Ôn tập thi THPT quốc gia môn toán chuyên đề số PHỨC

Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán
chuyên đề SỐ PHỨC
Người đăng: Nguyễn Huyền - Ngày: 24/04/2017

Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Với mong muốn mở rộng
tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới kí hiệu là i.
Tập hợp các số này được gọi là tập hợp các số phức.

A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
•

Mỗi biểu thức có dạng a+bi với a,b∈R,i2=−1 được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi
là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là C.

•

Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số
phức z=a+bi.

•

a+bi=c+di ⇔ a=c và b=d.

2. Các phép toán
Với a,b,c,d∈R, c+di≠0, z=a+bi
•

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)

•

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+i(b−d)


•

(a+bi).(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc)

•

a+bic+di=(a+bi).(c−di)(c+di).(c−di)=ac+bdc2+d2+i.bc−adc2+d2

•

|a+bi|=a2+b2−−−−−−√ được gọi là môđun của số phức

•

z¯¯¯=a−bi được gọi là số phức liên hợp

Chú ý: z+z¯¯¯=2a và z.z¯¯¯=|z|2
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức
Phương pháp
Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có i2 thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức
liên hợp.
Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức

z=(3+2i)(2+5i¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯)

−(3+i)3
Giải:z=(3+2i)(2−5i)−(27+27i+9i2+i3)=16−11i−18−26i=−2−37i
Vậy Re(z)=−2,Im(z)=−37, |z|=(−2)2+(−37)2−−−−−−−−−−−−√=1373
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018 . Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz.
Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

1. z=(2−5i)(3+i)
2. (1+i)z+3=2i−4z
3. z=2+3i(4+i)(2−3i)
Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i)21+i. Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯.
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho
trước
Phương pháp


Thay z=a+bi vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y:

f(x,y)=0.

f(x,y)=0 là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.
Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w=(z+i)(2+i)

trong đó z là số phức thỏa |z−2|

=3
Giải: Gọi số phức w=x+yi

w=(z+i)(2+i)=x+yi⇔z=x+yi2+i−i=2x+y5+i−x+2y−55
Mà |z−2|=3 nên |2x+y5+i−x+2y−55−2|=3⇔(2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225
Vậy (2x+y−10)2+(2x−y−5)2=225 là phương trình biểu diễn tập số phức w.
Bài tập áp dụng

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm

M biểu diễn số phức z thỏa mãn

1. |z+z¯¯¯+3|=4
2. (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực
3. |z−4i|+|z+4i|=10
Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức
đó |z−1|≤2
Câu 3: Giải hệ phương trình sau với

w=(1+i3√)z+2 trong

z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức
a) Căn bậc hai của số phức
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z
nếu w2=z hay (x+yi)2=a+bi
Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+ TH1 : a> 0 ⇒ w=±a√
+ TH2 : a < 0 ⇒ w=±i−a−−−√
Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

(x+yi)2=a+bi hay {x2−y2=a2xy=b
b) Phương trình phức bậc hai
Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai Az2+Bz+C=0
TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính

Δ=B2−4AC

+ Nếu Δ≥0 thì phương trình có nghiệm thực z=−B±Δ√2A
+ Nếu Δ<0 thì phương trình có nghiệm phức z=−B±i.Δ√2A
Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình.
TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính Δ=B2−4AC=a+bi=(x+yi)2
Khi đó phương trình có nghiệm

z=−B±(x+yi)2A

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng
máy tính)
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau

z=−5−12i

Giải: Gọi w=x+yi(x,y∈R) là căn bậc hai của số phức z
Ta có w2=(x+yi)2=−5−12i⇔{x2−y2=−52xy=−12
Với y=0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với y≠0 ta có x=−6y nên (−6y)2−y2=−5⇔[y2=9y2=−4⇔y=±3
Nếu y=3 thì x=−2 ta có w=−2+3i
Nếu y=−3 thì x=2 ta có w=2−3i
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

1. z2+2z+5=0
2. (z2+i)(z2−2iz−1)=0
3. z3−8=0
Giải


1. Ta có Δ′=−4=4i2 nên z=−1±2i
2. (z2+i)(z2−2iz−1)=0 ⇔z2+i=0 hoặc z2−2iz−1=0
TH1: z2=−i=(1−i2√)2 ⇔[x=5x=2
TH2: z2−2iz−1=0⇔z2−2iz+i2=0⇔(z−i)2=0⇔z=i
3. Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm

z=2. Ta có

z3−8=0⇔(z−2)(z2+2z+4⇔[z−2z2+2z+4=0⇔⎡⎣⎢⎢⎢z=2z=−1+3√i2z=−1−3√i2

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:
Câu 1: Cho số phức z+1=i2017+i2018 . Tìm |z′| biết z′=z¯¯¯+iz.
Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

1. z=(2−5i)(3+i)
2. (1+i)z+3=2i−4z
3. z=2+3i(4+i)(2−3i)
Câu 3: Cho z1=4−3i+(1−i)3, z2=1+2i−(1−i)21+i. Tìm môđun của số phức z=z1.z2¯¯¯¯¯.

=> Xem hướng dẫn giải
DẠNG 2:
Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

1. |z+z¯¯¯+3|=4
2. (2−z)(i+z¯¯¯) là số thực
3. |z−4i|+|z+4i|=10
Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức w=(1+i3√)z+2 trong đó |z−1|

≤2

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số ⎧⎩⎨⎪⎪|z−1−4i|=3∣∣∣z+3+2iz+32−i∣∣∣=2

=> Xem hướng dẫn giải


DẠNG 3:
Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau

1. z=−21+20i
2. z=1+43√i
Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

1. z2−4z+20=0
2. 4z4−3z2−1=0
3. (iz+3z−2i)2−3.iz+3z−2i−4=0
Câu 3: Gọi z1,z2 là nghiệm của phương trình z2+2z+5=0. Tính giá trị của các biểu thức sau

A=|z1|2+|z2|2
B=|z1|2+|z2|2−a|z1¯¯¯¯¯||z2¯¯¯¯¯|
=> Xem hướng dẫn giải