Tài liệu Chương I: Một số mô hình và phương pháp tối ưu docx

Chng I
MT S MÔ HÌNH VÀ PHNG PHÁP TI U
1. Mô hình quy hoch tuyn tính
1.1. Các bc cn thit khi áp dng phng pháp mô hình hoá
− Trc ht phi kho sát, phát hin vn đ cn gii quyt.
− Phát biu các điu kin ràng buc, mc tiêu ca bài toán di dng đnh tính.
Sau đó la chn các bin quyt đnh / các n s và xây dng mô hình đnh lng (còn
gi là mô hình toán hc).
− Thu thp s liu, xác đnh phng pháp gii quyt.
− nh ra quy trình gii / thut gii. Có th gii mô hình bng cách tính toán
thông thng. i vi các mô hình ln, gm nhiu bin và nhiu điu kin ràng buc
cn lp trình và gii mô hình trên máy tính.
− ánh giá kt qu. Trong trng hp phát hin thy có kt qu bt thng hoc kt
qu không phù hp vi thc t, cn kim tra và chnh sa li quy trình gii hoc mô hình.
− Trin khai các phng án tìm đc trên thc t.
Các thut ng sau thng gp khi áp dng phng pháp mô hình hoá:
− ng dng toán / Toán ng dng (Mathematical Applications hay Applied
Mathematics).
− Vn trù hc (Operations Research vit tt là OR).
− Khoa hc qun lí (Management Science vit tt là MS)
1.2. Mô hình quy hoch tuyn tính
Phát biu mô hình
Vi mc đích tìm hiu bc đu, xét mô hình toán hc sau đây, còn gi là mô
hình quy hoch tuyn tính hay bài toán quy hoch tuyn tính (BTQHTT), mà trong đó
chúng ta mun ti u hoá (cc đi hoá hay cc tiu hoá) hàm mc tiêu:
z = c
1
x
1
+ c
2

x
2
+ c
n
x
n

→
Max (Min)
vi các điu kin ràng buc:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+... +a
1n
x
n

≤
b
1
a
21
x
1

+ a
22
x
2
+... +a
2n
x
n

≤
b
2
...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+... +a
mn
x
n

≤
b
m
x

1
, x
2
,..., x
n
0 (điu kin không âm)
≥
Ví d
vi cá
1
+ 2x
2
≤ 60
Cn tìm c các bin quyt đnh x
1
, x
2
đ các ràng buc đc tho mãn
và hà
 nh sau: Gi s mt xí nghip sn xut hai loi
sn p
ý ngha minh ho và giúp hiu bn cht vn đ.
phng án
kh th
− Trc ht chúng ta v đ th 4x
1
+ 2x
2
= 60 bng cách xác đnh hai đim trên
đ th

: z = 8x
1
+ 6x
2
→ Max
c ràng buc:
4x
2x
1
+ 4x
2
≤ 48
x
1
, x
2
≥ 0
giá tr ca cá
m mc tiêu đt giá tr ln nht.
Bài toán này có ý ngha kinh t
hm I và II.  sn xut ra mt đn v sn phm I cn có 4 đn v nguyên liu loi
A và 2 đn v nguyên liu loi B, các ch tiêu đó cho mt đn v sn phm loi II là 2
và 4. Lng nguyên liu d tr loi A và B hin có là 60 và 48 (đn v). Hãy xác đnh
phng án sn xut đt li nhun ln nht, bit li nhun trên mi đn v sn phm bán
ra là 8 và 6 (đn v tin t) cho các sn phm loi I và II.
Phng pháp đ th
Phng pháp đ th có
Bc 1: V min ràng buc / min các phng án kh thi, là tp hp các
i (các phng án, nu nói mt cách ngn gn). Mi phng án đc th hin qua
b s (x

1
, x
2
) còn gi là véc t nghim, tho mãn tt c các ràng buc đã có (xem hình
I.1).
: (x
1
= 0, x
2
= 30) và (x
2
= 0, x
1
= 15).



