Chương 4 NHẬN DẠNG THAM SỐ MÔ HÌNH ARMA

CHƯƠNG 4
NHẬN DẠNG THAM SỐ MÔ HÌNH ARMA
4.1. Các khái niệm cơ bản
4.1.1. Bài toán nhận dạng mô hình ARMA
Thực tế bắt gặp lớp mô hình không liên tục biểu diễn mối quan hệ vào ra
cho một hệ thống điều khiển truyến tính (Hệ thống điều khiển số). Khi đó mô hình
hệ thống được biểu diễn dưới dạng rời rạc và bằng hàm truyền dưới dạng toán tử z
gọi là mô hình ARMA. Như vậy, bài toán nhận dạng lúc này là bài toán nhận dạng
mô hình rời rạc hay nói cách khác là bài toán nhận dạng mô hình ARMA.
- Xét mô hình cho bởi hàm truyền:
W ( z) =

1 + b1 z −1 + ... + bnb z − nb
Y ( z)
= K.
U (z)
1 + a1 z −1 + ... + a na z −na

(4.1)

(4.1) gọi là hàm truyền số của mô hình rời rạc dưới dạng toán tử Z.
- Cũng giống như nhận dạng ở mô hình liên tục, ta vẫn tiến hành quan sát các
tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) từ đó là cơ sở để dựa vào thuật toán đi tìm các
tham số ai và bj. Và ở đây ta cũng sẽ có hai bài toán nhận dạng:
+ Nhận dạng chủ động:
Chủ động lựa chọn tín hiệu vào u(t) là tín hiệu ồn trắng (egodic), nghĩa là có:
kỳ vọng toán học mu = 0 và phương sai su (ω ) = 1 .
+ Nhận dạng bị động:
Ta không lựa chọn được tín hiệu vào u(t).
- Từ mô hình (4.1), xét khi nnb= 0 thì:
W ( z) =

Y ( z)
1
= K.
−1
U ( z)
1 + a1 z + ... + a na z −na

(4.2) gọi là mô hình AR

- Từ mô hình (4.1), xét khi nna = 0 thì:
W ( z) =

Y ( z)
= K .(1 + b1 z −1 + ... + bnb z −nb )
U ( z)

(4.3) gọi là mô hình MA

4.1.2. Bài toán tương đương mô hình chuẩn
Ta chuyển bài toán tổng quát với hàm truyền có hệ số khuếch đại bằng K về
dạng bài toán có hệ số khuếch đại bằng 1.


K

u

W1(z)

y

Hình 4.1: Mô hình hệ số khuếch đại 1

Khi đó hàm truyền đạt của W1(z):
W ( z) =

Y ( z ) 1 + b1 z −1 + ... + bnb z − nb
=
U ( z ) 1 + a1 z −1 + ... + a na z −na

(4.4)

(4.4) gọi là hàm truyền của mô hình bải toán chuẩn
Như vậy ta đã chuyển được mô hình bải toán về dạng chuẩn với tín hiệu vào
là: mu = 0 và su (ω ) = K
4.2. Nhận dạng tham số mô hình AR theo phương pháp Yule –Walker
Từ hàm truyền của mô hình AR chuẩn:
W ( z) =

Y ( z)
1
=
−1
U ( z ) 1 + a1 z + ... + a na z −na

Ta thực hiện phép chuyển về miền gốc thời gian t:
na

y n + ∑ ak . y n − k = u n

(4.5)

k =1

Nhân cả hai vế của (4.5) với yn-m, ta được:
na

yn−m . yn + ∑ ak yn−m . yn−k = yn−m .un
k =1

Theo công thức công nhận, tính giá trị trung bình theo công thức egodic ta
được:
na

ry (mTa ) + ∑ a k .ry ((m − k ).Ta ) = ryu (mTa )
k =1

Gọi gm = g(mTa) là giá trị hàm trọng lượng của mô hình AR tại các điểm
trích mẫu, do đối tượng có hệ số khuếch đại bằng 1 nên ta có:
1
gm = 
0

Khi m = 0
Khi m ≠ 0

Mặt khác, theo mô hình tương đương khi chuyển từ mô hình tổng quát sang
mô hình chuẩn thì phải có điều kiện tín hiệu vào có su (ω ) = K , suy ra:

K
gm = 
0

Khi m = 0
Khi m ≠ 0

Khi đó ta có:
ryu (mTa ) = ruy (−mTa ) = ru (mTa ) g − m = Kg − m

Lúc này ta được:
 K

ryu (mTa ) =  0
 Kg
 −m

Khi m = 0
Khi m > 0
Khi m < 0

Suy ra:
 K

ry (mTa ) + ∑ a k ry ((m − k )Ta ) =  0
k =1
 Kg
 −m
na

Khi m = 0
Khi m > 0
Khi m < 0

(4.6)

Viết lại biểu thức (4.6) khi có m=0, 1, …, na dưới dạng ma trận ta được
phương trình:
ry ( −Ta )
 ry (0)
 r (T )
ry (0)
 y a
 ...
...

ry (naTa ) ry ((na + 1)Ta )

...
ry (− naTa ) 
K 

... ry ((−na − 1)Ta ) 1   0 
.
= 
 a   ... 
...
...


