Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số
sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản
hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 1:
Tính hạng của ma trận:
 2 −4 3 1 0 




1 −2 1 −4 2  η1↔
η2

→
1) A = 
 0 1 −1 3 1 

 1 −7 4 −4 5 


1 −2 1 −4
2 −4 3 1
0 1 −1 3
1 −7 4 −4

2
0
1

5









→ 




1 −2 1 −4 2 


0 0 1 9 −4  η
2↔ η3
→
0 1 −1 3 1 



0 −5 3 0
3 

1 −2 1 −4 2 


0 1 −1 3 1 
0 0 1 9 −4 
0 −5 3 0
3 



η2(5)+η4

→




1 −2 1 −4 2 


0 1 −1 3 1  η3( 2)+ η4 

→
0 0 1 9 −4 



0 0 −2 15 8 

1 −2 1 −4 2 

0 1 −1 3 1 
0 0 1 9 −4 

0 0 0 33 0 

h1(−2)+η2
η1(−1)+η4

⇒ ρ( Α) = 4

2)



A=





0 2 −4 


−1 −4 5 

1↔ η2
3 1
7  η
→

0 5 −10 



2 3
0 




 1
η2 

 2

→





−1 −4 5 


0 2 −4  η1(3)+ η3 
η1( 2 )+ η4
3 1
7  
→


0 5 −10



2 3
0 



−1 −4
5 
 η2(11)+ η3 
0
1
−2  η2( −5)+ η4 
η2(5)+ η5
0 −11 22  
→


0
5 −10


0 −5 10 


−1 −4
5 

0
2
−4 
0 −11 22 

0
5 −10 

0 −5 10 

−1 −4 5 

0 1 −2 
0 0 0  ⇒ ρ( Α) = 2
0 0 0 

0 0 0 

1


 2 −1 3 −2 4  η1(−2)+η2  2 −1 3 −2 4 
1)+η3 

2) A =  4 −2 5 1 7  η1(−

 →  0 0 −1 5 −1 
 2 −1 1 8 2 
 0 0 −2 10 −2 
 2 −1 3 −2 4 


→  0 0 −1 5 −1  ⇒ ρ( Α) = 2
 0 0 0 0 0 
h2(-2)+η3

3)


A=



1 3 5 −1
2 −1 −5 4
5 1 1 7
7 7 9 −1




→



 η1( −2)+η2 
( −5)+η3
 η1

η1( −7 )+η4
 
→






1 3
5 −1
0 −7 −15 6
0 0
1
0
0 0
4 −6

 1

η3 
 6


1 3
5 −1 
( −2 )+η3
 η2

0 −7 −15 6  η2( −2)+η4 

→
0 −14 −24 12 



0 −14 −26 6 



 η4 −4 +η4 
( )
 
→





1 3
5 −1
0 −7 −15 6
0 0
1
0
0 0
0 −6

1 3
5 −1
0 −7 −15 6
0 0
6
0
0 0
4 −6









 ⇒ ρ( Α) = 4



4)


A=



3
5
1
7

−1 3 2
−3 2 3
−3 −5 0
−5 1 4

5

4
7
1





η3
 η1↔

→





1
5
3
7

−3 −5 0 7  η1( −5)+η2 
)+η3
 η1( −3

−3 2 3 4  η1
( −7 )+η4
→
−1 3 2 5 




−5 1 4 1 



→ 




1 −3 −5 0 7 
( −3)+η3
 η2

0 4 9 1 −8  η2
( −4 )+η4
→
0 12 27 3 −31 


0 16 36 4 −48 




→



1 −3 −5 0 7 

0 4 9 1 −8  ⇒ ρ Α = 3
( )
0 0 0 0 −7 
0 0 0 0 0 

 1

η3  ↔ η2
 2

 16 
+ η4
 7 

η3 −

5)

2

1 −3 −5 0 7
0 12 27 3 −31
0 8 18 2 −16
0 16 36 4 −48

1 −3 −5 0 7 


0 4 9 1 −8 
0 0 0 0 −7 
0 0 0 0 −16 











A=






2 2 1 5 −1 


1 0 4 −2 1 

2 1 5 −2 1  η1↔ η2 
→

−1 −2 2 −6 1 



−3 −1 −8 1 −1 


1 2 −3 7 −2 

1 0 4 −2 1 

2 2 1 5 −1 
2 1 5 −2 1 
−1 −2 2 −6 1 

−3 −1 −8 1 −1 
1 2 −3 7 −2 



η1( −2)+ η2

η1( −2)+ η3
η1+ η4
η
→
1(3)+ η5

η1( −1)+ η6





1 0
4 −2 1 


0 2 −7 9 −3 

0 1 −3 2 −1  η
2↔ η3
→


0 −2 6 −8 2


0 −1 4 −5 2 


0 2 −7 9 −3 




η2( −2)+ η3
η2( 2)+ η4
η
→
2+ η5


η2(−2)+ η6




1
0
0
0
0
0

0 4 −2 1
1 −3 2 −1
0 −1 3 −1
0 0 −4 0
0 1 −3 1
0 −1 3 −1







η3+ η5
 
→
 η3( −1)+ η6 








1 0 4 −2 1 

0 1 −3 2 −1 
0 2 −7 9 −3 
0 −2 6 −8 2 

0 −1 4 −5 2 
0 2 −7 9 −3 
1
0
0
0
0
0

0 4 −2 1 

1 −3 2 −1 
0 −1 3 −1  ⇒ ρ Α = 4
( )
0 0 −4 0 

0 0 0 0 
0 0 0 0 

6)



A=





1 −1 2 3
4 


2 1 −1 2
0  η1(−2)+ η2 
1+ η3
−1 2 1 1
3  ηη
→
1(−1)+ η4
η1(−3)+ η5


1 5 −8 −5 −12


3 −7 8 9 13 





2↔ η3
η
→




1 −1 2
3
4 

0 3 −5 −4 −8 
0 1
1
3
7 
0 6 −10 −8 −16 

0 −4 2
0
1 


1 −1 2
3
4 



0 1
1
3
7  η2(−3)+ η3 
2(−6)+ η4
0 3 −5 −4 −8  η
→
η2( 4)+ η5


0 6 −10 −8 −16


0 −4 2
0
1 




h3( −1)+ η4

3+ η5
η
→





1 −1 2
3
4 


0 1 1
3
7 

5( −4)+ η3
0 0 −8 −13 −29  η
→

0 0 0
0
0 


0 0 −2 −1
0 


3

1 −1 2
3
4 


0 1
1
3
7 
0 0 −8 −13 −29 
0 0 −16 −26 −58 

0 0
6
12
29 
1 −1 2 3
4 

0 1 1 3
7 
0 0 0 −9 −29 
0 0 0 0
0 

0 0 −2 −1 0 





η4↔ η3
h5↔

→





1 −1 2
3
4 

0 1 1
3
7 
0 0 −2 −1 0  ⇒ ρ( Α) = 4
0 0 0 −9 −29 

0 0 0 0
0 

7)


