SKKN ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Bắt đầu từ năm 2017, BGD&ĐT chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học
môn Toán cũng có sự thay đổi để đáp ứng đối với kì thi. Giáo viên phải d ạy học sinh hi ểu rõ bản
chất và cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả, học sinh mong muốn mình giải quyết một bài
toán với con đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhất.
Trong đề thi THPT QG 2017, đề minh họa, đề tham khảo của BGD và tuyển tập các đề thi
thử THPT QG của các trường trên toàn quốc trong những năm gần đây, câu hình học không gian
luôn là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các ki ến th ức hình h ọc không
gian ở chương trình hình học lớp 11. Do đó, vi ệc học hình h ọc không gian ở l ớp 12, đ ặc bi ệt là
vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra r ất lúng túng. Tr ước tình hình đó cùng v ới quá
trình giảng dạy và nghiên cứu, chúng tôi đã có những sáng kiến để giải quyết các bài toán tính
thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích rất hi ệu qu ả và cho l ời gi ải ng ắn g ọn r ất
nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở l ớp 11 là có
thể làm được.
Sáng kiến giải quyết các vấn đề hay gặp như:
a. Tính thể tích, tỷ số khối chóp có đáy là hình bình hành.
b. Tính thể tích, tỷ số khối lăng trụ.
c. Tính thể tích, tỷ số khối hình hộp…và các ứng dụng khác.
2. Mục đích của sáng kiến
Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và m ột s ố bài t ập m ẫu,
học sinh định hướng rõ phương pháp giải các bài toán c ụ thể phần nào giúp h ọc sinh thu ận l ợi
trong quá trình học tập và quá trình ôn tập củng cố ki ến thức chu ẩn bị cho kỳ thi THPT QG
phần hình học áp dụng vào thực tế.
3. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến
- Từ năm 2017, trong kì thi THPT QG môn Toán chuyển sang thi trắc nghiệm. Qua nghiên cứu
đề minh họa của bộ tôi có thây rằng các bài toán hình h ọc v ề tính th ể tích, t ỷ s ố xu ất hi ện
nhiều. Ngoài việc lắm được các công thức hình học như tr ước kia các em còn ph ải làm th ế nào
cho ra kết quả nhanh nhất.

Trang 1


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
- Hệ thống kiến thức trong sáng kiến có nội dung sáng tạo và ứng d ụng r ộng rãi trong vi ệc gi ải
toán. Sáng kiến đã đưa ra một số kết quả tính nhanh mang tính phát hi ện. N ắm v ững đ ược các
công thức đưa ra này các em sẽ giải quyết những bài từ đơn gi ản đến ph ức t ạp m ột cách nhanh
gọn với độ chính xác cao.
- Từ lúc bắt đầu chính thức BGD cho thi trắc nghiệm, khi ôn luyện cho học sinh về m ảng này
tôi luôn đưa ra hệ thống câu hỏi bám sát, gây dựng các bài toán mang tính ch ất h ệ th ống. Vì
bản thân hình học đã là khó nên các bài toán đ ưa ra phải kích thích và gây h ưng ph ấn cho h ọc
sinh. Học sinh sẽ năm chắc kiến thức từ đó hăng say vận d ụng vào các bài toán t ừ d ễ đ ến khó.
Nhờ vậy các em định hướng giải cho các bài toán thuộc chủ đề này r ất nhanh và đây cũng là
điểm nổi bật của sáng kiến .
4. Hiệu quả của sáng kiến
- Đối với nhà trường: Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích c ủa đ ồng nghi ệp và h ọc sinh trong
hoạt động giảng dạy và học tập cũng như ôn luyện và giải các đề thi thử.
- Đối với kết quả thi: Kiểm tra định kì, thi thực nghiệm của Sở : Đa số các em làm t ốt , nâng cao
chất lượng, xếp hạng với các trường THPT trong tỉnh.

