THPT nguyen du TPHCM de va dap an chi tiet thi thu lan 5 môn toán

THPT NGUYỄN DU TP.HCM

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
MÃ ĐỀ : ND.005
(Đề thi gồm 05 trang)

Biên soạn và hướng dẫn chi tiết : GV. Lâm Vũ Công Chính
Câu 1. Cho hàm số y  x 3  3x có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) và trục hoành.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn: B.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x 3  3x  0  x( x 2  3)  0  x  0.

 1 
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y  log 2 
.
 1  2x 
2
2
2
2
A. y 
B. y 
C. y 
D. y 
.
.

.
.
x ln 4  ln 2
ln 2  x ln 4
x ln 2  ln 4
ln 4  x ln 2
Hướng dẫn: B.
2
2
2
 1 
y  log 2 


.
   log 2 1  2 x   y 
1  2 x  ln 2 ln 2  2 x ln 2 ln 2  x ln 4
 1  2x 

1
Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 x   0.
3
A. S  (log2 3; ).
B. S  (log3 2; ).
C. S  (log 1 3; ).

D. S  (log 1 2; ).
3

2

Hướng dẫn: C.

1
1
Bất phương trình 2 x   0  x  log 2  x  log 1 3.
3
3
2





Câu 4. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3  2 2 i. Tìm a, b.
A. a  3  2 2; b  1.
Hướng dẫn: C.

B. a  3; b  2 2.

C. a  0; b  3  2 2.

D. a  3  2 2; b  0.

12  8i
.
1 i
C. z  5 2.

D. z  2.

Câu 5. Tính môđun của số phức z thỏa mãn 1  i  z  10  4i 
B. z  7 2.

A. z  4 3.
Hướng dẫn: C.

1  i  z  10  4i 

12  8i
 12  8i

z
 10  4i  : 1  i   z  1  7i . Vậy z  5 2.
1 i
 1 i


x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
x 1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 .
Câu 6. Cho hàm số y 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   .
Hướng dẫn: B.
x
1
y

 y 
 0, x  D.
x 1
( x  1)2

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;   .


Câu 7. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
C. Hàm số có một điểm cực trị.
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3.

x
y'



0



2


0



3

y
1

1



Hướng dẫn: C.
x  0 là điểm tới hạn, không phải là điểm cực trị
Giá trị cực đại là 3, nhưng không phải là giá trị lớn nhất
Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  ;0  ,  2;   .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 2  y 2  z 2  4 x  2my  6 z  13  0 là phương trình của mặt cầu.
A. m  0.
B. m  0.
C. m  .
D. m  0.
Hướng dẫn: B.
Điều kiện : a 2  b2  c 2  d  0.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y  2 z  3
và


1
2

1

 x  1  kt

d2 :  y  t
. Tìm giá trị của k để hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau.
 z  1  2t

A. k  0.

B. k  1.

1
D. k   .
2

C. k  1.

Hướng dẫn: A.

1  t   1  kt
1  t   1  kt


YCBT  Hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2  2t   t
 t   0
 k  0.
3  t   1  2t
t  2



Câu 10. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
dx 1
dx
A.   ln x  C
B.  2   C
x
x
x
Hướng dẫn: C.

C.



dx
 2 x C
x

D.

1

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  xác định trên
\ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào
dưới đây sai ?
A. Hàm số đạt cực đại tại x  1.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 .

C. Đồ thị hàm số y  f  x  có 3 đường tiệm cận.
D. Phương trình f  x   m có nghiệm duy nhất
khi và chỉ khi m  1 hoặc 3  m  4.
Hướng dẫn: B.

x

1

+

+
4

y

2

1

 x dx   x

0
3

2

C

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức P 



3 5  3 5

B. P  102016.

A. P  22016.



2016

.

C. P  101008.



D. P  3  2 5



2016

.

Hướng dẫn: C.

P

3 5  3

5

2016






3 5  3


5 

2 1008

 101008.

