PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - TẬP 2 - HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ)

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
HÀM NHIỀU BIẾN
Huỳnh Thế Phùng, Khoa Tốn, ĐHKH Huế
Ngày 26 tháng 2 năm 2009


1

Mục lục
Chương 1.

Tích phân bội

4

1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Tích phân trên tập bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Tập đo được Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất . . . . . . . 10
1.3. Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Cơng thức tính tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Cơng thức tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . 16
1.5.2. Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Thực hành tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2.

Tích phân phụ thuộc tham số

23


2
2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2. Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Thực hành tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3.

Tích phân đường - Tích phân mặt

30

3.1. Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3. Cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.4. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Tích phân đường loại II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . 35
3.2.4. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.5. Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc đường . . . . . . . . 36
3.3. Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4. Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1. Mặt hai phía định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


3
3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . 40
3.4.5. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.6. Công thức Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5. Thực hành tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


4

Chương 1.
TÍCH PHÂN BỘI
1.1.

Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn

1.1.1.

Hình hộp - Phân hoạch

Ta gọi một hộp trong Rn là tập hợp có dạng
n

D=

Ij ,

(1.1)

1

trong đó, Ij là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (aj , bj ), (aj , bj ],
[aj , bj ), [aj , bj ]) . Nếu các Ij đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp
◦

đóng (mở). Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì D và D lần lượt là các hộp mở (có
thể rỗng) và đóng. Khoảng Ij được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm. D được
gọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng Ij là khơng suy biến. Lúc đó, nếu k < n
thì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại.
◦

Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi D = ∅. D được gọi là hộp mở tương đối
k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở. Chẳng hạn

hộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng có
các cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R2 là các
đoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối hai
chiều trong R3 là các hình chữ nhật (khơng kể các cạnh) có các cạnh song song với
2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm. Có thể kiểm tra
được rằng mọi hộp đóng n chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3n hộp mở
tương đối (có chiều từ 0 đến n) rời nhau!!
Với mỗi hộp D được cho bởi (1.1), ta gọi giá trị
n

Vol(D) :=

λ(Ij ),
1

(1.2)


5
◦

¯ có
với λ(Ij ) ký hiệu độ dài của khoảng Ij , là thể tích của D. Rõ ràng, D, D và D
cùng thể tích và hộp có thể tích bằng khơng khi và chỉ khi nó là hộp suy biến. Ta
cũng dễ dàng chứng minh được kết quả sau
Bổ đề 1.1. Giả sử D1 , D2 , · · · , Dm là các hộp có phần trong rời nhau sao cho hợp
của chúng cũng là một hộp D trong Rn . Lúc đó
m

Vol(D) =

Vol(Dk ).
1

Bây giờ xét hộp đóng
n

D=

[aj , bj ] = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ].
1

Phân hoạch P của D là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [a1 , b1 ], · · · , [an , bn ] :
a1 = x10 < x11 < · · · < x1k(1) = b1 ;
a2 = x20 < x21 < · · · < x2k(2) = b2 ;
···
an = xn0 < xn1 < · · · < xnk(n) = bn .
Lúc đó P sẽ xác định một họ P(D) gồm m = k(1) × k(2) × · · · × k(n) hộp đóng
con có phần trong rời nhau. Ta gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị sau
ρ(P) := max{xij − xij−1 | 1 ≤ j ≤ k(i); 1 ≤ i ≤ n}.
Cuối cùng, môt phân hoạch Q được gọi là mịn hơn phân hoạch P (hay P thô
hơn Q) nếu với mọi E ∈ Q(D) tồn tại E ∈ P(D) sao cho E ⊂ E. Lúc đó ta ký
hiệu P
Q.

1.1.2.

Định nghĩa tích phân Riemann

Cho f là hàm bị chặn trên hình hộp D và P là một phân hoạch của D ta đặt

bk := sup{f (x) | x ∈ Dk },

ak := inf{f (x) | x ∈ Dk };

Dk ∈ P(D).

Lúc đó, các tổng
m

S ∗ (f ; P) :=

m

bk . Vol(Dk );
k=1

S∗ (f ; P) :=

ak . Vol(Dk )
k=1

lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên D tương ứng
với phân hoạch P. Ta có thể chứng minh các tính chất sau đây của tổng Darboux:


6
a) S ∗ (f ; P) ≥ S∗ (f ; P) với mọi phân hoạch P.
b) Nếu Q là phân hoạch mịn hơn P thì
S∗ (f ; P) ≤ S∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P).
c) Với mọi phân hoạch P và Q của D ta có

S∗ (f ; P) ≤ S ∗ (f ; Q).
Cho f là hàm bị chặn trên hộp đóng D. Ta gọi tích phân dưới và tích phân trên
của f trên D lần lượt là các giá trị sau
−

f := inf S ∗ (f ; P).

