x2  x  6  0  
 2 x 2  4 x  3x  6  0  
 2x  x  2  3  x  2  0  

  x  2  2 x  3   0  

x  2  0
 

2x  3  0
x  2
 (thỏa mãn ĐKXĐ) 

 x  3

2
 3 
Vậy  x  2;   
 2
c) Với  x  0; x  1  ta có: 
2
Do  x  0  

 x2  1  1  
Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 18


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 


x2  1 1
  
2
2

1
 
2
Dấu “=” xảy ra   x  0 (không thỏa mãn ĐKXĐ) 
Vậy biểu thức C không có giá trị nhỏ nhất. 
C

 x 2  3x   9  x 2
x 3 x 2 
 1 :  2


Bài 16. Cho biểu thức:  D   2
 
 x 9

  x  x6 2 x x3
a) Rút gọn biểu thức D. 
b) Tính giá trị của biểu thức D biết x = – 4. 
c) Tìm  x  Z  để  D  Z .                   
3
d) Tìm x để  D   .  
4
Lời giải
 
a) Rút gọn biểu thức D. 
ĐK:  x  3; x  2  
 x 2  3x   9  x 2
x3 x 2
D 2
 1 :  2



 x 9
  x  x6 2 x x3
 x  x  3
   3  x  3  x  x  3 x  2 

 1 :  2



x

3

x

3
x

3
x

2
x

6
x

2
x  3






x  3    3  x  3  x 
x 3 x  2
 x


:





 x  3 x  3   x  x  3  2  x  3 x  2 x  3 


  

 

 

x  x  3   3  x  3  x  x  3 x  2 
:



x  3   x  3 x  2  x  2 x  3 

3  3  x x  3 x  2 
:



x3  x2 x2 x3
3 2  x
3 x  3
3

:




x3 x3 x3 2 x x2
b) Ta thấy  x  4  thỏa mãn điều kiện  x  3; x  2  


Khi đó:  D 

3
3 1
 


4  2 6 2

c) Với  x  3; x  2 ;  x  Z ,  D  Z  khi và chỉ khi   

3
 Z     x  2 ¦  3         
x2

Mà   ¦  3  1; 1;3; 3      
*TH1:  x  2  1  x  3 (loại)
*TH2:  x  2  1  x  1 (thỏa mãn)
*TH1:  x  2  3  x  5 (thỏa mãn)
*TH1:  x  2  3  x  1 (thỏa mãn) 
Vậy  x  1;5; 1  
Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 19

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 

3
3
3
d)  D    hay 
  ( x  3; x  2 ) 

4
x2 4
 12  3  x  2   x  2  4  x  2 (loại) 
3
Vậy không có giá trị x thỏa mãn  D   .
4
3
 2 x  x2  x 2 x  1  x2  x

Bài 17. Cho biểu thức:  E  1  
.
3
x 1  2x 1
 x 1
a)  Rút gọn biểu thức E.        
b)  Tính giá trị của biểu thức E biết x2 + x – 6 = 0.      
2
c)  Chứng minh  E  .   
3

Lời giải
1
a) ĐK:  x  1; x   
2

 2 x3  x 2  x 2 x  1  x 2  x
E  1 

   
.
3
x 1  2x 1
 x 1
 2 x3  x2  x
 2 x  1  x 2  x  1  x 2  x
.
 1 

  x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  2 x  1


  2 x  1
x  x  1
 
 1
.
2
 x  1  x  x  1 2 x  1
x
x2  x 1  x

x2  1


x2  x  1
x2  x  1
x2  x  1
1
x2  1
Vậy  x  1; x   thì  E  2
; 
2
x  x 1
 1

 x  3
b) Ta có  x 2  x  6  0   x  3 x  2   0  
 ( TMĐK) 
x  2
10
Với  x   3  thì  E   
7
5
Với  x  2  thì  E   
7
2

c)



 x  1
2
x2  1
2
x2  2 x  1
Xét hiệu  E   2
 
 

2
3 x  x  1 3 3  x  x  1
 2
1 1  3
3  x  2.x.    
2 4  4


 x  1

2

2


1  3
3  x    
2  4 

2
E

3

 0x  1; x 

1
2

 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 20


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HÌNH HỌC
Bài 18. Cho   ABC vuông ở A. D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB, 
N là điểm đối xứng của D qua AC. Gọi giao điểm của DM và AB là E, giao điểm của DN và AC là 
F. 
a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình chữ nhật. 
b)  Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ? Vì sao ? 
c)  Chứng minh rằng: M và N đối xứng với nhau qua A. 
d)  Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AEDF là hình vuông ? 
Lời giải
N

A

M

F

E
B

D

C

a) D đối xứng với M qua AB (gt)  
  AB là đường trung trực của DM 

 AB    DM tại E hay  E  = 900 
 = 900 
CM tương tự : DN    AC tại F hay  F
Xét tứ giác AEDF có: 