Câu 13. Cho a là số thực dương, a khác 1 và P  log 3 a 2 a 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. P  2.

3
B. P  .
2

C. P  9.

9
D. P  .
2

Hướng dẫn: D.

P  log 2 a 3  3 :
a3

2 9
 ( có thể dùng MTBT để tính giá trị biểu thức P với một giá trị cụ thể của a )
3 2

Câu 14. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;   ?
A. y  x  cos x.

B. y  x  tan x.

C. y  1  x 2 .

D. y 

x
.
x 1
2

Hướng dẫn: A.
y  x  cos x  y  1  sin x  0, x  .

Câu 15. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  của nó
trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó, trên khoảng K, hàm số
y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn: B.
Câu 16. Tính thể tích V của khối nón ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 2 .
8
16 2
.
A. V  8 .
B. V 
C. V   .
D. V  16 2 .
3
3
Hướng dẫn: C.
Gọi S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, có tâm của đáy là O.
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đường cao là SO và bán kính là OA
AB 2
1
1
8
OA 
 2 và SO 2  SA2  OA2  4  SO  2 . Suy ra : V( N )   R2 .h   .4.2   .
2
3
3

3
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  4;5; 2  và B  2; 1;7  . Đường thẳng AB
cắt mặt phẳng  Oyz  tại điểm M . Tính tỉ số
MA 1
MA
B.
 .
 2.
MB 2
MB
Hướng dẫn: B.
MA d  A,(Oyz ) x A


 2.
MB d  B,(Oyz ) xB

A.

MA
.
MB

C.

MA 1
 .
MB 3

D.

MA
 3.
MB


Câu 18. Cho phương trình z 2  4 z  5  0 có hai nghiệm phức là z1 , z2 . Tính T  ( z1  1)2017  ( z2  1)2017 .
A. T  2.
B. T  21008.
C. T  21009.
Hướng dẫn: C.
Phương trình z 2  4 z  5  0 có hai nghiệm phức là z1  2  i, z2  2  i

D. T  22017.

T  ( z1  1)2017  ( z2  1)2017  (1  i )2017  (1  i )2017  (4)504.(1  i)  (4)504.(1  i)  (4)504.2  21009
Vì (1  i )4  4 và (1  i ) 4  4.
Câu 19. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn  ab 

5



  ab 

b
và  
2

3



b2
.
4

Tìm giá trị nhỏ nhất của a.

1
.
4
Hướng dẫn: D.
A.

 ab

5



  ab 

B. 2.

1
 ab  1  a 
b

C. 1.

và

b
 
2

3

b2
b

 
4
2

D.
3

1
.
2

2

b
b
    1 b  2
2
2

1
Suy ra : a  .
2
Câu 20. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ?
A. 9.
B. 10.
C. 11.
D. 12.

Hướng dẫn: A.
Câu 21. Cho Parabol ( P) : y  x 2 . Đường thẳng d cắt parabol
( P) tại điểm (1;1) và cắt trục hoành tại điểm (m;0) , ( m  1 )
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
parabol ( P) , đường thẳng d và trục hoành (như hình vẽ bên).
Tìm giá trị của m để S  2 ?
13
9
A. m  3.
B. m  4.
C. m  .
D. m  .
3
2
Hướng dẫn: C.
1
1 m 1
Gọi A(1;1) , B(m;0) và H (1;0) . Ta có : S  SOAH  SABH   x 2dx   1  (m  1)  
2
3

2
0
1

Theo đề bài :

13
1 m 1

2 m .
3
3
2

Câu 22. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình log2 x  log3 x.log 27  4  0 . Tính giá trị của biểu
thức S  log( x1 x2 ) .
A. S  3 .
B. S  3 .
C. S  2 .
D. S  4 .
Hướng dẫn: B.
Phương trình log2 x  log3 x.log 27  4  0  log2 x  3log x  4  0 .
b
S  log( x1 x2 )  log x1  log x2    3.
a


Câu 23. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi đó là hàm số nào ?