Trang 2


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
THI THPT QUỐC GIA
A. XÂY DỰNG CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Tính chất 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác

Cho khối chóp tam giác

A ', B ', C '
. Khi đó ta có

S . ABC

( P)
. Mặt phẳng

SA, SB, SC
cắt các đường thẳng

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

.

Chứng minh

H,H '
Gọi

lần lượt là hình chiếu của

VS . ABC = VA.SBC =

⇒

( SBC )

A, A '

1
·
AH .SB.SC.sin BSC
6

trên mặt phẳng

VA '.SB 'C ' =
và

1
· ' SC '
A ' H '.SB '.SC '.sin B
6

VS . A ' B 'C ' AH ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
AH SB SC

Rõ ràng

A ' H ' SA ' ⇒ VS . A ' B ' C ' = SA ' . SB ' . SC '
=
VS . ABC
SA SB SC
AH
SA

.

.

Trang 3

lần lượt tại


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
S . ABC
ABC
SA
a SA = 2a
Ví dụ 1. Cho khối chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh ,
và
vuông góc
SB
SC
M N

A
với đáy. Gọi
,
lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng
và
. Tính

tỉ số thể tích

VA.BCNM
VS . ABC

.
Lời giải

Ta có

SM SM .SB SA2 4
=
=
=
SB
SB 2
SB 2 5

Tương tự

SN 4
=
SC 5

.

.
2

VS . AMN SM SN  4 
V
9
=
.
=  ÷ ⇒ A. BCNM =
VS . ABC
SB SC  5 
VS . ABC
25
2. Tính chất 2: Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành

Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

SA, SB, SC , SD, SO

ABCD

là hình bình hành tâm

A ', B ', C ', D '
lần lượt tại

a) Chứng minh

x=
b) Đặt

và

SA SC SB SD
SO
+
=
+
= 2.
SA ' SC ' SB ' SD '
SO '

SA
SB
SC
SD
, y=
, z=
, t=
SA '
SB '
SC '
SD '

O'

O

( P)
. Mặt phẳng

cắt các cạnh

.

.

. Chứng minh
Trang 4

VS . A ' B 'C ' D ' x + y + z + t
=
VS . ABCD
4 xyzt

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
Chứng minh

a) Gọi

O

là tâm hình bình hành,

I

là giao điểm của

SO

( A ' B ' C ' D ')
và

S SA ' I S SC ' I 2 SSA 'C '
SA '.SI SC '.SI
SA '.SC '
+
=
⇔
+
= 2.
S SAO S SCO
S SAC
SA.SO SC.SO
SA.SC
Ta có

⇔

SO  SA ' SC ' 

SA ' SC '
+
.

÷ = 2.
SI  SA SC 
SA SC

⇔

SA SC
SO
+
= 2.
SA ' SC '
SI

Chứng minh tương tự ta có

SB SD
SO
+
= 2.
SB ' SD '
SI

.

.

⇒ x + z = y +t
b) Theo a)
VS . A ' B 'C ' D ' VS . A ' B 'C ' VS . A ' D 'C ' 1  SA ' SB ' SC ' SA ' SD ' SC ' 
=
+
= 
.
.
+
.
.
÷
VS . ABCD
2VS . ABC 2VS . ADC 2  SA SB SC SA SD SC 

1 1
1  y +t x + y + z +t
= 
+
=
÷=
2  xyz xtz  2 xyzt
4 xyzt

Trang 5

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

S . ABCD

Ví dụ 2. Cho hình chóp

điểm

P

VS . AMNP
VS . ABCD

thuộc cạnh

SD

có đáy

ABCD

SP = 2 PD

sao cho

là hình bình hành. Gọi

( AMP )
. Mặt phẳng

cắt

M

SC

là trung điểm

tại

N

SB

,

. Tính tỷ số

.
Lời giải

Ta có

Vậy

SA SC SB SD
SC
3
SC 5
+
=
+

⇔ 1+
=2+ ⇔
=
SA SN SM SP
SN
2
SN 2

5 3
VS . AMNP 1 + 2 + 2 + 2 7
=
=
5 3
VS . ABCD
30
4.1.2. .
2 2

Ví dụ 3. Cho khối chóp
AB

và đi qua điểm

k=
Tính tỷ số

SM
SC

M

S . ABCD

trên

SC

có đáy

ABCD

chia khối chóp

( P)
là hình bình hành. Mặt phẳng
S . ABCD

.
Lời giải

Trang 6

chứa cạnh

thành hai phần có thể tích bằng nhau.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

N = ( P ) ∩ SC

Gọi

ta có

k=
Ta có

nên

MN //CD

.

