TỔNG hợp KIẾN THỨC TOÁN 11

TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN ĐI ĐẠI HỌC 2018

TOÁN 11
CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC ................................................................................ 2
VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC ...................................................................... 2
VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC .............................................................. 3
VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ....................................................... 4

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT ...................................................................... 7
VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM ........................................................................................... 7
VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON .......................................................................... 9
VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT............................................................................................ 9

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................... 11
VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ......................................... 11
VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ ............................................................................................... 11
VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ..................................................... 12

CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN ...................................................................................... 14
VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ........................................................................... 14
VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ ........................................................................... 15
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC ........................................................................... 16
VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ............................. 16

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM ...................................................................................... 17
VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM .................................................................. 17

VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ....................................................... 18
VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN ............................................................................................. 18

CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC .................................................................................... 19
VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .............................................. 19
VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG ............................................... 19
VẤN ĐỀ 3: GÓC ..................................................................................................... 23
VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH ................................................................................ 23

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

1


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

TOÁN 11
CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC
VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Hàm số
TXĐ:
và
Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là

Hàm số
TXĐ:

và
Hàm số chẵn và là hàm số tuần hoàn chu kì là

Hàm số

Hàm số

TXĐ:

{

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là

VD: Tập xác định của
TXĐ:
VD: Tập xác định của
ĐK:
,
)
TXĐ:

*

TXĐ:

}

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là

.

VD: Tập xác định củ

/

√
ĐK: {

{
{

TXĐ:

VD: Tìm GTLN và GTNN của
Có
khi
khi

+

VD: Tìm GTLN và GTNN của
Có
(

(

}

)

khi

)

(

)

hi
(

VD: Xét tính chẵn lẻ của
Kí hiệu ( )
và TXĐ:

)

Nhắc lại:
( ) là hàm số chẵn

{

(

)

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

( )
2

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
(

)

(

)

(

)

( )

( ) là hàm số lẻ

Do đó đây là hàm số lẻ.

{ (

)

( )

VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
CƠ BẢN
)

)

)

)

)

)

)
(
(

)
)

)
)

)
)

(
(

)
)

CUNG LIÊN KẾT
ĐỐI
(
(
(
(

BÙ

)

(
)

(
(
(

)
)
(cos đối)

PHỤ

)
)
)

)

.

/

.

/

.

/

.

/

(phụ chéo)

(sin bù)

HƠN KÉM
(
(

)
)

(

(

HƠN KÉM
)
)

(tan cot hơn kém )

.

/

.

/

.

/

.

/

(sin lớn bằng cos nhỏ)

CỘNG
(
(

)
)

(sin thì sin cos cos sin)
(cos thì cos cos sin sin dấu trừ)

NHÂN ĐÔI

(

)

NHÂN BA
(sin3a bằng 3 sin trừ 4 sỉn)
(cos3a bằng 4 cổ trừ 3 cô)

CÔNG THỨC HẠ BẬC

TÍCH – TỔNG

T NH THEO

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

3


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
,

(

)

(

)- (cos c n c n cos t ừ

,

(

)

(

)- (cos t ừ t ừ cos c n

,

(

)

(

)- (s n c n c n s n t ừ

TỔNG – TÍCH

(cos c ng cos bằng 2 cos cos)

(sin c ng sin bằng 2 sin cos)

(cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin)

(sin trừ sin bằng 2 cos sin)

(

)

(tình mình c ng vớ tình ta, s nh a 2 đứa con mình con ta)

√

.

/

√

.

/

NHỚ

(

)

VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN
(

0

) (cos đối)

(

0
)(sin bù)

(

)

(

)

ĐẶC BIỆT

(
(
(

(

)
)
)
)

(
(
(
(

)
) hoặc

(

)

)
)

( )

.

/

( )

.

/

( )

.

/

( )

.

/

√

VD:

VD:
.

[

[

(

/

)
[

VD:

(

)

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

4


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

(

[

[
(

)

)

PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN
Cách giải: Chia 2 vế phƣơng trình cho √
VD: √

, s u đó áp dụng công thức cộng.

Chia 2 vế pt cho √(√ )
√

.
(

/

)

PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Dạng
Cách giải

PHƢƠNG TRÌNH CHỨA
VÀ s
Cách giải

X t

Đặt

Thay

vào pt (nhớ

với

)

√

.

/

√

.