30
4x
1
+ 2x
2
= 60
O
4
8
12
x
1
2x

1
+ 4x
2
= 48
x
2
6 15
3
24
A
B
C
Hình Ph áp đ t ii bài toán hoch n tính I.1. ng ph h g quy tuy

 th trên là mt đng thng chia mt phng làm hai na mt phng: mt phn
gm các đim (x , x ) tho mãn 4x + 2x ≤ 60; mt phn tho mãn 4x + 2x ≥ 60. Ta
tìm đ
a mt phng tho mãn 2x + 4x ≤
48.
n hai ràng buc đu tiên. Tuy nhiên, đ tho mãn điu kin không âm ca các
bin,
1 2
Cách 1: Dù á tr ca x
1
, x
2
mà z có nhng mc
giá tr khác nhau.
24 là bi s chung ca 6 và 8 đ vic tìm to đ các đim ct hai
trc t
= 6). Chúng ta nhn thy, nu tnh tin song song đng đng
mc l
1 2 1 2 1 2
c na mt phng tho mãn 4x
1
+ 2x
2
≤ 60.
− Tng t, có th v đ th 2x
1
+ 4x
2
= 48 bng cách xác đnh hai đim thuc đ

th (x
1
= 0, x = 12) và (x = 0, x = 24). Sau đó tìm n
2 2 1 1 2
− Lúc này, giao ca hai na mt phng tìm đc trên cho ta tp hp các đim (x
1
, x
2
)
tho mã
ta ch xét các đim nm trong góc phn t th nht. Vy min các phng án kh
thi là min gii hn bi t giác OABC (còn gi là đn hình vì là min to nên bi giao
ca các na mt phng).
Bc 2: Trong min (OABC) ta tìm đim (x , x ) sao cho
z = 8x
1
+ 6x
2
đt giá tr ln nht.
ng đng đng mc. Tùy theo gi
− V đng đng mc: 8x
1
+ 6x
2
= c  mc c = 24, (ta có th chn giá tr c bt
kì, nhng chn c =
o đ thun li hn). D dàng tìm đc hai đim nm trên đng đng mc này là
(x
1
= 0,

x
2
= 4) và (x
2
= 0, x
1
= 3). Các đim nm trên đng đng mc này đu cho giá tr hàm
mc tiêu z = 24.
− Tng t, có th v đng đng mc th hai: 8x
1
+ 6x
2
= 48 đi qua hai đim (x
1
=
0, x
2
= 8) và (x = 0, x
2 1
ên trên theo hng ca véc t pháp tuyn

n
r
(8, 6) thì giá tr ca hàm mc tiêu z = 8x
1
+
6x
2
tng lên.
Vy giá tr z ln nht đt đc khi đng đng mc đi qua đim B(12, 6) (tìm

đc x
1
= 12, x
2
= 6 bng cách gii h phng trình 4x
1
+ 2x
2
= 60 và 2x
1
+ 4x
2
= 48).
iên ca
đn h
in phng án.
Kt lun: Trong các phng án kh thi thì phng án ti u là (x
1
= 12, x
2
= 6).
Ti phng án này, giá tr hàm mc tiêu là ln nht z = 8 × 12 + 6 × 6 = 132.
max
Nhn xét: Phng án ti u ca bài toán trên (hay các BTQHTT khác, nu có)
luôn đt đc ti mt trong các đnh ca đn hình hay còn gi là các đim cc b
ình (chính xác hn, đim cc biên là đim thuc đn hình, mà không th tìm đc
mt đon thng nào cng thuc đn hình nhn đim đó là đim trong). Nhn xét trên
đây là mt đnh lí toán hc đã đc chng minh mt cách tng quát. Nói mt cách hình
nh, mun đt đc phng án ti u cho các BTQHTT thì cn phi “mo him” đi xét
các đim cc biên ca min phng án.

