Chương 2 NHẬN DẠNG MÔ HÌNH HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM

CHƯƠNG 2
NHẬN DẠNG MÔ HÌNH HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP
QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM
2.1. Các khái niệm cơ bản về nhận dạng bằng quy hoạch thực nghiệm
- Bài toán đặt ra: Đối tượng cần điều khiển (mọi đối tượng trong đo
lường) mà ta chưa biết cả thông số và cấu trúc.
Yêu cầu: Xác định đường cong mô tả mối quan hệ giữa lượng vào và
lượng ra với một sai số cho phép nào đó.
- Nội dung của quy hoạch thực nghiệm là:
+ Áp dụng các phương pháp toán học: Phương pháp bình phương cực
tiểu, hoặc lý thuyết quy hoạch toán học v.v... để lập các phương án thí nghiệm
nhằm thu được những số liệu cần thiết nhất về một hệ thống nào đó.
+ Xử lý các số liệu đó để xây dựng một mô hình thống kê của hệ thống
trong đó có sự đánh giá về độ tin cậy của các kết quả.
- Một hệ thống mà ta chưa biết cấu trúc thì được gọi là hộp đen, thường
được mô tả bằng sơ đồ sau:

ξ

x1
x2
xi
xk

y

object

Hình 2.1: Cấu trúc hệ thống (hộp đen)
Các đại lượng tham gia vào hệ thống như sau:
2.1.1. Biến vào (Input)

Là các biến điều khiển (độc lập) ký hiệu là x 1, x2, . . . , xk. Giá trị là các
nhân tố điều khiển.
+ Véc tơ nhân tố x = ( x1, x2, . . . ,xk) thuộc X thuộc RK
Trong đó:
X: Gọi là miền điều khiển hay miền thí nghiệm.


Mỗi vectơ xi =( xi1, xi2, . . . ,xik) thuộc X gọi là một điểm thí nghiệm (1
kích thích). Nếu thực hiện một bộ n điểm thí nghiệm ta sẽ có một ma trận thí
nghiệm X, với dòng thứ i của X là điểm thí nghiệm xi = (xi1, xi2, . . . ,xik).

 x11 x12
x
x22
X =  21
 M M

 xn1 xn 2

K
K
K
K

x1k 
x2 k 
M

xnk  ( n×k )

Ví dụ:
Tốc độ động cơ phụ thuộc vào các yếu tố sau:
- Mô men cản (x1)
- Điện áp (x2)
- Tần số (x3)
Điểm 1 (x11 , x12 , x13 ) được tốc độ n1
Điểm 2 (x21 , x22 , x23 ) được tốc độ n2
..............................
Điểm n (xn1 , xn2 , xn3 ) được tốc độ nn
2.1.2. Biến ngẫu nhiên ξ (nhiễu) hoặc véc tơ ngẫu nhiên ξ
Là biến không điều khiển được.
Trong kỹ thuật thường giả thiết các tín hiệu ngẫu nhiên có:
Kỳ vọng toán học: E(ξ) = 0
Phương sai: D(ξ) = σ2
2.1.3. Biến ra (Out put)
Là biến phụ thuộc hay còn gọi là biến không bị điều khiển: ký hiệu là y.
Trường hợp tổng quát, ta xét vectơ biến ra: y = (y 1, y2, . . ., yn) nhưng ta
thường xét các đầu ra không có liên kết chéo với nhau (tức là đầu ra này không
là đầu vào của đầu ra kia), vì vậy ta riêng rẽ từng thành phần của vectơ y rồi
tổng hợp lại. Vậy ta chỉ cần xét một biến ra y là đủ.
+ Biến ra y phụ thuộc vào biến vào, vào trạng thái của đối tượng và còn
biến ngẫu nhiên ξ. Tuy nhiên ξ chỉ đóng vai trò nhiễu làm sai lệch một chút.


