(trường chuyên) 23 câu cấp số cộng cấp số nhân 2018 image marked image marked

Cấp số cộng cấp số nhân
Câu 1:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số nhân
q=−

1
1
. Hỏi
là số hạng thứ mấy của
10
102017

( un )

có u1 = −1 , công bội

(un ) ?

A. Số hạng thứ 2018 B. Số hạng thứ 2017 C. Số hạng thứ 2019 D. Số hạng thứ

2016
Đáp án A

1
 1
Gọi u n = 2017 = ( −1)  − 
10
 10 

n −1

( −1)

=

n

10n −1

 n − 1 = 2017  n = 2018

Câu 2:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Cho cấp số cộng

( un )

có u 4 = −12, u14 = 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng này.
A. S16 = −24

B. S16 = 26

C. S16 = −25

D. S16 = 24

Đáp án D

16 ( −42 + 15.3)
u = u1 + 3d = −12 u1 = −21
Ta có  4


 S16 =
= 24.
2
u14 = u1 + 13d = 18 d = 3

Câu 3: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng

( un )

biết u 5 = 18 và

4Sn = S2n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng.

A. u1 = 2, d = 4

B. u1 = 2, d = 3

C. u1 = 2, d = 2

D. u1 = 3, d = 2

Đáp án A
Giả sử u n = u1 + ( n −1) d  u5 = u1 + 4d = 18 (1) .

n  2u1 + ( n − 1) d 
2n 2u1 + ( 2n − 1) d 
Ta có: Sn = 
;S2n = 
2
2

Do
S2n = 4Sn  2n  2u1 + ( 2n − 1) d  = 4n 2u1 + ( n − 1) d   2u1 + ( 2n − 1) d = 4u1 + ( 2n − 2 ) d

 2u1 = d ( 2) . Từ (1) và (2) suy ra u1 = 2, d = 4.
Câu 4:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )


Dãy số nào sau đây giảm?
A. u n =

n −5
(n 
4n + 1

*

)

C. u n = 2n 3 + 3 ( n 

B. u n =
*

)

D. u n = cos ( 2n + 1) ( n 

*

5 − 3n

(n 
2n + 3

*

)

)

Đáp án B
Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Trong các dãy số un cho dưới đây, dãy số nào có
giới hạn khác 1?
A. un =

n ( n − 2018 )

( n − 2018)

2017

B. un =

2018

−1
n

(

n 2 + 2020 − 4n 2 + 2017

)

u1 = 2018

D. 
1
un+1 = ( un + 1) , n  1


2

1
1
1
C. un =
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n + 1)( 2n + 3)
Đáp án C
2017

 2018 
2017
1 − 2017 
n ( n − 2018 )
n

= lim 

=1
Ta có + lim
2018
2018
n ( 2017 )
 2017 
1 − 2018 
n



−1 
3 − 3n2
 −1

+ lim 
n2 + 2020 − 4n2 + 2017  = lim 
 =1
n  n2 + 2020 + 4n2 + 2017 
n


)

(

+un =

1
1

1
1 1 1 1
1
1  n +1
n +1 1
+
+ ... +
= 1 − + − ... +
−
 lim
=
=
1.3 3.5
2n + 3 2
( 2n + 1)( 2n + 3) 2  3 3 5 2n + 1 2n + 3  2n + 3

u1 = 2018

+
 2un +1 − 2 = un − 1  2 ( un +1 − 1) = un − 1
1
u
=
u
+
1
,
n

1

(
)
n
+
1
n

2
v
Đặt vn +1 = un +1 − 1  2vn +1 = vn  vn +1 = n ; v1 = 2017  vn là cấp số nhân với
2
v1 = 2017
n −1
n −1

1
1
 vn = 2017.    un = 2017.   + 1  lim un = 1

1
2
2
q = 2
Câu 6: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho cấp số cộng ( u n ) biết u 2 = 3 và u 4 = 7.