f := sup S∗ (f ; P);

P

P

−D

D

ở đây, sup và inf được lấy trên tất cả các phân hoạch của D. Rõ ràng, ta ln ln
−

có

f ≤ f . Hàm f sẽ được gọi là khả tích trên D nếu
−D

D
−

f=
−D

f = I.
D

Lúc đó, I được gọi là tích phân Riemann của hàm f trên hộp D và được ký hiệu
bởi một trong các cách sau
f;
D

f (x)dx;
D

f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn
D

hay
···

f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn .
D

Đặc biệt, trong trường hợp 2 hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân
trên D bởi D hay
, và được gọi là tích phân hai lớp hay ba lớp. Cụ thể, với
D
n = 2 ta có D f (x, y)dxdy cịn với n = 3 thì
f (x, y, z)dxdydz.
D
Ví dụ 1.1.
Nếu f là hàm hằng: f (x) = c với mọi x ∈ D, thì dễ thấy

−

f=
−D

f = c. Vol(D) ⇒
D

f = c. Vol(D).


7
Trường hợp f là hàm Dirichlet:
1, x ∈ Qn ∩ D,
0, x ∈ D \ Qn ,

f (x) =
ta có

−

f = 0;

f = Vol(D).

−D

D

Nên nói chung f khơng khả tích.

Định lý 1.1. Hàm bị chặn f là khả tích trên D khi và chỉ khi với mọi > 0 tồn tại
phân hoạch P sao cho S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < .

1.1.3.

Các tính chất cơ bản

a) Nếu f khả tích trên D và α ∈ R thì hàm αf cũng khả tích trên D và
αf = α

f.

D

D

b) Nếu f, g là các hàm khả tích trên D thì f ± g cũng khả tích trên D và
(f ± g) =
D

f±
D

g.
D

c) Nếu f, g đều khả tích trên D, đồng thời f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ D, thì
f≤
D

g.
D

d) Nếu f là hàm khả tích trên D và m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ D thì
m Vol(D) ≤

f (x)dx ≤ M Vol(D).
D

1.1.4.

Định lý khả tích Lebesgue

Một tập S ⊂ Rn được gọi là có độ đo (n−chiều) khơng nếu với mọi
tại một dãy các hình hộp đóng (Dk )k sao cho
∞

S⊂

∞

Dk
k=1

và

Vol(Dk ) < .
k=1

> 0 tồn

8
Rõ ràng là trong định nghĩa trên ta có thể lấy các hình hộp mở thay cho các hình
hộp đóng.
Ta cũng dễ dàng kiểm tra được các khẳng định sau:
a) Nếu S1 ⊂ S2 và S2 có độ đo khơng thì S1 cũng vậy.
b) Nếu Sn có độ đo khơng với mọi n ∈ N, thì ∪Sn cũng có độ đo khơng. Từ đó
suy ra mọi tập khơng q đếm được có độ đo khơng.
c) Một hình hộp có độ đo khơng khi và chỉ khi nó suy biến .
Định lý 1.2 (Lebesgue). Một hàm f bị chặn trên hình hộp đóng D là khả tích khi
và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của f có độ đo khơng.
Để chứng minh định lý này ta cần một số kết quả bổ trợ. Giả sử f là hàm bị
chặn trên một tập D ⊂ Rn . Với mỗi x ∈ D và δ > 0 ta đặt
ω(f, x, δ) := sup{|f (y) − f (y )| : y, y ∈ D ∩ B(x; δ)}.
Ta gọi dao độ của hàm f tại x là giá trị sau
ω(f, x) := lim ω(f, x, δ) = inf ω(f, x, δ).
δ→0+

δ>0

Bổ đề 1.2. Hàm f liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi ω(f, x0 ) = 0.
Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm bị chặn trên hình hộp đóng D và là một số dương
sao cho ω(f, x) < với mọi x ∈ D. Lúc đó tồn tại một phân hoạch P của D mà
S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < . Vol(D).
Bổ đề 1.4. Cho f là một hàm bị chặn trên tập đóng D. Lúc đó, với mọi số dương
tập hợp sau là đóng
{x ∈ D | ω(f, x) ≥ }.
˜ là hai hình hộp, f là hàm xác định trên D. Ta định nghĩa
Bây giờ cho D ⊂ D

hàm mở rộng:
f (x), x ∈ D,
f˜(x) :=
˜ \ D.
0,
x∈D
Lúc đó, áp dụng Định lý Lebesgue ta thấy f khả tích trên D khi và chỉ khi f˜ khả
˜ và ˜ f˜ =
tích trên D
f.
D
D
Hệ quả 1.1. Nếu f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm f.g cũng
vậy.
Hệ quả 1.2 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f và g là các hàm khả tích trên
hình hộp D thoả mãn
m ≤ f (x) ≤ M ;

g(x) ≥ 0;

∀x ∈ D,


9
với m và M là các hằng số. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho
f (x)g(x)dx = µ

g(x)dx.