Nên ta có thể viết:
y = ϕ(x1, x2, . . ., xn) + ξ = ϕ(x) + ξ

(2.1)

+ Mỗi điểm kích thích đầu vào: x i = (xi1, xi2 . . . xik) cho ta một phản ứng

yi ở đầu ra:
y = ϕ(xi) + ξ = ϕ(x1, x2, ..., xn) + ξi

(2.2)

Trong đó ξi là biến ngẫu nhiên tham gia vào thí nghiệm thứ i (và có thay
đổi theo i). Ta vẫn giả thiết E(ξi) = 0 (i = 1 ÷ n).
+ Nếu ta thử nghiệm nhiều thí nghiệm trong không gian k chiều ở đầu vào
với ma trận thí nghiệm:
1
1
X =
M

1

x11
x21
M
xn1

L
L
O
L

x1k 
 y1 
y 


x2 k 
Y =  2
thì
sẽ
được
kết
quả
ở
đầu
ra
M 
L 
 

xnk 
 yn 

Với Y là ma trận cột ngẫu nhiên (vì có chứa các thành phần ξi).
2.1.4. Ví dụ
Trong quan hệ thí nghiệm, để loại trừ yếu tố nhiễu làm sai lệch mối quan
hệ giữa lượng vào xi = (xi1, xi2 . . . xik) và lượng ra y của hệ thống. Thay vì xét
quan hệ y theo x ta chuyển thành xét quan hệ E(y) theo x (với x ∈ X ∈ Rk).
E(y) = E(ϕ(x) + ξ) = E(ϕ(x)) + E(ξ) = E(ϕ(x))

(Vì E(ξ) = 0) (2.3)

Và khi đó ta kí hiệu biểu thức:
yˆ = E(y) = E(ϕ(x1, x2, . . ., xn)) gọi là hàm phản hồi hay mô hình thống kê

của hệ thống.

- Nếu mô hình của hệ thống được xây dựng sao cho có thể đúng với mọi giá trị
có thể có được của xi =( xi1, xi2 . . . xik) thuộc X thì mô hình đó gọi là mô hình toàn thể.
Ngược lại nếu mô hình chỉ được áp dụng khi vectơ nhân tố x biến thiên tại
lân cận khá bé nào đó x0 thuộc X thì mô hình đó được gọi là mô hình địa
phương.
- Nếu ta chỉ xét quan hệ yˆ = ϕ(x1, x2, . . ., xn) còn chứa các ẩn số a0,
a1, . . ., am (m+1 ẩn số).
Ta có thể viết:


yˆ = a0 +

m

∑ a jf j (x1, x2 . .. , xk )

(2.4)

1

Việc tìm các hằng số aj của ϕ(x1, x2, . . ., xn) gọi là quá trình nhận dạng mô
hình thống kê.
- Kết luận:
Bài toán đặt ra là bằng phương pháp nào đó, dựa vào kết quả của thực
nghiệm đã biết ta xác định được các tham số của ϕ(x1, x2, . . ., xn) là a0, a1, . . ., am
một cách gần đúng với độ tin cậy nào đó. Các tham số xác định được kí hiệu aµj
(j = 0 ÷ m) khi đó nếu thay các tham số a j bằng aµj ta được hàm phản hồi thực
nghiệm của hệ thống tương ứng kí hiệu là:
y = ϕˆ (x1, x2, . . ., xn) = aˆ0 +

m

∑ aµ f
j

j

(x1 , x 2 . . . ,x k )

(2.5)

1

(2.5) gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm.
2.2. Nhận dạng mô hình thống kê bằng phương pháp bình phương
cực tiểu.
2.2.1. Xác định số lượng thí nghiệm của k biến số
- Xét mô hình thống kê một đối tượng cần nhận dạng có k biến đầu vào:
yˆ = a0 +

m

∑ a jf j (x1 , x 2 ,...., x k )
j=1

- Yêu cầu bài toán cần tìm a0, a1, ..., am của mô hình thống kê bằng phương
pháp bình phương cực tiểu.
- Để xác định các tham số a j (j = 0 ÷ m) ta tiến hành bộ n thí nghiệm cho
biết ma trận thí nghiệm: X = |xij|(n× k) với xij là giá trị của biến số x j tại thí nghiệm
thứ i. Ta được kết quả: y0, y1, . . . , yn.