E  = 900   ( cmt) 
 = 90    (cmt) 
F

A = 900   (gt) 
  Tứ giác AEDF là HCN ( Dhnb) 
b)Xét   ABC  có  A = 900  , D là trung điểm của BC 
  AD = BD= DC ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) 
Mà AB là đường trung trực của DM 
 AD= AM, BD= BM 
Do đó: AD = BD =BM =AM 
Vậy Tứ giác ADBM là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau) 

Cm tương tự : Tứ giác ADCN là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau) 
c) Ta có AM = AD và AN = AD   AM = AN 
Vậy M đối xứng với N qua A 
d) Để AEDF là hình vuông thì AE = AF  
Mà ADBM là hình thoi (cmt), AB cắt DM tại E 
Nên E là trung điểm của AB ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
1
  AE =  AB   
2
1
Tương tự AF =  AC   
2
Với AE = AF thì AB = AC 
Khi đó   ABC  cân tại A 
Vậy để tứ giác AEDF là hình vuông thì   ABC  cân tại A  

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 21


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
Bài 19. Cho   ABC cân ở A. Kẻ AH  BC (H  BC). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB 
và AC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M. 
a)  Chứng minh: Tứ giác AMHN là hình thoi. 
 
 
b)  Chứng minh: AH, MN, EC đồng quy. 
c)  Tìm điều kiện của   ABC để tứ giác AHBE là hình vuông. 

d)  Tìm điều kiện của   ABC để tứ giác AEHN là hình thang cân.   
Lời giải
A

E

M

B

N

O

H

C

 

a. CM:  AMHN  là hình thoi 
Xét  ABC  có MH là đường trung bình   MH / / AC ; MH 
Mà  AN  NC 

1
AC (1) 
2

1
AC (2) 

2

1
AC (*)  
2
1
Chứng minh tương tự  HN  AM  MB  AB (**)  
2
Mặt khác  AB  AC ( gt ) (***) 

Từ 1,2 suy ra  AN  NC  MH 

Từ *,**,*** suy ra  AM  MH  HN  NA  
Suy ra  AMHN  là hình thoi (định nghĩa ). 
b. CM:   MN , AH , EC đồng quy 
Gọi O là giao của MN và EC 
Vì  AMHN  là hình thoi có hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà MN 
đi qua O nên AH cũng đi qua O 
Vậy  MN , AH , EC đồng quy tại O 
c. Tìm điều kiện của tam giác  ABC  để  AEBH  là hình vuông. 
Xét tứ giác AEBH   có   AM  MB ( gt ); EM  MH ( gt ) và AB , EH  cắt nhau tại trung điểm mỗi 
đường . Suy ra AEBH là hình bình hành (3) 
1

 MH  2 EH ( gt )
Ta có  
 EH  AC . Mà  AB  AC  nên  EH  AB  (4) 
 MH  1 AC (cmt )

2

Từ 3,4 suy ra  AEBH  là hình chữ nhật. 
Để hình chữ nhật  AEBH là hình vuông   AB  EH . Mà EH=AC 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 22


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
                                                                 

 AB  AC
 
ˆ  900
 BAC

Vậy tam giác ABC có góc  BAC  900  thì AEBH   là hình vuông. 
d. Tìm điều kiện tam giác  ABC  để  AEHN  là hình thang cân. 
Theo câu a có  MH / / EN  EH / / EN  
Suy ra  AEHN  là hình thang. 
Để  hình thang  AEHN  là hình thang cân   AEH  NHE  (5) 
                      Mà  AEH  EHB  AE / / BH  (6) 
Cm được AEHC là hbh   AEH  ACH (7) 
 Vì  NHC cân nên  ACB  NHC (8) 
Từ 5,6,7,8  AEH  NHE  EHB  ACB  NHC  
 Ta có  EHB  NHE  NHC  1800  

EHB  NHE  NHC  600  ACB  
Vậy ABC  cân có  ACB  600  nên  ABC  đều thì  AEHN  là hình thang cân. 

Bài 20. Cho   ABC vuông ở A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Gọi E, N, M theo thứ tự là trung 
điểm của AB, AC và BC. 
a)  Chứng minh: Tứ giác EHMN là hình thang cân.    
 
 
 
b)  Chứng minh: HE  HN. 
c)  Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia ME, MN theo thứ tự  ở K và F.  
Chứng minh: Tứ giác AMBK là hình thoi. 
d)  Chứng minh: AM, EN, BF và KC đồng quy. 
Lời giải
A

K

F

N

E

B

H

C

M

a.Do  E , N  là trung điểm của  AB, AC  nên  EN  là đường trung bình của tam giác  ABC   

  EN / / BC  hay  EN / / HM    tứ giác  EHMN  là hình thang. 
Xét tam giác  AHB  vuông tại  H  có  HE  là trung tuyến ứng với cạnh huyền  HE 
MN  là đường trung bình của tam giác  ABC    MN 

Do đó: MN  EH 

1
AB  . 
2

1
AB  . 
2

1
AB.  Vậy tứ giác  EHMN  là hình thang cân. 
2

b.Xét tam giác  ABH  vuông tại H,trung tuyến HE  HE  EA  EB 

1
AB   
2

  EAH
 1   
 tam giác  AEH  cân tại E  EHA
  HAN
    2    

Chứng minh tương tự: AHN

  HAN
    EHN
  EAN
  90    HE  HN  . 
AHB  EAH
Từ  1  và  2   : EHA
0

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 23


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
c.Trong tam giác  ABC  vuông tại A,trung tuyến AM: AM  BM  MC 

1
BC   
2

KE AK AE


 1    AK  BM  mà  AK / / BM  AKBM  là hình bình hành 
EM BM BE
mà  AM  BM    AKBM  là hình thoi. 
d.Do  AK  MC  MB  và  AK / / MC    AKMC là hình bình hành. 

