Đề cương toán 9 học kì I CỰC HAY ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 – HỌC KÌ I
PHẦN I: ĐẠI SỐ
Bài 1: thực hiện phép tính
a) A = 3 + 2 2 + 3 − 2 2

b) B = 2 + 3 + 2 − 3

Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) A =

5 − 3 − 29 − 12 5

b) B = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2

P=

Bài 3: Cho biểu thức:
a)
b)
c)
d)

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x

Rút gọn P.
Tìm giá trị của x để P <1

Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1/P

Bài 4: Cho biểu thức:

 x+2
x +1
1 
P = 1: 
+
−
÷
x −1 ÷
 x x −1 x + x + 1


a)
b)

Rút gọn P.
Hãy so sánh P với 3.

c)

So sánh P và

P

Bài 5: Cho biểu thức:
a)

.

 x +1
x −1   1
x
2 
P = 
−
:
−
+
÷

÷

÷
x +1÷
 x −1
  x +1 1− x x −1 

Rút gọn P.
P=

b)

Tìm giá trị của x để

1
2

.

1


x=
c)
d)

Tính giá trị của biểu thức P biết
So sánh P với 1.

Bài 6: Cho biểu thức
a)

 x +1
x
x   x +1 1− x 
P = 
+
+
÷
÷:  x − 1 + x + 1 ÷
÷
1
−
x
x
−

1
x
+
1

 


Rút gọn P.
x=

b)
c)
d)

Tính giá trị của biểu thức P biết
So sánh P với ½
Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 7: Cho biểu thức

 x+3
P=
+
 x−6

a)

Rút gọn P

b)
c)

Tính giá trị của P khi
Chứng minh P > 1/3

Bài 8: Cho biểu thức
a)
b)
c)

1 
x
÷:
x +3 x −3

.

với

x > 0; x ≠ 9

x = 27 + 10 2 − 18 + 18 2

với

x≥0

Rút gọn P.
Tìm x để P = 8/9

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Bài 9: Cho biểu thức

1
1
+
+
x −1 − x
x −1 + x

x3 − x
x −1

Rút gọn P.
Tìm giá trị của x để P > 0
x=

c)
d)

2− 3
2

1  4 x
 x+2
P=
−
÷.
x +1  3

 x x +1

P=

a)
b)

7−4 3
2

53
9−2 7

Tính giá trị của P nếu
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2


Bài 10: Cho biểu thức:
a)

 a +1

a −1
1 
P = 
−
+4 a÷
.

a
−

÷
÷
a +1
a
 a −1


Rút gọn biểu thức P.
a=

b)

Tính giá trị của P khi

c)

Tìm giá trị của a để
P=

Bài 11: Cho biểu thức:
a)

6
2+ 6

P>P
x2 + x

2x + x
+1−
x − x +1
x

Rút gọn P.
P− P =0

b)
c)

Chứng minh rằng
với
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 12: Cho biểu thức:
a)

x >1

1   x −1 1 − x 

P= x −
+
÷
÷: 
x  
x
x+ x ÷




Rút gọn biểu thức P
x=

b)

Tính giá trị của biểu thức P khi

c)

Tìm giá trị của x thỏa mãn
A=

Bài 13: Cho biểu thức
a)

P x = 6 x −3− x − 4

B=

và

x
2 x − 24
+
x−9
x −3

với

x ≥ 0; x ≠ 9

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25
B=

b)
c)

7
x +8

2
2+ 3

x +8
x +3

Chứng minh
Tìm x để biểu thức P = A. B có giá trị là số nguyên.
P=

Bài 14: cho biểu thức

x+3
x −2

Q=

và

x −1 5 x − 2
+
x−4
x +2

với

x > 0, x ≠ 4

3


a)
b)

c)

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9
Rút gọn biểu thức Q.
Tìm giá trị cảu x để biểu thức

P
Q

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 15:
x +1
x −1

A=
1.

2.

