Tài liệu Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi Bạc Liêu doc

SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL - 2006
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180’


Câu 1 (4đ)
Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện :

4 4 4 4 2
1a b c d e    

Chứng minh rằng :

3 3 3 3 3
4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
55
4
a b c d e
b c d e c d e a d e a b e a b c a b c d
    
              

Câu 2 (4đ)
Giải phương trình sau :

xxx cos3cos4sin
33


Câu 3 (4đ)

Cho dãy số (a
n
) , n= 1,2,3…. được xác đònh bởi
2
11
0,
n n n
a a ca a

  

với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương. Chứng minh rằng :


11
1
..
n n n
n
a c n a



4

Câu 4 (4đ)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC .
Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) 0tgA tgB OC tgB tgC OA tgC tgA OB     

   

Câu 5 (4đ)
Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu
S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R. còn các cạnh CA,CBvà DA,DB
tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r.
Chứng minh rằng :

4 2 2 4 2 2
( 4 ) ( 4 )AB CD r CD AB R  



Hết

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN-ĐBSCL-2006
Câu 1 (4đ)
Ta có
4
55
4
44
34
4
4
4 4 5 5 1
4 (1 )
5 5 5 5
55
(1 ) 4

a a a a
aa
aa
a
      



(2đ)
Tương tự :

3 4 3 4 3 4 3 4
4 4 4 4
4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 5
, , ,
(1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4
b b c c d d e e
b c d e
   
   
(1đ)
Từ đó ta có BĐT được chứng minh (1đ)
Câu 2 (4đ)
Vì sinx=0 không là nghiệm của PT nên ta chia 2 vế của PT cho
x
2
sin
ta được :
f(t) =

)cot(013
2
gxttt 
(1) (1đ)

Vì f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 , f( -2 ) = -1 < 0 , f( -1 ) = 3 >0 suy ra (1) có ba nghiệm
thuộc khoảng ( -2;2 ) (1đ )
Đặt :
3
2
9
2
2
1
3cos01cos6cos8)1(,cos2
3


k
t 



9
8
cos2,
9
4
cos2,
9

2
cos2
321

 ttt
(1đ)
Từ đây ta tìm được các nghiệm của P T (1đ)
Câu 3 (4đ)
Ta có
11
2
1
11



n
n
nn
nnn
a
ca
aa
caaa
(1đ)
Thay n = 1,2,3,………n và cộng lại ta được :





n
n
n
n
i
i
n
a
a
cn
aa
ca
aa
1
2
1
1
111
111
(2đ)
1
1
1
2
1
1
1
1



nnn
n
n
n
n
anca
a
a
cn
a
n
(1đ)



Câu 4 (4đ)
Vì tam giác ABC không vuông ĐT cần CM
00.2sin0.sin0.sin  CCBBAA
(1đ)
Đặt vế trái
u
ta có :
0))22sin(2(sin)2cos2sin2cos2sin2(sin0.
22
 BACRABBACRCu
(1đ)
Tương tự :
00. Bu
(1đ)
Vì

CB 0,0
không cộng tuyến nên
0u
và Đ T được CM (1đ)
Câu 5 (4đ)
Giả sử m/c S(I;R) tiếp xúc với AD,AC,BD,BC lần lượt tại M,N,P,Q .
Ta có : BP = BQ , IP = IQ = R
IBCIBDIBQIBP 

Tương tự ta CM được :
BCBDACADABCABDIADIAC  ,

Tương tự đối với m/c S’(J;r) ta CM được : DA = DB , CA = CB .
Suy ra : AC = AD = BC = BD = a => I là trung điểm của AB, J là trung điểm CD
Đặt AB = 2m ,CD = 2n ta có : (2đ)
2222
)(2)( ma
a
m
RmammDIaRDIASDABS 

Tương tự :
22
na
a
n
r 
(1đ)
'2
4

2
4
2
22
22222
4
4
)1(4)(44
a
CD
a
n
a
na
nrnrCD 



Tương tự ta CM được :
2
2
2
2
22
4
4
4
a
AB
a

m
RAB 
(1đ)
Suy ra
)4()4(
224224
RABCDrCDAB 