Để tìm được các aj với (j = 0 ÷ m) thì hiển nhiên n > m+1.
2.2.2. Nội dung phương pháp


Căn cứ vào kết quả đo được (y 0, y1, y2, . . . yn) từ ma trận thí nghiệm đầu
vào X = |xij|(n× k), hãy tìm các tham số aj sao cho

n

∑ ( y − µy )
i =1

i

2

i

→ min

(2.6)

Trong đó:
yi (i = 0÷ n): là các kết quả thí nghiệm.
yˆ : là hàm lý thuyết hay mô hình thống kê của hệ thống.

Vì các tham số a0, a1, . . ., am còn chưa biết nên tổng bình phương trong
(2.6) là một hàm số của các tham số đó ta ký hiệu là S(a0, a1, . . ., am). Ta có:
m



S(a0, a1, . . ., am) = ∑  yi − a0 − ∑ a j f j ( xi1 , xi 2 ...xik ) 
i =1 
j =1

n

2

(2.7)

Nếu giá trị tìm được các tham số a j = aˆ j với (j = 0 ÷ m) thì aˆ j là ước
lượng bình phương nhỏ nhất của aj tại bộ n giá trị thí nghiệm. Lúc đó phương
trình hồi quy thực nghiệm là:
y = aµ0 +

m

∑ aˆ
j =1

f j (x1 , x 2 . . . ,x k )

j

(2.8)

2.3. Nhận dạng mô hình thống kê tuyến tính 1 biến số
2.3.1. Phương trình đường hồi quy
Giả sử có kết quả của n lần thí nghiệm cho bởi bảng sau:

Bảng 2.1:
STT

1

2

...

n

x

x1

x2

...

xn

y

y1

y2

...

yn

y

0

x

Hình 2.2: Đường cong hồi quy thực nghiệm cần tìm


Đánh dấu các điểm trên hệ trục tọa độ ta thấy giữa x và y có tồn tại mối
quan hệ tuyến tính (ta sẽ kiểm nghiệm lại sau). Ta tìm một đường thảng gần nhất
với n điểm (hình 2.2) gọi đó là đường hồi quy thực nghiệm.
Vì bài toán có một đầu vào và một đầu ra nên đường hồi quy có dạng:

y = aˆ0 + aˆ1 .x
Hay mô hình thống kê là:

yˆ = a0 + a1 x
n

2
Khi đó: S (a0 , a1 ) = ∑ ( yi − a0 − a1 xi )
i =1

(2.10)

Ta phải tìm a0, a1 sao cho S(a0 ,a1 ) → min
Để hàm S(a0 ,a1 ) đạt cực tiểu thì ta cần tìm các điểm cực trị và chứng
minh các điểm cực trị làm cho hàm S(a0 ,a1 ) nhỏ nhất.

+ Tìm các điểm cực trị của hàm S(a0 ,a1 ):
Theo toán học ta có hệ phương trình:
n
n
n
 ∂S (a 0 , a1 )

=
−
2
(
y
−
a
−
a
x
)
=
0
na
+
a
x
=
yi
∑
i
0
1 i

∑
1∑ i
 ∂a
 0

i =1

i =1
i =1
0
⇔  n

n
n
n
2
 ∂S (a 0 , a1 ) = −2 x ( y − a − a x ) = 0
a
x
+
a
x
=
xi y i
∑
∑
∑
∑
0
i