/

[ √ √ ]

X t

Chia 2 vế pt cho
, giải pt theo
.
Ghi chú
 Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc
đƣ về dạng
.

VD:
Xét
(vô lý)
Xét
(

pt

VD:
Đặt
[ √ √ ]

với

)
( )
.

√

[

.
(

[
(

)

[

)

/
/

.

.

[

ĐIỀU KIỆN
Phƣơng trình chứa

thì

Phƣơng trình chứa

.
/

/
(

thì

/

)

Phƣơng trình chứa

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

5

√


TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.
thì
{

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

6


TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT
VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM

QUI TẮC CỘNG
Công việc chi làm 2 trƣờng hợp:
- Trƣờng hợp 1: có cách.
- Trƣờng hợp 2: có cách.
Khi đó, tổng số cách thực hiện là
.
HOÁN VỊ
vật sắp xếp vào chổ, số cách
xếp là:

QUI TẮC NHÂN
Sự vật 1 có cách. Ứng với 1
cách chọn trên ta có cách chọn
sự vật 2.
Khi đó, tất cả số cách chọn liên
tiếp 2 sự vật là
.
CHỈNH HỢP
vật, lấy ra vật rồi sắp xếp thứ
tự, số cách xếp là:
(

GIAI THỪA
(

)

)
) (

)

Qui ƣớc:
Lƣu ý:
(
(

TỔ HỢP
vật, lấy ra vật nhƣng
không sắp xếp thứ tự, số
cách xếp là:

)
(

NHỚ
Số chi
Số chi
Số chi
Số chi

hết cho : tận cùng là
hết cho : tận cùng là
hết cho : tận cùng là
hết cho
hi tận cùng là

VD: Trong một lớp có 18 bạn n m, 12 bạn nữ. Có
b o nhiêu cách chọn
. Một bạn phụ trách quỹ lớp.

b. H i bạn, trong đó có một n m và một nữ.
Giải:
a. Có
cách chọn
b. Chọn 1 nam: 18 cách.
Chọn 1 nữ: 12 cách.
Do đó có
cách.
VD: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A; B; C; D
vào bốn chiếc ghế thành hàng ngang?
Giải:
Số cách xếp là
cách.
VD: Cho 6 đƣờng thẳng song song với nh u và 8
đƣờng thẳng hác cũng song song với nh u đồng
thời cắt 6 đƣờng thẳng đã cho. Hỏi có b o nhiêu
hình bình hành đƣợc tạo nên bởi 14 đƣờng thẳng
đã cho?
Giải:

)

Số chi hết cho : tổng các chữ số chi hết cho
.
Số chi hết cho : tổng các chữ số chi hết cho
.
Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên
qu n số nên chi trƣờng hợp.
VD: Có 5 bông hồng, 7 bông cúc, 3 bông l n.
Tìm số cách

. Chọn 3 bông từ các bông trên.
b. Chọn 3 bông ho trong đó có đầy đủ các loại.
c. Chọn 3 bông có trong đó phải có ít nhất 2
bông cúc.
Giải:
a. Chọn 3 bông từ 15 bông, số cách là
.
b. Có 5 cách chọn 1 bông hồng
Có 7 cách chọn 1 bông cúc.
Có 3 cách chọn 1 bông lan.
Do đó có
cách chọn 3 bông hoa
trong đó có đầy đủ các loại.
c. TH1: 2 bông cúc.
Có
cách chọn 2 bông cúc từ 7 bông cúc.
Có
cách chọn 1 bông còn lại từ 8 bông.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

7


TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

Một hình bình hành đƣợc tạo nên từ 2 đƣờng

thẳng trong 6 đƣờng thẳng b n đầu và 2 đƣờng
thẳng trong 8 đƣờng thẳng còn lại.
Chọn 2 đƣờng từ 6 đƣờng b n đầu có
cách.
Chọn 2 đƣờng từ 8 đƣờng còn lại có
cách.
Do đó, số hình bình hành là
.

Do đó có
cách.
TH2: 3 bông cúc.
Có
cách chọn 3 bông cúc.
Vậy có tất cả
cách chọn 3 bông
trong đó có ít nhất 2 bông cúc.