2x
2
A. y 
B. y 
.
.
x 1
x 1
x2
2x
C. y 
D. y 
.
.
x 1
x 1
Hướng dẫn: B.
Dựa vào đồ thị , ta thấy hàm số nghịch biến , có tiệm cận đứng là x  1 , tiệm cận ngang là y  0
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có tung độ dương và không cắt trục hoành.
ln 3

Câu 24. Biết rằng I 



e2 x

e 1
B. T  4.
x

0

dx 

b c
a
4
c  (a, b, c  ) . Tính T  a  
b
b
2 4

A. T  2.
Hướng dẫn: B.
ln 3
e2 x
2
4
I 
dx 
2
x
3
3
e 1
0

C. T  5.

Câu 25. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của
các số phức z1 , z2 như hình vẽ bên. Khi đó khẳng
định nào sau đây sai?
A. z1  z2  MN .
B. z1  OM .

D. T  6.

y
N
M

D. z1  z2  MN .

C. z2  ON .

O

x

Hướng dẫn: D.
z1  z2  2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN
Câu 26. Cho hình trụ  T  có bán kính đáy bằng 5 và thể tích bằng 75 . Tính diện tích xung quanh S của
hình trụ  T  .
A. S  15 .
B. S  10 34 .
C. S  90 .
Hướng dẫn: D.
V(T )   R 2  75  25   3 . Suy ra : S  2 R  30 .

D. S  30 .

3
ea  b
ab

Câu 27. Cho I    2 x   ln xdx 
với a , b, c là các số nguyên. Tính S 
.
x
c
c
1
A. S  2.
B. S  3.
C. S  5.
D. S  1.
Hướng dẫn: D.
e
3
e2  1

I    2 x   ln xdx 
x
2
1
e

Câu 28. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương, biết rằng tổng diện tích các mặt của hình
lập phương đó bằng 150.

125
125
125
.
.
A. V 
B. V  125 .
C. V 
D. V 
.
6
2
4
Hướng dẫn: D.


Gọi hình lập phương có cạnh là a . Theo đề bài ta có S  6a 2  a  5
Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có đường sinh là a và bán kính là

V   R2   

a 2
2

125
a2
.
 a V 
2
2

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x  2) 2  ( y  1) 2  ( z  4) 2  10 và mặt
phẳng ( P) : 2 x  y  5z  9  0. Gọi (Q ) là tiếp diện của ( S ) tại M (5;0;4). Tính góc giữa ( P) và (Q).
A. 60o.
B. 120o.
C. 30o.
Hướng dẫn: A.
Mặt phẳng (Q ) là tiếp diện nên nên IM  (3;1;0) làm vectơ pháp tuyến
Gọi  là góc giữa ( P) và (Q). Ta có : cos  

IM .n ( P )
IM . n ( P )



D. 45o.

5
1
 . Suy ra :   60o.
10. 10 2

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M (1;3; 2) và cắt các trục
tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA  OB  OC ?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn: C.
x y z

Gọi A(a;0;0) , B(0; b;0) , C (0;0; c) với abc  0 . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) :    1
a b c
1 3 2
1 1 1
M (1;3; 2)  ( ABC )     1 . Và theo đề bài : OA  OB  OC  a  b  c   
a
b c
a b c
 1  3u  2v  v
1
1
Đặt u  và v  . Ta có hệ phương trình : 
b
c
u  v
1
1 
1
1 
1
1

Nghiệm của hệ phương trình là  u  ; v   ,  u  ; v    ,  u  ; v    .
2
2 
4
4 
6
6


Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  3 đồng biến trên
khoảng 1;2 
A. m  0.
B. m  1.
C. m  0.
Hướng dẫn: B.
y  x 4  2mx 2  m  3  y  4 x 3  4mx
YCBT  4 x 3  4mx  0, x  (1;2)
 m   x 2 , x  (1;2)  m  max( x 2 )  m  1.