1
i
i
i
0
1 i
 ∂a1
 i =1
i =1
i =1
i =1

suy ra:
na 0 + a1 n x = n y

a 0 n x + a1 n x 2 = n x. y

với: x =
x2 =

1 n
∑ xi
n i =1
1 n 2
∑ xi
n i =1

1 n
∑ yi
n i =1

;

y=

;

x. y =

1 n
∑ xi y i
n i =1

Chia cả 2 vế của hệ phương trình trên cho n ta được:


a 0 + a1 x = y

a 0 x + a1 x 2 = x. y

Giải hệ phương trình này ta tìm được:
a0 =
a1 =

y x 2 − x xy
x2 − x

2

xy − x. y

x2 − x 2

Vậy hàm S(a0, a1) đạt cực tiểu tại điểm (a0, a1). Ta có thể viết:
y x 2 − x .xy

aˆ0 = a0 min =

aˆ1 = a1 min =

x2 − x 2

xy − xy
x2 − x 2

Suy ra:
2

aˆ0 =

y x 2 − x .xy + y.x − y.x
x −x
2

2

2

2

=

y(x2 − x )
x2 − x

2

−x

( xy − x. y )
x2 − x

2

= y − aˆ1 x

aˆ0 , aˆ1 là ước lượng bình phương nhỏ nhất của a0, a1

- Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm với 1 biến số là:
yˆ = y +

xy − x. y
x2 − x

2

( x − x ) ⇔ y − y = aˆ1.( x − x)

(2.14)

2.3.2. Hệ số (hàm) tương quan

Hàm tương quan Rxy cho biết mối quan hệ giữa đại lượng đầu ra với đại
lượng đầu vào (hay giữa biến y và biến x). Từ giá trị của hàm tương quan ta biết
được mức độ quan hệ giữa x và y.
- Trong phương trình hồi quy thực nghiệm:
yˆ = y+

xy-x.y
x 2 -x 2

(x - x )

Ta đặt μ 11=xy- xy là mô men trọng tâm của đại lượng ngẫu nhiên quy
tâm. Ta có:


μ
y- y = 11 (x-x)
x2 -x2

(2.15)

- Khi tính phương sai của sai số ngẫu nhiên x:
(xi -x)2 n xi 2 n 2xi
D=σ =
=
x+x2 =x2 -x2
∑
∑
∑
n

i=1
i=1 n
i=1 n

(2.16)

μ11
(x - x)
σ 2x

(2.17)

2
x

n

Thay (2.16) vào (2.15) suy ra: y - y =

- Hoàn toàn tương tự, ta có thể coi y là đầu vào, x là đầu ra, ta xây dựng
biểu thức thực nghiệm của x theo y là:
μ
x- x= 11
(y- y) (trong đó µ11 đối xứng giữa x và y)
σ 2y

(2.18)

(Với: σ 2y =y2 - y2 )
Từ các biểu thức (2.17), (2.18) ta xác định được hệ số tương quan giữa x

và y là:
μ
xy-x.y
R xy = 11 =
σ x .σ y
x2 -x2 . y2 -y2

Hay viết lại:
R xy =

Suy ra:

xy-x.y x 2 -x 2
x 2 -x 2

ˆ1=R xy .
a

y 2 -y 2

= aˆ 1.

σx
σy

σy
σx

Phương trình hồi quy còn được viết:
y - y = aˆ 1 (x - x) = R xy

σy
σx

( x - x)

* Nhận xét về hệ số tương quan:
- Phương trình hồi quy của y đối với x có dạng:
y = aˆ 0 + aˆ 1x

(với

aˆ 1 = R xy .

σy
σx )

- Phương trình hồi quy của x đối với y có dạng:


x = aˆ '0 + aˆ 1' y

(với

aˆ 1' = R xy .

σx
σy

)