Gía trị của u15 bằng
A. 27
Đáp án

B. 31

C. 35

D. 29


u = u1 + 3d = 7
d = 2
Ta có  4

 u15 = u1 + 14d = 29
u1 = 1
u 2 = u1 + d = 3
Câu 7: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương
A.
B.
C.
D.

Đúng. Dãy số là cấp số nhân với công bội q = 1
Đúng. Dãy số là cấp số cộng với công sai d = 0
Đúng. Vì dãy số là cấp số cộng nên: u n +1 − u n = d  0  u n +1  u n
Sai. Ví dụ dãy −5; −2;1;3;... là dãy có d = 3  0 nhưng không phải là dãy số
dương

Câu 8: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Cho dãy số

(an )

xác định bởi

a1 = 5, a n +1 = q.a n + 3 với mọi n  1, trong đó q là hằng số, a  0, q  1. Biết công thức số

hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng a n = .q
A. 13
Đáp án C

B. 9

Ta có: an+1 − k = q ( an − k )  k − kq = 3  k =

C. 11

n −1

1 − q n −1
+
. Tính  + 2 ?
1− q
D. 16

3
1− q

Đặt vn = an − k  vn+1 = q.vn = q2 .vn−1 = ... = qnv1


3 
Khi đó v n = qn−1.v1 = qn−1. ( a1 − k ) = qn−1.  5 −

 1− q 
3 
3 
3
1 − qn−1
n−1 
n−1 
n−1
= 5q + 3
Vậy an = v n + k = q .  5 −
 + k = q . 5 −
+
1− q
 1− q 
 1− q  1− q
Do dó:  = 5;  = 3   + 2 = 5 + 2.3 = 11
Cách 2.
Theo giả thiết ta có a1 = 5, a 2 = 5q + 3. Áp dụng công thức tổng quát, ta được


1 − q1−1
1−1
a
=

.q

+

=
 1
1− q
5 = 

, hay
suy
ra
,


2 −1
5q
+
3
=

.q
+

1
−
q

a = .q 2−1 + 
= .q + 
 2
1− q

  + 2 = 5 + 2.3 = 11
1
3
5
+ C2017
+ C2017
Câu 9. (Chuyên Thái Bình- 2018)Tổng T = C2017
A. 22017 − 1 B. 22016 C. 22017 D. 22016 − 1
Đáp án là B

 = 5

 = 3

2017
+ ... + C2017
bằng:


Ta có:
0
1
2
2016
2017
(1 − 1) 2017 = C2017
− C2017
+ C2017
− .... + C2017
− C2017

0
1
2
2016
2017
(1 + 1) 2017 = C2017
+ C2017
+ C2017
+ .... + C2017
+ C2017
1
3
2017
= 22017 = 2(C2017
+ C2017
+ ... + C2017
)

= 22016 = T
Câu 10: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n + 1
A. un =
B. un = n3 − 1
C. un = n 2
D. un = 2n
n −1
Đáp án A

Phương pháp:
- Định nghĩa dãy số giảm: Dãy ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu un +1  un ( n 

*

).

- Có thể giải bài toán bằng cách xét các hàm số ở từng đáp án trên tập * (Dãy số cũng
là một hàm số).
- Hàm số nào nghịch biến trên * thì dãy số đó là dãy số giảm.
Cách giải:
−3
 0, n  1, n  * nên dãy ( un ) là dãy số giảm.
Đáp án A: u ' ( n ) =
2
( n − 1)
Đáp án B: u ' ( n ) = 3n2  0, n 

*

nên dãy ( un ) là dãy số tăng.

Đáp án C: u ' ( n ) = 2n  0, , n 

*

nên dãy ( un ) là dãy số tăng.

Đáp án D u ' ( n ) = 2  0, , n 

*

nên dãy ( un ) là dãy số tăng.