D. 1  m  0.

x(1;2)

ax  b
có đồ thị như hình vẽ bên.
cx  d
Tất cả các giá trị của m để phương trình f ( x )  m có 2 nghiệm phân biệt là :
A. m  2 và m  1.
B. 0  m  1 và m  1.
C. m  2 và m  1.
D. 0  m  1.
Câu 32. Cho hàm số y  f ( x ) 

Hướng dẫn: B.

y

2
1

O

1

2

x


Đồ thị hàm số y  f ( x ) gồm 2 phần : phần đồ thị của hàm số y  f ( x )
nằm trên trục hoành (tương ứng với y  0 ) và phần đối xứng qua trục
hoành phần đồ thi còn lại của hàm số y  f ( x ) (tương ứng với y  0 )
Dựa vào đồ thị , để đường thẳng y  m cắt đồ thị y  f ( x ) tại 2 điểm
phân biệt thì 0  m  1 và m  1.

Câu 33. Cho log ab a  4 . Tính log ab

3

a
.
b

8
17
B. .
.
3
6
Hướng dẫn: A.

Ta có : logab a  logab b  1  logab b  3
A.

3

log ab

C.

15
.
2

D.

13
.
3

a
1
1
4 3 17
 log ab 3 a  log ab b  log ab a  log ab b    .
3
2
3 2 6
b

Câu 34. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông

để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật
t2
nó chuyển động trong nước yên lặng là s(t )    4t , với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt
10
đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào
dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi
ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
A. 8 km
B. 10 km
C. 20 km
D. 30 km
Hướng dẫn: B.
t
Vận tốc của con cá là : v(t )  s(t )    4
5
t
Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là : v(t )  2    2
5
Quãng đường con cá bơi được trong khoảng thời gian t từ khi bắt đầu là :
t
t2
 t

S (t )      2  dt    2t . Suy ra : S (t )  10.
10
 5

0
Nhận xét : Gia tốc của con cá không đổi, mà chỉ có vận tốc thay đổi khi bơi ngược dòng.
t2

Do đó từ công thức quãng đường chuyển động của nó trong nước yên lặng là s(t )    4t , và vận tốc
10
2
t
t2
dòng nước chảy là 2 km/h , ta có thể suy ra công thức cuối cùng là s(t )    (4  2)t    2t
10
10
Câu 35. Hỏi phương trình x 2  x  1  x 2  x  1  ln x  0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn: A.
Đặt f ( x )  x 2  x  1  x 2  x  1 , với tập xác định D   0;  
2x  1
2x 1
 f ( x ) 

2
2 x  x  1 2 x2  x  1
f ( x )  0  (2 x  1)( x 2  x  1)  (2 x  1)( x 2  x  1)  x  0
Suy ra : f ( x )  0, x   0;  


Vậy hàm số g ( x)  x 2  x  1  x 2  x  1  ln x đồng biến trên khoảng  0;  
Mà : g (0,5). g (1)  0 . Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 36. Cho hình chóp S. ABC có SC  2a và SC  ( ABC ). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
có AB  a 2. Mặt phẳng ( ) đi qua C và vuông góc với SA, ( ) cắt SA, SB lần lượt tại D , E .
Tính thể tích khối chóp S.CDE.

4a 3
2a 3
2a 3
a3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
9
9
3
3
Hướng dẫn: C.
Ta có : AB  ( SBC ) vì AB  BC , AB  SA . Suy ra : CE  AB
S
Mà : CE  ( ), CE  SA
D
Nên : CE  ( SAB) . Suy ra CE  SB
Các tam giác SAC , SBC vuông tại C có các đường cao lần lượt là CD, CE
Suy ra : SD.SA  SC 2 và SE.SB  SC 2
E
C
VS .CDE SD SE SD.SA SE .SB
SC 4





 2 2
Ta có :
VS .CAB SA SB
SA2
SB 2
SA .SB
Mà : SA2  SC 2  AC 2  4a 2  4a 2  8a 2
SB2  SC 2  AB2  4a 2  2a 2  6a 2
V
16 1
Suy ra: S .CDE 