Cách 2: T nhn xét trên, đ tìm phng án ti u ta ch cn so sánh giá tr ca
hàm mc tiêu ti các đim cc biên ca m
Tính giá tr z ti O(0, 0): z(0, 0) = 0; ti A(0, 12): z(0, 12) = 72; ti C(15,0): z(15,
0) = 1
c
biên n
i BTQHTT đang xét, quy trình gii đc minh ho nh sau:


hoc:
O(0, 0) → C(15, 0) → B(12, 6) dng
S đ khi




20; ti B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)}. Vy z
max
= 132.
Nhn xét: Mun tìm phng án ti u ca BTQHTT ta xut phát t mt đim c
ào đó, tìm cách ci thin hàm mc tiêu bng cách đi ti đim cc biên k nó. Tip
tc nh vy cho ti khi tìm đc phng án ti u. Trong trng hp BTQHTT có
phng án ti u thì quy trình gii này bao gm hu hn bc (do s đim cc biên là
hu hn).
i v
O(0, 0) → A(0,12) → B(12,6) dng
z = 0 → z = 72 → z = 132
z = 0 → z = 120 → z = 132
Bt đu
Nhp d liu

Tìm đim cc biên
xut phát
Tìm
đim iên cc b
k tt hn
Kim tra
đi u u kin ti 
In và lu tr kt qu
Dng
úng
Sai
Hình I.2. S đ khi gii BTQHTT

uy trình gii BTQHTT tng quát có s đ khi gin lc nh trình bày trên hình
I.2. T
1.3. Phng pháp đn hình
i BTQHTT theo s đ trên.  gii ví d đã cho, trc
ht c
z = 8x
1
+ 6x
2
+ 0x
3
+ 0x
4
→ Max
vi các ràng buc:
4x
1
+ 2x
2
+ x
3

= 60
1 2 4
x
1
, x
2
, x , x
4
≥ 0
Cách lp và bin đi các bng đn hình
cn lp mt s bng đn hình nh trình
bày tr
t 1 là ct h s hàm mc tiêu ng vi các bin c s đã chn. Phng án xut
phát c
phng án) cn ghi các giá tr ca
các b
là các ct h s trong các điu kin ràng buc tng ng vi
các b
Q
rong s đ trên, vì mc đích trình bày vn đ đn gin, chúng ta không đ cp ti
các trng hp khi BTQHTT có min phng án là tp rng (lúc đó ta không tìm đc
phng án xut phát) cng nh khi ta không tìm đc đim cc biên k tt hn mc dù
điu kin ti u cha tho mãn (lúc đó tp các giá tr hàm mc tiêu z không b chn).
ây là phng pháp s gi
húng ta cn đa BTQHTT v dng chính tc bng cách thêm vào các bin bù
không âm x
3
và x
4
nh sau:

2x + 4x + x = 48
3
 gii BTQHTT dng chính tc trên đây,
ong bng I.1. Trc ht, cn đin s liu ca bài toán đã cho vào bng đn hình
bc 1:
− C
ó th chn là x
1
= x
2
= 0 (đây chính là đim gc to đ O(0, 0)), do đó x
3
= 60, x
4
=
48). Nh vy ti bc này chúng ta cha bc vào sn xut, nên trong phng án cha
có đn v sn phm loi I hay II đc sn xut ra (ch “sn xut” ra các lng nguyên
liu d tha, ta cng nói là các “sn phm” loi III và IV), và giá tr hàm mc tiêu z
tm thi bng 0. Các bin bù có giá tr ln hn 0 có ngha là các nguyên liu loi tng
ng cha đc s dng ht. Ta gi các bin x
3
và x
4
là các bin c s vì chúng có giá tr
ln hn 0 còn x
1
và x
2
là các bin ngoài c s vì chúng có giá tr bng 0. Vi bài toán
có hai ràng buc, ti mi bc ch có hai bin c s.