SM
SC SD 1
⇒
=
=
SC
SM SN k

VSABMN
=
VSABCD
Khi đó

1 1
+
k k =1

1
2 ⇔ 1 − 1 −1 = 0 ⇔ 1 = 1+ 5 ⇔ k = 5 −1
4. 2
k
k2 k
k
2
2

1+1+

Ví dụ 4. Cho hình chóp
SC

 AB ⊂ ( P )

 AB //CD

S . ABCD

hợp với đáy một góc bằng

SB, SC , SD

có thể tích bằng

30°

V

, đáy

( P)
. Mặt phẳng

đi qua

E, F , K
lần lượt tại

ABCD

. Tính thể tích khối chóp
Lời giải

Trang 7

A

.
SA ⊥ ( ABCD )

là hình vuông;

và vuông góc với

S . AEFK

.

và
SC

, cắt các cạnh


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Ta có

Mà

SB SB 2
=
SE SA2

. Tương tự

SC SC 2
=
=4
SF SA2

( do

SD SD 2
=
SK SA2

∆SCA

nên

SB SD
=
SE SK

.

A, ·SCA = 300

vuông tại

) nên

SC
SB SD
SB SD 5
+1 =
+
=5⇒
=
=
SF
SE SK
SE SK 2

VS . AEFK
V
10

1
V
=
= ⇒ VS . AEFK = S . ABCD = .
VS . ABCD 4.1.4. 5 . 5 10
10
10
2 2

Ví dụ 5. Cho hình chóp
IS = 2 IC

S . ABCD

có đáy

( P)
. Mặt phẳng

là thể tích khối chóp

chứa cạnh

S . AMIN

và

ABCD

AI

S . ABCD

là hình bình hành; điểm I nằm trên

SB, SD
cắt cạnh

M,N
lần lượt tại

Trang 8

sao cho

V ',V
. Gọi

. Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích
Lời giải

SC

lần lượt

V'
V

.

Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Đặt

SB
SD
= x,
= y ⇒ x, y ≥ 1
SM
SN

Ta có

⇒ x + y =1+
. Ta có

3
x + y +1+
V'
5
8
2= 5 ≥
=
=
2
3
V
6 xy
 x + y  15

4 x. y.1.
6
÷
2
 2 

Ví dụ 6. Cho hình chóp
đổi luôn đi qua

B

S . ABCD

, trung điểm

I

có đáy
của

SO

3 5
5
= ⇒ x+ y =
2 2
2

. Dấu bằng xảy ra khi

ABCD

.

5
x= y= .
4

là hình bình hành tâm

SA, SC
và cắt các cạnh

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số

VS . BMPN
VS . ABCD

Lời giải

Trang 9

.

và

SD

O

(α)
. Mặt phẳng

thay

M,N
lần lượt tại

và

P.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Đặt

Nên

SA
SC
= x,
= y ⇒ x, y ≥ 1
SM
SN

SD
= 3; x + y = 4
SP

. Từ đó

.Ta có

VS . BMPN
8
2
2
=
=
=
VS . ABCD 4.x. y.3.1 3 xy 3 x ( 4 − x )

x+ y = 4 ⇔ x = 4− y ≤3
Từ

y ≥ 1.
vì

f ( x) =
Xét

Ta có

Vậy

SA SC SB SD
SO
+
=

+
= 2.
=4
SM SN SB SP
SI

2 ( 4 − 2x)
2
=0⇔ x=2
, 1 ≤ x ≤ 3 f '( x) =
2
3 x ( 4 − x ) 
3x ( 4 − x )

2
1
f ( 1) = f ( 3) = ; f ( 2 ) =
9
6

VS . BMPN
VS . ABCD

.