Tính giá trị của biểu thức
Cho biểu thức

 x−2
P=
+
 x+2 x

P=
a)

Chứng minh rằng

b)

Tìm các giá trị của x để

khi x = 9.

1  x +1
÷.
x + 2  x −1

với

x > 0; x ≠ 1

.

x +1
x
2P = 2 x + 5

DẠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1: Xác định hàm số
a)
b)

a = −1
a=3

y = ax + b

trong mỗi trường hợp sau.

và đồ thị của hàm số cắt tục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

và đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;5)
y = 2x

c)

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng

d)

Đồ thị hàm số đi qua M(2;-3) và vuông góc với đường thẳng

e)

và đi qua điểm B

Đồ thị hàm số đi qua N(-1;2) và song song với đường thẳng

(1; 2 + 3)

y = x− 2

1
y = − x+3
2

Bài 2: Với điều kiện nào của a và b thì hai đường thẳng :
y = ( a − 2) x + b − 1
a)

y = (6 − 2a) x + 5 − 2b

và

Trùng nhau
d) vuông góc

Bài 3: cho hàm số

b) song song

c) cắt nhau

y = ( a − 1) x + a
4


a)
b)
c)

Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị vừa tìm được ở câu a và câu b

d)

Chứng minh rằng khi a thay đổi thì các đường thẳng
đi qua một điểm cố định.

Bài 4: cho đường thẳng:
trường hợp sau:

y = ( a − 2) x + b a ≠ 2

(

y = ( a − 1) x + a

) (d). Tìm giá trị của a và b trong các

a)

Đường thẳng d đi qua 2 điểm A (-1; 2) và B (3;4)

b)

Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
hoành tại điểm có hoành độ bằng

và cắt trục

2y + x −3 = 0

Đường thẳng d cắt đường thẳng

d)

Đường thẳng d song song với đường thẳng

e)

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
y = ( 1 − 2a ) x + a + 1

1+ 2

2+ 2

c)

Bài 5: Cho hàm số:

luôn luôn

y − 2x + 3 = 0
y − 2x + 3 = 0

(d)

a)

Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b)
c)

Tìm a để độ thị hàm số song song với đường thẳng
Chứng minh rằng khi a thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn đi qua một
điểm cố định. Tìm điểm cố định đó?

y = 3x − 2 + a

Bài 6: Cho hai đường thẳng:
y = −4 x + a − 1

y=

d1

( )

4
x + 15 − 3a
3

a)
b)

(

d2

)
d1

d2

Tìm a để hai đường thẳng và
cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Với giá trị a tìm được ở câu a. Tìm tọa độ giao điểm A và B của 2 đường
thẳng

d1

và

d2

với trục hoành.
5


c)

Tính chu vi và diện tích của

d)

Tính các góc của

∆ABC

∆ABC

?

?

Bài 7: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):
a)
b)
c)
d)

(d2); và

( ∆)

( ∆ ) : ( 2 − a ) x + ay − 4 = 0

. Xác định a để 3 đường thẳng (d1);

đồng qui.

Chứng minh rằng khi a thay đổi thì đường thẳng
cố định. Tìm điểm cố định đó.

Bài 8: cho đường thẳng (d) có phương trình:
a)
b)
c)

và điểm A (1;-2)

Xác định vị trí tương đối của điểm A và đường thẳng (d).
Viết phương trình của đường thẳng (d1) đi qua A và song song với (d).
Viết phương trình của đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d).

Cho đường thẳng

e)

3x − y − 4 = 0

( ∆)

luôn đi qua một điểm

y = ( a − 2) x + 2

Chứng minh rằng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định khi a thay đổi.
Tìm giá trị của a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng
1.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn
nhất.