Câu 11: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Cho

un  là cấp số cộng có công sai là d, vn 

cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định
II ) vn = q n v1n  2, n  N
I ) un = d + un−1n  2, n  N
u +u
IV ) vn −1vn =vn2−1   2, n  N
III ) un = n −1 n +1 n  2, n  N
2
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

A. 4
Đáp án B

B. 2

C. 3

D. 5

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của các số cộng và cấp số nhân.
Cách giải:
Khẳng định I) đúng theo định nghĩa.
Khẳng định II) sai vì vn = q n −1v1 n  2, n 
Khẳng định III) đúng theo tính chất của cấp số cộng.
Khẳng định IV) sai. Ta có:

là


vn −1vn = v1.q n − 2 .v1.q n −1 = v12 .q 2 n −3

vn2+1 = v12 ( q n ) = v12 .q 2 n  vn −1vn  vn2+1
2

Khẳng định V) sai vì:

v1 + v2 + ... + vn =

v1 (1 − q n−1 )
1− q

n ( v1 + vn ) n ( v1 + v1q
=
2
2

 v1 + v2 + ... + vn 

n −1

) = v ( n + nq )
n −1

1

2

n ( v1 + vn )
2

Vậy có hai khẳng định đúng.
Câu 12: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn

un+1 = 2un
, n  1 . Số hạng tổng quát của dãy là:

u1 = 2
B. un = 2n −1

A. un = 2n
Đáp án A

C. un = 2n

D. un = 2n +1

Phương pháp:
+) Nhận xét dãy số trên là cấp số nhân, tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q.
+) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân u1 = u1.q n −1
Cách giải:
Dễ thấy dãy số ( u n ) là 1 cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = 2 và công bội q = 2
=>Số hạng tổng quát u n = u1.q n −1 = 2.2n −1 = 2n
Câu 13: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 = 2018 công sai d = −5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào
của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.

A. u 406
B. u 403
C. u 405
D. u 404
Đáp án C
Số hạng tổng quát là:
u n = u1 + ( n −1) d = 2018 + ( n −1)( −5) = −5n + 2023  0  n  404,6  bắt đầu từ số
hạng thứ 405 thì nhận giá trị âm.
Câu 14 (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu Sn tính theo công thức
Sn = 5n 2 + 3n, ( n 

*

A. u1 = −8;d = 10
Đáp án C

).

Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó.
B. u1 = −8;d = −10

C. u1 = 8;d = 10

D. u1 = 8;d = −10


d
 2 = 5
d = 10

n dn 
d
2
Ta có: Sn =  2u1 + ( n − 1) d  =
+  u1 −  n = 5n + 3n  

.
2
2 
2
 u − d = 3  u1 = 8
 1 2
Câu 15: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
B. Một cấp số nhân có công bội q  1 là một dãy tăng.
C. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng.
Đáp án B
2

Đáp án B sai vì nếu u1  0 chẳng hạn u1 = −1 thì cấp số nhân đó là dãy số giảm.
Câu 16: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số

( un )

gồm 89 số hạng thỏa mãn

u n = n 0 n  N,1  n  89. Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số. Giá trị của
biểu thức log P là

A. 89
B. 1
C. 0
D. 10
Đáp án C

Phương pháp : Áp dụng công thức : tan .cot  = 1  tan  ( tan 90 −  ) = 1
Cách giải : Ta có : P = u1.u 2 .u 3 ....u89
 P = tan10.tan 20.tan 30...tan 890
 P = ( tan10.tan 890 ) . ( tan 20.tan 880 ) . ( tan 30.tan 87 0 ) ...tan 450
 P = ( tan10.cot19 ) . ( tan 20.cot 2 0 ) . ( tan 30.cot 30 ) ......... ( tan 440.cot 440 ) .tan 450
 P = 1.1.1.....1 = 1  log P = log1 = 0

Câu 17: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho dãy số

( un )

với

u1 = 1
1
1
1
. Gọi Sn =
+
+,,, +
. Tính limSn

u 1u 2 u 2 u 3
u n u n +1

u n +1 = u n + 2, n  1
1
1
A. limSn = 1
B. limSn =
C. limSn = 0
D. limSn =
6
2
Đáp án
Phương pháp:
u1 = 1
+) Dãy số ( u n ) : 
là dãy cấp số cộng, với u1 = 1 công sai d = 2
u n +1 = u n + 2, n  1
Số hạng tổng quát của dãy u n = u n −1 + ( n −1) d, n  1
+) Dãy số
Cách giải