D

D

Hệ quả 1.3. Nếu f là hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm |f | cũng vậy. Hơn
nữa, ta có
f (x)dx ≤

|f (x)|dx.
D

D

1.2.

Tích phân trên tập bất kỳ

1.2.1.

Tập đo được Jordan

Cho G ⊂ Rn . Ta gọi hàm χG : Rn → R xác định bởi
χG (x) =

1
0

nếu x ∈ G,
nếu x ∈ G

là hàm đặc trưng của tập hợp G.

Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn được gọi là đo được Jordan nếu tồn tại hình hộp đóng
D ⊃ G sao cho hàm χG khả tích trên D. Lúc đó số
Vol(G) :=

χG
D

được gọi là thể tích của G.
Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:
- Thể tích của tập đo được Jordan G khơng phụ thuộc việc chọn hình hộp D
chứa nó.
- Mọi hình hộp đều đo được và thể tích của nó trùng với định nghĩa thể tích
cho bởi Cơng thức (1.2).
- Một tập có thể tích khơng thì có độ đọ khơng (xem Bài tập 1.4). Tuy nhiên,
một tập có độ đo khơng có thể khơng đo được Jordan, nên khơng có thể tích khơng.
Định lý 1.3. Tập bị chặn G là đo được Jordan nếu và chỉ nếu ∂G có độ đo khơng.
Điều này là do ∂G chính là tập hợp điểm gián đoạn của hàm χG .
Hệ quả 1.4.
a) Nếu G là tập đo được Jordan và D là một hình hộp chứa G thì D \ G cũng
đo được Jordan. Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G).
b) Nếu G1 và G2 là đo được Jordan, thì hợp, giao, hiệu của chúng cũng vậy.
Hơn nữa: Vol(G1 ∪ G2 ) = Vol(G1 ) + Vol(G2 ) − Vol(G1 ∩ G2 ).


10

1.2.2.

Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất

Cho G ⊂ Rn và f là một hàm số xác định trên một hình hộp đóng D ⊃ G. Ta
nói hàm f khả tích trên G nếu hàm f.χG khả tích trên D và viết
f :=

f χG .

G

D

Cũng như định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa này hồn tồn khơng phụ thuộc
vào việc chọn hình hộp D. Nếu G là tập đo được Jordan và f là hàm khả tích trên
D, thì f cũng khả tích trên G.
Sau đây là một số tính chất của tích phân trên tập đo được.
Định lý 1.4. Cho G là tập đo được và f, g là các hàm khả tích trên G. Lúc đó,
a) Với mọi số thực α, hàm αf khả tích trên G và
αf = α

f.

G

G

b) Các hàm f ± g khả tích trên G và
(f ± g) =

f±

G

g.

G

G

c) Nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ G, thì
f≤
G

g.
G

d) Hàm |f | khả tích trên G và
f (x)dx ≤
G

|f (x)|dx.
G

e) Hàm f.g khả tích trên G, hơn nữa nếu
m ≤ f (x) ≤ M ;

g(x) ≥ 0;

∀x ∈ G,

với m và M là các hằng số, thì tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho
f (x)g(x)dx = µ

G

g(x)dx.
G

Định lý 1.5. Giả sử G1 , G2 là các tập đo được Jordan sao cho Vol(G1 ∩ G2 ) = 0.
Lúc đó, nếu f khả tích trên mỗi tập G1 và G2 , thì f cũng khả tích trên G1 ∪ G2 và
f=
G1 ∪G2

f+
G1

f.
G2


11

1.3.

Định lý Fubini

1.3.1.

Cơng thức tổng qt

Cho G = D × E ⊆ Rm+k , với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm
và Rk . Giả sử f (x, y), x ∈ D, y ∈ E, là hàm m + k biến khả tích trên G. Với mỗi
x ∈ D ta đặt

−

J∗ (x) :=

J ∗ (x) :=

f (x, y)dy,
−E

f (x, y)dy;

x ∈ D.