A=




−3 2 −7 8 


−1 0
5 −8  η1↔ η2 

→
4 −2 2 0 



1 0
3 7 



2(−1)+ η3
η
→



−1
0
0
0

0 5 −8
2 −22 32
0 0
0
0 8
−1


−1 0

5 −8 
η
1(−3)+
η
2


−3 2 −7 8  η1(4)+ η3 

→
η1+ η4
4 −2 2 0 



1 0
3 7 





3↔ η4
 η
→





−1
0
0
0

−1 0
5
−8 

0 2 −22 32 
0 −2 22 −32 
0 0
8
−1 

0 5 −8 

2 −22 32 
⇒ ρ( Α) = 3
0 8 −1 
0 0
0 

8)


A=



 1


−1 3 3 −4 
 η1( 4)+ η2 
4 −7 −2 1  η
1( −3)+ η3
→
η1( −2)+ η4
−3 5 1 0 


−2 3 0 1 



2+ η3

ηη
→
2+ η4



−1
0
0
0

3

1
0
0

η2 

 5
−1 3 3 −4 
 1


3 
0 5 10 −15  η
 4

→
 1
0 −4 −8 12  η4 3 

0 −3 −6 9 

−1 3 3 −4 

0 1 2 −3 
0 −1 −2 3 
0 −1 −2 3 

3 −4 

2 −3  ⇒ ρ( Α) = 2

0 0 
0 0 

9)


A=



1
7
17
3

3
1
1
4



2(−1)+ η3

η
→
η2(−1) η4


10)


−1 6 
 η1(−7)+ η2 
−3 10  η1(−17 )+ η3 

→
η1(−3)+ η4
−7 22 



−2 10 


1 3 −1 6 
 η2 1  
0 −20 4 −32 
 4

→
 1
η
3
0 −50 10 −80 

 10 


0 −5 1 −8 

1 3 −1 6 

0 −5 1 −8 
⇒ ρ( Α) = 2
0 0 0 0 
0 0 0 0 

4

1 3 −1 6 

0 −5 1 −8 
0 −5 1 −8 
0 −5 1 −8 




A=



0 1 10 3
2 0 4 −1
16 4 52 9
8 −1 6 −7






1↔ η2
 η
→





 2 0 4

η2( −4 )+ η3
 0 1 10

→
η2+ η4
 0 0 −20
 0 0 0
Bài 2:
Biện luận theo tham số λ
 3 1 1

 λ 4 10
A
=
1)
 1 7 17
 2 2 4

−1
3
5
0

2 0
4 −1 

0 1 10
3 
0 4 20 17 
0 −1 −10 −3 



 ⇒ ρ( Α) = 3



hạng của các ma trận:
 3 1
4 


1  η2 ↔ η4  2 2
→
3 
 1 7

 λ 4

1 



η2
h1↔

→



1
4
3
1



↔ η3
η2
→



1 2
4
2
0 1
5
−5

0 −7 −15 −5
0 2
6 λ−2

2 4 2
1 1 3
7 17 1
4 10 λ



 η1 −8 + η3 
( )
 η
→
1( −4 )+ η4





2 0 4 −1
0 1 10 3
16 4 52 9
8 −1 6 −7

 η1( −4)+η2 
( −3)+η3
 η1


η1( −1)+η4
 
→





1
4
17
10

4
1
3
1





χ4
 χ1↔

→





1 2
4
2
0 −7 −15 −5
0 1
5
−5
0 2
6 λ−2



η2
7
+η3
(
)
 η2 −2 +η4 
( )
 
→





1
0
0

0

4
1
3
1

1 1 3
2 4 2
7 17 1
4 10 λ







2 4
2
1 5
−5
0 20 −40
0 −4 λ + 8







 1 2 4
2 


0 1 5 −5 

→
 0 0 20 −40 
 0 0 0
λ 
Vậy :
- Nếu λ = 0 thì r(A) = 3
- Nếu λ ≠ 0 thì r(A) = 4
 1

η3  + η4
 5



2) A = 



3
λ
1
2


1 1 4 


4 10 1  η2 ↔ η4 
→
7 17 3 



2 4 3 

3
2
1
λ

1 1 4
2 4 3
7 17 3
4 10 1

5





χ4
 χ1↔


→





4
3
3
1

1 1 3
2 4 2
7 17 1
4 10 λ















χ2
c1↔

→



1
2
7
4

4 1 3
3 4 2
3 17 1
1 10 λ

 η1( −2)+η2 
( −7 )+η3
 η1

η1( −4)+η4
 
→





 1 4 1 3

0 −5 2 −4

→
 0 0 0 0
 0 0 0 λ
Vậy:
- Nếu λ = 0 thì r(A) = 2
- Nếu λ ≠ 0 thì r(A) = 3
η2( −5)+η3
η2( −3)+η4



3) A = 




4 1 3 3 


0 6 10 2  Χ2 ↔ Χ4 
→
1 4 7 2 




6 λ −8 2 




→


h1( −4 )+η3
η1( −6 )+η4



4) A = 



−3
0
1
3




→








η3
 η1↔

→







 1
η2

 2  
 
→









η4

 η3↔

→





1
0
4
6







2 7 4
2 10 6
3 3 1
2 −8 λ

1 2
7
4
0 1
5
3

0 −5 −25 −15
0 −10 −50 λ − 24

1 2 7
4
0 −1 −5 −3
0 0 0 λ +6
0 0 0
0













thì r(A) = 2
thì r(A) = 3


9 14 1 


6 10 2  Χ2 ↔ Χ4 

→
4 7 2 



λ 1 2 

h1(3)+η3
η1( −3)+η4

1 4 1 3 

0 −5 2 −4 
0 0 0 λ 
0 0 0 0 

3 3 1
2 10 6
2 7 4
2 −8 λ

1 2
7
4
0 2
10
6
0 −5 −25 −15
0 −10 −50 λ − 24

 1 2 7
4

0 1 5
3

→
0
 0 0 0
 0 0 0 λ + 6
Vậy:
- Khi λ + 6 = 0 ⇔ λ = −6
- Khi λ + 6 ≠ 0 ⇔ λ ≠ −6
η2(5)+ η3
η2(10 )+ η4