( un ) :

u1 = 1
1
1 u k +1 − u k 1  1
1 

=
=  −



2  u k u k +1 
u n +1 = u n + 2, n  1 u k u k +1 2 u k u k +1


u1 = 1
là dãy cấp số cộng, với u1 = 1 công sai d = 2

u n +1 = u n + 2, n  1
 u n = u1 + ( n − 1) d = 1 + ( n − 1) .2 = 2n − 1

Dãy số

( un ) :

1
1
1
1 1 1  1 1 1 
1 1
1  1 1
1 
+
+ ... +
=  −  +  −  + ... +  −
=  −

u 1u 2 u 2 u 3
u n u n +1 2  u1 u 2  2  u 2 u 3 
2  u n u n +1  2  u1 u n +1 
1 1

1 
n
=  −
=
2  1 1 + 2n  1 + 2n

Sn =

Câu 18 : ( Chuyên Tiền Giang-2018)
Cho cấp số cộng ( u n ) có u 5 = −15, u 20 = 60. Tổ ng S20 của 20 số hạng đầu tiên của
cấp số cộng là
A. S20 = 600.
Đáp án C.

B. S20 = 60.

Gọi số hạng đầu và công sai của CSC

C. S20 = 250.

( un )

D. S20 = 500.

là u1 , d, ta có

u1 + 4d = −15 u1 = −35

.


d = 5
u1 + 19d = 60
20
Suy ra S20 = ( −35 + 60 ) = 250.
2
Câu 19: (Cụm 5 trường chuyên)Cho 3 số a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân
với công bội khác 1. Biết cũng theo thứtự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ
tám của một cấp số cộng công sai là
a
s  0. Tính
s
4
4
A. 3
B.
C.
D. 9
9
3
Đáp án D
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của CSC u n = u1 + ( n − 1) d và tính chất của CSN
u n −1u n +1 = u n2
Cách giải:
a, b, c lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là s  0
b = a + 3s
nên ta có 
a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác 1
c = a + 7s
nên ta có

a
2
ac = b 2  a ( a + 7s ) = ( a + 3s )  a 2 + 7as = a 2 + 6as + 9s 2  9s 2 = a s  9s = a  = 9
s
Câu 20: (Chuyên Chu Văn An-2018)Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật:


ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ỏ hàng thứ 3 có 3 cây,… ở hàng thứ n
có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách
trên là nbao nhiêu?
A. 101
B. 100
C. 99
D. 98
Đáp án C.

n ( n + 1)
2
Cách giải: Giả sử trồng được n hàng cây với quy luật trên thì số cây trồng được là:
n ( n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
= 4950  n 2 + n − 9900 = 0  n = 99
2
Câu 21: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho cấp số cộng ( u n ) có u 2013 + u 6 = 1000 .
Phương pháp: Sử dụng tổng 1 + 2 + 3 + ... + n =

Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:
A. 1009000
B. 100900
C. 100800

D. 1008000
Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: u n = u1 + ( n − 1) d và công thức tổng n số hạng đầu
tiên của CSC: Sn =

n  u1 + u n 
2

n 2u1 + ( n − 1) d 
= 
2

Cách giải:
u 2013 + u 6 = 1000  u1 + 2012d + u1 + 5d = 1000
 2u1 + 2017d = 1000

2018  2u1 + 2017d 

2018.1000
= 1009000
2
2
Câu 22: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,…. Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là
A. 73872
B. 77832
C. 72873.
D. 78732
Đáp án B

S2018 =

=

Dãy số là CSN với số hạng đầu là 4 và công bội là 3, suy ra

u10 = 4.39 = 78732

Câu 23: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,…. Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là
A. 73872
B. 77832
C. 72873.
D. 78732
Đáp án B
Dãy số là CSN với số hạng đầu là 4 và công bội là 3, suy ra u10 = 4.39 = 78732