( phần bonus) 23 câu cấp số cộng nhân image marked image marked

Câu 1: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Dãy số nào sau đây tăng?
A. Dãy số (u n ) với u n =

1
+ 3.
n

B. Dãy số (u n ) với u n =

1
n −1

( )

D. Dãy số (u n ) với u n =

2n + 1
.
n +2

n

C. Dãy số (u n ) với un = −1 .2n .
Chọn D
Tự luận:
un +1 − un =

2 ( n + 1) + 1

2n + 1
n+2

−

( n + 1) + 2
( 2n + 3)( n + 2 ) − ( n + 3)( 2n + 1) = 2n2 + 7n + 6 − 2n 2 − 7n − 3
=
( n + 3)( n + 2 )
( n + 3)( n + 2 )
=

3

( n + 3)( n + 2)

 0, n  N*  Dãy số (u n ) với u n =

2n + 1
là dãy số tăng.  D
n +2

Trắc nghiệm:
Dãy số (u n ) với u n =

1
1
là các dãy giảm.
+ 3 , hay với u n =
n −1
n

( )

n

Dãy số (u n ) với un = −1 .2n là dãy đan dấu không tăng, giảm.
Vậy D là đáp án tìm được do loại trừ.
Câu 2 : (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Dãy số nào là cấp số nhân, trong các dãy số được
cho sau đây ?

1

u1 =
2 .
A. 
u = u 2
n
 n +1

u1 = 1; u2 = 2
.

u
=
u
.
u

n −1 n
 n +1

Chọn B
Tự luận:

1

u1 =
2
B. 
. C. un = n 2 + 1 .
u
 n+1 = − 2 . u n

D.


Do un+1

1

u1 =
2
là một cấp số nhân với công bội q = 2
= − 2.un  dãy số ( un ) : 
u
 n+1 = − 2 . u n

Câu 3 : (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho dãy số

( un )

:

1 1 3 5
; − ; − ; − ;... Khẳng
2 2 2 2

định nào sau đây sai?
A. (un) là một cấp số cộng.

B. cấp số cộng có d = −1 .

C. Số hạng u20 = 19,5 .

D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên

là −180 .
Chọn C
Tự luận:
Ta có −

1 1
3
1
5
3
= + (−1); − = − + (−1); − = − + (−1);..... .
2 2
2
2
2

2

Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai d = −1 . Suy ra u20 = u1 + 19d = −18,5  Chọn
C.
Câu 4 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Các góc của một tứ giác lập thành cấp số cộng.
Nếu góc nhỏ nhất là 750 , thì góc lớn nhất là
A. 950 .

C. 1050 .

B. 1000 .

D. 1100 .

Chọn C
Tự luận:
Gọi a là góc lớn nhất , thế thì 2(75 + a) = 3600  a = 1050 .

Câu 5 (ĐỀ THI THỬ 2018)Nế u

1
1
1
;
;
lâ ̣p thành một cấp số cô ̣ng (theo thứ
b+c c+a a+b

tự đó) thì dãy số nào sau đây lâ ̣p thành một cấ p số cô ̣ng ?
A. b2 ; a 2 ; c2

B. c2 ; a 2 ; b2

C. a 2 ; c2 ; b2

D. a 2 ; b2 ; c2

Đáp án D
2
1
1
c + a ( b + c )( b + a )
2
=
=

=
 ( a + c ) + 2b ( c + a ) = 2 ( b 2 + ab + ac + ab )
c+a b+c a +b
2
2b + a + c


a 2 + c2 + 2ac + 2bc + 2ba = 2 ( b 2 + ab + ac + ab )  a 2 + c 2 = 2b 2

Câu 6: ( ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Các dãy số có số hạng tổng quát sau. Dãy số nào
là dẫy giảm
A. un = n .
B. vn = n 2 + n .
n

n

3
D. f n =   .
2

1
C. w n =   .
2

Hướng dẫn giải: Chọn C
n

1
Tự luận: Dãy số w n =   là dãy số giảm vì:
2
n +1

n +1

n

n

1
 1  1  1 
1 1
un+1 − un =   −   =    − 1  = −    0, n  *
22

2
2 2 2 
Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng table của máy tính Casio để thử kết quả.
+ Ấn Mode 7 nhập liên tiếp hai hàm số ở hai kết quả vào để thử
+ Ta thử với đáp án A và B: Ấn Mode 7 nhập

"="

"="

"="

"="

ta được

Dựa vào bảng kết quả ta thấy dãy số un = n là dãy không tăng, không giảm, dãy số

vn = n 2 + n là dãy số tăng
+ Tiếp tục thử với hai đáp án C và D

"="

"="

"="

"="