đạt GTNN, GTLN lần lượt là

1 2
,
6 9

.

Trang 10


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
3. Tính chất 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác

Cho lăng trụ

ABC. A′B ′C ′

AA′, BB′, CC ′

M , N, P
có các điểm

A′M
B′N
C ′P
= x,
= y,
=z
AA′
BB′
CC ′

. Khi đó

lần lượt thuộc các cạnh

VA′B′C ′MNP x + y + z
=
VA′B′C ′. ABC
3

sao cho

.

Chứng minh

Ta có

VA′B′C ′MNP = VM . A′B′C ′ + VM .B′C ′PN

. Đặt

V = VA′B′C ′. ABC

VA′.BCC ′B′ =
dễ thấy

1
d M , ( A′B ′C ′ ) ) .S ABC
VM . A′B′C ′ 3 (
1 MA′ 1
x
=

=
= x
V
3 AA′ 3 ⇒ VM . A′B′C ′ = 3 .V
d ( A′, ( A′B′C ′ ) ) .S ABC

2V
3

( 1)
.

A′M // ( BCC ′A′ ) ⇒ VM .B′C ′PN = VA′. B′C ′PN

Do

VM . B′C ′PN VA′. B′C ′PN S B′C ′PN
=
=
VA′.BCC ′B′ VA′.BCC ′B′ S BCC ′B′
Khi đó

⇒ VM .B′C ′PN =

1
( C ′P + B′N ) .d ( P, BB′ ) 1  C ′P B′N  y + z
2
=
= 
+

÷=
BB′.d ( P, BB′ )
2  CC ' BB ' 
2

y + z 2V y + z
.
=
.V ( 2 ) .
2
3
3

Trang 11

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

VA′B′C′MNP = VM . A′B′C ′ + VM .B′C′PN =

( 1) , ( 2 )
Vậy từ

ta có

x + y + z ⇒ VA′B′C ′MNP = x + y + z
.V
VA′B′C ′. ABC

3
3

.

VA.MNP
x VM . BCPN
y+z
= ,
=
VABC . A1B1C1 3 VABC . A1B1C1
3
Đặc biệt:

.

Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ

ABC. A′B′C ′

, có

AM = MA′, BN = 3NB′, CP = 3PC ′
cho

AA′, BB′, CC ′

M , N, P
lần lượt thuộc các cạnh

V1
. Đặt

tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

V1
V2

ABCMNP V2
là thể tích của khối đa diện
,
là thể

.
Lời giải

MA = MA′ ⇒
Ta có

MA 1
BN 3
CP 3
= ; BN = 3NB′ ⇒
= ; CP = 3PC ′ ⇒
=
AA′ 2
BB′ 4
CC ′ 4

V = VABC . A′B′C ′

Đặt

. Suy ra

sao

1 3 3
+ +
V1 2 4 4 2
2
1
V
=
= ⇒ V1 = V ⇒ V2 = V − V1 = V ⇒ 1 = 2.
V
3
3
3
3
V2

Trang 12


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Ví dụ 8. Cho khối lăng trụ

AA′, BB′, CC ′
cạnh

diện

ABC. A′B′C ′

có thể tích bằng

M , N, P
, các điểm

AM = 2 MA′, BN = 3NB′, CP = x.PC ′
sao cho

ABC.MNP

V

V1
. Đặt

, tính giá trị của

x

để

V1 3
=
V 5

lần lượt thuộc các

là thể tích của khối đa

.
Lời giải

MA = 2MA′ ⇒
Ta có

Suy ra

AM 2
BN 3
CP
x
= ; BN = 3 NB′ ⇒
= ; CP = xPC ′ ⇒
=
AA′ 3
BB′ 4
CC ′ x + 1

2 3
x
+ +
V1 3 4 x + 1 3 17
x
9
x

23
23
=
= ⇒ +
= ⇔
=
⇔ x= .
V
3
5 12 x + 1 5
x + 1 60
37

Ví dụ 9. Cho khối lăng trụ

ABC. A′B′C ′

AA′, BB′, CC ′
thuộc các cạnh
diện

BC.MNP

60 cm 3
có thể tích bằng

M , N, P
, các điểm

lần lượt

AM = 2 MA′, BN = 3 NB′, CP = 4 PC ′.
sao cho

Thể tích của khối đa

.
Lời giải

Trang 13


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

MA = 2MA′ ⇒
Ta có

Nên

Mà

AM 2
BN 3
CP 4
= ; BN = 3NB′ ⇒
= ; CP = 4 PC ′ ⇒
=
AA′ 3
BB′ 4
CC ′ 5

2 3 4
+ +
VABCMNP
133
133
133
=3 4 5=
⇒ VABCMNP =
.60 =
VABCA ' B 'C '
3
180
180
3

1
1 2
2
40
VM . ABC = d ( M ; ( ABC ) ) .S ABC = . d ( A '; ( ABC ) ) .S ABC = .VABC . A ' B 'C ' =
3
3 3
9
3

VBCMNP =
Vậy

.

133 40
−
= 31( cm3 ) .
3
3

Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức
tính thể tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có
công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác.

Ví dụ 10. Cho lăng trụ
A ' B ' C′

ABC. A ' B ' C '

(α)
. Mặt phẳng

Chứng minh

G, G '
có

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

AA ', BB ', CC ', GG '
cắt

AM BN CP

GI
+
+
= 3.
AA ' BB ' CC '
GG '

M , N , P, I
lần lượt tại

.
Chứng minh

Trang 14

.

ABC

và


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

x=
Đặt

AM
BN
CP

GI
,y=
,z =
,t =
AA '
BB '
CC '
GG ' VABC . A ' B 'C ' = V
;
VAGB. A' G ' B ' = VCGB.C 'G ' B ' = VAGC . A' G ' C ' =

Dễ thấy

VAGBMIN
x+ y+t
=
VVAGB . A ' G ' B '
3
Ta có

V
3

.

VCGBPIN
z + y + t VCGAPIN
z + y +t
=
;

=
VVCGB .C ' G ' B '
3
VVCGA. C ' G ' A '
3
. Tương tự ta có

Cộng vế với vế cả 3 đẳng thức trên ta được
3VABCMNBP x + y + t z + y + t z + y + t 2 ( x + y + z )
=
+
+
=
+t
V
3
3
3
3

Mà

3VABCMNBP
x+ y+z
= 3.
= x+ y+ z
V
3

Từ kết quả trên ta có

t=
nên

x+ y+z
3

. Ta được điều phải chứng minh.

VABCMNBP
GI
=
.
VABC . A ' B ' C ' GG '

(α)
Nhận xét. Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết

cắt

GG '

(α)
là ta đã biết

chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi.

Trang 15

tại vị trí điểm

I

xác định


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
4. Tính chất 4: Tỉ số thể tích khối hộp

Cho hình hộp

ABCD. A ' B ' C ' D '

M , N , P, Q
sao cho

(α)
. Mặt phẳng

AA ', BB ', CC ', DD '
cắt các cạnh

AM
BN
CP
DQ
= x, ' = y ,
= z,
=t
'

'
AA
BB
CC
DD '

lần lượt tại

. Khi đó ta có:

x + z = y + t.
a)

VABCDMNQP
b)

VABCD. A ' B 'C ' D '

=

x+ y+ z+t x+ z y+t
=
=
4
2
2
.
Chứng minh

MNPQ

a. Dễ thấy tứ giác

và hình vuông

OI =
Tương tự

ABCD

I,O
là hình bình hành. Gọi

. Ta có

BN + DQ
2

OI

MNPQ
lần lượt là tâm của hình bình hành

là đường trung bình của hình thang

AMPC

VABD. A ' B ' D '

