bài tập kết cấu phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (172.65 KB, 12 trang )
Đề bài số 36
Cho kết cấu chịu lực nh trên hình
01.
Trong đó: a = 3m,
a/2
t = 10cm,
E = 1.2x104 N/cm2,
a/2
= 0.18,
P = 20 kN,
q = 5 kN/m.
Yêu cầu: - Tính chuyển vị các
nút,
- Xác định véc tơ ứng
suất trong các phần tử.
a
P
t
q
2a
Hình 01 - Sơ đố kết cấu
phần tính toán bàI 36
1. Các số liệu ban đầu
. Chiều dầy tấm
t
=
0.10m
. Kích thớc của kết cấu
a =
3.00m
. Mô đun đàn hồi
E =
1.2E+07kN/m2
. Hệ số Poát - xông
=
0.18
2. Chia kết cấu thành các phần tử và các thông tin cho tính toán
Kết cấu đợc chia thành 12 phần tử
tam giác nh hình 02. Liên kết biên
dới của tấm đợc mô hình hóa bởi
các liên kết gối cố định tại các nút
dọc theo biên này.
y
6
9
8
4
3
1
2
2
4
11
8
11
10
6
3
1
12
7
5
12
5
9
7
Hình 02 - Sơ đồ rời rạc hóa kết
10
x
Các thông tin về nút:
1
0
0
Số hiệu nút
Toạ độ X
Toạ độ Y
2
3
1.5 1.5
0 1.5
4
3
0
5
3
1.5
6
3
3
7
8
9 10 11 12
4.5 4.5 4.5 6
6
6
0 1.5 3
0 1.5 3
Tính toán dời tải trọng phân bồ về các nút
qa/
24
=
a
=
qa/
12
qa/
8
qa/
24
qa/
8
q
q
/
qa/
24
P
qa/
4
qa/
12
5qa/
24
q
/
Hình 03 - Sơ đồ chia tải trọng và
dời tải trọng về nút
Hình 04 - Sơ đồ tải trọng nút
Các thông tin về tải trọng:
Số hiệu nút
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Px
?
?
0
?
0
0
?
0
0
?
PY
?
?
-20
?
0
0
?
0
0
?
v9
u11
v11
u12
Sau khi xử lý điều kiện biên ta có véc tơ chuyển vị cần tìm:
=
{ u3
v 3 u5
v5
u6
v6
u8
v8
u9
v12 }
11
12
-3.75 -0.63
0
0
3. Lập ma trận độ cứng
3.1. Lập ma trận độ cứng phần tử
Ma trận độ cứng của phần tử đợc xác định bởi công thức:
[k ij ] [k im ]
[ ] [k jj ] [k jm ]
[k mj ] [k mm ]
[k ii ]
[k ] = k ji
[k mi ]
Trong đó:
1
1
br bs + 2 c r c s br c s + 2 c r b s
[k rs ] =
1
4 1 2 c b + 1 b c
cr cs +
br b s
r s
r s
2
2
(r = i, j, m; s = i, j, m )
(
Et
)
Hay ma trận [k] có thể viết lại nh sau:
1
1
1
1
1
1
c i bi
bi b j +
ci c j
ci b j
bi b m +
ci c m
c i bm
bi c i +
bi c j +
bi c m +
bi bi + 2 c i c i
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
c i bi +
bi c i
c i ci +
bi bi
bi c j
ci c j +
bi b j
bi c m
ci ci +
bi bm
c i b j +
c i b m +
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
b
b
c
c
b
c
c
b
b
b
c
c
b
c
c
b
b
b
c
c
b
c
c
b
+
+
+
+
+
+
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
j
j
j
j
j
j
j
m
j
m
j
m
j
m
2
2
2
2
2
2
[k ] = Et 2
1
1
1
1
1
4 1 c b + 1 b c
c
c
b
b
c
b
b
c
c
c
b
b
c
b
b
c
c
c
b
b
+
+
+
+
+
j i
j i
j i
j i
j j
j j
j j
j j
j m
j m
j m
j m
2
2
2
2
2
2
1
1
1
b b + 1 c c b c + 1 c b b b + 1 c c