− Ct 2 là ct các bin c s. Trong ct 3 (ct
in c s đã chn.
− Các ct tip theo
in x
1
, x
2
, x
3
và x
4
ca bài toán đã cho.
Bng I.1. Các bng đn hình gii BTQHTT
c
1
= 8 c
2
= 6 c
3
= 0 c
4
= 0
H s hàm
mc tiêu c
j
Bin c
s
Phng
án
x

1
x
2
x
3
x
4
0
0
x
3
x
4
60
48
4
2
2
4
1
0
0
1
Hàng z z
0
= 0 z
1
= 0 z
2
= 0 z

3
= 0 z
4
= 0
Hàng ∆
j
= c
j
− z
j

∆
1
= 8 ∆
2
= 6 ∆
3
= 0 ∆
4
= 0
8
0
x
1
x
4
15
18
1
0

1/2
3
1/4
−1/2
0
1
Hàng z z
0
= 120 z
1
= 8 z
2
= 4 z
3
= 2 z
4
= 0
Hàng ∆
j
= c
j
− z
j

∆
1
= 0 ∆
2
= 2 ∆
3

= −2 ∆
4
= 0
8
6
x
1
x
2
12
6
1
0
0
1
1/3
−1/6
−1/6
1/3
Hàng z z
0
= 132 8 6 5/3 2/3
Hàng ∆
j
= c
j
− z
j
0 0
−5/3 −2/3

Phân tích bng đn hình bc 1
− H s ng vi bin x
1
trên hàng th nht là a
11
= 4 có ngha là t l thay th
riêng gia mt đn v sn phm loi I và mt đn v sn phm loi III là 4 (gii thích:
xét phng trình / ràng buc th nht 4x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 60, x
1
tng mt đn v thì x
3

phi gim bn đn v nu gi nguyên x
2
). Tng t ta có th gii thích đc ý ngha
ca các h s a
ij
khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bng đn hình bc 1.
− Chúng ta xét hàng z ca bng đn hình.  tính z
1
, cn áp dng công thc z
1
=

(ct h s ca hàm mc tiêu) × (ct h s ca bin x
1
) = 0×4 + 0×2 = (giá mt đn v
sn phm loi III)×(t l thay th riêng loi I / loi III) + (giá mt đn v sn phm loi
IV) × (t l thay th riêng loi I / loi IV) = tng chi phí phi b ra khi đa thêm mt
đn v sn phm loi I vào phng án sn xut mi = 0. Các giá tr z
j
, vi j = 1, 2, 3, 4,
đc tính tng t và chính là các chi phí khi đa mt thêm mt đn v sn phm loi
x
j
vào phng án sn xut mi. Còn z
0
là giá tr ca hàm mc tiêu đt đc ti phng
án đang xét: z
0
= (ct h s ca hàm mc tiêu)× (ct phng án) = 0×60 + 0×48 = 0.
− Trên hàng ∆
j
cn ghi các giá tr ∆
j,
j = 1, 2, 3, 4, tính theo công thc ∆
j
= c
j
–z
j
= li nhun trên mt đn v sn phm – chi phí trên mt đn v sn phm. Vy ∆
j
là

"lãi biên"/mt đn v sn phm khi đa thêm mt đn v sn phm loi j vào phng án
sn xut mi. Nu ∆
j
> 0 thì hàm mc tiêu còn tng đc khi ta đa thêm các đn v sn
phm loi j vào phng án sn xut mi. Có th chng minh đc ∆
j
chính là đo hàm
riêng ∂z/∂x
j
ca hàm mc tiêu z theo bin x
j
. Nh vy, x
1
tng lên 1 thì z tng lên 8 còn
x
2
tng lên 1 thì z tng lên 6.
Do ∆
1
và ∆
2
đu dng nên vn còn kh nng ci thin hàm mc tiêu khi chuyn
sang (hay “xoay sang”) mt phng án cc biên k tt hn (quay li nhn xét  phn
gii bài toán bng phng pháp đ th: đim cc biên k ca đim (0, 0) có th là A(0,
12) hay C(15, 0)).
Th tc xoay (pivotal procedure)
Bc 1: Chn ct xoay là ct có ∆
j
> 0 tc là chn bin x
j