η4
 η3↔

→





4

0
1
6







1 4
1
3
0 −5 2
−4
0 −25 10 −20
0 −15 6 λ − 12

−3
0
1
3

1 2
7
4
0 2 10
6
0 7
35

21
0 −4 −20 λ − 12


1 14 9 


2 10 6  η1↔ η3 

→
2 7 4 



2 1 λ 


 1
 η2 2  
 
→





6

1
0

−3
3

2 7 4 

2 10 6 
1 14 9 
2 1 λ 

1 2
7
4
0 1
5
3
0 7
35
21
0 −4 −20 λ − 12












→


h2( −7 )+η3
η2( 4 )+η4

Vậy :
-

1
0
0
0

2
1
0
0


7 4 


5 3  η3↔ η4 
→
0 0 



0 λ 

Nếu λ = 0 thì r(A) = 2
Nếu λ ≠ 0 thì r(A) = 3

7

1
0
0
0

2
1
0
0

7 4 

5 3 
0 λ 
0 0 


BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Bài 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:
 3 4 
1) A = 


 5 7 
Ta có:
 1
 5
 η1 3 
1
0
η1 −  + η2  3 4
 3 4 1 0 
 3

 η2(3) →  1
(A I)= 
 →  0 1 − 5 1  

 5 7 0 1 


 0
3
3



4 1
0 
3 3

1 −5 3 



4
η2 −  + η1




 3

→  1 0 7 −4  ⇒ Α−1 =  7 −4 
 0 1 −5 3 
 −5 3 

 1 −2 
2) A = 

 4 −9 
Ta có:
−1

 1 −2 
 −9 2   9 −2 
1  δ −β 
1
A =
 = αδ − βχ 
 = 1.(−9) − (−2).4 
 =


 4 −9 
 −χ α 
 −4 1   4 −1 
−1


3) A = 


Ta có:


(A I) = 


3 −4 5
2 −3 1
3 −5 −1






3 −4 5 1 0 0
2 −3 1 0 1 0
3 −5 −1 0 0 1


 1 −1 4 1 −1 0 

 η2(−1) + η1 

→  2 −3 1 0 1 0 
 

 3 −5 −1 0 0 1 

 1 −1 4
 1 −1 4 1 −1 0 
1 −1 0 
η1( −2)+η2



2) + η3 
η1

→  0 −1 −7 −2 3 0  η2(−

→  0 −1 −7 −2 3 0 
( −3)+η3
 0 −2 −13 −3 3 1 
 0 0 1 1 −3 1 
 1 −1 4 1 −1 0 
 1 −1 0 −3 11 −4 
η3
−7
+η2




( )
1) 
η2(−

→  0 1 7 2 −3 0  η3

→  0 1 0 −5 18 −7 
( −4)+η1
 0 0 1 1 −3 1 
 0 0 1 1 −3 1 
 1 0 0 −8 29 −11 


η2+η1

→  0 1 0 −5 18 −7 
 0 0 1 1 −3 1 

8


 − 8 29 − 11 


Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A =  − 5 18 − 7 
 1 −3 1 


-1

 2
4) A =  3

 1
Ta có:
 2

(A I)=  3
 1

7 3 

9 4 
5 3 
 1 5 3 0 0 1
7 3 1 0 0 


9 4 0 1 0  η3↔η1

→ 3 9 4 0 1 0
5 3 0 0 1 
 2 7 3 1 0 0

 1 5 3 0 0 1


→  0 −6 −5 0 1 −3
 0 −3 −3 1 0 −2

η1( −3)+η2
η1( −2 )+η3







 1 5 3 0 0 1
 η3↔η2 
→  0 −3 −3 1 0 −2
 

 0 −6 −5 0 1 −3


 1 5 3 0 0 1  η2 − 1   1 5 3 0 0
 3
1


h2(-2)+η3

→  0 −3 −3 1 0 −2  →  0 1 1 −
0
3

 0 0 1 −2 1 1 
 0 0 1 −2 1

 1 5 0 6 −3 −2

5
1

→ 0 1 0
−1 −

3
3
 0 0 1 −2 1
1
h3( −1)+η2
η3( −3)+η1


7
 1 0 0 −

3


5
5)+η1 
 η2(−

→ 0 1 0

3



 0 0 1 −2

 7
1 
−
2
−


3 
 3
1 
 5
⇒ Α−1 = 
−1 − 
3
3


1 
 −2 1
 1 2 2 
5) A =  2 1 −2 


 2 −2 1 
Ta có:

9

1
2
3
1











1
3
1
−1 −
3
1
1
2

−











 1 2 2 1 0 0  h1( −2 ) + h 2  1 2 2 1 0 0 

÷ h1( −2 ) + h 3 
÷
A =  2 1 −2 0 1 0 ÷ 
→  0 −3 −6 −2 1 0 ÷
 2 −2 1 0 0 1 ÷
 0 −6 −3 −2 0 1 ÷





 1
h 2 − ÷
1 2 2 1 0
 3
1 2 2 1 0 0

1
h 3 ÷
2
1

h 2( −2 ) + h 3

÷
9
→  0 −3 −6 −2 1 0 ÷→  0 1 2
−

3
3
 0 0 9 2 −2 1 ÷



2
2
0 0 1
−
9
9

5 4
2
1 2


1 2 0 9 9 − 9 ÷
1 0 0 9 9

÷


h 3( −2 ) + h 2
2 1
2 ÷ h 2( −2 ) + h1 
2 1
h 3( −2 ) + h1

→ 0 1 0
− 
→ 0 1 0

÷

9 9
9
9 9

÷

 0 0 1 2 − 2 1 ÷
 0 0 1 2 − 2
÷
9
9 9 
9
9


2 
1 2
9 9

9 ÷

÷
2 1
2÷
−1

⇒A =
−
9 9
9÷

÷
 2 − 2 1 ÷
÷
9 9 
9
Bài 2
Giải các phương trình ma trận sau
1 2
 3 5
1) 
÷X = 
÷
 3 4
 5 9
1 2
 3 5
Đặt A = 
÷; B = 