B. BÀI TẬP NÂNG CAO
Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
Bài 1: Cho
thức

4 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 xy − 4 xz + 2 yz − 6 y − 10 z + 34 = 0

M = ( x − 4)

x=

22

3

+ ( y − 4) + ( z − 4)
6

2 −1 −

. Tính giá trị của biểu

2013

1
3

Bài 2: Cho
Bài 3: Chứng minh rằng:

2 −1

. Chứng minh rằng:

x = 3 5 − 17 + 3 5 + 17

x3 + 3x + 2 = 0

là một nghiệm của phương

x − 6 x − 10 = 0
3

trình:

6


x=

Bài 4: Cho

1
3

4 − 15

+ 3 4 − 15

. Tính giá trị của biểu thức:

y = x 3 − 3x + 1987

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
M = x2 − 4x + 9 + x2 − 4x + 8

biết

x2 − 4x + 9 − x2 − 4x + 8 = 2

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ:
Giải các phương trình sau:
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) x 2 − 3 = x + 1
b) x 2 + x − 20 = x − 4
c) x 2 − x − x 2 + x − 2 = 0
d ) x + 4 + 2 x + 1 = x + 20

Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 6 x + 9 = 1
b) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 2

Bài 8: Giải các phương trình sau:
a) x 2 − 2 x − 7 + 3

( x + 1) ( x − 3)

=0

b) x 2 − 4 x − 6 = 2 x 2 − 8 x + 12

c) ( x + 4 ) ( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
d ) ( x + 1) ( x − 3) + 4 ( x − 3)

x +1
= −3
x −3

7


Bài 9: Giải các phương trình sau:
a ) 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2
b) x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11

c)

x
4x −1
+
=2

x
4x −1

d ) x2 + x + 5 = 5

e) 2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0
f )3 x − 2 + x +1 = 3

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:

Bài 10: Cho
Bài 11: Cho

x > y , xy = 1
a, b ≥ 0

. Chứng minh rằng

x2 + y 2
≥2 2
x− y

. Chứng minh rằng:

2

a 2 + b2  a + b 
a)
≥
÷

2
 2 

3

b)

a 3 + b3  a + b 
≥
÷
2
 2 

Bài 12: cho

x + y =1

x4 + y 4 ≥

, chứng minh

1
8

.

Dạng 4: Toán cực trị

Bài 13: Cho

x, y > 0; x + y = 1

M=

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
1
+
2
x +y
xy
2

Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
8


a ) A = −5 x 2 − 2 xy − 2 y 2 + 14 x + 10 y − 2011
x −1
+
x

b) B =

c)C =

y−2
z −3
+

y
z

2016
x − 4 x + 2020
2

Bài 15: Cho x + y +xy = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x2 + y 2

PHẦN II: HÌNH HỌC
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Qua điểm C trên
nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx tại M. Tia AC cắt Bx ở N.
a)
b)

Chứng minh OM vuông góc với BC.
Chứng minh M là trung điểm của BN.

c)

Kẻ

CH ⊥ AB; AM

cắt CH ở I. Chứng minh I là trung điểm của CH.

Bài 2: Cho (O), tiếp tuyến xy; tiếp điểm là A. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA.

a)
b)
c)

Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau.
Qua A vẽ một cát tuyến cắt (I) và (O) tại M và C. chứng minh rằng MA =
MC.
Đường thẳng OM cắt xy tại B. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường
tròn (O).

Bài 3: Cho (O;R) và điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy.
Từ điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB trùng với đường tròn (O). Hai đường cao AD
và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H.
a)
b)
c)

Chứng minh 3 điểm M, H, O thẳng hàng.
Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
* khi điểm M chạy trên xy thì điểm H chạy trên đường nào?

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa
đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a)

Chứng minh rằng MC = MD.
9


b)

c)
d)

Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi M di chuyển trên nửa
đường tròn.
Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với 3 đường thẳng
AD; BC và AB.
* xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích của tứ
giác ABCD lớn nhất.

Bài 5: Cho nửa đường tròn (O); đường kính AB = 6cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp
tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By ở D.
·
COD
= 900

a)

Chứng minh

b)
c)

Chứng minh
và
đồng dạng.
Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ (I) bán kính IC. Chứng minh rằng AB là tiếp
tuyến của (I).
* xác định vị trí của C trên Ax để CD có độ dài nhỏ nhất.

d)

∆COD

∆AEB

Bài 6: Cho (O) đường kính AB = 2R; C là điểm bất kỳ nằm giữa A và B; vẽ các
đường tròn tâm I có đường kính là CA; đường tròn tâm K có đường kính là CB.
a)
b)

c)
d)
e)

Hai đường tròn (I) và (K) có vị trí như thế nào đối với nhau.
Đường vuông góc với AB tại C cắt (O) ở D và E. DA cắt (I) ở M; DB cắt (K)
ở N, đường thẳng MN có vị trí như thế nào đối với các đường tròn (I) và
(K)?
Tính độ dài MN nếu CA = 8cm và CB = 18cm.
Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho MN có độ dài lớn
nhất.
*Xác định vị trí của điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác DMCN có
diện tích lớn nhất.

Bài 7: Cho (O) đường kính AB, gọi (d1), (d2) lần lượt là các tiếp tuyến tại A và B.
Cho C là 1 điểm tùy ý trên (d1). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt (d2)
tại D. Kẻ
a)

b)

c)

OH ⊥ CD ( H ∈ CD )

Chứng minh CD tiếp xúc với (O).
Xác định vị trí của C để AC + BD ngắn nhất.
* Tính AC. BD và

1
1
+
2
OC
OD 2

theo độ dài AB = 2R.
10


Bài 8: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax, By
cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của AB. Một góc vuông zOt quay
quanh O, 2 cạnh góc vuông cắt Ax; By lần lượt tại C và D.
a)
b)
c)

Chứng minh AC + BD = CD
Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

*Xác định vị trí của C, D để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. tính diện tích
ấy theo AB = a.

Bài 9: Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động
d ⊥ OA

trên đường thẳng
tại A. vẽ cá tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,C là
tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a)
b)
c)

Chứng minh rằng OA.OK = OH. OM
Chứng minh rằng BC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
*Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác
MBOC là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, các tia tiếp tuyến Ax, By. Tiếp
tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax ở C, cắt By ở D. Gọi giao điểm của AD với
BC là N, NM cắt AB tại I. Chứng minh:
a)
b)
c)
d)

CD = AC + BD.
MN song song với AC
N là trung điểm của MI
* Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để độ dài MI đạt gía trị lớn

nhất.

Bài 11: Cho (O;R) và (O’;R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến
chung ngoài (B
M trên BC.
a)
b)
c)
d)

∈

∈

(O) ); (C (O’)), M là trung điểm của OO’, H là hình chiếu của

Tính góc OHO’
Chứng minh OH là tia phân giác của góc AOB
Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
Cho R = 4cm; R’ = 1cm. tính độ dài BC, AM.
11


∆

Bài 12: Cho ABC vuông ở A. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, kẻ các tia Bx
và Cy vuông góc với BC. Qua M trung điểm của BC, kẻ đường thẳng vuông góc
với AB cắt Bx ở D, kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt Cy ở E.
a)
b)

c)

Chứng minh: D, A, E thẳng hàng.
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE tâm O
Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) nói trên tại D, E chúng cắt BC thứ tự ở
F, G. Chứng minh OF // AB; OG // AC.

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính CD = 2R. Kẻ tiếp tuyến Cx, Dy
cùng phía với nửa đường tròn đối với CD. Gọi E là một điểm thuộc nửa đường
tròn. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại E cắt Cx, Dy ở A và B.
a)
b)
c)
d)
e)

Tính góc AOB
Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (M;
MA)
Khi E di chuyển trên nửa đường tròn thì điểm M di chuyển trên đường nào?
Xác định vị trí của điểm E để diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất
Điểm E ở vị trí nào thì diện tích tam giác ECD lớn nhất.

--------------------------------------- Hết -----------------------------------------------

12