làm bin c s mi do
x
j
tng kéo theo hàm mc tiêu tng.  đây ta chn đa x
1
vào (đánh du √  ct ∆
1
).
Bc 2: Chn hàng xoay đ xác đnh đa bin nào ra khi s bin c s (vì ti
mi bc s bin c s là không thay đi).  chn hàng xoay, ta thc hin quy tc “t
s dng bé nht" bng cách ly ct phng án (60 48)
T
chia tng ng cho ct xoay (4
2)
T
đ chn t s bé nht. Mt điu cn chú ý là ta ch xét các t s có mu s dng.
Vì Min{60/4, 48/2} = 60/4 đt đc ti hàng đu, nên ta đánh du √ vào hàng
xoay là hàng đu (hàng tng ng vi bin x
3
). Do đó cn đa x
3
ra khi các bin c
s.
Bc 3: Chn phn t xoay nm trên giao ca hàng xoay và ct xoay.
Bc 4: Xoay sang bng đn hình mi, xác đnh các bin c s mi đ đin vào
ct bin c s, đng thi thay các giá tr trong ct h s hàm mc tiêu. Sau đó, tính li
các phn t ca hàng xoay bng cách ly hàng xoay c chia cho phn t xoay đ có
hàng mi tng ng.
Bc 5: Các phn t còn li ca bng đn hình mi đc tính theo quy tc "hình
ch nht": (1)

mi
= (1)
c
– (2)
c
× (4)
c
/(3)
c
, trong đó (3) là đnh tng ng vi phn t
xoay (xem hình I.3).









(4)
(2) (3)
(1)
Chng hn: (1)
c
= 4, 2
(c)
= 2
(3)
c

= phn t xoay = 4, (4)
c
= 2
⇒ (1)
mi
= 4 − 2 ×
4
2
= 3.

Hình I.3. Quy tc hình ch nht

Gii thích: Các bc xoay trên đây ch là phép bin đi tng đng h phng
trình
4x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 60 (a)
2x
1
+ 4x
2
+ x
4
= 48 (b)
đ có h
x

1
+ (1/2)x
2
+ (1/4)x
3
= 15 (a’)
0x
1
+ 3x
2
− (1/2)x
3
+ x
4
= 18 (b’)
bng cách ly phng trình (a) chia cho 4 (phn t xoay) đ có (a’), ri ly (b) tr bt
2
× (a)/4 đ có (b’). ây chính là ni dung ca bc 4 và bc 5. Còn bc 3 s đm
bo rng giá tr ca các bin c s mi không âm (x
1
= 15, x
4
= 18).
Áp dng th tc xoay cho các phn t nm trên hàng 1 và 2 ca bng đn hình
bc 1, sau đó tính các giá tr trên hàng z
j
và ∆
j
tng t nh khi lp bng đn hình
bc 1, chúng ta s nhn đc bng đn hình bc 2.

Phân tích bng đn hình bc 2
Bng bc 2 có th đc phân tích tng t nh bng bc 1. Cn chú ý rng lúc
này ta đang  v trí ca đim C(15, 0) vì x
1
= 15 còn x
2
= 0; giá tr ca hàm mc tiêu là
z
0
= 120 đã đc ci thin hn so vi bc 1. Ta thy ∆
2
= 2 > 0 nên còn có th ci
thin hàm mc tiêu bng cách chn bin x
2
làm bin c s mi. Thc hin các bc
xoay sang phng án cc biên k tt hn, chúng ta s có bng đn hình bc 3.
Phân tích bng đn hình bc 3
Ti bng đn hình bc 3 ta thy điu kin ti u đã đc tho mãn (
∆
j