E

Định lý 1.6. Với các giả thiết như trên các hàm J∗ (x) và J ∗ (x) đều khả tích trên
D, có tích phân bằng nhau và bằng tích phân của hàm f trên G. Cụ thể,
D

D

D×E

J ∗ (x)dx,

J∗ (x)dx =

f (x, y)dxdy =
hay

−

f (x, y)dxdy =
D×E

dx
D

f (x, y)dy =
−E

f (x, y)dy.

dx
D

E

Nếu hàm f (x, y) liên tục trên G thì f khả tích. Mặt khác, lúc đó với mọi x ∈ D.
hàm f (x, ·) liên tục nên khả tích trên E. Do đó, J∗ (x) = J ∗ (x) = E f (x, y)dy. Áp
dụng định lý trên ta trực tiếp thu được kết quả sau
Định lý 1.7 (Fubini). Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên tập G = D × E ⊆ Rm+k ,
với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk , thì ta có cơng thức tích
phân lặp
f (x, y)dxdy =
D×E

dx
D

f (x, y)dy =
E

dy
E

f (x, y)dx.
D

Trường hợp nếu G = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn và f là hàm liên tục trên G
thì bằng cách sử dụng Định lý Fubini n − 1 lần ta nhận được công thức
b1

f=
G

b2

dx1
a1

bn

dx2 · · ·
a2

f (x1 , · · · , xn )dxn .
an

Vì vai trị các biến là bình đẳng nên thứ tự lấy tích phân có thể thực hiện tuỳ

ý mà khơng làm ảnh hưởng đến kết quả.
Nếu f (x), g(y) lần lượt là các hàm liên tục trên các hình hộp D ⊂ Rm và
E ⊂ Rk thì hàm tích h(x, y) = f (x)g(y) liên tục trên hình hộp G = D × E và
f (x)g(y)dxdy =
D×E

f (x)dx
D

g(y)dy .
E


12

1.3.2.

Cơng thức tính tích phân hai lớp

Bây giờ ta xét trường hợp G là hình thang cong trong mặt phẳng được cho dưới
dạng:
G = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)},
với ϕ1 , ϕ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Cách tính tích phân trên G được cho bởi
định lý sau
Định lý 1.8. Tập hợp G như trên là đo được Jordan trong R2 và với mọi hàm hai
biến f (x, y) liên tục trên G, f khả tích và
b

f (x, y)dxdy =
G

ϕ2 (x)

dx
a

f (x, y)dy.
ϕ1 (x)

Thật ra kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp f khơng liên tục. Ta có
khẳng định sau
Định lý 1.9. Giả sử f (x, y) là hàm khả tích trên G, sao cho với mọi x ∈ [a, b] tồn
tại tích phân
ϕ2 (x)

J(x) :=

f (x, y)dy.
ϕ1 (x)

Lúc đó, hàm J(x) xác định, khả tích trên [a, b] và

a

a

f (x, y)dy.

dx

J(x)dx =

f (x, y)dxdy =
G

ϕ2 (x)

b

b

ϕ1 (x)

Tương tự, nếu G có dạng
G = {(x, y) | y ∈ [c, d], ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y)},
và các điều kiện cần thiết thoả mãn, ta cũng có cơng thức tích phân lặp
d

f (x, y)dxdy =
G

1.3.3.

ϕ2 (y)

dy
c

f (x, y)dx.
ϕ1 (y)

Cơng thức tính tích phân ba lớp

Trước hết, ta xét trường hợp miền lấy tích phân G ⊂ R3 là hình trụ mở rộng:
G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D; ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)},
trong đó, D là một tập compact đo được Jordan trong R2 và ϕ1 , ϕ2 là các hàm liên
tục trên D.


13
Định lý 1.10. Với các giả thiết như trên, G là một tập đo được Jordan trong R3 .
hơn nữa, nếu f (x, y, z) là hàm liên tục trên G thì
ϕ2 (x,y)

f (x, y, z)dxdydz =

dxdy

G

D

f (x, y, z)dz.
ϕ1 (x,y)

Định lý này cũng được mở rộng cho trường hợp hàm f không liên tục như
khẳng định của kết quả sau
Định lý 1.11. Nếu f (x, y, z) là một hàm khả tích trên G và hơn nữa, với mỗi
(x, y) ∈ D, tích phân sau tồn tại
ϕ2 (x,y)

J(x, y) =

f (x, y, z)dz,
ϕ1 (x,y)

thì hàm J(x, y) xác định, khả tích trên D và
ϕ2 (x,y)

f (x, y, z)dxdydz =

dxdy

G

D

f (x, y, z)dz.
ϕ1 (x,y)

Kết hợp Định lý 1.8 và Định lý 1.10 ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.5. Nếu f (x, y, z) là một hàm liên tục trên tập
G = {(x, y, z) | x ∈ [a, b], y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x), z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)},
với y1 (x), y2 (x), z1 (x, y) và z2 (x, y) là các hàm liên tục, thì ta có
dx

f (x, y, z)dz.

dy
y1 (x)

a

G

z2 (x,y)

y2 (x)

b

f (x, y, z)dxdydz =

z1 (x,y)

1.4.

Phép đổi biến trong tích phân bội

1.4.1.

Công thức tổng quát

Ta đã biết trong lý thuyết tích phân hàm một biến, nếu x = g(t) là phép đổi
biến liên tục khả vi từ [α, β] lên [a, b] và f (x) là hàm khả tích trên [a, b] thì ta có
cơng thức đổi biến
g(β)

β

f (x)dx =
g(α)

f (g(t))g (t)dt.
α

Nếu hơn nữa, g là đơn ánh thì cơng thức trên có thể viết lại là
f (x)dx =
g([α,β])

(f ◦ g)(t)|g (t)|dt.
[α,β]


14
Cơng thức này sẽ được mở rộng cho tích phân bội.
Cho G là một tập mở trong không gian Rn và g : G → Rn là một ánh xạ được
cho bởi
y = g(x) = (g1 (x), g2 (x), · · · , gn (x)); x ∈ G,
với gi , 1 ≤ i ≤ n, là các hàm n−biến khả vi liên tục trên G. Với mỗi điểm x ∈ G
Jacobian của g tại đó được ký hiệu bởi
 ∂g1

∂g1
·
·
·
∂x1
∂xn


..  .
...
D(x) = det(Jg (x)) = det  ...
. 
∂gn
∂x1

···

∂gn
∂xn

g sẽ được gọi là một phép đổi biến trên G nếu nó khả vi liên tục, đơn ánh và tập
hợp {x ∈ G | D(x) = 0} có độ đo không.
Định lý 1.12. Giả sử g là một phép đổi biến trên tập mở bị chặn G và f (y) là một
hàm khả tích trên g(G) thì hàm (f ◦ g)(x)|D(x)| cũng khả tích trên G và
f (y)dy =
g(G)

(f ◦ g)(x)|D(x)|dx.
G

Định lý này cho phép chúng ta có thể đưa việc tính tích phân trên một miền có
dáng điệu “xấu” về việc tính tích phân trên một miền khác có hình thù “đẹp” hơn.
Các mục tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy các ứng dụng cụ thể của định lý này.

1.4.2.

Đổi biến sang toạ độ cực

Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vng góc sang toạ độ cực trong mặt
phẳng (x, y) = g(r, ϕ), được cho bởi hệ
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là
D(r, ϕ) = det(Jg (r, ϕ)) =

cos ϕ −r sin ϕ
= r.
sin ϕ r cos ϕ

Vì vậy cơng thức đổi biến của tích phân hai lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cực là
f (x, y)dxdy =
g(G)

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.
G


15
Điều quan trọng là với miền H cho trước trong R2 chúng ta cần nhận ra miền
G tương ứng sao cho H = g(G). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
H = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ a2 ; x ≤ 0} → G = {(r, ϕ) | 0 ≤ r ≤ a; π ≤ ϕ ≤ 2π}
H = {(x, y) | a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 } → G = {(r, ϕ) | a ≤ r ≤ b; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
π
π
H = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 2x}
→ G = {(r, ϕ) | − ≤ ϕ ≤ ; 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}.
2
2

Ví dụ 1.2. Tích diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đường Lemniscat
(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ).
Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trong
một góc phần tư của mặt phẳng toạ độ. Phương trình của phần đường cong trong
góc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r2 = 2a2 cos(2θ), θ ∈ [0, π4 ]. Vì vậy dùng
phép đổi biến sang toạ độ cực ta có
√
π
π
a 2 cos(2θ)
4
4
a2
2
dθ
cos(2θ)dθ = .
S=
dxdy = 4
rdr = 4a
2
0
0
H
0

1.4.3.

Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu

Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vng góc sang toạ độ trụ trong không gian

(x, y, z) = g(r, ϕ, z), được cho bởi hệ


x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,


z = z.
Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là
cos ϕ −r sin ϕ 0
D(r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ 0 = r.
0
0
1
Vì vậy cơng thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ trụ là
f (x, y, z)dxdydz =
g(G)

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz.
G

Phép đổi biến này phù hợp khi H = g(G) là một hình có dạng “trụ”. Chẳng
hạn, nếu
H = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}
thì
G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; r2 ≤ z ≤ 2}.


16
Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vng góc sang toạ độ cầu (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ),

được cho bởi hệ


x = ρ sin θ cos ϕ,
y = ρ sin θ sin ϕ


z = ρ cos θ.
Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là
sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin θ sin ϕ
D(ρ, θ, ϕ) = sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ = ρ2 sin θ.
cos θ
−ρ sin θ
0
Vì vậy cơng thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cầu là
f (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2 sin θdρdθdϕ.

f dxdydz =
g(G)

G

Một cách tự nhiên, phép đổi biến này lại phù hợp khi H = g(G) có dạng “cầu”.
Chẳng hạn, nếu
H = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 2; y ≥ 0}
thì
G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤

√

2; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ π}.

Còn nếu
H = {(x, y, z) |

x2 + y 2 ≤ z; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}

thì
G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ θ ≤

π
; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}.
4

1.5.

Ứng dụng của tích phân bội

1.5.1.

Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng

Giả sử G ⊂ R2 và f (x, y) là một hàm không âm, xác định trên G. Lúc đó,
T := {(x, y, z) | (x, y) ∈ G; 0 ≤ z ≤ f (x, y)} ⊂ R3
là một tập hợp trong R3 có dạng hình trụ, mà đáy dưới là tập G × {0} và đáy trên
là đồ thị của f trên G.
Định lý 1.13. Nếu G đo được Jordan trong R2 và f khơng âm, khả tích trên G,
thì T là một tập đo được Jordan trong R3 và có thể tích là
Vol(T ) =

f (x, y)dxdy.
G


17
Đặc biệt, nếu f (x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ G thì thể tích của T đúng bằng diện
tích của G vì vậy
s(G) =

dxdy.
G

1.5.2.

Diện tích mặt cong

Trước hết, giả sử H = (ABCD) là một hình bình hành trong không gian, ta
−→
−−→
ký hiệu a và b lần lượt là các vec-tơ AB và AD và α là góc lập bởi các vec-tơ này.
Một cách tự nhiên, diện tích của H được định nghĩa bởi biểu thức
s(H) := a

b | sin(α)| =

a

2

b

2

− a, b 2 .

Bây giờ cho S là mặt cong trơn trong không gian, xác định bởi hệ phương trình
tham số


x = x(u, v),
(u, v) ∈ G,
y = y(u, v),


z = z(u, v),
trong đó, G là một miền đo được Jordan, bị chặn trong R2 . Người ta cũng tìm cách
định nghĩa diện tích của S.
Với mỗi hình chữ nhật ∆ = [u, u + h] × [v, v + k] nằm gọn trong G cho tương
ứng một mảnh cong S∆ ⊂ S. Khi h và k khá bé, ta có thể xem diện tích của S∆ xấp
xỉ bằng diện tích của hình bình hành H∆ = (ABCD), với A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
−→
−−→
và các vec-tơ a = AB, b = AD được xác định bởi a = (xu (u, v), yu (u, v), zu (u, v))h,
b = (xv (u, v), yv (u, v), zv (u, v))k (hình bình hành này nằm trong tiếp diện của S tại
A). Vì vậy, nếu P là một đa hộp nằm trong G, có diện tích gần bằng G bao gồm
một số hữu hạn các hình chữ nhật ∆i khá bé, thì diện tích của S xấp xỉ bằng tổng
σ(P ) =

s(H∆i ).
i

Ký hiệu độ mịn của P bởi γ(P ) = max{ρ(∆i )}. Từ sự phân tích trên, ta sẽ định
nghĩa diện tích mặt cong S là giới hạn sau nếu nó tồn tại.
s(S) :=

lim

σ(P )

γ(P )→0
m(P )→m(G)

(1.3)

Định lý 1.14. Giới hạn trong (1.3) tồn tại, không phụ thuộc cách chọn P . Hơn
nữa, ta có
a 2. b

s(S) =
G

với a = (xu , yu , zu ), b = (xv , yv , zv ).

2

− a, b 2 dudv,


18
Đặc biệt, nếu S được cho dưới dạng hiển:

S = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ G},
với G là miền đo được trong R2 và f là hàm khả vi liên tục, thì
s(S) =
G

1.5.3.

1 + fx (x, y)2 + fy (x, y)2 dxdy,

Khối lượng, trọng tâm bản phẳng

Nhắc lại rằng nếu một hệ gồm k chất điểm rãi trên mặt phẳng mà khối lượng
và toạ độ chất điểm thứ i là mi và Mi (xi , yi ), 1 ≤ i ≤ k, thì khối lượng của hệ là
m = m1 + m2 + · · · + mk
và trọng tâm I(xI , yI ) của hệ có các toạ độ được tính bởi
k
1

xi m i
;
m

xI =

k
1

yi mi
.
m

yI =

Bây giờ cho G là một bản phẳng (tức là một hình phẳng có khối lượng) khơng
đồng chất mà tỷ khối tại mỗi điểm (x, y) ∈ G được cho bởi f (x, y) ≥ 0. Giả sử G
đo được và f là hàm khả tích trên G. Bằng một thủ tục xấp xỉ tương tự, ta đi đến
định nghĩa và cơng thức tính khối lượng và toạ độ của trọng tâm I của bản phẳng
sau đây
m=

f (x, y)dxdy;
G

xI =

1.5.4.

1
m

xf (x, y)dxdy;

yI =

G

1
m

yf (x, y)dxdy.