=

nên

AM + CP
2

AM + CP = BN + DQ ⇔ xAA '+ zCC ' = yBB '+ tDD ' ⇔ x + z = y + t
, do đó

b. Áp dụng Tính chất 3 ta có

VABDMNQ

OI =

2VABDMNPQ
VABDMNQ
x+ y+t
x+ y+t
x+ y+t
⇔
=
⇔
=
3
VABCD. A ' B 'C ' D '
3
VABCD. A ' B ' C ' D '
6
Trang 16

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

VBCDNPQ
tương tự

VABCD. A' B ' C ' D '

=

y+ z+t
6

Do đó,

VABCDMNPQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

=

VABDMNQ
VABCD. A ' B 'C ' D '

+

VBCDNPQ

=

VABCD. A ' B 'C ' D '

=

VABCDMNQP
VABCD. A ' B ' C ' D '

=

x+ y+t y+ z +t x+ y+ z+t + y+t
+
=
6
6
6
x+ y + z +t
x+ y + z +t
2
=
6
4

x+ y+ z +t +

x + y + z + t OI
=
.
4
OO '

Chú ý :

Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tính chất 3. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình
hộp là chia bốn.

(α)
Và cũng chỉ cần biết

cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm đ ược t ỷ s ố hai kh ối

(α)
tạo thành do

cắt hình hộp. Tuy nhiên, Tính chất 4 cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở

(α)
hai cạnh bên đối diện của hình hộp mà
Ví dụ 11. Cho khối hộp chữ nhật
DN = 3 ND′

và

CP = 2C ′P

cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối.

ABCD. A′B′C ′D′

có thể tích bằng

2110

. Biết

A′M = MA

;

( MNP )
. Mặt phẳng

chia khối hộp đã cho thành hai khối đa di ện. Tính

thể tích khối đa diện nhỏ hơn.
Lời giải

Trang 17


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

( MNP )
cắt

BB’

Q
tại

VABCDMNPQ

Do đó

VABCD. A ' B ' C ' D '

. Từ giải thiết ta có

Vậy

7385 5275
=
6
6

Ví dụ 12. Cho hình lập phương

qua

.

AM CP
1 2
+
+
7
7385
AA
'
CC

'
2
3 = 7 ⇒V
=
=
.2110 =
ABCDMNPQ =
2
2
12
12
6

VA ' B 'C ' D ' MNPQ = 2110 −

AN

AM 1 CP 2
= ;
=
AA ' 2 CC ' 3

.

ABCD. A′B′C ′D′

BB ', DD′
, cắt các cạnh

;

V2 ( V1 < V2 )

và

là trung điểm

CC ′.

(α)
Mặt phẳng

đi

(α)

M,P
lần lượt tại

V1
thể tích tương ứng bằng

có

N

. Tính tỉ số
Lời giải

Trang 18

chia khối lập phương thành hai phần có
V2
V1

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

VABCDPNM

Từ giải thiết ta có

VABCD. A ' B ' C ' D '

AA CN
1
+
0+
2=1
= AA ' CC ' =
2
2
4

. Nên

Trang 19

VABCDPNM
1 V
= ⇒ 2 =3
VAMNPA ' B 'C ' D ' 3
V1

.


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

S . ABCD

Cho khối chóp

đáy

ABCD

B ', D '
Gọi
k=

A.
Câu 2:

lần lượt là trung điểm

VS . AB 'C ' D '
VS . ABCD

A.
Câu 3:

S . ABCD

Cho hình chóp

Tỷ số

và

V1
V2

SB

A.

1
.
3

S . ABCD

. Mặt phẳng

1

.
3

tại

C'

. Đặt

ABCD

D.

1
.
6

M,N
là hình bình hành;

lần lượt là trung điểm
S .MNCD

và

S . ABCD.

bằng

chứa

Q
và

. Tỷ số

2
.
3

C.

có đáy

( P)

tại

C.

