Các khái niệm cơ bản về vec tơ lớp 10

VEC TƠ _ CỘNG TRỪ HAI VÉC TƠ _ NHÂN VEC TƠ VỚI 1 SỐ
I.

Các định nghĩa

1.

Vec tơ

Vec tơ là đoạn thẳng có hướng
Kí hiệu: ⃗⃗⃗⃗⃗ là vec tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B

2.

Vec tơ không: là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Kí hiệu: ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗
3.

Giá của vec tơ

A

B

Đường thẳng AB là giá của ⃗⃗⃗⃗⃗
4.

Hai vec tơ cùng phương : là 2 vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau.

A

B

C

D

AB // CD  ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương
5.

Hai vec tơ cùng hướng

2 vec tơ cùng phương thì có thể cùng hướng, ngược hướng.
A
B
C

D
N

⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗

M
.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
6.

.

Độ dài vec tơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối
Kí hiệu: |⃗⃗⃗⃗⃗ |.

7.

Hai vec tơ bằng nhau

cùng hướng
độ dài bằng nhau.

VD:

II.

Tổng 2 vec tơ

1.

Tổng 2 vec tơ.
⃗
+⃗
⃗

2.

Các quy tắc.
a) Qui tắc ba điểm
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗
b) Qui tắc hình bình hành.

c) Hệ thức trung điểm.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


A

M

B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗

M là trung điểm của AB

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =2⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O là điểm bất kì.

d) Tính chất .
( +⃗

+( ⃗

)

+⃗ =⃗ +
+⃗

⃗

.

Ví dụ: Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kì.
CMR:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + ⃗⃗⃗⃗⃗

=(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

=⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( đpcm).
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đpcm)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đpcm)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Ví dụ 2: Cho ∆ABC đều nội tiếp (O)
a. Xác định các điểm M; N; P thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Giải:
a) Dựng hình bình hành OAMB
 ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Tương tự ta dựng được N, P
b) CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

MA = MB; OA = OB; CA = CB
 M, O, C thuộc đường trung trực AB
 M, O, C thẳng hàng
c) Tứ giác OAMB là hình thoi

AM = AO

Mà ̂ = 600
 OM = OA = AM = R
 M(O).
Ta có: (⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

= ⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗
Chú ý
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

G là trọng tâm ∆ABC

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M la điểm bất kỳ)

III. Phép trừ 2 vec tơ
1)

Vec tơ đối

⃗

⃗ 

là vec tơ đối của ⃗
⃗ là vec tơ đối của

2)

Quy tắc 3 điểm
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (O, A, B bất kỳ)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


IV. Nhân vec tơ với một số
Nhân vec tơ với một số

1)

Cho ; k  R
k.

cùng hướng

nếu k

0

k.

cùng hướng

nếu k

0

|

|

2)

| || |

Tính chất
⃗)

(

⃗

k.(
Ví dụ:

CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (Vì ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ (đpcm)
V.

Chú ý
1)
2)

, ⃗ cùng phương 
thẳng hàng  ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ (k  0; ⃗  0)
⃗⃗⃗⃗⃗ (k  R)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5