÷
3 4
5 9
Ta có: AX = B ⇔ X = A−1 B

−1
 −2
1 2
 4 −2  
1  d −b 
1
A =
÷ =

÷=

÷= 3
ad − bc  −c a  1.4 − 2.3  −3 1  
3 4
 2
 −2 1 
 3 5   −1 −1
⇒ X =  3 −1 ÷
=
÷

÷ 5 9 ÷
 2 3
 2
2 

 3 −2   −1 2 
2) X 
÷= 
÷
 5 −4   −5 6 
−1

10

1 
−1 ÷
÷
2 


0÷
÷
0÷
÷
1÷
÷
9
2 
9 ÷
÷
2÷
−
9÷
÷
1 ÷

÷
9 


 3 −2 
 −1 2 
Đặt A = 
÷; B = 
÷
 5 −4 
 −5 6 
Ta có: XA = B ⇔ X = BA−1
−1
2
 3 −2 
 −4 2  
1  d −b 
1
A =
÷ =

÷=

÷= 5
ad − bc  −c a  3.(−4) − 5.(−2)  −5 3  
 5 −4 
2
 2 −1 
÷ −1 2  =  3 −2 
⇒ X =5

3

÷ 
÷

− ÷ −5 6   5 −4 
2
2
−1

 1 2 −3 
 1 −3

÷

3)  3 2 −4 ÷ X =  10 2
 2 −1 0 ÷
 10 7



Giải:
 1 2 −3 
1

÷

Đặt A =  3 2 −4 ÷; B = 10
 2 −1 0 ÷




10
Ta có: AX = B ⇔ X = A−1 B

0
÷
7÷
8÷

−3 0 
÷
2 7÷
7 8 ÷

Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
 −4 3 −2   1 −3 0   6 4

÷
÷ 
Suy ra: X =  −8 6 −5 ÷ 10 2 7 ÷ =  2 1
 −7 5 −4 ÷ 10 7 8 ÷  3 3


 
 5 3 1   −8 3 0 

÷ 
÷
4) X  1 −3 −2 ÷ =  −5 9 0 ÷

 −5 2 1 ÷  −2 15 0 ÷

 

 5 3 1
 −8 3 0 

÷

÷
Đặt A =  1 −3 −2 ÷; B =  −5 9 0 ÷
 −5 2 1 ÷
 −2 15 0 ÷




−1
Ta có: XA = B ⇔ X = BA
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:

11

 −4 3 −2 

÷
A =  −8 6 − 5 ÷
 −7 5 −4 ÷



5
÷
2÷
3 ÷
−1

−1 
3÷
− ÷
2


1
3
 1
 19 − 19 − 19 ÷

÷
9
10
11 ÷
−1

A =
 19
19
19 ÷

÷
 − 13 − 25 − 18 ÷

÷
19
19 
 19

Suy ra:

 1

 −8 3 0   19

÷ 9
X = BA−1 = A =  −5 9 0 ÷

 −2 15 0 ÷ 19

 13
 −
 19

3
19 ÷  1 2 3 
÷
11 ÷ 
÷
= 4 5 6÷
÷
19
÷ 7 8 9÷


18 ÷ 
− ÷
19 

1
19
10
19
25
−
19
−

−

 3 −1   5 6   14 16 
5) 
÷X 
÷= 
÷
 5 −2   7 8   9 10 
 3 −1 
5 6
 14 16 
Đặt A = 
÷; B = 
÷; C = 
÷
 5 −2 
7 8

 9 10 
Ta có: AXB = C ⇔ X = A−1CB −1
−1

 3 −1 
 2 −1 
A =
÷ =
÷
 5 −2 
 5 −3 
−1
 −4 3 
 5 6
−1

÷
B =
5÷
÷ = 7
−
7 8
 2
2
Suy ra:
 −4 3 
 −4 3 
 2 −1  14 16  
 19 22  
1 2

÷
X =
=
5 ÷= 
5÷
÷
÷ 7
÷ 7
÷
−
− ÷ 3 4
 5 −3  9 10 
 43 50 
 2
2
 2
2
−1

12


BÀI TẬP VỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau:
7 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15

1) 5 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 15
10 x − 11x + 5 x = 36

2
3
 1
Giải:
Ta có:
7
2 3 15 
2 5 1 0 
2 5 1 0 

÷ h 2( −1)+ h1 
÷ h1( −2)+ h 2 
÷
→  5 −3 2 15 ÷→  1 −13 0 15 ÷
( A B ) =  5 −3 2 15 ÷
h 2( −2) + h 3
 10 −11 5 36 ÷
 0 −5 1 6 ÷

÷




 0 −5 1 6 
1

→  2
0


1

h 2(5) + h 3

→ 0
0

h1↔ h 2

−13 0 15 
 1 −13 0 15 
 1 −13 0 15 
÷ h1( −2) + h 2 
÷ h3(6) + h 2 
÷
5 1 0 ÷→  0 31 1 −30 ÷
→ 0 1 7 6 ÷

÷
 0 −5 1 6 ÷
−5 1 6 ÷

 0 −5 1 6 


−13 0 15 
÷
1
7 6÷
0 36 36 ÷



Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
 x1 − 13 x2 = 15
 x1 = 2


 x2 + 7 x3 = 6 ⇔  x2 = −1
36 x = 36
x = 1
 3
 3
2 x1 + x2 − 2 x3 = 10

2) 3x1 + 2 x2 + 2 x3 = 1
5 x + 4 x + 3 x = 4
 1
2
3
Giải:
Ta có:
 2 1 −2 10  h1( −1)+ h 2  2 1 −2 10 
 1 1 4 −9 

÷ h1( −2)+ h 3 
÷ h1↔ h 2 
( A B ) =  3 2 2 1 ÷→  1 1 4 −9 ÷→  2 1 −2 10 ÷÷
5 4 3 4 ÷
 1 2 7 −16 ÷
 1 2 7 −16 ÷







1 1
4 −9 
1 1
4 −9 

÷ h 2+ h 3 
÷
→  0 −1 −10 28 ÷→  0 −1 −10 28 ÷
0 1
 0 0 −7 21 ÷
3 −7 ÷




Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
h1( −2) + h 2
h1( −1) + h 2

13


 x1 + x2 + 4 x3 = −9
 x1 = 1



− x2 − 10 x3 = 28 ⇔  x2 = 2
−7 x = 21
 x = −3
3
 3

 x1 + 2 x2 − x3 = 3

3) 2 x1 + 5 x2 − 4 x3 = 5
3x + 4 x + 2 x = 12
2
3
 1
Giải:
Ta có:
 1 2 −1 3 
 1 2 −1 3 
 1 2 −1 3 