1
.
4

lần lượt là thể tích của các khối chóp

B.

N

cắt

SC

bằng

có đáy

. Gọi

Cho hình chóp

SD

. Mặt phẳng

V1 , V2

3
.
8

SC

k

, giá trị của

B.

SA

( AB ' D ')

SB, SD

1
.
12

của

a SA = a và SA ⊥ ( ABCD )
là hình vuông cạnh ;
.

AM

VS . ANMO
VS . ABCD

B.

ABCD

1
.
8

D.

là hình bình hành,

và song song với

BD

M

3
.
4

là trung điểm của cạnh

lần lượt cắt các cạnh bên

bằng

1
.
6

C.

Trang 20

2
.
5

D.

1
.
4

SB

và


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Câu 4:

Cho hình chóp

IS = 2 IC

sao cho
N

. Gọi

V'

và

nhất của tỷ số

A.
Câu 5:

V

S . ABCD

, cắt các cạnh

A.

bằng

V

SD

SB

5
.
54

sao cho
SC

và

A.

17
.
18

và

và

S . AMIN

SD

và

lần lượt tại

S . ABCD

ABCD

8
.
15

M

và

. Giá trị nhỏ

D.

là hình bình hành, điểm

SM 1 SN 2
= ,
=
SA 2 SD 3

M

thuộc cạnh

SA

,

(α)
. Mặt phẳng

Q
lần lượt tại

5
.
24

và

P.

thay đổi luôn chứa

Biết thể tích của khối chóp

, khi đó giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

S . ABC

có

2V
.
5
G

lần lượt tại

S . ABC

C.

3V
.
8

là trọng tâm tam giác

SB, SC

S . AMN

C.

có đáy

B.

các cạnh

cắt các cạnh

SB

S .MNPQ

V
.
4

Cho khối chóp

chứa

AI

SC

nằm trên cạnh

bằng

thuộc cạnh

S . ABCD

I

là hình bình hành. Điểm

lần lượt là thể tích của khối chóp

B.

N

ABCD

. Mặt phẳng

V'
V

Cho hình chóp

MN

có đáy

( P)

4
.
5

điểm

Câu 6:

S . ABCD

M

và

N.

SBC

bằng

D.
. Đường thẳng

d

đi qua

G

, cắt

V1 , V
Gọi

lần lượt là thể tích của các khối chóp

. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số

B.

V
.
3

21
.
22

C.

Trang 21

37
.
33

D.

V1
V

bằng

10
.
9


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Câu 7:

Cho chóp

S . ABC

. Trên các cạnh

trọng tâm tam giác

A.
Câu 8:

ABC

3SG
.
SG '

lần lượt lấy các điểm

( A′B′C ′ )

SG

và

B.

Cho khối lăng trụ
BB′

A′, B′, C ′

SA, SB, SC

cắt

tại

SG '
.
SG

ABC. A′B′C ′

C.

G′

. Khi đó

. Gọi

SA SB SC
+
+
SA ' SB ' SC '

2SG
.
SG '

3SG '
.
SG

D.

lần lượt là trung điểm của hai cạnh

( CMN )
. Mặt phẳng

của khối chóp

là

bằng

M,N
. Gọi

G

AA′

và

V1
chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Đ ặt

C '.MNB ' A '

V2
và

là thể tích của khối đa diện

là thể tích

ABC.MNC '

. Tỷ số

V1
V2

bằng

A.
Câu 9:

2
.
3

B.

Cho khối lăng trụ

2.

ABC . A′B′C ′

C.
có thể tích bằng

AA′, BB′, CC ′
các cạnh
ABC.MNP

A.

2
V.
3

sao cho

1
.
2
V

3
.
2

D.

M , N, P
. Các điểm

AM 1 BN CP 2
= ,
=
=
AA ' 2 BB ' CC ' 3

lần lượt thuộc

. Thể tích của khối đa diện

bằng

B.

9
V.
16

C.