b
c
c
b
b
b
c
c
b
c
c
b
+
+
+
m
i
m
i
m
i
m
i
m
j
m
j
m
j
m
j
m
m
m
m
m
m
m
m
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
bm c i c m c i +
bm bi c m b j +
bm c j c m c j +
b m b j c m b m +
bm c m c m c m +
bm b m
c m bi +
2
2
2
2
2
2
(
)
Ta phân các phần tử tam giác của kết cấu thành hai loại:
Loại 1 gồm các phần tử: 3, 6, 8, 10, 12 (hình 05)
Loại 2 gồm các phần tử: 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11 (hình 06)
Lập ma trận độ cứng của phần tử loại 1
y
m
i
j
x
Hình 05 - Phần tử loại 1
Tên nút
Toạ độ X
Toạ độ Y
i
0
0
j
1.5
1.5
Tính các hệ số:
ai= xjym-xmyj
bi = yj-ym
ci = xm-xj
aj = xmyi-xiym
bj = ym-yi
=
=
==
=
2.3
0.0
1.5
0.0
1.5
cj = xi-xm
=
0.0
m
0
1.5
am = xiyj-xjyi
bm = yi-yj
cm = xj-xi
= 0.0
= - 1.5
=
1.5
DiÖn tÝch tam gi¸c ijm:
∆ = 0.5*
1
1
1
xi
xj
xm
yi
yj
ym
∆ = 0.5*
1
1
1
0
1.5
0
0
1.5
1.5
=
1.1
LËp ma trËn ®é cøng cña phÇn tö lo¹i 2
y
m
j
Tªn nót
To¹ ®é X
To¹ ®é Y
x
i
i
0
0
j
1.5
0
TÝnh c¸c hÖ sè:
H×nh 06 - PhÇn tö lo¹i 2
ai = xjym-xmyj
bi = yj-ym
ci = xm-xj
aj = xmyi-xiym
bj = ym-yi
cj = xi-xm
am = xiyj-xjyi
bm = yi-yj
cm = xj-xi
=
==
=
=
==
=
=
2.3
1.5
0.0
0.0
1.5
1.5
0.0
0.0
1.5
DiÖn tÝch tam gi¸c ijm:
∆ = 0.5*
1
1
1
0
1.5
1.5
0
0
1.5
=
1.1
m
1.5
1.5
Ma trËn ®é cøng phÇn tö tam gi¸c lo¹i 1
(12)
(10)
(8)
(6)
(3)
[k]1 =
u8
0
u5
0
0
v8
0
v5
0
0
u12
u11
u9
u8
u5
v12
v11
v9
v8
v5
u9
u8
u6
u5
u3
v9
v8
v6
v5
v3
254237
0
0
-254237
-254237
254237
0
620091
-111616
0
111616
-620091
0
-111616
620091
0
-620091
111616
-254237
0
0
254237
254237
-254237
-254237
111616
-620091
254237
874328
-365854
254237
-620091
111616
-254237
-365854
874328
0
0
u5
v5
u3
v3
(3)
0
0
u8
v8
u5
v5
(6)
u5
v5
u9
v9
u6
v6
(8)
0
0
u11
v11
u8
v8
(10)
u8
v8
u12
v12
u9
v9
(12)
Ma trËn ®é cøng phÇn tö tam gi¸c lo¹i 2
(11)
(9)
(7)
(5)
(4)
(2)
(1)
[k]2 =
u3
u8
0
u5
0
u3
0
0
v8
0
v5
0
v3
0
0
u11
0
u8
0
u5
0
0
v11
0
v8
0
v5
0
0
u12
u11
u9
u8
u6
u5
u3
v12
v11
v9
v8
v6
v5
v3
620091
0
-620091
111616
0
-111616
0
254237
254237
-254237
-254237
0
-620091
254237
874328
-365854
-254237
111616
111616
-254237
-365854
874328
254237
-620091
0
-254237
-254237
254237
254237
0
-111616
0
111616
-620091
0
620091
v3
u5
v5
u6
v6
u8
0
0
0
0
u3
v3
(1)
0
0
0
0
u5
v5
(2)
u3
v3
u5
v5
u6
v6
(4)
0
0
0
0
u8
v8
(5)
u5
v5
u8
v8
u9
v9
(7)
0
0
0
0
u11
v11
(9)
u8
v8
u11
v11
u12
v12
(11)
v8
u9
v9
u11
v11
u12
v12
1748656
-365853.7
-1240182
365853.7
-365853.7
1748656
365853.7
-1240182
365853.7
365853.7
0
-111616.4
0
0
0
0
0
0
0
0
-508474.6 -254237.3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3497313