≤
0
∀
j=1, 2, 3, 4) nên không còn kh nng ci thin phng án. Phng án ti u đã đt đc
ti x
1
= 12, x
2
= 6, x

3
= 0, x
4
= 0, tc là ti đim cc biên B(12, 6) vi giá tr z
max
= 132.
Mt s chú ý
− iu kin ti u cho các BTQHTT dng Max là ∆
j
≤ 0 ∀j.
− i vi các BTQHTT cn cc tiu hoá hàm mc tiêu thì điu kin ti u (hay
tiêu chun dng) là ∆
j
≥ 0 ∀j (nu tn ti j mà ∆
j
≤ 0 thì cn tip tc ci thin hàm mc
tiêu bng cách chn ct j làm ct xoay...).
− Trong thc tin gii các BTQHTT dng tng quát có th xy ra trng hp
không tìm đc phng án xut phát (tc là không có phng án kh thi, xem thêm
mc 1.2). Lúc này có th kt lun mô hình đã thit lp có các điu kin ràng buc quá
cht ch, cn xem xét ni lng các điu kin này.
− Trong trng hp ta tìm đc ct xoay mà không tìm đc hàng xoay thì kt
lun hàm mc tiêu không b chn trên (đi vi các BTQHTT dng Max) hoc không b
chn di (đi vi các BTQHTT dng Min). Khi đó dng quá trình gii và kt lun mô
hình quy hoch tuyn tính đã thit lp không phù hp vi thc t.
1.4. Gii mô hình quy hoch tuyn tính bng các phn mm tính toán
Hin nay có nhiu phn mm tính toán gii BTQHTT khá hiu qu nh Excel,
Lingo. Nhng phn mm này rt thân thin vi ngi dùng. Tuy nhiên cn nhn mnh
rng, vic phát biu đc mô hình bài toán và phân tích, đánh giá đc kt qu mi
chính là nhng khâu quan trng nht trong phng pháp mô hình hoá. Sau đây, chúng

ta dùng phn mm Lingo đ gii ví d đã xét  trên.
z = 8x
1
+ 6x
2
→ Max
vi các ràng buc:
4x
1
+ 2x
2
≤
60
2x
1
+ 4x
2
≤
48
x
1
, x
2
≥ 0.
 gii bài toán này, chúng ta cn cài đt Lingo vào trong máy tính. Nhn vào
biu tng Lingo trên màn hình đ vào ca s Lingo. Sau đó thc hin các lnh Lingo:
Menu > New > <Untitle> và gõ vào các d liu ca bài toán nh hình I.4.

Hình I.4. Nhp d liu ca bài toán quy hoch tuyn tính trong Lingo
Tip theo, cn nháy chut vào nút LINGO và gii bài toán đ thu đc kt qu chi

tit nh trên hình I.5.

Hình I.5. Kt qu gii bài toán quy hoch tuyn tính trong Lingo
Kt qu chi tit cho ta bit giá tr cc đi ca hàm mc tiêu là 132 vi phng án
ti u là: x
1
= 12, x
2
= 6. Các giá tr ti u ca các bin đi ngu là y
1
= 5/3 và y
2
= 2/3
(còn gi là các giá c đnh hay giá bóng Shadow Prices).
1.5. Mt s ng dng ca phng pháp đn hình
(Gii các bài toán quy hoch sn xut trong lnh vc c khí và đin lc)
Bài toán phân phi đin nng
Có ba h ph ti cn đc cung cp đin nng t hai ngun đin nm cách xa
nhau. Giá thành truyn ti mt đn v đin nng t ngun i đn h tiêu th j là c
ij
. Kh
nng cung cp đin nng ca mi ngun b gii hn bi tr lng hin có ca chúng là
A
1
và A
2
. Nhu cu tiêu dùng ca các h tiêu th là B
1
, B
2

và B
3
. Gi x
ij
là lng đin
nng đc đa t ngun i ti h tiêu th j. Cn phi xác đnh các x
ij
sao cho tng chi
phí là nh nht. Nh vy ta có BTQHTT sau:
z = → Min
23
ij ij
i1 j1
cx
==
∑∑
vi các điu kin ràng buc là:
x
11
+ x
12
+ x
13
≤ A
1
,
x
21
+ x
22

