20 câu hỏi ôn tập hình học không gian có lời giải

Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 1
BÀI 1
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :
x y 2 0
2x z 6 0
  


  

sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) :
2 2 2
x y z 2x 2y 2z 1 0      
là đường tròn có bán kính r = 1.
Câu 2:
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B
và B'C'.
GIẢI
Câu 1:
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P): (m 2n)x my nz 2m 6n 0      

 Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2.
 (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

22
d(I; P) R r 3   

2 2 2
m 2n m n 2m 6n
3
(m 2n) m n
     

  

22
4m 7n 3. 2m 5n 4m.n     


22
5m 22m.n 17n 0   

 Cho
2
17
n 1 5m 22m 17 0 m 1 hay m
5
         

 Vậy, có 2 mặt phẳng (P):
1
2
(P ): x y z 4 0
(P ) : 7x 17y 5z 4 0
   



   


Câu 2:
. Cách 1:
 Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

/ / / / / /
AB BC CA A B B C C A a     

 các tam giác ABC, A
/
B
/
C
/
là các tam giác đều.
 Ta có:
/ / / / /
B C // BC B C //(A BC)


/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))  

 Ta có:
/
/ / /

BC FD
BC (A BC)
BC A D ( A BC cân tại A )







 Dựng
/
FH A D

 Vì
//
BC (A BC) BC FH H (A BC)    

 A
/
FD vuông có:
2 / 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7 a 21
FH .
7
FH A F FD 3a a 3a
      

A
/

B
/

C
/

C
B
A
H
F
D
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 2
 Vậy,
/ / /
a 21
d(A B; B C ) FH
7


Cách 2:
 Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông
 ABC, A
/
B
/
C
/

là các tam giác đều cạnh a.
 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

/
//
a a 3 a a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a a 3 a a 3
B ; ; a , C ; ; a
2 2 2 2
   

   
   
   

   
   

 Ta có:
/ / / / /
B C // BC, B C //(A BC)


/ / / / / / / /
d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC))  



//
a a 3 a a 3
A B ; ; a , A C ; ; a
2 2 2 2
   
    
   
   
 


2
/ / 2 2 2
a 3 3
[A B; A C] 0; a ; a 0; 1; a .n,
22
   
  
   
   
 

với
3
n 0; 1;
2







 Phương trình mp (A
/
BC) qua A
/
với pháp vectơ
n

:
3
0(x 0) 1(y 0) (z a) 0
2
     


/
3 a 3
(A BC) : y z 0
22
   


//
a 3 3 a 3
a3
.a
a 21
2 2 2
2

d(B (A BC)) .
7
37
1
42

  


 Vậy,
/ / /
a 21
d(A B; B C ) .
7



BÀI 2


Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng
() :
x 1 y 2 z 3
2 1 2
  



1. Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC bằng 3.

2. Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất.

A
/

C
/

B
/

A
B
C
D
x
a
z
y
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 3
Câu 2: (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng
cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc nhau.
GIẢI
Câu 1:
1. Phương trình tham số của (D):
x 1 2t
y 2 t

z 3 2t



  






M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)      


AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)  
 


[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n       
 

, với
n (1; 2; 2)


 Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ
n

: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.


2 2 2
ABC
1 1 9
S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 .
2 2 2
      
 

 Đường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M đến (ABC):

1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11
MH d(M(ABC))
3
1 4 4
        
  


 Thể tích tứ diện MABC bằng 3
4t 11
19
V . . 3
3 2 3

  


5 17
4t 11 6 t hay t .
44

       

 Vậy, có 2 điểm M cần tìm là:
3 3 1 15 9 11
M ; ; hay M ; ;
2 4 2 2 4 2
   
  
   
   

2.
N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)      


22
ABN
1 1 2 3 2
S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9
2 2 2 2
       
 


ABN
32
maxS 4t 8 0 t 2.
2
       

 Vậy, điểm N cần tìm là N(-3; 0; 1).
Câu 2:
Cách 1:
 Gọi O là tâm của ABC
 Ta có:
SA SB SC
OA OB OC ( ABC đều)



  


 SO là trục của đường tròn (ABC)
SO (ABC)

 Mà :
AO BC; SO BC BC (SOA) BC SA     

S
I
A
O
B
M
C
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 4
 Dựng
BI SA

, suy ra:
SA (IBC) SA IC.  