-731707.3 -508474.6
365853.7
-1240182
365853.7
0
-365853.7
0
0
0
0
-508474.6
-731707.3
3497313
365853.7
-1240182
365853.7
-508474.6
-365853.7
0
0
0
0
0
0
-254237.3
-508474.6
365853.7
1128566
-365853.7
0
0
-620090.9
254237.3
0
0
0
0
-111616.4
0
365853.7
-1240182
-365853.7
1494419
0
0
111616.4
-254237.3
0
0
0
0
0
0
-1240182
365853.7
0
0
3497313
-731707.3
-508474.6
365853.7
-1240182
365853.7
0
-365853.7
0
0
365853.7
-508474.6
0
0
-731707.3
3497313
365853.7
-1240182
365853.7
-508474.6 -365853.7
0
0
0
111616.4
-508474.6
365853.7
1748656
-365853.7
0
0
-620090.9
254237.3
0
0
-365853.7
0
254237.3
-254237.3
365853.7
-1240182
-365853.7
1748656
0
0
111616.4
-254237.3
0
0
0
0
0
0
-1240182
365853.7
0
0
1748656
-365853.7 -254237.3
111616.4
0
0
0
0
0
0
365853.7
-508474.6
0
0
-365853.7
1748656
254237.3
-620090.9
0
0
0
0
0
0
0
-365853.7
-620090.9
111616.4
-254237.3
254237.3
874328.2
0
0
0
0
0
0
0
-365853.7
0
254237.3
-254237.3
111616.4
-620090.9
0
874328.2
-365853.7 -620090.9
0
u3
v3
u5
v5
u6
v6
u8
v8
u9
v9
u11
v11
u12
v12
1748656 -365854 -1240182
365854
0
-111616
0
0
0
0
0
0
0
0
-365854 1748656
365854
-508475
-254237
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1240182 365854
3497313
-731707
-508475
365854
-1240182
365854
0
-365854
0
0
0
0
365854
-508475
-731707
3497313
365854
-1240182
365854
-508475
-365854
0
0
0
0
0
0
-254237
-508475
365854
1128566
-365854
0
0
-620091
254237
0
0
0
0
-111616
0
365854
-1240182 -365854
1494419
0
0
111616
-254237
0
0
0
0
0
0
-1240182
365854
0
0
3497313
-731707
-508475
365854
-1240182
365854
0
0
0
365854
-508475
0
0
-731707
3497313
365854
-1240182
365854
-508475
-365854
0
0
0
-365854
-620091
111616
-508475
365854
1748656
-365854
0
0
-620091 254237
0
0
-365854
0
254237
-254237
365854
-1240182 -365854
1748656
0
0
111616 -254237
0
0
0
0
0
0
-1240182
365854
0
0
1748656
-365854
-254237 111616
0
0
0
0
0
0
365854
-508475
0
0
-365854
1748656
254237 -620091
0
0
0
0
0
0
0
-365854
-620091
111616
-254237
254237
874328
0
0
0
0
0
0
0
-365854
0
254237
-254237
111616
-620091
0
874328
Tªn nót
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
u
0.00E+00
0.00E+00
-5.18E-06
0.00E+00
-3.69E-06
-1.03E-05
0.00E+00
-4.59E-06
-9.28E-06
0.00E+00
-6.60E-06
-9.88E-06
v
0.00E+00
0.00E+00
-1.41E-05
0.00E+00
-3.03E-06
-3.75E-06
0.00E+00
5.03E-08
3.34E-07
0.00E+00
2.19E-06
3.27E-06
-365854 x
0
0
u3
-20
v3
0
u5
0
v5
0
u6
0
v6
u8
v8
u9
v9
u11
v11
u12
v12
=
0
0
0
0
-3.75
0
-0.63
0
u3
v3
u5
v5
u6
v6
u8
v8
u9
