TUYỂN tập NHỮNG bài HÌNH học KHÔNG GIAN TRONG đề THI CHỌN học SINH GIỎI môn TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH converted (1)

TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH.
1. LỚP 11
Bài 1: (2010 – 2011). Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Vẽ đường
cao OH của tứ diện. Đặt A = CAB, B = ABC , C = BCA, = AOH ,  = BOH ,  = COH .
Chứng minh rằng:

sin 2  sin 2  sin 2 
.
=
=
sin 2 A sin 2 B sin 2C
Bài 2: (2011 – 2012). Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy AB = a , cạnh bên SA = b .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Một mặt phẳng ( ) thay đổi quay xung quanh MN
cắt cạnh SA, BC theo thứ tự tại P và Q không trùng với S.
a. Chứng minh rằng
b. Xác định tỉ số

PA a
= .
QB b

PA
sao cho diện tích MNPQ là nhỏ nhất.
SA

Bài 3: (2012 – 2013). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD//BC) và
AD = 2BC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (DMN) cắt SC tại P.
Tính tỉ số

CP

.
CS

Bài 4: (2013 – 2014). Cho tam giác đều OAB cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc
với mặt phẳng (OAB), lấy M sao cho OM = x . Gọi E, F là các hình chiếu của A lên MB và OB.
Gọi N là giao điểm của EF và d.
Xác định x để thể tích tứ diện ABMN là nhỏ nhất.
Bài 5: (2014 – 2015). Cho tứ diện ABCD. M là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. Các
đường thẳng qua M song song với AB, AC, AD lần lượt cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)
tại B1 , C1 , D1 .
Chứng minh rằng AM đi qua trọng tâm tam giác B1C1 D1 .
Bài 6: (2016 – 2017). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung
điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại B ', D ' khác S.

1

THH – Trường THPT số 1 Phù Mỹ


Chứng minh rằng:

4 SB ' SD ' 3

+
 .
3 SB SD 2

Bài 7: (2017 – 2018). Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật. Các
điểm O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’. Đặt

OA ' A =  , OA ' B =  , OA ' D =  .
Chứng minh rằng: cos2  + cos2  + cos2  = 1 .
2. LỚP 12
Bài 1: (2009 – 2010). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi R, r lần lượt là bán kính của hình
cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp S.ABCD.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ sô

R
.
r

Bài 2: (2013 – 2014). Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, SB và SC vuông góc với nhau từng đôi
một. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho SA.SA ' = SB.SB ' = SC.SC ' .
Vẽ SH vuông góc với (A’B’C’) và cắt (ABC) tại G.
a. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC.
b. Cho SA = a, SB = b, SC = c . Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC. Chứng
minh: r =

S SAB + S SBC + S SCA − S ABC
.
a+b+c

Bài 3: (2015 – 2016). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC.
Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng
nhau.
Bài 4: (2018 – 2019). Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC. Gọi  ,  ,  lần lượt
là góc tạo bởi các mặt (ABD), (ABC), (ACD) với mặt (BCD). Hình chiếu của A trên (BCD) thuộc
miền tam giác (BCD).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = cos  + cos  .cos  + 3 cos  .cos  .cos  .

2

THH – Trường THPT số 1 Phù Mỹ