÷ h1( −2)+ h 2 
÷ h 2(2) + h 3 
÷
→  0 1 −2 −1÷ 
→  0 1 −2 −1 ÷
( A B ) =  2 5 −4 5 ÷
h1( −3) + h 3
 3 4 2 12 ÷
 0 −2 5 3 ÷

0 0 1 1 ÷






Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
 x1 + 2 x2 − x3 = 3  x1 = 2


 x2 − 2 x3 = −1 ⇔  x2 = 1
x = 1
x = 1
 3
 3
2 x1 + x2 − 3x3 = 1

4) 5 x1 + 2 x2 − 6 x3 = 5
3 x − x − 4 x = 7
3
 1 2
Giải:
Ta có:
 2 1 −3 1 
 −1 2 1 −6 
 −1 2 1 −6 

÷ h3( −1)+ h1 
÷ h1( −1)+ h 2 

÷
→  −1 4 2 −9 ÷
→  0 2 1 −3 ÷
( A B ) =  5 2 −6 5 ÷
h 3( −2) + h 2
h1(3) + h 3
 3 −1 −4 7 ÷
 3 −1 −4 7 ÷
 0 5 −1 −11÷






 −1 2 1 −6 
 −1 2 1 −6 
 −1 2 1 −6 

÷ h 2 ↔ h3 
÷ h 2( −2)+ h3 
÷
→  0 2 1 −3 ÷→  0 1 −3 −5 ÷ →  0 1 −3 −5 ÷
 0 1 −3 −5 ÷

÷
0 0 7 7 ÷


 0 2 1 −3 



Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
− x1 + 2 x2 + x3 = −6
 x1 = 3


⇔  x2 = −2
 x2 − 3 x3 = −5
7 x = 7
x = 1
 3
 3
h 2( −2) + h 3

2 x1 + x2 − 2 x3 = 8

5) 3x1 + 2 x2 − 4 x3 = 15
5 x + 4 x − x = 1
2
3
 1

14


Giải:
Ta có:
2 1
( A B ) =  3 2

5 4

 −1

h 2+ h 3

→ 0
0


−2 8 
 −1 −1 2 −7 
 −1 −1 2 −7 
÷ h 2( −1) + h1 
÷ h1(3) + h 2 
÷
−4 15 ÷
→  3 2 −4 15 ÷
→  0 −1 2 −6 ÷
h 2( −2) + h 3
h1( −1) + h3
 −1 0 7 −29 ÷
 0 1 5 −22 ÷
−1 1 ÷





−1 2 −7 

÷
−1 2 −6 ÷
0 7 −28 ÷

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
− x1 − x2 + 2 x3 = −7
 x1 = 1


⇔  x2 = −2
− x2 + 2 x3 = −6
7 x = −28
 x = −4
 3
 3
 x1 + 2 x2 − 3x3 = 1

6)  2 x1 + 5 x2 − 8 x3 = 4
3 x + 8 x − 13 x = 7
2
3
 1
Giải:
Ta có:
 1 2 −3 1 
 1 2 −3 1 
 1 2 −3 1 

÷ h1( −2)+ h 2 
÷ h 2( −2) + h 3 

÷
→  0 1 −2 2 ÷ →  0 1 −2 2 ÷
( A B ) =  2 5 −8 4 ÷
h1( −3) + h 3
 3 8 −13 7 ÷
 0 2 −4 4 ÷
0 0 0 0÷






Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
 x1 = −3 − x3
 x1 = −3 − t
 x1 + 2 x2 − 3 x3 = 1 

⇔  x2 = 2 + 2 x3 ⇔  x2 = 2 + 2t ( t ∈ R )

 x2 − 2 x3 = 2
 x tuø
x = t
 3
 3 yý
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4
4 x + 3x − x + 2 x = 6
 1

2
3
4
1) 
8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12
3x1 + 3 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6
Giải:
Ta có:

15


(

2

4
A B) = 
8

3

2
3
5
3

2

h2( −3) + h3  0


→
0

0

( −2 ) + h2
1 4  h1
−1
1
2 2
h1( −4 ) + h3
÷ h1 − 3  + h4 
2 6÷
0 −1
1
0
 ÷
 2

→
 0 −3
4 12 ÷
1
0
÷

2 6
 0 0 −1/ 2 1/ 2
2

−1
1
4
 2 2 −1
÷
−1
1
0 −2 ÷ h3( −1/4)+ h4  0 −1 1
→
 0 0 −2
0
−2
0
2÷
÷

0 −1/ 2 1/ 2 0 
0 0 0

−1
−1
−3
−2

 2 x1 + 2 x2 − x3 +

− x2 +
x3

Khi đó (1) ⇔ 

−2 x3



Từ (4) ⇒ x4 = −1
Thế x4 = −1 vào (3) ⇒ x3 = −1
Thế x3 vào (2) ta được: x2 = 1
Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: x1 = 1

x4 =

4

=

−2

=

−2

1
1
x4 = −
2
2

( 1)
( 2)
( 3)

4
÷
−2 ÷
−4 ÷
÷
0
1
4 
0
−2 ÷
÷
0
2 ÷
÷
1/ 2 −1/ 2 

( 4)

 x1 = 1
x = 1
 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
hay (1, 1, -1, -1)
x
=
−
1
3


 x4 = −1
2 x1 + 3x2 + 11x3 + 5 x4 = 2
 x + x + 5x + 2 x = 1
 1 2
3
4
2) 
2 x1 + x2 + 3x3 + 2 x4 = −3
 x1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = −3
Giải:
Ta có:
 2 3 11 5 2 
1

÷

1 1 5 2 1 ÷ h1↔ h2  2


→
( A / B) = 
2
2 1 3 2 −3 ÷

÷

 1 1 3 4 −3 
1

1 5 2 1

÷
3 11 5 2 ÷
1 3 2 −3 ÷
÷
1 3 4 −3 

16


1

0
   → 
0

0

1
1
÷

1 1 1 0 ÷ h2+ h3  0

→
0
−1 −7 −2 −5÷
÷

0 −2 2 −4 
0

1

h3(-3) + h4  0
  
→
0

0

1
1

h1( − 2 ) + h2
h1( − 2 ) + h3
h1( − 1) + h4

1

5

2

1
1
÷

1 1 1 0 ÷ h3↔ h4  0
  →
0

0 −6 −1 −5 ÷
÷

0 −2 2 −4 
0

1

5

2

1
÷
1 1 1 0÷
0 −2 2 −4 ÷
÷
0 −6 −1 −5 

1

1
÷
0÷
0 −2 2 −4 ÷
÷
0 0 −7 7 
(1)
 x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 = 1


x2 + x3 + x4 = 0
(2)

⇔
Suy ra: (2)

− 2 x3 + 2 x4 = −4
(3)


− 7 x4 = 7
(4)
Từ (4) ⇒ x4 = −1
Thế x4 = −1 vào (3) ⇒ x3 = 1
Thế x3, x4 vào (2) ta được: x2 = 0
Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: x1 = −2
5
1

2
1

x 1 = −2
x = 0
 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
x 3 = 1
x 4 = −1

hay (-2, 0, 1, -1)

2 x1 + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6

3) 3x1 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 4
9 x + 4 x + x + 7 x = 2
 1
2
3
4
2 7 3 1 6
 −1 2 1 −1 2 

÷ h2(-1)+ h1 
÷
→ 3 5 2 2 4÷
( A / B ) =  3 5 2 2 4 ÷
9 4 1 7 2÷
 9 4 1 7 2÷




 −1


→ 0
0

Phöông trình
h1(3)+h2

h1(3)+h3

2
 −1 2 1
÷ h2(-2)+ h3 
11 5 −1 10 ÷
→  0 11 5
0 0 0
22 10 −2 20 ÷


ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông
2

1

−1

17

−1

2
÷
−1 10 ÷
0 0÷

trình:

5

2


(1)
 − x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 2

11x2 + 5 x3 − x4 = 10 (2)

(2) : x4 = 11x2 + 5 x3 − 10

(1) ⇔ − x1 + 2 x2 + x3 − ( 11x2 + 5 x3 − 10 ) = 2 ⇔ x1 = −9 x2 − 4 x3 + 8
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
 x1 = - 9t - 4 s + 8
x1 = −9 x2 −4 x3 +8
x = t
x tuø
 2
 2 y yù
( ∀t , s ∈ R )
hay 

x
=
s
x
tuø
y
yù
3

2



 x =11t + 5s − 10
x
=
11
x
+
5
x
−
10
 4
2
3
 4
3x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2

4) 7 x1 − 4 x2 + x3 + 3x4 = 5
5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 3
2
3
4
 1
Ta có:
 3 −5 2 4 2 
 3 −5 2 4 2 


÷ h1(-2) + h2 
( A / B ) =  7 −4 1 3 5 ÷→  1 6 −3 −5 1 ÷÷
 5 7 −4 −6 3 ÷

÷


 5 7 −4 −6 3 
 1 6 −3 −5 1  h1( −3) + h 2  1 6 −3 −5 1 

÷ h1( −5) + h 3 
÷
h1↔ h 2
→  3 −5 2 4 2 ÷
→  0 −23 11 19 −1 ÷
 5 7 −4 −6 3 ÷
 0 −23 11 19 −2 ÷




 1 6 −3 −5 1 
h 2( −1) + h 3

÷
→  0 −23 11 19 −1÷
0 0
0 0 −1 ÷



Suy ra: (4) ⇔

 x1 + 6 x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0

 − 23 x2 + 11x3 + 19 x4 = −1

0 = −1


 2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1
2 x − x
− 3 x4 = 2
 1 2
5) 
− x3 + x4 = −3
3 x1
3 x1 + 2 x2 − 2 x3 + 5 x4 = −6

18

⇒ hệ vô nghiệm


2 1 1 1 1
0 0 1 2 1
1) + h 3

ữ hh 2(

ữ

2( 1) + h 4
2 1 0 3 2 ữ h 2( 1) + h1 2 1 0 3 2 ữ

( A B ) 3 0 1 1 3 ữ 1 1 1 4 5 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
3 2 2 5 6
0 3 2 8 8
1 1 1 4 5
1 1 1 4 5

ữ

ữ
2 1 0 3 2 ữ h1( 2) + h 2 0 3 2 11 12 ữ
h1 h 3



0 0 1 2 1 ữ
0 0 1
2 1 ữ

ữ

ữ

0 3 2 8 8 ữ
ữ
0 3 2 8 8


1 1 1 4 5

ữ
0 3 2 11 12 ữ
h 2+ h 4


0 0 1
2 1 ữ

ữ
ữ
0 0 0 3 4

Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
x1 = 0
x = 2
x1 + x2 x3 + 4 x4 = 5
2
3 x + 2 x 11x = 12
5 4



2

3
4
x3 = 5 hay 0, 2, , ữ

x3 + 2 x4 = 1
3 3

3




4
3 x4 = 4
x4 =
3

x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 11
2 x + 3x + 4 x + x = 12
1
2
3
4
6)
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 13
4 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 14
Giaỷi
1 2 3 4 11
1 2
3

4 11

ữ h1( 2) + h 2
ữ
2 3 4 1 12 ữ h1( 3) + h3 0 1 2 7 10 ữ


( A B ) = 3 4 1 2 13 ữ
h1( 4) + h 4
0 2 8 10 20 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
4 1 2 3 14
0 7 10 13 30
1 2 3 4

0 1 2 7
h 2( 2) + h 3


h 2( 7) + h 4
0 0 4 4

0 0 4 36

11

1
ữ

10 ữ h3+ h 4 0

0
0 ữ
ữ

40 ữ

0
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng

19

2 3 4 11
ữ
1 2 7 10 ữ
0 4 4 0 ữ
ữ
0 0 40 40 ữ

vụựi heọ phửụng trỡnh:


 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 11
 x1 = 2
 − x − 2 x − 7 x = −10



 x2 = 1
2
3
4
⇔
hay

− 4x3 + 4 x4 = 0

 x3 = 1

 x4 = 1
40x4 = 40

( 2,1,1,1)

 x1 − 2 x2 + 3x3 − 4 x4 = 4

x2 − x3 + x4 = −3

7) 
− 3x4 = 1
 x1 + 3x2
 − 7 x2 + 3 x3 + x4 = −3
Giải
 1 −2 3 −4 4 
 1 −2 3 −4 4 

÷


÷
0 1 −1 1 −3 ÷ h1( −1) + h 3  0 1 −1 1 −3 ÷

( A B ) =  1 3 0 −3 1 ÷→  0 5 −3 1 −3 ÷

÷

÷
÷
÷
 0 −7 3 1 −3 
 0 −7 3 1 −3 
 1 −2 3 −4 4 
 1 −2 3 −4 4 

÷

÷
0 1 −1 1 −3 ÷ h 3(2) + h 4  0 1 −1 1 −3 ÷
h 2( −5) + h 3


→

→
h 2(7) + h 4
 0 0 2 −4 12 ÷
 0 0 2 −4 12 ÷


÷

÷
÷
÷
 0 0 −4 8 −24 
0 0 0 0 0 
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
 x1 = −8
 x1 = −8
 x1 − 2 x2 + 3x3 − 4 x4 = 4
x = x + 3


 2
 x2 = t + 3
4
x2 − x3 + x4 = −3 ⇔ 
⇔
( t ∈ R)

x3 = 2 x4 + 6
x3 = 2t + 6



2x3 − 4 x4 = 12

 x4 tù
 x4 = t

y ý
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3

8) 6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7
9 x + 12 x + 3x + 10 x = 13
 1
2
3
4
Giải
3 4 1 2 3 
3 4 1 2 3
 3 4 1 2 3

÷ h1( −2)+ h 2 
÷ h 2( −4) + h3 
÷
→  0 0 0 1 1 ÷ →  0 0 0 1 1 ÷
( A B ) =  6 8 2 5 7 ÷
h1( −3) + h 3
 9 12 3 10 13 ÷
0 0 0 4 4÷
0 0 0 0 0÷






Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:

20


 x1 = 1 − 3t − 4s
 x3 = 1 − 3 x1 − 4 x2
x = t
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3 

⇔  x4 = 1
⇔ 2

x4 = 1

 x ,x tù
 x3 = s
 1 2 y ý
 x4 = 1

( t, s ∈ R )

9 x1 − 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 4

9) 6 x1 − 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 5
3 x − x + 3 x + 14 x = −8
3
4
 1 2
Giải
 9 −3 5 6 4 

 3 −1 3 14 −8 
 3 −1 3 14 −8 

÷ h 3↔ h1 
÷ h1( −2)+ h 2 
÷
→  0 0 −3 −24 21 ÷
( A B ) =  6 −2 3 4 5 ÷→  6 −2 3 4 5 ÷
h1( −3) + h 3
 3 −1 3 14 −8 ÷
 9 −3 5 6 4 ÷
 0 0 −4 −36 28 ÷







 3 −1 3 14 −8 
 3 −1 3 14 −8 

÷ h 3+ h 4 
÷
→  0 0 1 8 −7 ÷→  0 0 1 8 −7 ÷
 0 0 −1 −9 7 ÷
 0 0 0 −1 0 ÷





Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1
13
1 13


x1 = x2 +
x1 = t +


3 x1 − x2 + 3 x3 + 14 x4 = −8
3
3
3
3


 x tù

x3 + 8 x4 = −7 ⇔  2 y ý
⇔  x2 = t
( t ∈ R)




x = −7
x = −7
x4 = 0


 3
 3
 x4 = 0
 x4 = 0
 1
h 2 − ÷
 3
1
h 3 ÷
4

3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + x4 = 3
 2 x − 3 x + x + 5 x = −3
 1
2
3
4
10) 
− 4 x4 = −3
 x1 + 2 x2
 x1 − x2 − 4 x3 + 9 x4 = 22
Giải
 3 −2 −5 1 3 
1 2

÷

2 −3 1 5 −3 ÷ h1↔ h 3  2 −3


( A B ) =  1 2 0 −4 −3 ÷→  3 −2

÷

÷
 1 −1 −4 9 22 
 1 −1
 1 2 0 −4 −3 
1

÷

h1( −2) + h 2
0 −7 1 13 3 ÷ h 3( −1)+ h 2  0
h1( −3) + h 3


→
→
h1( −1) + h 4
 0 −8 −5 13 12 ÷ h 3( −1)+ h 4  0

÷

÷
 0 −3 −4 13 25 
0

21

0 −4 −3 
÷
1 5 −3 ÷
−5 1 3 ÷
÷
−4 9 22 ÷

2 0 −4 −3 
÷
1 6 0 −9 ÷
−8 −5 13 12 ÷
÷
5 1 0 13 ÷



1

0
h 2(8) + h 3


h 2( 5) + h 4
0

0

2 0 4 3
1
ữ h 4 1 h 3

1 6
0 9 ữ
0
ữ
29


0
0 43 13 60 ữ
ữ

0 29 0 58 ữ

0

2 0 4 3
ữ
1 6 0 9 ữ
0 1 0 2 ữ
ữ
0 43 13 60 ữ


1 2 0 4 3

ữ
0 1 6 0 9 ữ
h 3(43) + h 4

0 0 1 0 2 ữ

ữ
ữ
0 0 0 13 26
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
x1 2 x2 4 x4 = 3 x1 = 1
x + 6 x = 9

2
x2 = 3
3


x3 = 2
x3 = 2
13 x4 = 26
x4 = 2

11)

x1 + x2 6 x3 4 x4 = 6
3x x 6 x 4 x = 2
1 2
3
4

2 x1 + 3 x2 + 9 x3 + 2 x4 = 6
3x1 + 2 x2 + 3x3 + mx4 = 7

Giaỷi

1 1 6 4 6
1 1 6 4 6

ữ h1( 3) + h 2
ữ
3 1 6 4 2 ữ h1( 2) + h 3 0 4 12 8 16 ữ


( A B ) = 2 3 9 2 6 ữ
h1( 3) + h 4
0 1 21 10 6 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
3
2
3
8

7
0

1
21
20

25




1 1 6 4 6
1 1 6 4 6

ữ

ữ
1
h 2 ữ
0 1 3 2 4 ữ
0 1 3 2 4 ữ
h 2+ h3
4




0 1 21 10 6 ữ h 2( 1) + h 4 0 0 24 12 10 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
0 1 21 20 25

0 0 18 18 21
1 1 6 4 6
1 1 6 4 6

ữ

ữ
0 1 3 2 4 ữ h 3( 2) + h 4 0 1 3 2 4 ữ



0 0 6 6 7 ữ
0 0 6 6 7 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
0 0 12 6 5
0 0 0 6 9
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1
1
h 4 ữ h 3 ữ
3
2

22

x1 = 0
x1 + x2 6 x3 4 x4 = 3 x = 2
2
x + 3 x + 2 x = 4
2

3
4
x3 = 1

6
x
+
6
x
=

7
3
4
3

6 x4 = 9

3
x4 =

2
2 x1 x2 + x3 x4 = 1

2 x x 3x = 2
1 2
4
12)
3 x1 x3 + x4 = 3
2 x1 + 2 x2 2 x3 + 5 x4 = 6
Giaỷi
2 1 1 1 1
2

ữ h1( 1) + h 2
2 1 0 3 2
0
h1( 1) + h 3

( A B ) = 3 0 1 1 3 ữữ
h1( 1) + h 4
1

ữ

ữ
2 2 2 5 6
0
1 1 2 2 4
1

ữ

0 0 1 2 1 ữ h1 ( 2) + h 2 0

h1 h 3




2 1 1 1 1 ữ
0

ữ

ữ
0 3 3 6 7
0
1 1 2 2 4
1

ữ

0 0 1 2 1 ữ h 2 h 3 0
h 3+ h 4



0 3 5 5 9 ữ
0

ữ

ữ
0 0 2 1 2

0
1 1 2 2 4

ữ
0 3 5 5 9 ữ
h 3( 2 ) + h 4



0 0 1 2 1 ữ

ữ
ữ
0
0
0

3
4



1 1 1 1
ữ
0 1 2 1 ữ
1 2 2 4 ữ
ữ
3 3 6 7 ữ

1 2 2 4

ữ
0 1 2 1 ữ
3 5 5 9 ữ
ữ
3 3 6 7 ữ

1 2 2 4
ữ
3 5 5 9 ữ
0 1 2 1 ữ
ữ
0 2 1 2ữ


Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
x1 = 0
x = 2
x1 + x2 2 x3 + 2 x4 = 4
2
3 x + 5 x 5 x = 9


2
3
4
x3 = 5

3
x3 2 x4 = 1

3x4 = 4

4
x4 =
3


23


3 x1 + 5 x2 3 x3 + 2 x4 = 12
4 x 2 x + 5 x + 3 x = 27
1
2
3
4
13)
7 x1 + 8 x2 x3 + 5 x4 = 40
6 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 = 41
Giaỷi
3 5 3 2 12
3 5 3 2 12

ữ h1( 1) + h 2
ữ
4 2 5 3 27 ữ h1( 2) + h 3 1 7 8 1 15 ữ


( A B ) = 7 8 1 5 40 ữ
h1( 2) + h 4

1 2 5 1 16 ữ

ữ

ữ
ữ
ữ
6 4 5 3 41
0 6 11 117
1 2 5 1 16
1

ữ

1 7 8 1 15 ữ h1( 1)+ h 2 0
h1 h 3




3 5 3 2 12 ữ h1( 3) + h 3 0

ữ

ữ
0 6 11 117
0
1

h 2(2) + h 3

0


h 2( 1) + h 4
0

0

2 5
1 16
ữ
5 3
0 1 ữ
11 18 1 36 ữ
ữ
6 11 1 17 ữ

2 5
1 16
1 2 5
1 16
ữ

ữ
5 3
0 1 ữ h 2 h 4 0 1 8 1 18 ữ

0 1 12 1 38 ữ
1 12 1 38 ữ
ữ

ữ
1 8 1 18 ữ
0 1 ữ

0 5 3


1 2 5
1 16
1

ữ h 3 1
0 1 8
1 18 ữ
ữ
h 2+ h3
2
0



h 2( 5) + h 4
0 0 4 2 20 ữ
0

ữ

ữ
0 0 37 5 91

0
1 2 5 1 16
1 2

ữ

0 1 8 1 18 ữ h3 h 4 0 1
h 3( 18 ) + h 4




0 0 2 1 10 ữ
0 0

ữ

ữ
0 0 1 23 89
0 0

2 5
1 16
ữ
1 8 1 18 ữ
0
2
1 10 ữ
ữ
0 37 5 91ữ

5 1 16
ữ
8 1 18 ữ
1 23 89 ữ
ữ
2 1 10 ữ


1 2 5 1 16

ữ
0 1 8 1 18 ữ
h 3(2) + h 4



0 0 1 23 89 ữ

ữ
ữ
0 0 0 47 188
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
x1 2 x2 + 5 x3 + x4 = 16
x1 = 1
x + 8 x x = 18

2
x2 = 2
3

4


x3 + 23x4 = 89
x3 = 3
47 x4 = 188
x4 = 4

24


4 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 5 x4 = 0
2 x
+ 3 x3 x4 = 10
1
14)
= 10
x1 + x2 5 x3

3 x2 + 2 x3
=1
Giaỷi
Ta coự:
4 4 5 5 0
1 1

ữ

2 0 3 1 10
2 0

h1 h 3

( A B ) = 1 1 5 0 10 ữữ
4 4

ữ

ữ
0 3 2 0 1
0 3
1 1 5 0 10
1

ữ

0 2 13 1 30 ữ h 4+ h 2 0
h1( 2) + h 2




h1( 4) + h 3
0 0 25 5 40 ữ
0

ữ

ữ
0 3 2 0 1
0

1 1 5 0 10
1

ữ h 3 1
0 1 15 1 31 ữ
0
ữ
h 2( 3) + h 4
5




0 0 25 5 40 ữ
0

ữ

ữ
0 0 43 3 92
0
1

0
h 3(9) + h 4


0

0

1

0
h 3( 5) + h 4

0

0

1 5 0 10
1
ữ h 4 1 h 3
1 15 1 31 ữ
0
ữ
2


0
0 5 1 8 ữ
ữ

0 2 12 20 ữ

0

5 0 10
ữ
3 1 10 ữ
5 5 0 ữ

ữ
2 0 1 ữ

1 5 0 10
ữ
1 15 1 31 ữ
0 25 5 40 ữ
ữ
3 2 0 1 ữ

1 5 0 10
ữ
1 15 1 31 ữ
0 5
1 8 ữ
ữ
0 43 3 92 ữ

1 5 0 10
ữ
1 15 1 31 ữ
0 1 6 10 ữ
ữ
0 5 1 8 ữ


1 5 0 10
ữ
1 15 1 31 ữ
0 1

6 10 ữ
ữ
0 0 29 58 ữ


Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
x1 + x2 5 x3 = 10
x1 = 1
x + 15 x x = 31

2
x2 = 1
3
4


x3 + 6 x4 = 10
x3 = 2
29 x4 = 58
x4 = 2

25