+ x
23
≤ A
2
,
x
11
+ x
21
= B
1
,
x
12
+ x
22
= B
2
,
x
13
+ x
23
= B
3
,
x
ij
≥ 0, ∀i = 1, 2 và ∀j = 1, 2, 3.
Bài toán trên đây (hoc  dng tng quát hn) có th gii đc bng phng pháp

đn hình đã bit hay phng pháp phân phi s đc nghiên cu  mc 1.3, chng II.
Bài toán phân ti cho máy
Mt xí nghip có hai loi máy M
1
và M
2
. Các loi máy này có th sn xut đc ba
loi sn phm P
1
, P
2
và P
3
vi các nng sut là a
ij,
chng hn máy M
1
sn xut sn phm
P
2
vi nng sut a
12
. Mi đn v sn phm mang li lãi sut c
j
vi j = 1, 2, 3. Mi tháng xí
nghip phi sn xut sn phm loi j không ít hn b
j
đn v và không vt quá d
j
đn v,

j = 1, 2, 3. Hãy lp k hoch phân ti cho các máy sao cho đt tng li nhun ln nht.
D thy bài toán này dn ti BTQHTT sau:
z =
32
jij
j1 i1
cax
==
ij
∑∑
→ Max
vi các điu kin ràng buc:
a
11
x
11
+ a
21
x
21
≥ b
1
,
a
12
x
12
+ a
22
x

22
≥ b
2
,
a
13
x
13
+ a
23
x
23
≥ b
3
,
a
11
x
11
+ a
21
x
21
≤ d
1
,
a
12
x
12

+ a
22
x
22
≤ d
2
,
a
13
x
13
+ a
23
x
23
≤ d
3
,
x
11
+ x
12
+ x
13
≤ m
1
,
x
21
+ x

22
+ x
23
≤ m
2
,
x
ij
≥ 0, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3.
(trong đó m
1
và m
2
là tng thi gian chy máy M
1
và M
2
).
Bài toán trên đây còn có th phát biu mt cách tng quát hn và vn gii đc
bng phng pháp đn hình. Hn na, trong lnh vc quy hoch sn xut hay qun lí
kinh doanh, nói riêng trong ngành c khí và đin lc, BTQHTT đc ng dng rt rng
rãi và mang li hiu qu cn thit.
2. B sung thêm v phng pháp đn hình
2.1. a BTQHTT v dng chính tc
Ví d 1: (Trng hp các ràng buc đu có du ≤)
z = 8x
1
+ 6x
2
→

Max
vi các ràng buc:
12
12
12
4x 2x 60
2x 4x 48
x,x 0
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪
≥
⎩

a BTQHTT v dng chính tc nh đã bit bng cách thêm hai bin bù (slack
variables) x
3
và x
4
. Ta có BTQHTT dng chính tc là:
z = 8x
1
+ 6x
2
+ 0x
3

+ 0x
4
→ Max
123
124
1234
4x 2x x 60
2x 4x x 48
x,x,x,x 0
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
≥
⎩