VS .CAB 48 3

A

B

11
1
2a 3
 1
VS .CDE   SC. AB.BC    2a  2a 2 
.
3 3
2
9
 18

x 1 y  5 z  3


. Phương trình
2
1
4
nào dưới đây là phương trình đường thẳng đối xứng của d qua mặt phẳng x  3  0 ?
 x  3
 x  3
 x  3  2t
 x  9  2t




A.  y  5  t .
B.  y  5  t .
C.  y  3  t .
D.  y  6  t .
 z  3  4t
 z  3  4t
 z  5  4t
 z  7  4t




Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Hướng dẫn: D.
Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng x  3  0 là I ( 3; 3; 5)
Gọi H là hình chiếu của điểm M (1; 5;3) lên mặt phẳng ( ) : x  3  0
H (1  t; 5;3)  ( )  1  t  3  0  t  4 . Suy ra H ( 3; 5;3)
Gọi M  là điểm đối xứng của điểm M qua mặt phẳng ( ) : x  3  0
Suy ra H là trung điểm của MM  . Ta có : M ( 7; 5;3)
Đường thẳng IM  nhận IM   (4; 2;8) làm vectơ chỉ phương
 x  3  2t
 x  9  2t


Phương trình tham số của IM  :  y  3  t  IM  :  y  6  t
 z  5  4t
 z  7  4t




2

Câu 38: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên

, F (3)  3 và

 F ( x  1)dx  1.

1
3

Tính tích phân I   xf ( x )dx.
0

A. I  10.
B. I  11.
C. I  9.
Hướng dẫn: D.
Dùng phương pháp tích phân từng phần, Đặt u  x , dv  f ( x )dx
3

3

2

0

1

D. I  8.

I   xf ( x )dx  x.F ( x ) 0   F ( x )dx  3. F (3)   F ( x  1)dx  8.
3

0

Câu 39. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z  2i  5 và điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ
thuộc đường thẳng d : 2 x  y  3  0.
A. z  2  i.
B. z  2  i.
C. z  2  i.

D. z  2  i.
Hướng dẫn: D.
Gọi số phức z  x  yi . Theo đề ta có :

x 2  ( y  2) 2  5 (1) và 2 x  y  3  0 (2)

Thế y  3  2 x vào (1) : x 2  (5  2 x )2  5  5x 2  20 x  20  0  x  2, y  1.
Câu 40. Cho hàm số y 

x2  x  1
, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
x 1
B. 2 y  ( x  1) y  2
C. 2 y  ( x  1) y  2

A. 2 y  ( x  1) y  2
D. 2 y  ( x  1) y  2
Hướng dẫn: A.
x2  x  1
x2  2 x
1
2
 x  1  
y
 y 
 1
. Suy ra : y  
 y 
 y  1.
2

2
3
x 1
( x  1)
( x  1)
 2 
( x  1)

1
Câu 41. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  (m2  1) x 3  (m  1) x 2  2 x  1 nghịch biến trên
3
khoảng  ;2  ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn: C.
y  (m2  1) x 2  2(m  1) x  2
YCBT  (m 2  1) x 2  2(m  1) x  2  0, x   ;2 

D. 3.

Chọn x  10 . Khi đó : (m 2  1)100  20(m  1)  2  0  100m2  20m  82  0
Bấm máy tính, Chọn wR14

Vậy nhận 2 giá trị nguyên m  0, m  1.
Bình luận :
Cách làm “truyền thống” khá dài (xét hai trường hợp của  và so sánh nghiệm với một số cho trước)
Trắc nghiệm chỉ cần một đại lượng xấp xỉ, cho ta một kết quả gần đúng !
Và cách làm này rất hiệu quả với những bài toán đếm giá trị nguyên của tham số m
Câu 42. Trong hệ trục toạ độ Oxzy , cho A  1; 2;3 , B 1;0; 5  ,  P  :2 x  y  3z  4  0 . Tìm tọa độ

điểm M thuộc mặt phẳng  P  sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng.