VD: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập đƣợc b o nhiêu
số tự nhiên có 4 chữ số và
. Khác nh u.
b. Là số lẻ.
c. Là số chẵn.
d. Là số chia hết cho 5
Giải:
Gọi ̅̅̅̅̅̅̅ là số tự nhiên thỏ đề bài (
)
a. Chọn : 5 cách.
Chọn
cách.

Do đó có
số
b. Chọn : 3 cách.
Chọn : 4 cách.
Chọn
cách.
Do đó có
c. TH1: là 0.
Chọn : 1 cách.
Chọn : 5 cách.
Chọn
cách.
Do đó có
TH2: là 2; 4.
Chọn : 2 cách.
Chọn : 4 cách.
Chọn
cách.
Do đó có
Vậy có
d. TH1: là 0.
Chọn : 1 cách.
Chọn : 5 cách.
Chọn
cách.
Do đó có
TH2: là 5.
Chọn : 1 cách.
Chọn : 4 cách.
Chọn

cách.
Do đó có
Vậy có

VD: Tìm biết

Giải:
Điều kiện: {

(

số.

)

(

(

)

(

)

)
(

(
)(

)
)

( )
( )

[

số.

{

Vậy
VD: Tìm

biết
Giải:

Điều kiện: {
số.
số.

(

(

)

{

)

(
(
[

)
)
( )
( )

Vậy
số.

số.
số.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

8


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON
NHỊ THỨC NEWTON
(

)

∑

Chú ý:
x .x  x
m

n

mn

x   x 
m

n

n

,
m

m

xm
 xm  n ,
n
x

m

m

1
 xm
xm

1
 x1 ,
x

 x m.n ,

xm  x 
  ,
ym  y 

x .y  (xy) ,
m

1

n

,

x  x2 ,

m

(

)

(

xn  x m

(với điều kiện x, y đều có nghĩ

trong tất cả các công thức trên).
NHỚ
(
(

)
)

(

VD: Khai triển (
(

,

)

)

(
(

)

))

(

VD: Tìm số hạng hông chứ

)

trong h i triển củ (

)

(

)

)

Giải:
(

)

(

∑

Ycbt
Số hạng không chứa
VD: Chứng minh

)

(

)

∑

∑

là
Giải:

Ta có: (
Thay

)

VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT
XÁC SUẤT
( )

( )
( )

Lƣu ý:
( )

( )
( ̅)

VD: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứ 20 thẻ đƣợc đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ
đƣợc lấy ghi số
a. Chẵn.
b. Chia hết cho 3.
c. Lẻ và chia hết cho 3.
Giải:
*
+
( )
Không gian mẫu
.Kí hiệu
lần lƣợt là biến cố trong câu
a; b; c.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

9


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

*

+

*
*

( )
+

+

( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

10

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP
SỐ NHÂN
VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
PHƢƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức ( ) đúng. Một trong những cách chính là qui nạp toán học:
1. Kiểm tra với
( ) đúng h y hông.
2. Giả sử với
( ) đúng.
3. Với
, ta chứng minh (
) đúng.
(
)
(
) với
VD: Chứng minh
với
Giải:
(
)
Với
:
Với

: Đặt
(
)
(
)
Giả sử
(
) (
)
Với
: Ta chứng minh
(
), (
)
(
) (
)(
)
Thật vậy,
(
)(
) (
) (
)
Vậy hệ thức đúng với mọi
.

VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ
DÃY SỐ
Dãy số ( ) là hàm số đi từ

đến . Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức
truy hồi.
DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM
( ) là dãy số tăng
( ) là dãy số tăng
Khi

Khi

, t có thể dùng

, t có thể dùng

VD: X t tính tăng, giảm củ dãy số cho bởi
(

(

)(

)

)(
(

Giải:
)

(
)(

(

)(
) (
)(
)
. Vậy ( ) là dãy số tăng.
DÃY SỐ BỊ CHẶN
 ( ) bị chặn trên
 ( ) bị chặn dƣới
 ( ) bị chặn
( ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dƣới

)(

)

)
)(

)

(

VD: Chứng minh dãy số cho bởi

|

|

bị chặn.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

11


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

Giải:
(
Do đó (

)

) bị chặn.

VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
CẤP SỐ CỘNG

1. Định n hĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2
3. Tính chất các số hạng: uk 

uk 1  uk 1
với k  2
2

Sn  u1  u2  ...  un 

4. Tổng n số hạn đầu tiên:

n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d 
=
2
2

CẤP SỐ NHÂN

1. Định n hĩa: (u n ) là CSN, q là công bội un1  un .q
2. Số hạng tổng quát: un  u1.q n 1 với n  2
3. Tính chất các số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k  2
 S n  nu1
4. Tổng n số hạn đầu tiên: 
u1 (1  q n )
S 
 n
1 q
VD: Cho dãy số ( ) với
a. Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b. Chứng minh ( ) là cấp số cộng. Chỉ rõ
c. Tính tổng của 100 số hạng đầu.
Giải:
a.
(
)
b. Có
Do đó

.
Suy ra ( ) là cấp số cộng với
,

c.
VD: Tìm

và

(

)(

của CSC (

)-

) biết {

Giải:
(
{

{
{

,
{

)

và .

.

khi q  1
khi q  1
( )
VD: Cho dãy số ( ) với
a. Chứng minh ( ) là cấp số nhân.
b. Lập công thức truy hồi của dãy số.
c. Hỏi số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Giải:
( ) ( )
( )
( )
.
( )
( )
. Do đó ( ) là cấp số nhân với
.
b.
c. Giả sử
là số hạng thứ của dãy số.
Khi đó
.
VD: Tìm

và

của CSN (

-

) biết {

Giải:
{

{
{
(

(

)
(

)

)

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

12


TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.
[

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

13


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN
VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ
NHỚ
với

nguyên dƣơng.

với

(
(

)

(

hi | |
hi
với là hằng số.

TÍNH CHẤT

lim un ;lim vn )

TÍNH CHẤT (áp dụng khi tồn tại
)
)

{

nguyên dƣơng.

)

)

}

)
)

)

hi

) Khi

thì

√

√

}

)

}

PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa
luỹ thừa của , ta chia tử và mẫu cho
với là số mũ
cao nhất.

(

)

 Nếu biểu thức đã cho có chứa dƣới
dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với
cùng một biểu thức liên hợp.

VD:
√

.√

VD:

(√

/

.
√

√

√

)(√

√

√

√

√
. / ]

√

. /

VD:
[

)

/

√
[. /

√

. /

. / ]

. /

TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Khi | |

t có

VD: Tính tổng

√

√
Giải:

√
T có | |

√
nên

à một cấp số nhân với công bội
(

√

)

√
√

√

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

14


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
NHỚ
)

)
)

)
với là hằng số.
TÍNH CHẤT (dùng khi tồn tại
)

(

)

(

{

với nguyên dƣơng.
hi chẵn
hi l

)
)

)
)

( )

) Khi

hi
thì

√

√

TÍNH CHẤT
(

}
(bằng
hay
của và coi

)

}
}

ta phải xem dấu
hay

(bằng
dấu của
)

)

hay
và coi

ta phải xem
hay

GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI
Giới hạn bên trái,
tức
khi
Giới hạn bên phải,
tức
khi
PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN HÀM SỐ
(dạng )

Dạng

 Dùng lƣợc đồ Hoocne.
 Nếu
chứa biến
trong căn, t nhân tử
mẫu cho biểu thức liên
hợp.

Dạng
(
) (dạng
)
Dạng

(
) (dạng
)
 Nhân và chia với biểu thức
liên hợp hoặc qui đồng mẫu.

√
(

VD:

VD:

)

 Chia tử, mẫu cho
với là số mũ
cao nhất.
 Nếu
chứa biến trong căn, t đƣ
ra ngoài dấu căn (với là số mũ
cao nhất trong căn), rồi chia tử và
mẫu cho luỹ thừa của .
(
)(
)
(
)(
)

VD:
VD

(dạng

Dạng

√

)(√

)

√

.

/

.

/

√

√
.