- Ta nhận thấy:
Hệ số aˆ1 chính là hệ số góc của đường thẳng D: y = aˆ0 + aˆ1 x
Hệ số aˆ1' chính là hệ số góc của đường thẳng D': x = aˆ0' + aˆ1' y
Ta cũng dễ dàng nhận thấy aˆ1 . aˆ1' = R2xy suy ra Rxy = aˆ1.aˆ1' suy ra hệ số
tương quan chính là trung bình nhân của 2 hệ số hồi quy.
Khi Rxy = 0 thì aˆ1 = 0 và aˆ1' = 0 nghĩa là cho ta biết 2 đường thẳng D và D'
song song với các trục toạ độ tức là hai đường D và D' là thẳng góc với nhau.
Đồng thời 2 biến x, y là độc lập nhau không có mối quan hệ với nhau.
Khi Rxy = ± 1 thì aˆ1 = 1/ aˆ1' suy ra 2 đường này trùng nhau vì 2 đường thực
chất là 1: y − y = aˆ1 ( x − x ) ⇔ x − x = aˆ1' .( y − y ) trong trường hợp này giữa x và y có
mối quan hệ bằng một đường thẳng duy nhất.
Tóm lại một cách tổng quát là góc giữa 2 đường hồi quy càng bé thì tương
quan giữa x và y càng chặt trẽ.
Khi Rxy > 0 thì x, y có tương quan dương (cùng tăng)
Khi Rxy < 0 thì x, y có tương quan âm (x tăng, y giảm hoặc ngược lại)
Ta luôn có -1 ≤ Rxy ≤ +1
Rxy ≥ 0,5 thì x, y có quan hệ tuyến tính.

2.3.3. Các ví dụ áp dụng
a. Ví dụ 1
Khi tiến hành thí nghiệm về vật liệu của một sun điện trở ta nhận được
quan hệ sau:
Số TT
1
2
3
4
0
xi ( t ic )

0,5
9,7
19,2
30,5
yi ( Ri )
1,01
1,02
1,07
1,13
Tìm phương trình đường hồi quy thực nghiệm.
Bài làm

5
40,2
1,18

6
49,5
1,26


Từ kết quả cho trên bảng ta có thể biểu diễn mối quan hệ trên bằng đồ thị
như hình vẽ:

R

t0
Ta nhận thấy mối quan hệ có thể là tuyến tính.
Ta tính hệ số liên quan.
Rxy =

xy − x.y σ x
x2 − x2 σ y

Trong đó:
σ x = x2 − x2
σ y = y2 − y2
6

x=

∑x
i =1

i

6

=

149,6
= 24,93( 0 C )
6

=

6,67
= 1,1116 (Ω)
6

6

y=

∑y
i =1

6
n

x2 = ∑
i =1
n

y2 = ∑
i =1

xy =

i

2

xi
5459,5
=
= 909,92( 0 C ) 2
n
6
2

yi
7,46
=
= 1,244(Ω) 2
n
6

1 6
1
xi y i = (0,5.1,01 + 9,7.1,02 + 19,2.1,07 + 30,5.1,13 + 40,2.1,18 + 49,5.1,26) = 29,2
∑
6 i =1
6

σ x = x2 -x2 = 909,92-24,932 =16,98
σ y = y2 -y2 = 1,244-1,11162 =0,091

Suy ra:
xy-x.y σ 29,2-24,93.1,1116 16,98
R xy = 2 2 . x =
.
=0,96
288,4
0,091
x -x σ y

Vậy ta kết luận quan hệ giữa y và x (R và t0) là quan hệ tuyến tính.

Phương trình hồi quy:
y− y
x− x
= Rxy
σy
σx

→

y − 1,1116
0,091

= 0,96

x − 24,93
16,98

→ y = 0,0051x + 1,1116 − 0,128 = 0,0051x + 0,9833

Suy ra: R= 0,9833+0,0051.t0( Ω )
Rt = R0(1+ α t)
b. Ví dụ 2
Khi thực nghiệm xác định quan hệ giữa tốc độ và mômen cản (dòng điện
phần ứng) hay chính là đặc tính cơ. Ta được quan hệ sau:
Lần TN
Ii (xi)
ni (yi)

1
0

1500

2
3
1498

3
4
6
9
1495
1494
(Động cơ 1,2 KW)

5
12
1490

6
13,5
1489

Tìm phương trình hồi quy thực nghiệm.
Bài làm:
Từ việc tính toán các thông số ta lập được bảng sau:
TT
1
2
3
4