A. M  3; 4;11 .

B. M  2;3;7  .

C. M  0;1;  1 .

D. M 1; 2;0  .

Hướng dẫn: C.
Điểm M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng  P 

AB  (2; 2; 8) . Suy ra : M  ( 1  t;2  t;3  4t )
M  ( P)  2(1  t )  2  t  3(3  4t )  4  0  13t  13  0  t  1 . Vậy M (0;1; 1).
Câu 43. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BC  2a , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC .
9
A. S  4 a 2 .
B. S  3 a 2 .
C. S  9 a 2 .
D. S   a 3.
2
Hướng dẫn: C.
S
Ta có góc SAC  SBC  90o .
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC có đường kính SC .
Mà: AC  a 5 , SC 2  SA2  AC 2  9a 2
I

SC 3a
Bán kính R 

2
2
C
A
Mặt cầu có diện tích S  4 R 2  9 a 2 .
B

Câu 44. Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ plutônium Pu 239 là 24360 năm (tức là lượng Pu 239
sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công thức S  Aert , trong đó
A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r  0), t (năm) là thời gian phân hủy,
S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 15 gam Pu 239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn lại 2
gam? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
A. 70812 năm.
B. 70698 năm.
C. 70947 năm.
D. 71960 năm.
Hướng dẫn: A.
1
2
1
1
2
Ta có : 2  15.ert và
 ert0  ln    rt và ln    r t0  ln : ln  t : t0
2
2
15

2
 15 
2
1
Vậy : t  t0 .ln : ln  24360.(2, 906)  70812 (năm)
15
2

Câu 45. Tất cả các giá trị của m để phương trình e x  m( x  1) có nghiệm duy nhất là
A. m  1.
B. m  0, m  1.
C. m  0, m  1.
D. m  1.
Hướng dẫn: C.
ex
x
 m (vì x  1 không là nghiệm của phương trình).
Phương trình e  m( x  1) 
x 1
ex
Đặt f ( x ) 
, tập xác định \ 1
x 1
e x ( x  1)  e x
ex x
 f ( x ) 

( x  1)2
( x  1)2

Bảng biến thiên
0

x

0
0

+

Khi m  0 thì phương trình có 1 nghiệm x   ; 1
và khi m  1 thì phương trình có nghiệm x  0 .
Vậy m  0, m  1. thỏa đề bài

y
1

Câu 46. Cho hàm số y   x 3   2m  1 x 2  m  1 , (với m là tham số thực) có đồ thị (C ) .

1
thì đường thẳng y  2mx  m  1 cắt đồ thị (C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C .
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của OA2  OB 2  OC 2 (với O là gốc tọa độ)
29
4
.
A. .
B.
C. 6.

D. 3.
8
3
Hướng dẫn: B.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d):  x 3   2m  1 x 2  m  1  2mx  m  1
Khi m  0 và m 

  x 3   2m  1 x 2  2mx  0  x   x 2   2m  1 x  2m   0  x  0  x  1  x  2m

Gọi x A  0 , xB  1 , xC  2m . Ta có : y A  m  1 , y B  m  1 , yC  4m2  m  1

 OA2  OB2  OC 2  x A2  y A2  xB2  yB2  xC2  yC2  1  4m2  (m  1)2  (m  1) 2  (4m2  m  1) 2

 16m4  8m3  m2  2m  4
Đặt f (m)  16m4  8m3  m2  2m  4
 f (m)  64m3  24m 2  2m  2
1
 1  29
f (m)  0  m   . Khi đó : max f (m)  f     .
 4 8
4
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;0), B(2;0; 2) và mặt phẳng

( P) : x  2 y  z  1  0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA  MB và góc AMB có số đo lớn nhất.
1
 14 1 1 
2 4
A. M  ;  ;  .
B. M  ; ;   .
C . M (2; 1; 1).