 
...
ry (0)
0


(4.7)

(4.7) được gọi là phương trình Yule –Walker và với việc tìm các tham số aj
và K từ tín hiệu ra y(t) gọi là phương pháp Yule –Walker.
4.3. Nhận dạng tham số mô hình MA
Từ hàm truyền đạt của mô hình MA chuẩn:
W ( z) =

Y ( z)
= (1 + b1 z −1 + ... + bnb z − nb )
U (z)

Khi ta kích thích vào đối tượng tín hiệu ổn trắng: mu = 0 và su (ω ) = K . Bài
toán đặt ra là đi tìm K của tín hiệu vào u(t) và các tham số của mô hình:
 b1 
b 
b= 2
 ... 
 
bnb 

Để nhận dạng mô hình này ta không đi theo phương pháp xây dựng được
một phương trình như ở mô hình AR mà tìm cách chuyển mô hình MA về mô hình
AR tương đương.

Theo nguyên lý đối ngẫu của Makov: Với mỗi một mô hình MA bao giờ
cũng tồn tại một mô hình AR tương đương bậc vô hạn:
nb

1 + ∑ bn z −n =
n =1

1
∞

(4.9)

1 + ∑ cn z −n
n =1

và giữa các thông số b và c có quan hệ truy hồi:
nb −1

c n + nb = ∑ bi +1c n +i

; n ≥1

(4.10)

i =0

Như vậy ta đã chuyển bài toán nhận dạng các tham số b thành nhận dạng các
tham số c sau đó tính ngược lại tìm tham số b

Mặc dù vậy việc nhận dạng trên thường gặp 2 vấn đề cần giải quyết như sau:
+ Mô hình AR tương đương bậc vô hạn nên ta cần phải chuyển về hữu hạn s
nào đó mà vẫn đảm bảo sai số cho phép, nghĩa là (4.9) trở thành:
nb

1 + ∑ bn z −n =
n =1

1
s

1 + ∑ cn z −n
n =1

+ Việc tính ngược b từ các c theo (4.10) đồng nghĩa với việc tìm nghiệm hệ
phương trình có số phương trình nhiều hơn số ẩn số cần tìm (c nhiều số hạng hơn
b) dẫn đến thường xảy ra vô nghiệm. Vì vậy ta thường chọn số phương trình (chọn
s):
- Chọn s = 2nb, khi đó sẽ có đúng nb phương trình và ta sử dụng công thức
(4.10) để tìm b
- Chọn s > 2nb, khi đó không thể sử dụng (8) để tìm các thông số b được mà
phải sử dụng trực tiếp công thức (4.11)
4.4. Nhận dạng tham số mô hình ARMA
4.4.1. Nhận dạng chủ động
Khi ta chủ động tác động tín hiệu ồn trắng (egodic) vào mô hình ARMA thì
thay vì nhận dạng trực tiếp mô hình tat hay bằng mô hình dạng:
u(t)

Mô hình
MA

x(t)

Mô hình
AR

Hình 4.2: Tách mô hình ARMA

y(t)


4.4.2. Nhận dạng bị động
Xét bài toán tổng quát khi nhận dạng mô hình ARMA, đó là bải toán nhận
dạng bị động (passive hay online)
Vì tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong trường hợp này là bất kỳ, vì vậy để nhận
dạng được tham số của mô hình ta phải đo cả 2 tín hiệu u(t) và y(t).
Bải toán nhận dạng passive được mô tả được sơ đồ hình 4.3:
Nhiễu
uk

Đối tượng
ARMA
B(z)

yk
B(z)

ek
Hình 4.3: Sơ đồ nhận dạng bị động mô hình ARMA
Để nhận dạng mô hình này ta có 2 cách:

+ Nhận dạng các tham số của mô hình trực tiếp từ các dãy giá trị vào ra đo
được với tổng bình phương sai lệch ek là nhỏ nhất.
+ Nhận dạng các tham số của mô hình bằng cách chuyển về bài toán chủ
động và sử dụng các thuật toán nhận dạng chủ động đã biết để tìm các tham số của
mô hình đối tượng.
* Nhận dạng bị động trực tiếp với tín hiệu vào là tiền định:
Để đơn giản ta chuyển mô hình đối tượng về dạng:
W ( z) =

~ ~
~
b0 + b1 z −1 + ... + bnb z − nb
−1

1 + a1 z + ... + a na z

− na

=

B( z )
A( z )

~

Với: bi = Kbi
Có thể viết dưới miền thời gian:
~
~
~

y k + a1 y k −1 + ... + a na y k − n = b0 u k + b1u k −1 + ... + bn u k −n
a

b

b


Mô hình trên chỉ có thể đúng khi đo chính xác các giá trị vào ra vì nó thường
tồn tại sai số:
na
nb
~
ek = y k + ∑ ai y k −i −∑ bi u k −i
i =1

i =1

Ta có q là tổng bình phương của sai lệch:
Q=

N

∑e

k = na

2
k

→ min

Để điều trên xảy ra ta có thuật toán sau:
- Lập ma trận y và ma trận M, S:
 y na 
 ... 
y= ;
 ... 
 
 yN 



M =




y na ... y 0
y na ... y1
...
y N −1 ... y N −na

u na ...u na −nb 
u na +1 ...u na −nb +1 
;
...

u N ...u N −nb 

S=MT.M

- Kiểm tra ma trận S phải xác định dương và không suy biến.
- Tính các tham số của mô hình:
 − a1 
 . 


 . 


− a na 

−1
T
p=S M y= ~ 
b0


 . 
 . 
 ~ 
 bnb 