  KC   và  AM  cắt nhau tại trung điểm mỗi đường  1   
Do  AK / / BM   

Tương tự:do MN là đường trung bình  MN  AE 

1
AB  , MN / / AE    AEMN  là hình bình 
2

hành 
  NE  và  AM  cắt nhau tại trung điểm mỗi đường   2   
Do AF  BM  và  AF / / BM    AFBM  là hình bình hành   AM   và  BF  cắt nhau tại trung điểm 
mỗi đường  3    
Từ  1 2  3     AM , EN , BF  và  KC  đồng quy. 
Bài 21. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Trên đoạn OD lấy điểm E. Kẻ CF// AE (F BD). 
a)  Chứng minh: Tứ giác AFCE là hình bình hành. 
b)  Cho AF cắt BC tại M, CE cắt AD tại N. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng. 
c)  Lấy K đối xứng với C qua E. Xác định vị trí của E trên OD để tứ giác AKDO là hình bình hành. 
d)  Lấy I đối xứng với A qua D, lấy H đối xứng với A qua B. Hình bình hành ABCD phải có thêm 
điều kiện gì để I và H đối xứng với nhau qua đường thẳng AC ?     
Lời giải
B

A
F
K

M

O

N
D

H

E
C

I

a) Vì O là tâm hình bình hành ABCD (gt) nên AO = CO ( tính chất hình bình hành). 

  FCO
  (2 góc so le trong). 
Do AE // CF (gt) nên  EAO
Xét  AOE  và  COF  có: 
  FCO
  (cmt) 
EAO

AO = CO ( cmt) 


 ( 2 góc đối đỉnh) 
AOE  COF
AOE  COF  g .c. g   AE  CF .
Từ đó 
 
     

Xét tứ giác AFCE có AE // CF, AE = CF. Do đó AFCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận 
biết) 
b) Ta có AE //CF (cmt) nên AM //CN. 
Vậy AMCN là hình bình hành vì có AM // CN, AN // CM. 
Mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của MN. Do đó M, O, N thẳng hàng. 

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 24


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I - TOÁN 8
 
c) Vì ABCD là hbh nên O là trung điểm của AC và BD (t/c) 
Xét  KAC có OA = OC (cmt), EK = EC(gt) nên OE là đường trung bình của  KAC .  
Do đó OE //AK hay AK // OD. 
Để tứ giác AKDO là hbh thì AK = OD. 
Mà AK = 2OE (t/c đường trung bình) nên OD = 2OE hay E là trung điểm OD. 
d) OB là đường trung bình của  ACH nên OB // CH. Do đó BD // CH    
(1) 
DB là đường trung bình của  AIH nên DB // IH    
 
 
 
(2). 
Từ (1) và (2), suy ra I, C, H thẳng hàng. 
Nếu I đối xứng với H qua AC thì AC   IH mà IH // DB.  
Do đó AC   BD. 
Vậy Hình bình hành ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết). 
Kết luận: Khi ABCD là hình thoi thì I đối xứng với H qua AC. 

Bài 22.  Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Qua A vẽ 
đường thẳng song song với BC cắt MN tại Q.
a) Chứng  minh  tứ  giác BCNP là hình thang.  Tìm điều kiện của  tam giác  ABC  để BCNP là hình 
thang cân. 
b) Chứng minh tứ giác ABMQ là hình bình hành. Tìm điều kiện của tam giác ABC để ABMQ là 
hình chữ nhật. 
c) Chứng minh tứ giác APMN là hình bình hành. Để APMN là hình thoi thì tam giác ABC cần có 
thêm điều kiện gì ? 
d) Chứng  minh  tứ  giác  AMCQ  là  hình  bình  hành.  Tam  giác  ABC  cần  điều  kiện  gì  để  AMCQ  là 
hình chữ nhật? 
e) Chứng minh tứ  giác BMNP là hình bình hành. Tìm điều kiện của tam giác ABC để BMNP là 
hình chữ nhật; hình vuông. 
Lời giải 

Q

A

N

P

B

M

C

 

a) Xét  ABC  có: 
P là trung điểm của AB (gt) 
N là trung điểm của AC (gt) 
Suy ra: PN là đường trung bình của   ABC  
 PN / / BC  
 Tứ giác BCNP là hình thang 
Tứ giác BCNP là hình thang cân khi  PB  NC  
1
1
Mà   PB  AB; NC  AC  
2
2
 PB  NC khi AB  AC  hay   ABC  cân tại A 
Vậy   ABC  cân tại A thì tứ giác BCNP là hình thang cân 
Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Page 25