D. M ( 2;2;1).
 11 11 11 
 11 11 11 
Hướng dẫn: A.
MA  MB . Suy ra M thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB là : y  z  0
 14 1 1 
Kiểm tra các đáp án chỉ có M  ;  ;  thuộc mặt phẳng y  z  0
 11 11 11 
A

M

H

B

d

Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng ( P) : x  2 y  z  1  0 và mặt phẳng
trung trực y  z  0 . Suy ra : M  d
AH
Tam giác ABM cân tại M , có tan AMH 
MH
AMB có số đo lớn nhất khi MH min  M là hình chiếu của H lên d
Hoặc :

MA2  MB 2  AB 2 2 MA2  AB 2
AB 2
Ta có : cos AMB 


 1
2 MA.MB
2 MA2
2 MA2
Góc AMB có số đo lớn nhất  MAmin  d  A, d 


Câu 48. Cho các số phức z, w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Phần thực của số phức u 

1
.
4
Hướng dẫn: C.
A.

B. 1.

z  w  2 z  w . Suy ra :

C.

1
.
8

z
là
w

1

D.  .
8

z
z
 1  2  1.
w
w

2
 2
(a  1) 2  b2  1 a  2a  1  b  1
1
z
 2
a .
Gọi
 a  bi . Ta có  2 2
1
2
8
w
4( a  b )  1
a  b  4
Câu 49. Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon là
nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V mà diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính R
của đường tròn đáy khối trụ bằng
V
V
V

V
A. 3 .
B.
.
C.
.
D. 3
.


2
2
Hướng dẫn: D.
V
2V
Ta có : V   R2h  h 
. Mà Stp  2 R 2  2 Rh  Stp  2 R2 
2
R
R
2V
2V
 f   x   4 x  2
f ( x)  2 x 2 
x
x
V
V
. Lập bảng biến thiên ta có f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x  3
f  x  0  x  3

2
2
2V
V V
V V
Cách khác : Stp  2 R 2 
 2 R 2    3 3 2 R 2    3 3 2V 2
R
R R
R R
V
V
Đảng thức xảy ra khi 2 R 2   R  3
.
R
2

Câu 50. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của
cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN  2 NB; mặt phẳng ( ) di động đi qua các điểm
M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích
khối chóp S.MNKQ.
V
V
3V
2V
A. .
B. .
C.
D.
.

.
2
3
4
3
Hướng dẫn: B.
S
SQ
SK
SA SC SB SD
Gọi
 y . Ta có tính chất :
 x và



SM SK SQ SN
SC
SB
M
2x
1 3 1
N
Suy ra : 2     y 
I
Q
x 2 y
x2
A
D

V
V
SM SK SN x
SM SK SQ x. y
K
Ta có: SMKN 


 và : SMKQ 



O
VSACD
SA SC SD 3
VSACB
SA SC SB
2
B
C
 x x. y  1
Vậy : VS . MNKQ   

V
S . ABCD

2  2
3
x x 2x
2

Xét hàm số f ( x)   
với x  0,1  max f ( x )   f (1)
x0,1
3 2 x2
3
2 1
1
 max VS . MNKQ   VS . ABCD  V .
3 2
3


Cách giải khác :
Theo “thuyết âm mưu”, thể tích khối chóp
S.MNKQ đạt giá trị lớn nhất khi K  C .
Gọi I  SO  MC , Q  NI  SD
Ta có : I là trọng tâm tam giác SAC
SI 2
SQ 2
Suy ra :
 

SO 3
SB 3
V
SM SK SN 1
2 1
Ta có: SMKN 



 1 
VSACD
SA SC SD 2
3 3
V
SM SK SQ 1
2 1
và : SMKQ 


 1 
VSACB
SA SC SB 2
3 3
1
1
Vậy : VS . MNKQ  VS . ACD  VS . ABC   VS . ABCD
3
3

S

M
N
I
Q

A

D

O

B

K
C