/

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

15


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
.√

VD:

(

/

√

(

VD:

)
√

)

(do

(

VD:

(do {

(

√

)
)

(

)
)

(

)

)

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI
liên tục trái tại

HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI
liên tục phải tại

( )

( )

HÀM SỐ LIÊN TỤC
( ) (áp dụng cho các hàm số có dấu

[

liên tục tại

)

( ) (áp dụng cho các hàm số có dấu

VD: X t tính liên tục củ

( )

hi

{

)

tại

hi
Giải:

TXĐ:

và
( )

VD: Tìm

(

để ( )

)

hi

{

( )

(

(

)

)

hàm số không liên tục tại

tại

hi
Giải:
TXĐ:

( )

và
(

( )

)(

)

( )
( )

( )

( )

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH
liên tục trên ,
} phƣơng trình
( ) ( )
VD: Chứng minh phƣơng trình

CÓ ÍT NHẤT 1 NGHIỆM TRONG KHOẢNG (
có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (

).

luôn có nghiệm.
Giải:

Xét ( )
liên tục và xác định trên
( )
và ( )
nên ( ) ( )
Do đó phƣơng trình luôn có nghiệm.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

16

)


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM
VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

(
)
( )
( )
(

(ở đây

)
( ))
( )
( )

( )

Hoặc

BẢNG ĐẠO HÀM

(

ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI
( )
( )
Đạo hàm bên trái ( )

(

Đạo hàm bên phải

( )

)

QUI TẮC ĐẠO HÀM
(

)

(

(

)

( )

(√ )

( )

)

(

)

( )

)

(

Thay bởi ,
nhân thêm

(
(

)
)

(

)

(

)

(√ )

√

)

(
(

)

)

(

)

(

)

√

. /
VD: Bằng định nghĩ , tính đạo hàm của ( )

√

tại
Giải:

( )

( )

( )

√
(

)(√

)

√

VD:
(

VD:
VD:

)
) (

(

)
)

(
(

)

VD:

(
(

)

)

(

(

)

)

(

)

)√
)√

) .√

(

(

√

)

(

(

VD:

(

)(

(

)

√

/
)

(

)

√

√

VD:
(

)(

)
(

(

)(

)

)

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

17


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
(

)(

)

(

(

)

)

(

(
VD:

)

)
√

(

)

. /

(√ )

√

√

√

VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Giải ( )
( )
Thay vào

) DẠNG: ( )

(

PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI

(

Tiếp tuyến ( )

Giải pt

Phƣơn t ình t ếp tuyến của đồ thị ( ) biết tiếp tuyến qua (
 Giả sử tiếp điểm là (
). Phƣơng trình tiếp tuyến là ( )
( )
( )(
)

(pt ẩn )
)
VD: ( )
. Lập pttt tại (
VD: ( )
Giải:

Pttt là
VD: ( )

)

Nhớ:
Tiếp tuyến ( ) ( )

Thay vào

( )
( )(

)(

( )
Pttt là

)
. Lập pttt qua (

( )

( )

( )

).
( )(

)

. Lập pttt có hệ số góc là .
Giải:

( )(

)

)
Giải:

Pttt

là

Có

( )(

)

(

(
)(

)(

)

)

( )
( )

VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN
VI PHÂN
Ví dụ: (

)

(

)

NHỚ
(
(

)
)

(
với

)

là hằng số.

. /
DÙNG VI PHÂN TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG
(
)

( )

( )

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

18


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC 11
VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
NHỚ

- Trọng tâm: gi o điểm 3 đƣờng trung tuyến.
- Trực tâm: gi o điểm 3 đƣờng cao.
- Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp: gi o điểm 3 đƣờng trung trực.
- Tâm đƣờng tròn nội tiếp: gi o điểm 3 đƣờng phân giác.
ĐỊNH LÍ TALES

TRỌNG TÂM TAM GIÁC

HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
sin = đối/huyền
cos = kề/huyền

t n = đối/kề

cot = kề/đối

(S n đ học - Cứ khóc hoài - Thô đừng khóc - Có kẹo đây

DIỆN T CH
Tam

ác đều

Đƣờng c o

Tam giác vuông cân

Cạnh huyền

Hình vuông

Đƣờng ch o

cạnh √
cạnh góc vuông √
cạnh √

VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG
CÁCH XÁC ĐINH MỘT MẶT PHẲNG




3 điểm không thẳng hàng.

● 1 đƣờng thẳng và 1 điểm không thuộc đƣờng thẳng.