Lúc này, trong h hai điu kin ràng buc đã có đ hai bin đng đc lp trong
tng phng trình vi h s +1, nên đã có th tìm đc phng án cc biên xut phát đ
bt đu quá trình gii bài toán. Mt cách tng quát, BTQHTT dng chính tc là bài toán
vi các bin không âm, các ràng buc vi du “=”, h s v phi ca các ràng buc
không âm. Ngoài ra, mi phng trình bt buc phi có mt bin đng đc lp vi h s
+1.
Ví d 2: (Trng hp có điu kin ràng buc vi du ≥)
z = 8x
1
+ 6x
2
→ Max

vi các ràng buc:
12
12
12
4x 2x 60
2x 4x 48
x,x 0
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪
≥
⎩

Ta thêm các bin bù x
3
(slack variable) mang du “+”, x
4
(surplus variable) mang
du “−” đ có h điu kin ràng buc sau:
123
124
1234
4x 2x x 60
2x 4x x 48
x,x,x,x 0
++=
⎧

⎪
+−=
⎨
⎪
≥
⎩

Phi thêm bin gi x
5
(x
5
gi là lng vi phm ca phng trình th hai) đ đc
h điu kin ràng buc
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
=+−+
=++
0x,x,x,x,x
48xxx4x2
60xx2x4
54321
5421
321

Lúc này, đã có đ hai bin đng đc lp trong tng phng trình vi h s +1,
nên đã có th tìm đc phng án cc biên xut phát đ bt đu quá trình gii bài toán

bng phng pháp đn hình vi hàm mc tiêu là z = 8x
1
+ 6x
2
+ 0x
3
+ 0x
4
− Mx
5
→
Max, trong đó M ≈ +∞ và biu thc −Mx
5
gi là lng pht (đánh thu). Bài toán đã
đc đa v dng chính tc. Lng vi phm x
5
càng ln thì hàm mc tiêu càng gim,
giá tr ca hàm mc tiêu ch có th đt Max khi x
5
= 0.
Ví d 3: (Trng hp có bin không dng)
z = 8x
1
− 6x
2
→ Max
vi các ràng buc:
123
124
1234

4x 2x x 60
2x 4x x 48
x 0,x 0,x 0,x 0
++≤
⎧
⎪
+−=
⎨
⎪
≥≤≥≥
⎩

Lúc này mun gii bài toán bng phng pháp đn hình ta phi đi bin x'
2
= −x
2
.
Ta có BTQHTT vi các bin đu không âm.
z = 8x
1
+ 6x'
2
→ Max
vi các ràng buc:
123
124
1234
4x 2x' x 60
2x 4x' x 48
x,x',x,x 0

−+≤
⎧
⎪
−−=
⎨
⎪
≥
⎩

Ví d 4: (Trng hp có bin vi du tu ý)
z = 8x
1
+ 6x
2
→ Max
vi các ràng buc:
12
12
12
4x 2x 60
2x 4x 48
x0,x
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪
≥
⎩

du tu ý
Lúc này ta vit bin x
2
di dng x
2
= x'
2
− x''
2
vi
2
22
x' max[0,x ]
x'' max[0, x ]
=
⎧
⎨
=−
⎩
2
thì đm bo
2
2
x' 0
x'' 0
≥
⎧
⎨
≥

⎩
Các ràng buc s là
1223
1224
1 2 234
4x 2x' 2x'' x 60
2x 4x' 4x' x 48
x ,x' ,x'' ,x ,x 0
+−+=
⎧
⎪
+−+=
⎨
⎪
≥
⎩

Bài toán vi hàm mc tiêu là: z = 8x
1
+ 6x'
2
− 6x''
2
+ 0x
3
+ 0x
4

và các điu kin
ràng buc trên là BTQHTT dng chính tc.

Kt lun: Bao gi cng đa đc BTQHTT bt kì (các bin có du tu ý, các
ràng buc có th ≤, ≥, =) v dng chính tc.
2.2. Phng pháp đn hình m rng
Phng pháp đn hình m rng còn gi là phng pháp đánh thu M đc áp
dng đ đ gii BTQHTT có bin gi.
Ví d:
z = 8x
1
+ 6x
2
→ Max
vi các ràng buc: