dạng bài tập cấp số cộng và cấp số nhân

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi

 u1 = a
, n∈ N *

un+1 = un + d

Sn = u1 + u2 + ... + un = u1

.
Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số
Phương pháp:

d
gọi là cấp số cộng;

gọi là công sai.

2.1. Các tính chất:

•
•

Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

.

uk ,uk+1 ,uk+ 2
là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng

khi và chỉ khi
Tổng

•
được xác định bởi công thức :

Sn = u1 + u2 + ... + un =

n
n
u1 + un ) =  2u1 + ( n − 1) d
(
2
2

 u1 = a
, n∈ N *

un+1 = un .q
•
•

•
.

2. Cấp số nhân
1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi

2.2. Các tính chất:

•

không phụ thuộc

là công sai.

⇔

Dãy số

un+1
=q
un

là một cấp số nhân

không phụ thuộc vào

là công bội.

⇔ a+ c = 2b

a, b,c

Ba số

theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng

⇔ ac = b

a, b,c
Ba số

.
2

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân

.

Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và

u1
công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua

d

q
gọi là cấp số cộng;

gọi là công bội.

và

•

.
Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và

u1

n−1

un = u1q
Số hạng thứ n được cho bởi công thức:

.

uk ,uk+1 ,uk+ 2
Ba số hạng

khi và chỉ khi

q

và .
Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng

.

của chúng bằng

20

1,5,6,8

Sn

n

Tổng

công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng

uk2+1 = uk.uk+ 2
•

là một cấp số cộng

d

(un )

n và

Sn
số hạng đầu tiên

Dãy số

q

.

n

•

⇔ un+1 − un = d

(un )

vào n và

1
uk+1 = ( uk + uk+2 )
2
•

•

un = u1 + (n − 1)d

Ba số hạng

qn − 1
q− 1

số hạng đầu tiên

được xác định bởi công thức :

A.

120

và tổng các bình phương của chúng bằng

2,4,6,8

B.

C.

u2 − u3 + u5 = 10

 u4 + u6 = 26

(un )
Ví dụ 2. Cho CSC

1,4,6,9

thỏa :

1,4,7,8

D.

.


1. Xác định công sai và;

d= 2

d= 4

d= 3

A.
B.
C.
2. công thức tổng quát của cấp số

un = 3n − 2
A.

un = 3n − 4

d= 5
D.

un = 3n − 3

B.

C.

un = 3n − 1
D.

Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng

.

S = 673015

A.

S=

S = 6734134
B.

S = 673044
C.

A.

u100 = −295
B.

u100 = −231
C.

A.

S15 = −274
B.

u100 = −294

A.

C.

S = −1242

C.

u1 = 1,u1 = 8
B.

u1 = 1,u1 = 5
C.

u1 = 1,u1 = 9
D.

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11


82
u1 + u5 =

11

u1 =

D.

1
81
,u1 =
11
11

A.

C.

S = 3028332

1
81
,u1 =
12
12

u1 =

2
81
,u1 =
11
11

D.

D. d=4

S = 3028057
C.

u1 =
B.

1

81
u1 = ,u1 =
13
13

(un )

S = 3021233
B.

u1 = 1,u1 = 2

S = −1222

S = u5 + u7 +…+ u2011

S = 3028123

D.

1.

D.

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn
1. Xác định công sai?
A.d=3
B. d=5
C. d=6

A.

S = 123
C.

49
246

 u1 + u2 + u3 + u4 = 15
 2 2 2 2
u1 + u2 + u3 + u4 = 85

S15 = −285

u2 − u3 + u5 = 10

 u4 + u6 = 26

2. Tính tổng

S=

2.

S = −1276
B.

B.

A.

S15 = −253

.

S = −1286

4
23

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm
biết:

D.

S = u4 + u5 + ... + u30
3. Tính

S=

u1

.

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

S15 = −244

9
246

D. S = 141

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng
thỏa:
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

u100 = −243

và tổng 100 số hạng

. Tính

A.

u5 + 3u3 − u2 = −21

3u7 − 2u4 = −34

(un )

có

1
1
1
S=
+
+ ... +
u49u50

u1u2 u2u3

24850
đầu bằng

S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011
2. Tính

u1 = 1

(un )


2
u4 =
27

u3 = 243u8


Ví dụ 7. Cho cấp số nhân
thỏa:
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;

u1 = 2,u2 =

D.
A.

2

2
2
2
,u3 = ; u4 =
,u5 =
5
9
27
81

.


u1 = 1,u2 =

d= ∅

2
2
2
2
,u3 = ;u4 =
,u5 =
3
9
27
81

A.