2 đƣờng thẳng cắt nhau.
● 2 đƣờng thẳng song song.
VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

19


TOÁN THẦY THẬT
( )

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

( )

cắt ( )

( )

( )

( )

VỊ. TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG
( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) cắt ( )

( )

( )

VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG

{

( )
( )

chéo nhau
hông đồng phẳng.

cắt

CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cách 1: Tìm h i điểm chung của hai mặt
Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và
phẳng.
phƣơng gi o tuyến (tức tìm trong hai mặt phẳng hai
( )
đƣờng thẳng song song với nhau).
( ) ( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( )
Chú ý: Để tìm điểm chung củ h i mặt phẳng
với
{
(
)
(

)
t thƣờng tìm h i đƣờng thẳng đồng phẳng lần
lƣợt nằm trong h i mặt phẳng. Gi o điểm, nếu
có, củ h i đƣờng thẳng này chính là điểm
chung cần tìm.
CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Để tìm gi o điểm của và ( ), ta tìm trong ( ) một đƣờng thẳng cắt
( ).
tại . Khi đó:
( )
( )
chƣ có sẵn thì ta chọn ( ) qua và lấy
{

Chú ý: Nếu

( )

( ).

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

20


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

THIẾT DIỆN
Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp là đ giác giới hạn bởi các giao tuyến của ( ) với các mặt của
hình chóp. Nhƣ vậy, để tìm thiết diện ta lần lƣợt đi tìm gi o tuyến của ( ) với các mặt củ hình chóp.
CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG ĐƢỜNG THẲNG
Cách 1: Chứng minh h i đƣờng thẳng đồng
Cách 2: H i đƣờng thẳng phân
phẳng rồi áp dụng phƣơng pháp chứng minh song biệt cùng song song với đƣờng
song trong hình học phẳng (đƣờng trung bình;
thẳng thứ b thì song song với
định lí T les…)
nhau.
{
Cách 3: Hai mặt phẳng cắt
nhau theo giao tuyến d và
lần lƣợt chứ h i đƣờng
thẳng song song thì giao
tuyến của nó s có 3 trƣờng
hợp:

( )

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến ,
đƣờng thẳng nằm trong ( ) và song song với mặt
phẳng còn lại thì s song song với
giao tuyến.
( )

( )
( )
( )

}

( )

{

[
( )
( )
Nhƣ vậy, trong trƣờng hợp này ta chỉ cần chỉ ra
không trùng với hoặc thì s suy r đƣợc
hoặc
.
Cách 5: Hai mặt phẳng
cắt nhau theo giao tuyến
, đƣờng thẳng song
song với cả hai mặt phẳng
thì s song song với giao
tuyến.
( ) ( )
( ) }
( )

Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng
thứ 3 thì hai giao tuyến đó
song song.
( ) ( )
( ) ( )
}

( ) ( )

Cách 7: Ba mặt phẳng cắt nhau
theo 3 giao tuyến phân biệt, thì 3
giao tuyến ấy song song hoặc
đồng quy.
( ) ( )
( ) ( )
}
( ) ( )

Cách 8: H i đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một mặt phẳng thì song song với nhau.

[

( )
( )}

đồng quy

Nhƣ vậy, ta chỉ cần chứng minh
đồng quy thì s suy r đƣợc

không
.

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

21

TOÁN THẦY THẬT

NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Cách 2: H i mặt phẳng song song với nh u, mọi
Cách 1: Chứng minh đƣờng thẳng không nằm
đƣờng thẳng nằm trong mặt này s song song với
trong ( ) và song song với đƣờng thẳng nằm
mặt kia.
trong ( ).
( )}
( )

( )

{

( )

( )
( )

( )

CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƢỜNG THẲNG
Cách 1: H i đƣờng thẳng vuông góc nếu nhƣ góc

giữa chúng bằng 90 .
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(̂)
|⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ |
(
) ̂

Cách 2: Một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng thì
s vuông góc với mọi
đƣờng nằm trong mặt
phẳng.
( )
{
( )

Cách 3: Đƣờng thẳng không vuông góc ( ) và
đƣờng thẳng nằm trong ( ). Khi đó, điều kiện
cần và đủ để vuông là vuông với hình
chiếu
của trên ( )
hông vuông góc ( )
( )
}
là hình chiếu củ trên ( )

Cách 4: H i đƣờng thẳng song song, một đƣờng vuông
góc với đƣờng này thì vuông góc với đƣờng kia.
{

CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

Cách 1: Một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt
Cách 2: H i đƣờng thẳng
phẳng hi chỉ hi đƣờng thẳng ấy vuông góc với h i
song song đƣờng này
đƣờng thẳng cắt nh u chứ
vuông góc với mặt phẳng
trong mặt phẳng.
thì đƣờng i cũng vuông
góc mặt phẳng.
{