G

Khối lượng, trọng tâm của cố thể

Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong khơng gian, có tỷ khối tại
mỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f (x, y, z) ≥ 0. Cũng dưới giả thiết T đo được và f khả
tích ta cũng có cơng thức tính khối lượng của cố thể
m=

f (x, y, z)dxdydz

(1.4)

T

và các toạ độ của trọng tâm I(xI , yI , zI ):
1
xI =
xf (x, y, z)dxdydz; · · ·
m
G
Mặt khác, từ (1.4) ta cũng nhận được cơng thức tính thể tích của T cho trường
hợp f (x, y, z) = 1 với mọi (x, y, z) ∈ T :
v(T ) =

dxdydz
T


19

1.6.

Thực hành tính tốn

Để thực hành tính tích phân trước tiên ta cần nạp gói lệnh student:
[> with(student);

1.6.1.

Tích phân bội

a. Tích phân bội 2. Để tính tích phân bội 2 của hàm f (x, y) trên hình hộp
∆ = [a, b] × [c, d] ta dùng lệnh Doubleint. Chú ý rằng khơng có lệnh doubleint!
Cú pháp: [> Doubleint(f(x, y), x=a..b, y=c..d);
Vì đây là lệnh trơ nên chỉ cho cơng thức hình thức. Để biết giá trị của nó ta
phải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf.
Ví dụ:
[> m:= Doubleint(x∧2*exp(x*y),x=-1..1, y=0..2);
2

1

m :=
0

[> value(m);

x2 e(xy) dxdy

−1

1 2 3 (−2)
e + e
4
4

[> evalf(m);
1.948765487
b. Tích phân bội 3. Để tính tích phân bội 3 của hàm f (x, y, z) trên hình hộp
∆ = [a, b] × [c, d] × [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (khơng có lệnh tripleint).
Cú pháp: [> Tripleint(f(x, y, z), x=a..b, y=c..d, z=e..g);
Ví dụ:
[> Tripleint(x*z∧2+z*sin(x*y),z=0..2,x=0..1,y=1..2);
2
1

1.6.2.

1

2

0

xz 2 + zsin(xy) dzdxdy

0

Tích phân lặp

a. Tích phân lặp 2 lớp. Để tính tích phân
b

y2(x)

dx
a

f (x, y)dy
y1(x)


20
ta dùng lệnh
[> int(int(f(x,y), y=y1(x)..y2(x)), x=a..b);
Ví dụ:
[> int(int(x*exp(y), y=1..x∧2), x=0..2);
1 4
1
e − 2e −
2
2
[> evalf(%);
1.948765487
b. Tích phân lặp 3 lớp. Tương tự, để tính tích phân
b

y2(x)

dx
a

z2(x,y)

dy
y1(x)

f (x, y, z)dz
z1(x,y)

ta dùng lệnh
[> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y)..z2(x,y)),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b);

1.7.

Bài tập

1.1. Cho hình hộp D với các phân hoạch: P : {xi0 < xi1 < · · · < xik(i) ; 1 ≤ i ≤ n},
i
Q : {y0i < y1i < · · · < yl(i)
; 1 ≤ i ≤ n}. Chứng minh rằng P
Q khi và chỉ khi
i
{xi0 , xi1 , · · · , xik(i) } ⊃ {y0i , y1i , · · · , yl(i)
}, với mọi 1 ≤ i ≤ n.
1.2. Chứng minh các tính chất b) và c) ở trang 7.
1.3. Cho hàm



2
2

y , y < x ,
f (x, y) = 0, y = x2 ,


y, y > x2 .

Hãy tìm ω(f, (0, 0)), ω(f, (2, 4)).
1.4. Chứng minh rằng một tập bị chặn có thể tích 0 khi và chỉ khi, với mọi > 0
tồn tại một số hữu hạn các hình hộp mở (hoặc đóng) phủ nó và có tổng thể tích bé
hơn . Khẳng định này có cịn đúng đối với tập có độ đo 0 hay khơng?
1.5. Chứng minh rằng một tập G có thể tích 0 thì ∂G cũng có thể tích 0. Tuy nhiên,
chứng tỏ tồn tại các tập có độ đo 0 nhưng biên của nó khơng có độ đo 0.
1.6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau
ex

1

I=

dx
−1

2

f (x, y)dy;
1
e

J=

ln x

dx
1

f (x, y)dy.
0


21
1.7. Tính các tích phân hai lớp
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy;

D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0},

D

arctan(x2 + y 2 − 1)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≤ 0},
D

1
D

1+

x2

+

y2

D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 9, x ≤ y},

dxdy;

D = {(x, y) | x2 + y 2 − 2x ≤ 0, x ≥ 1},
√
2
2
2
D = {(x, y) | x + y ≤ 1, x ≥
},
2

xdxdy;
D

xdxdy;
D

D = {(x, y) | x2 + y 2 − 4y ≤ 0, x ≥ 0},

(x + y)dxdy;
D

|y − x2 |dxdy;

D = {(x, y) | |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2},

D

|x2 + y|dxdy;

D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 0}.