BIC
là góc phẳng nhò diện (B, SA, C).
 SOA vuông có:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a 3h a 3h a
SA SO OA h SA
33
3

      

 Gọi M là trung điểm BC
Ta có:
BM (SOA), BI SA


IM SA
(đònh lý 3 đường vuông góc)

MIA SOA


2 2 2 2
AM a 3 3 3ah

MI SO. h. .
SA 2
3h a 2 3h a
   



SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC      
cân tại I.

(SAB) (SAC) IBC  
vuông cân tại I
1
IM BC
2


 
22
22
2 2 2
3ah 1
a 3h 3h a
2
2 3h a
a6
9h 3h a h .
6
    


    

 Vậy,
a6
h.
6


Cách 2:
 Gọi H là tâm của ABC
và M là trung điểm của BC
 Ta có:
SA SB SC
HA HB HC ( ABC đều)



  


 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc
A(0; 0; 0),

a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
       

       

       
.

a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
     
     
     
  


2
1
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6

       


 


với
1
n (3h 3; 3h; a 3)



2
2
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6

       


 


với
2
n (3h 3; 3h; a 3)

.
 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SB
 
nên có pháp vectơ
1
n

.
S
z
A
z

H
B
M y
C
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 5
 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SC
 
nên có pháp vectơ
2
n

.

12
(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0  




2 2 2
22
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a6
18h 3a h .
6
        
   


 Vậy:
a6
h.
6




BÀI 3

Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S):

2 2 2
2x 2y z 1 0
(d) : ; (S):x y z 4x 6y m 0
x 2y 2z 4 0
   

     

   


Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8.
Câu 2:
Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC =
a 3,
(a 0)
và

đường cao
OA a 3
. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và OM.

GIẢI

Câu 1:
Mặt cầu (S):
2 2 2
(x 2) (y 3) z 13 m     
có tâm
I(-2; 3; 0), bán kính
R IN 13 m  
, với m < 13.
 Dựng
IH MN MH HN 4   


22
IH IN HN 13 m 16 m 3        
, với m < -3.
 Phương trình tham số của đường thẳng (d):
xt
1
y 1 t
2
z 1 t








  



 (d) có vectơ chỉ phương
11
u 1; ; 1 (2; 1; 2)
22





và đi qua điểm A(0; 1; -1)
H
N M
I
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 6

AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)   
  

 Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):
222

2 2 2
[AI; u]
3 6 6 81
h 3.
u
9
2 1 2

   





 Ta có: IH = h

m 3 3 m 3 9       

m 12  
(thỏa điều kiện)
 Vậy, giá trò cần tìm: m = -12.
Câu 2:
Cách 1:
 Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
 Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
 OM // (ABN)
 d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
 Dựng
OK BN, OH AK (K BN; H AK)   

 Ta có:
AO (OBC); OK BN AK BN   


BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH     


OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH     

 Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15
OH
5
OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a
          

 Vậy,
a 15
d(OM; AB) OH .
5


Cách 2:
 Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz
đôi một vuông góc O(0; 0; 0),
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),

a a 3

M ; ; 0
22



và
a 3 a 3
N 0; ;
22




là trung điểm của AC.
 MN là đường trung bình của ABC
 AB // MN
 AB // (OMN)  d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).

a a 3 a 3 a 3
OM ; ; 0 , ON 0; ;
2 2 2 2
   

   
   
 


 
2 2 2 2 2

3a a 3 a 3 a 3 a 3
[OM; ON] ; ; 3; 1; 1 n
4 4 4 4 4

  


 

, với
n ( 3; 1; 1)


z
A
a3

a3

y
C
N
O
M
a
x
B
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 7
 Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ

n : 3x y z 0  


 Ta có:
3.a 0 0
a 3 a 15
d(B; (OMN))
5
3 1 1 5

  


 Vậy,
a 15
d(AB; OM) .
5


BÀI 4

Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua giao tuyến của () và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng
tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
36
125
.
Câu 2:
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a

(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x
(x > 0). Xác đònh giá trò của x để góc phẳng nhò diện (B, SA, C) bằng 60
o
.