( )
cắt nh u

( )

{

( )

( )

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

22


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT

Cách 3: Một đƣờng thẳng vuông góc với một trong
h i mặt phẳng song
song thì vuông góc với
mặt còn lại.
( )
}
( ) ( )

( )

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc
mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.
( ) ( )
( ) ( ) }
( )
( ) ( )

Cách 5: H i mặt phẳng vuông góc, một đƣờng nằm trong mặt này vuông với
giao tuyến thì vuông với mặt kia.
( ) ( )
( ) ( )
( )
}
( )

VẤN ĐỀ 3: GÓC

Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
- Tìm gi o điểm của và ( ).
( )(
( )).
- Chọn điểm
, dựng
- Suy ra, hình chiếu vuông góc của
trên ( ) là
( )) ̂ .
Do đó, ( ̂

.

Góc giữa hai mặt phẳng
Cách 1: Tìm h i đƣờng thẳng

Cách 2:
- Xác định
- Từ

( )

sao cho {

( )
) ( ))
. Khi đó, (( ̂
( )

(̂)

( ).

, lần lƣợt dựng {

( )
) ( ))
. Khi đó, (( ̂
( )

(̂)

VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH
1. Khoản cách từ m t đ ểm đến đƣờn thẳn , mặt phẳn
a. Khoản cách từ đ ểm M đến đƣờn thẳn d cho t ƣớc
Các bƣớc thực hiện:
Bƣớc 1. Trong mặt phẳng M , d hạ MH d với H d .
Bƣớc 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dự trên hệ thức lƣợng trong t m giác, tứ giác,
đƣờng tròn, …
LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

23


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT



M

a

M

a

A

M

A
d

d

H

I

K

H K

 Chú ý:
Nếu tồn tại đƣờng thẳng a qua A và song song với d thì:
d M,d
d A, d

AK
A d .
Nếu MA d

I , thì:

d M ,d

MI
.
AI

d A, d

b. Khoản cách từ đ ểm O đến mặt phẳn
 O

Các bƣớc thực hiện:
Bƣớc 1. Tìm hình chiếu H củ O lên

.



Tìm mặt phẳng

qu O và vuông góc với

Tìm

.

Trong mặt phẳng

, ẻ OH

.



H
A

.
O

s o cho dễ tìm gi o tuyến với

thì: d O,
tại I thì:

d A,

I


.

thì ẻ Ox / /d cắt

Nếu đã có đƣờng thẳng d

Nếu OA cắt

d

tại H.

Bƣớc 2. Khi đó OH là hoảng cách từ O đến

Nếu OA//


O

 H là hình chiếu vuông góc củ O lên
 Chú ý:
Chọn mặt phẳng

.

H

OI
AI

d A,

K

tại H.

.

d O,

H



O

A

H

K

2. Khoản cách ữa ha đƣờn thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung củ h i đƣờng thẳng ch o nh u a, b


Trƣờng hợp  b:

-

Dựng mặt phẳng

-

Trong

b
chứ

và vuông góc với b tại B.

dựng BA  tại A.



 AB là đoạn vuông góc chung.
 Trƣờng hợp và b hông vuông góc với nh u.
Cách 1: (Hình a)
Dựng mp
chứ và song song với b.
-

Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M
Từ M dựng b// b cắt tại A.
Từ A dựng AB //MM cắt b tại B.

b

B

a
A

B

M

A

M'

a



b'
(Hình a)

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

24


NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG,
THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI.

TOÁN THẦY THẬT
 AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)
Dựng mặt phẳng
a tại O,

cắt b tại I

-

Dựng hình chiếu vuông góc b củ b lên

-

Trong mp




Từ H dựng đƣờng thẳng song song với cắt b tại B
Từ B dựng đƣờng thẳng song song với OH cắt tại A.
AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữ h i đƣờng thẳng ch o nh u a, b

, v OH  b tại H.

a
A

d a, b

chứ

(Hình b)

và song song với b. Khi đó: d a,b

Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lƣợt chứ

d

H

I



AB

Cách 2. Dựng mặt phẳng

d a,b

b'

O

Cách 1. Dùng đƣờng vuông góc chung:
Tìm đoạn vuông góc chung AB củ a, b .
-

b
B

d b,

và b. Khi đó:

,

LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI

25