" = " ta được

n

n

3
1
Dựa vào bảng kết quả ta thấy dãy số w n =   là dãy số giảm, dãy số f n =   là dãy số
2
2
tăng.
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 7 : (
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số
nhân:
1
1


u1 =
u1 =
2 .
2
A. 
B. 
.
2
u
u

 n+1 = − 2 . u n
 n +1 = u n

u = 1; u 2 = 2
D.  1
.
u n +1 = u n −1 .u n

C. un = n2 + 1 .
Hướng dẫn giải: Chọn B
Tự luận: Ta có 5 số hạng đầu của dãy số là:

1
2

; −1; 2; −2; 2 2 đây là một cấp số nhân

với công bội q = − 2
Trắc nghiệm:
Câu 8: (
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Một cấp số cộng có 11 số hạng mà tổng
của chúng bằng 176 . Hiệu số hạng cuối và đầu là 30 . Thì công sai d và u1 bằng:
A. u1 = −1; d = 3 .

B. u1 = 1; d = −3 .

C. u1 = 1; d = 3 .

D. u1 = 1; d = 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn C

( u1 + 10d ) − u1 = 30
u11 − u1 = 30
d = 3

  11

Tự luận: Ta có: 
u1 = 1
S11 = 176
  2u1 + 10d  = 176
2
Câu 9: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Ba cạnh của tam giác vuông có thể lập thành ba
số hạng liên tiếp của cấp số nhân được hay khong và tìm công bội của cấp số nhân đó (nếu
được)
A. Là ba số hạng liên tiếp và q =

1+ 5
.
2

B. Là ba số hạng liên tiếp và q = 
C. Không được.

1+ 5
.
2

D. Là ba số hạng liên tiếp và q =

1 + 5
.
2

Hướng dẫn giải: Chọn D
Tự luận:
+ Gọi a , b , c là ba số hạng liên tiếp của một tam giác vuông, a là cạnh huyền và giả sử
abc.
+ a , b , c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân khi và chỉ khi: b2 = ac . Gọi q là công
bội của cấp số nhân, ta có c = aq 2 ( q  0 )

( ) ( )

+ Theo định lý Pitago: a2 = b2 + c 2  a2 = ac + c 2  a2 = a aq 2 + aq 2
 q2 =

2

 q4 + q2 − 1 = 0

−1 + 5
−1 + 5
.
q=
2
2

Câu 10: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) và gọi Sn là tổng n số

hạng đầu tiên của nó. Biết S7 = 77 và S12 = 192 . Tìm số hạng tổng quát u n của cấp số cộng
đó
A. u n = 5 + 4n

B. u n = 3 + 2n

C. u n = 2 + 3n

D. u n = 4 + 5n

Đáp án B

7.6.d

7u1 +
= 77

S
=
77
 7
7u1 + 21d = 77
u = 5

2


 1
Ta có 
d = 2

12u1 + 66d = 192
S12 = 192
12u + 12.11.d = 192
1

2
Khi đó u n = u1 + ( n −1) d = 5 + 2 ( n −1) = 3 + 2n
Câu 11(Toán Học Tuổi Trẻ): Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn x1 = 40 và xn = 1,1.xn−1 với mọi
n = 2,3, 4,... Tính giá trị S = x1 + x2 + ... + x12 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. 855,4

B. 855,3

C. 741,2

Đáp án A.
Ta có: S = x1 + x2 + ... + x12 = x1 + 1,1x1 + 1,12 x1 + ...1,111 x1

= x1 (1 + 1,1 + 1,12 + ... + 1,111 ) = 40.

1 − 1,112
= 855, 4
1 − 1,1

D. 741,3


Lưu ý: Nếu un là một cấp số nhân với công bội q  1 thì S n được tính theo công thức
Sn =

u1 (1 − q n )
1− q

Câu 12: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho dãy số (un ) thỏa mãn:

(un )= n + 2018 -

n + 2017, " n Î ¥ *

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số (un ) là dãy tăng
C. 0 < un <

1
,"nÎ ¥ *
2 2018

B. lim un = 0
n® + ¥

D. lim

n® + ¥

un+ 1
=1
un

Đáp án A

un =

1
,"nÎ ¥ *
n + 2018 + n + 2017

Câu 13 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho năm số a, b, c, d, e tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự
1 1 1 1 1
đó và các số đều khác 0, biết + + + + = 10 và tổng của chúng bằng 40. Tính giá trị
a b c d e

S với S = abcde .
B. S = 62.

A. S = 42.

C. S = 32.

D. S = 52.

Đáp án C
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

q5 − 1
q5 − 1 40
a+b+c+d +e = a
= 40 
= . (1)
q −1

q −1 a
Dễ thấy năm số
thiết ta có 10 =

1 1 1 1 1
1
, , , , tạo thành cấp số nhân theo thứ tự đó với công bội . Từ giả
a b c d e
q

q5 − 1
q5 − 1

= 10aq 4 . (2)
aq 4 ( q − 1)
q −1

Từ (1) (2) suy ra: aq 2 = 2 . Lai có S = a5q10  S = 32 .