v9
u11
v11
u12
v12
-5.18E-06
-1.41E-05
-3.69E-06
-3.03E-06
-1.03E-05
-3.75E-06
= -4.59E-06
5.03E-08
-9.28E-06
3.34E-07
-6.60E-06
2.19E-06
-9.88E-06
3.27E-06
6. Xác định các véc tơ ứng suất trong các phần tử
Véc tơ ứng suất trong các phần tử đợc xác định thông qua véc tơ chuyển vị nút của phần tử
theo công thức sau:
{}
e
x
= y = [D][B]{ }e
xy
1 0
E
[D][B] = 2 0
1 1
0
2
ui
v
i
u
{ }e = j
v j
um
vm
[D][B] =
0
0
1
2
1
12401819
2232327
0
1
1
0
2
0
0
5084746
1
1
2
0
0
5084746
0
1
0
-1.00
-0.18
-0.41
-0.18
-1
-0.41
Tính cho phần tử thứ nhất:
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
x
{}
e
1
=
y
=
xy
1
[D][B] x
0.00E+00
-5.18E-06
-1.41E-05
7.72E-06
=
1.51E-05
7.91E-06
(kN/m2)
TÝnh cho phÇn tö thø hai:
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
σx
{σ}
e
2
=
σy
=
[D][B] x
τxy
0.00E+00
4.23E-06
=
-3.69E-06
-3.03E-06
2
3.69E-06
(kN/m2)
2.75E-06
TÝnh cho phÇn tö thø ba:
0.00E+00
0.00E+00
-3.69E-06
σx
{σ}e 3
=
σy
=
[D][B] x
τxy
-3.03E-06
7.17E-06
=
-5.18E-06
-1.41E-05
3
1.20E-05
(kN/m2)
-1.88E+01
TÝnh cho phÇn tö thø t:
-5.18E-06
-1.41E-05
-3.69E-06
σx
{σ}e 4
=
σy
=
[D][B] x
τxy
-3.03E-06
-6.42E+01
=
-1.03E-05
-3.75E-06
4
-1.16E+01
(kN/m2)
-9.06E+01
TÝnh cho phÇn tö thø n¨m:
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
σx
{σ}e 5
=
σy
=
τxy
5
TÝnh cho phÇn tö thø s¸u:
[D][B] x
0.00E+00
-4.59E-06
5.03E-08
4.58E-06
=
7.76E-07
1.86E-06
(kN/m2)
0.00E+00
0.00E+00
-4.59E-06
σx
{σ}
e
6
=
σy
=
[D][B] x
τxy
5.03E-08
4.24E-06
=
-3.69E-06
-3.03E-06
6
3.74E-06
(kN/m2)
-2.34E+01
TÝnh cho phÇn tö thø b¶y:
-3.69E-06
-3.03E-06
-4.59E-06
σx
{σ}
e
7
=
σy
=
[D][B] x
τxy
5.03E-08
-4.58E+01
=
-9.28E-06
3.34E-07
7
-8.24E+00
(kN/m2)
-3.87E+01
TÝnh cho phÇn tö thø t¸m:
-3.69E-06
-3.03E-06
-9.28E-06
σx
{σ}e 8
=
σy
=
[D][B] x
τxy
3.34E-07
-4.58E+01
=
-1.03E-05
-3.75E-06
8
-8.24E+00
(kN/m2)
-6.26E+01
TÝnh cho phÇn tö thø chÝn:
0.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
σx
{σ}e 9
=
σy
=
τxy
9
[D][B] x
0.00E+00
-6.60E-06
2.19E-06
TÝnh cho phÇn tö thø mêi:
0.00E+00
0.00E+00
6.20E-06
=
-1.00E-06
1.81E-06
(kN/m2)
σx
{σ}e 10
=
σy
-6.60E-06
=
[D][B] x
τxy
2.19E-06
4.98E-06
=
-4.59E-06
5.03E-08
10
2.97E-06
(kN/m2)
-3.36E+01
TÝnh cho phÇn tö thø mêi mét:
-4.59E-06
5.03E-08
-6.60E-06
σx
{σ}e 11
=
σy
=
[D][B] x
τxy
2.19E-06
-5.70E+01
=
-9.88E-06
3.27E-06
11
-1.03E+01
(kN/m2)
-3.33E+01
TÝnh cho phÇn tö thø mêi hai:
-4.59E-06
5.03E-08
-9.88E-06
σx
{σ}
e
12
=
σy
=
τxy
12
[D][B] x
3.27E-06
-9.28E-06
3.34E-07
-5.70E+01
=
-1.03E+01
-5.00E+01
(kN/m2)