5
6
7
Tổng
TB

xi (Ii)
0
3
6
9
12
13,5
15
58,5
8,357

yi (ni)
1500
1498
1495
1494
1490
1489
1485
10.451
1493

xiyi
0

4.494
8.970
13.446
17.880
20.101,5
22.275
87.165,5
12.452,4

xi2
0
9
36
81
144
182,25
225
677,25
96,75

Từ bảng trên ta tính được:
x = 8,357

suy ra ( x )2 = 69,84

x 2 = 96,75
y = 1493

suy ra ( y )2 = 2.229.049

y 2 = 2.229.073
xy = 12.452,4 và x . y = 8,385.(1493) = 12.477

yi2
2.250.000
2.244.004
2.235.025
2.232.036
2.220.100
2.217.121
2.205.225
15.603.511
2.229.073

7
15
1485


suy ra σ x = x 2 − ( x) 2 = 96,75 − 69,84 = 5,2
σ y = y 2 − ( y ) 2 = 4,9

suy ra ra:
Rxy =

xy − x. y σ x
.
= - 0,966
2
2

x −x σy

Vậy quan hệ y và là quan hệ tuyến tính :
n=f(I) là quan hệ tuyến tính.
Đặt yˆ = a0 + a1 x
Ta có phương trình:
y− y
x−x
= Rxy .
σy
σx
y − 1493 −0,966( x − 8,357)
⇒
=
419
5, 2

→ y = 1493 − 0,91( x − 8,357) → y = 1500,6 − 0,91x
Suy ra phương trình hồi quy là:
n=1500,6 - 0,91I
Ví dụ 3:
Trong công nghiệp dệt ta cần tìm công thức liên hệ giữa độ bền của sợi
vải và độ ẩm của không khí.

Độ ẩm k2(% )
Lần TN
1
36
2
38

3
40
4
58
5
70
6
80
7
82
8
93

1
2
2,4
2,2
2,8
3,0
3,1
3,2
2,9

Độ bền của sợi qua các lần thí nghiệm
2
3
4
5
6
2,1

2,1
1,4
2
1,9
2,6
2,5
2,5
2,4
2,6
2,4
2,2
2,4
2,3
2,3
2,9
3,0
2,6
2,7
2,8
3,1
3,1
3,2
3,1
3,1
3,3
3,1
3,1
2,1
2,9
3,2

3,2
3,2
3,2
3,2
2,9
3,0
3,1
3,0
3,1

Độ bền TB
2
2,5
2,3
2,8
3,1
3,1
3,2
3,0


2.4. Mô hình tuyến tính k biến số
2.4.1. Phương trình hồi quy
- Giả sử xét một đối tượng có k đầu vào, một đầu ra với mô hình thống kê:
yˆ = a0 + a1x1 + aixi + akxk

- Từ kết quả của nhiều lần thí nghiệm :
Với các giá trị đầu vào xi = (xi1, xi2, .... xik) thì ta có giá trị đầu ra yi (i=1:n).
Và được biểu diễn dưới dạng bảng sau:
Bảng 2.2

STT

x0

x1

x2

...

xk

y

1

1

x11

x12

...

x1k

y1

2

1

x21

x22

...

x2k

y2

...

...

...

...

...

...

...

n

1

xn1

xn2

...

xnk

yn

- Nhiệm vụ đặt ra là phải nhận dạng mô hình thống kê, cần tìm các tham
số a0, a1,......,ak. Ta sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu.
n

- Ta có hàm : S(a0, a1, ..., ak) =

∑(y
i =1

i

− a 0 - a 1 x i1 - ...... - a k xik ) 2

Tương tự mô hình tuyến tính một biến số, ta cũng cần tìm a 0, a1,......,ak sao
cho S(a0, a1,......,ak) đạt cực tiểu.
+ Xét điều kiện cần của cực trị:
∂(a 0 , a1 ,......,a k )
=0
∂a j

voi

j = 0, k

Tức ta cần giải hệ (k+1) phương trình:


 ∂S (a0 , a1 ,..., ak )
=0

∂a0

∂S (a0 , a1 ,..., ak )
=0

∂a1


...