Trang 22

20
V.
27

D.

11
V.
18


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
ABC. A′B′C ′

Câu 10: Cho khối lăng trụ đều

. Gọi

I

là trung điểm của

AA '

( IB ' C )
. Mặt phẳng

V1

A, B
chia khối lăng trụ thành hai phần : phần chứa đỉnh

V2
còn lại có thể tích bằng

A.

1.

B.

Câu 11: Cho hình hộp

sao cho

tại . Tỉ số

1
.
A. 6

D 'Q

DD '

và phần

bằng

2
.
3

ABCD. A′B′C ′D′

M , N, P

Q

. Tỉ số

V1
V2

có thể tích bằng

C.

1
.
3

D.

1
.
2

AA′, BB′, CC ′
. Trên các cạnh

A'M 1 B 'M 2 C ' P 1
= ;
= ;
=
AA ' 3 BB ' 3 CC ' 2

lần lượt lấy ba điểm

( MNP )
. Biết mặt phẳng

cắt cạnh

DD '

bằng

1
.
B. 3

5

.
C. 6

2
.
D. 3

AA′, BB′, CC ′
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ . Trên các cạnh
lần lượt lấy ba

điểm

X , Y , Z sao cho AX = 2 A′X , BY = B′Y , CZ = 3C ′Z . Mặt phẳng ( XYZ ) cắt cạnh

DD ' tại điểm T . Tỉ số thể tích của khối XYZT . ABCD và khối XYZT . A′B′C ′D′ bằng

7
.
A. 24

7
.
B. 17

17
.
C. 7

Trang 23

17
.
D. 24


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG

Câu 13: Cho hình lập phương

AA′, BB′, CC ′
và

DD′

ABCD. A′B′C ′D′

có cạnh bằng

(α)
. Mặt phẳng

cắt các cạnh

1
2
AM = a, CP = a
3
5

M , N , P, Q
lần lượt tại

a

. Biết

. Thể tích của

ABCD.MNPQ
khối đa diện

A.

11 3
a
30

bằng

.

B.

Câu 14: Cho khối lập phương

a3
3

.

C.

ABCD. A′B′C ′D′

BB′, CC ′, DD′

.

D.

(α)
. Mặt phẳng

A

cắt các cạnh

sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đ ỉnh

bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số

A.

đi qua

11 3
a
15

M , N, P
lần lượt tại

B

2a 3
3

3
.
4

B.

1
.
2

C.

CN
CC ′

bằng

2
.
3

D.

3
.
2

BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
11.A

2.A
12.B

3.A
13.A

4.C
14.C

5.D

6.A

Trang 24

7.A

8.C

9.D

10.A


Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi TN thi THPT QG
CHƯƠNG II. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hi ệu qu ả c ủa m ột
số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
2. Nội dung thực nghiệm
Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng được ở chương II theo
hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh ch ủ đ ộng ti ến hành các
hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh THPT.
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 một số trường THPT. Số lượng học sinh trong mỗi l ớp
là 35. Lớp thực nghiệm là 12A, lớp đối chứng là 12B. Trình đ ộ nh ận th ức ở hai l ớp này đ ược
đánh giá là tương đương.
Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn.
3. Đánh giá thực nghiệm
a) Kiểm tra
Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá k ết qu ả th ực nghi ệm tác gi ả
đã tiến hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá là t ương đ ương nhau) làm bài ki ểm
tra 15 phút. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra
Thời gian làm bài: 15 phút

Câu 1:

Cho khối chóp

S . ABCD

đáy

ABCD

B ', D '

A.

VS . AB 'C ' D '
VS . ABCD

1
.
12

( AB ' D ')

SB, SD
lần lượt là trung điểm

k=

a SA = a và SA ⊥ ( ABCD )
là hình vuông cạnh .
. Gọi

, giá trị của

k

B.

. Mặt phẳng

cắt

SC

bằng.

1
.
3

C.
Trang 25

1
.
4

D.

1
.
6

tại

C'

. Đặt