D

1.8. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi
D ={(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2(x2 − y 2 ),
x2
D ={(x, y) |
+ y 2 ≤ x + y},
4
√
D ={(x, y) | 4 x + 4 4y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0}.
1.9. Tính tích phân ba lớp
(1 + x + y)dxdydz,
V

với V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0 và 3x + 6y − 2z = 6.
1.10. Tính tích phân ba lớp
xdxdydz,
V

với V là miền giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = x2 + y 2 − 1.
1.11. Tính thể tích vật thể V , giới hạn bởi (các) mặt
a) 2z = x2 + y 2 , y + z = 4;

b) x2 + y 2 = 2x, x + z = 2, x − z = 2;
c) (x2 + y 2 + z 2 )3 = 3xyz;
d) (x2 + y 2 )2 + z 4 = y;


22
x2 y 2
+
+ z2
4
9

e)

2

= x2 y;

y 23
z 32
f) x +
+
= 1;
2
3
g) x2 + y 2 = 2x, z = x2 + y 2 , z = 0.
2
3

1.12. Đổi biến sang toạ độ trụ và viết lại cận của tích phân I =

với V là miền giới hạn bởi các mặt:
a) x2 + y 4 = z,
b) x =

z2 + y2,

z = 2.
x = 6 − z2 − y2.

V

f (x, y, z)dxdydz,


Chương 2.
TÍCH PHÂN
PHỤ THUỘC THAM SỐ
2.1.

Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng

Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên hình chữ nhật ∆ = [a, b] × [c, d]. Giả sử
với mọi y ∈ [c, d] hàm f (·, y) khả tích trên [a, b]. Lúc đó bằng cách đặt
b

f (x, y)dx,

G(y) :=

(2.1)

a

ta được G là một hàm xác định trên đoạn [c, d] và (2.1) được gọi là tích phân phụ
thuộc tham số y với cận là các hằng số. Sau đây ta sẽ khảo sát các tính chất cơ bản
của hàm G là tính liên tục, khả vi và khả tích. Lưu ý rằng thay vì y ∈ [c, d] ta có
thể xét y ∈ D ⊂ Rm và lúc đó G(y) là một hàm m biến. Tuy nhiên, hầu hết các
tính chất của tích phân phụ thuộc tham số G(y) đối với y ∈ Rm tương tự như khi
xét y ∈ R nên ở đây ta chỉ xét hàm G(y) với y ∈ R.
Định lý 2.1. Nếu f (x, y) liên tục trên ∆ thì hàm G liên tục trên [c, d].
Định lý 2.2. Giả sử hàm f (x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng fy (x, y) trên ∆.
Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và
b

G (y) =
a

fy (x, y)dx,

∀y ∈ (c, d),

b

G+ (c) =

a

b

fy+ (x, c)dx,

G− (d) =

a

fy− (x, d)dx.

Định lý 2.3. Giả sử f (x, y) liên tục trên ∆. Lúc đó, các hàm
d

F (x) =

b

f (x, y)dy; x ∈ [a, b];
c

G(y) =

f (x, y)dx; y ∈ [c, d]
a


24
b

đều khả tích và

d

F (x)dx =

G(y)dy. Tức là, ta có Cơng thức Fubini:

a

c
b

d

dx
a

d

f (x, y)dy =
c

b

dy
c

f (x, y)dx.

(2.2)

a

Ví dụ sau đây cho thấy rằng (2.2) không nhất thiết đúng nếu f khơng liên tục.
Ví dụ 2.1. Cho hàm
f (x, y) =

x2 −y 2
,
(x2 +y 2 )2

(x, y) = (0, 0),

0,

(x, y) = (0, 0).

Lúc đó f khơng liên tục tại điểm (0, 0) và
1

1

dx
0

2.2.

0

π
π
f (x, y)dy = = − =
4

4

1

1

f (x, y)dx.

dy
0

0

Tích phân với cận là hàm của tham số

Cho f (x, y) liên tục trên ∆ = [a, b] × [c, d], các hàm α, β : [c, d] → [a, b]. Lúc
đó, với mỗi y ∈ [c, d] ta có
β(y)

G(y) =

f (x, y)dx
α(y)

là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hàm theo y.
Định lý 2.4. Nếu f (x, y) liên tục trên ∆, α và β liên tục trên [c, d] thì G liên tục
trên [c, d]. Tức là,
β(y)
y→y0

β(y0 )

f (x, y)dx =

lim

α(y)

f (x, y0 )dx,

∀y0 ∈ [c, d].

α(y0 )

Định lý 2.5. Giả sử hàm f (x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng fy (x, y) trên ∆
và α, β khả vi trên [c, d]. Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và
β(y)

G (y) =
α(y)

fy (x, y)dx + β (y)f (β(y), y) − α (y)f (α(y), y).