GIẢI
Câu 1:
Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0
 Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác đònh bởi () và (xOy) có dạng:
m(2x – y + z – 5) – nz = 0
(P): 2mx my (m n)z 5m 0     

 Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ:

5 5m
A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n
   

   

   

 Thể tích tứ diện OABC bằng
125
36
1 1 5 5m 125
V .OA.OB.OC . .5.
6 6 2 m n 36
   




m n 3m m 1, n 2
m n 3 m
m n 3m m 1, n 4
   

    

     


 Vậy, có 2 phương trình mặt phẳng (P):

1
2
(P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)
(P ): 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)
     


      


Câu 2:
. Cách 1:
 Gọi M là trung điểm của BC

AM BC

(ABC vuông cân)
 Ta có:
SG (ABC) SG BC  
.
G
M
C
S
I
A
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 8
Suy ra:
BC (SAM)

 Dựng
BI SA IM SA  
và
IC SA



BIC
là góc phẳng nhò diện (B; SA; C).

SAB SAC (c.c.c)  


IB IC IBC   
cân tại I.


1 a 2 a 2
BC a 2; AM BM MC BC ; AG
2 2 3
     


2 2 2
2
AM a 2 1 ax 2
AIM ~ AGS IM SG. x. .
AS 2
SG AG 2a
2x
9
     




22
3ax 2
IM
2 9x 2a


.
 Ta có:

o

BIC 60

oo
22
a 2 3.3ax 2
BIM 30 BM IM.tg30
2
2 9x 2a
     



2 2 2 2 2
2 2 2 2
9x 2a 3x 3 9x 2a 27x
a
18x 2a 9x a x .
3
     
     

 Vậy,
a
x.
3


Cách 2:

BC a 2

 Gọi M là trung điểm BC
a 2 a 2
AM ; AG
23
  

 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G
trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông

a
AG AE 2 AE AF .
3
    

 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
C(0; a; 0),
a a a a
G ; ; 0 , S ; ; x
3 3 2 2
   
   
   
.

a a 2a a a 2a
SA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x
3 3 3 3 3 3
     

      
     
     
  


2
1
aa
[SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n
33


    




 

, với
1
a
n 0; x;
3







2
2
aa
[SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n ,
33

      


 

với
2
a
n x; 0;
3





.
 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA, SB
 
nên có pháp vectơ
1
n



z
x
x
y
C
B
A
E
F
G
M
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng
Trang 9
 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA, SC
 
nên có pháp vectơ
2
n


 Góc phẳng nhò diện (B; SA; C) bằng 60
o
.

2
o
22

22
22
aa
a
0.x x.0
33
9
cos60
9x a
aa
0 x x 0
9
99

  

   


2
22
1a
2
9x a



2 2 2 2 2
a
9x a 2a 9x a x .

3
      

 Vậy,
a
x.
3





BÀI 5

Câu 1:
Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng
(d) :
2
2z
2
y
1
1x 


và mặt phẳng () : 2x – y – 2z = 0.

Câu 2:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng
2a 2

, SA vuông
góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính
góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF.


GIẢI

Câu 1:
Gọi A(a; 0; 0)
Ox
.
 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () :
2 2 2
2a 2a
d(A; )
3
2 1 2
  


 () qua
0
M (1; 0; 2)
và có vectơ chỉ phương
u (1; 2; 2)


 Đặt
01
M M u




 Do đó: d(A; ) là đường cao vẽ từ A trong tam giác
01
AM M


01
2
0
AM M
01
[AM ; u]
2.S
8a 24a 36
d(A; )
M M u 3

    




 Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; )