 ∂S (a0 , a1 ,..., ak )
=0

∂ak


- Với những phép toán thông thường thì việc giải hệ phương trình trên là
điều khó khăn, và việc chứng minh các a 0, a1,......,ak vừa tìm được là aˆ0 , aˆ1 ,..., aˆk
là điều không thể thực hiện được. Vì vậy trong toán quy hoạch người ta đưa ra
công thức công nhận như sau:

+ Từ bảng kết quả thí nghiệm ta có ma trận thí nghiệm đầu vào và ma trận
đầu ra là:
1 x11 ... x1k 
1 x ... x 
21
2k 

X = .
. ... . 


. ... . 
.
1 xn1 ... xnk 

 ( n× k )

 y1 
y 
 2
Y = . 
 
. 
 yn 
  ( n x1)

Và các ma trận:
 a1 
a 
 2

a = .  ;
 
. 
 ak 
 

 aˆ1 
 aˆ 
 2
ˆa = . 
 
. 
 aˆk 
 

+ Ta có kết quả (công nhận) :

aˆ = amin = (XT.X)-1(XT.Y)
Trong đó:
XT : là ma trận chuyển vị của X.
XT : là ma trận (k+1) x n
X : là ma trận n x (k+1)
Đặt M = XT .X là ma trận vuông (k+1)x(k+1)
Tổng quát : det(M) ≠ 0 ( ma trận khả nghịch )


Suy ra: aˆ = M-1.XT.Y sau khi tính ra aˆ , ta có phương trình hồi quy thực
nghiệm :

y = aˆ0 + aˆ1 x1 + aˆ2 x2 + ... + aˆk xk

- Ta sử dụng phần mềm Matlab để tính aˆ :
>> x = [1 x11 ... x1k ; 1 x21 ... x2k ; ... ; 1 xn1 ... xnk] ;
>>y = [ y1 y2 ... yn] ;
 y1 
y 
 2
T
>>Y = y ; % được ma trận cột Y = . 
 
. 
 yn 
 

>> C = X' ; %C = XT
>> M = C*X ; % XT . X
>> D = inv(M) ; % D = M-1
Suy ra :
aˆ =D*(C*Y)
 aˆ1 
 aˆ 
 2
. 
ˆ
a
=
Ta có :
 
. 
 aˆk 
 

Suy ra phương trình hồi quy thực nghiệm :

y = aˆ0 + aˆ1 x1 + aˆ2 x2 + ... + aˆk xk
2.4.2. Ví dụ
Nhận dạng một mô hình biểu diễn sự phụ thuộc giữa y và 2 biến x 1 và x2
trên cơ sở quan sát sau:
Lần thí nghiệm
1
2
3
4
5

x1
2
2
18
2
6

x2
1
2
10
4
8

y
10

12
17
13
15


6
7
8
9
10

3
5
3
9
10

4
7
3
10
11

Giải :
1 2 1 
10
1 2 2 
12



X= 
; Y =  
. .
.
.


 
1 10 11
18
10 50 60 


XT . X = M = 50 336 398
60 348 480
10 
1 1 ... 1   
137 
12




XT .Y =  2 2 ... 10  .   = 756
...
1 2 ... 11  
908
18 

Suy ra :
 2876 − 120 − 260
1


M-1 = ( XT . X )-1 =
. − 120 1200 − 980
7160 
− 260 − 980 960 

Suy ra:
 0,3871


aˆ = M . (X .Y) =  0,1286 
0, 6174 
-1

T

Ta có phương trình :
y = 9,3871 + 0,128x1 + 0,6174x2
Dùng matlab :
>>X = [1 2 1 ; 1 2 2 ; ... ; 1 10 11];
>>y = [10 12 17 ... 18];
>>Y= y'
>>C = X' ; %C = XT
>>M = C*X;
>>D = inv (M) ; %D = M-1

10
14
12
16
18


>> aˆ = D*C*Y
 0,3871


>> aˆ =  0,1286 
0, 6174 

2.5. Nhận dạng mô hình thống kê tuyến tính của nhiều hàm số
Xét mô hình thống kê tuyến tính có quan hệ giữa đầu vào và đầu ra được
mô tả bởi phương trình tổng quát:
m

yˆ = a0 + ∑ a j . f j ( x1 , x2 ,..., xk )
j =1

Trong đó: fj (x1 ... xk ) (với j = 1, m ) là các hàm số đã biết.
Để thống nhất ký hiệu ta đưa thêm một hàm f 0 = (x1, ..., xk) = 1 (Với
mọi x1,..., xk ∈ Rk tức là f0 = (x j1 , ... , x jk ) = 1 với mọi i = 1, n ), lúc đó:
m

yˆ = ∑ a j f j ( x1 ,..., xk )
j =0

m

m

j =1

j =1

i
Gọi: yi = ∑ a j f j ( xi1...xik ) = ∑ a j f j ( x )

( i = 0÷ k )

Và dùng các công thức công nhận:
 a0 
a 
 1
a = .  ;
 
. 
 am 
 

 x11
 ...
X =
 xi1

 xn1
1


1
F=
.

1

 aˆ0 
 aˆ 
 1
aˆ = . 
 
. 
 aˆm 
 

x12
...
xi 2
xn 2

... x1k 
... ... 
... xik 

... xnk 

f1 ( x1 ) .
f1 ( x i ) .
.

.
n

f1 ( x ) .

f m ( x1 ) 

fm ( xi ) 
. 

f m ( x n )  ( m x ( m+1))

Từ ma trận thí nghiệm X và ma trận F suy ra ma trận đầu ra:


 y1 
y 
Y =  2
.
 
 yn 

Mục đích ta phải tìm ma trận :
 aˆ0 
 a0 
 aˆ 
a 
1


aˆ =
= min  1 
 ... 
 ... 
 
 
 aˆm 
 am 

Đặt M = FT . F Suy ra :

aˆ =M-1 . (FT .Y) = (FT . F)-1 . (FT .Y)
Vậy khi đó ta có phương trình hồi quy thực nghiệm:

yˆ = aˆ0 + aˆ1 f1 ( x1 , x2 ,..., xk ) + ... + aˆm f m ( x1 , x2 ,..., xk )
Ví dụ:
Hãy nhận dạng một mô hình thống kê.
yˆ = aˆ0 +

aˆ 1
+ aˆ2 .x1.x2
x1 + x2

Biết người ta thí nghiệm được các kết quả sau:
Lần thí nghiệm
1
2
3
4
5

6
Bài làm:
0, 7 0,8 
 0,5 0,9 
 ;
X =
 ...
... 


 0,9 0, 4 

Ta chọn:

x1
0,7
0,5
0,4
0,3
0,11
0,9
8, 45 
 8,13 

Y =
 ... 


9,99 

f0(x1,x2) = 1

Và đã biết:
1

f1 (x1,x2) = x + x
1
2

x2
0,8
0,9
0,1
0,7
0,5
0,4

y
8,45
8,13
16,98
11,13
15,19
9,99


f2 (x1,x2) =x1.x22
Suy ra :
 1 0, 667 0, 448 
1

...
... 

F=
...
...
... 


 1 0, 769 0,144 

Suy ra :
6.817 1,173 
 6

M = F .F =  6,817 4,325 0,845 
 1,173 0,845 0, 408
T

Suy ra :
M

−1

 5,5229 −3,1834 −8,8909 
=  −3,1839 1,9713
4,8275 
 −8,8937 4,8293 17, 4216 

 69, 77 



Ta có: F .Y = 89, 4683
10,5558 
T

Suy ra:
 6, 6241 
)
−1
T
a = M .F .Y =  5,1863 
 −4,5453

Suy ra phương trình hồi quy thực nghiệm:
yˆ = 6,6241+

5,1863
- 4,5453.x1.x22
x1 + x 2