2
2
2
2
,u3 = ; u4 =
,u5 =
3
9
27
64

4.

C.

u1 = 2,u2 =

B.

d=

d= ∅

2
2
2
2
,u3 = ;u4 =
,u5 =
3

9
27
81

A.

S10 =

A.

59123148
19683

1.

2.

d= −2

A.

d= 3
B.

q= 2

d= 2
D.

d= −3

d= 3
B.

C.

d= 1
D.

q= ∅

q= 4
C.

D.

.

q=

q= 3
A.

1
2

B.

q= ∅

q= 4
C.

D.

Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không?
Nếu phải hãy xác định công sai.

un = 3n + 1
1.

un = −3n + 1

d= −2

D.

2
n

3.

d= 5
C.

C.

B.

un =

D.3

un = 2n + 3

d= ∅

A.

d= −3

d= 3
B.

C.

d= 1
D.

un = 4− 5n
2.

2

3.

q= 3

A.

Bài 1 Dãy số
có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy
xác định số công sai ? Biết:

un = n + 1

B.

q= ∅

q= 4

un = 4.3

(un )

A.

q= 2
n

D.

3. Số
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
A.41
B.12
C.9
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

2.

q= 3

A.

2
6561

1.

d= 1
D.

un = 2n

59048
S10 =
19683

C.

d= −3
C.

Bài 2 . Dãy số
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy
xác định số công bội ? Biết:

B.

1359048
S10 =
3319683

D.

(un )

2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;

59048
12383

1
2

B.

D.

S10 =

C.

d= 1

2
un =
n

B.

u1 = 2,u2 =

d= −3

d= 3

A.

d= ∅

d= −5

d= 3
B.

C.

d= 1
D.


un =

2n + 3
5

un =

3.

4.

d=

d= ∅
A.

2
5

B.

d= −3
C.

d= 1

A.

B.

un =
5.

d= −3

d= 3

C.

d= 1
D.

q= 2

d= −3

d= 3
B.

C.

d= ∅

d= 1

số cộng và

B.

C.

d= 1
D.

C.

có ba góc

q= 2

A.

B.

C.

D.

 A = 15

0
 B = 105
C = 600


3
un = −
5

C.

A.

B.

q= ∅

q= 4
C.

D.

3+ 3
2
tính các góc của tam giác

0

0

0

0

20 ,60 ,1000

30 ,60 ,90

0

B.

q=

q= 2
B.

q= ∅

q= 4
C.

D.

100 ,500 ,1200
C.

un = 32

400 ,600 ,800
D.

+1

Bài 6. Cho dãy số
với
1. Tìm công bội của dãy số (un).

un = 3n − 1

q= 3

D.

2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và

n

q= 2

 A = 200

0
 B = 60
C = 1000


0

B.

(un )

q= 3

.

A = 5

0
 B = 60
C = 250


0

A.

A.

n−1

theo thứ tự đó lập thành cấp

. Xác định số đo các góc

 A = 10

0
 B = 120
C = 500


q= ∅

q= 4

D.

A , B,C

sin A + sin B + sin C =

q= 3

q= ∅

A , B,C

0

D.

d= −3

d= 3

D.

q= 4

B.

C = 5A

un = 2n

A.

C.

Bài 5.

Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không?
Nếu phải hãy xác định công bội.

3.

.

1. Tam giác

A.

2.

q= 3

A.

un = n2 + 1

1.

B.

ABC

d= ∅

q= ∅

q= 4

un = n

n

2n

A.
6.

q= 2
3

5.

d= ∅

q= 3

A.

D.

n+ 1
un =
n
4.

2n − 1
3

A.

3
2

q=

q= 3
B.

C.

1
2

q= 3
D.


3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp
số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và
cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.

S = u2 + u4 + u6 +…+ u20
2. Tính tổng

9
S = (320 + 1)
2

9
S = (320 − 1)
2

A.

b = 15,c = 20, d = 25, a = 12

A.

B.

9
S = (310 − 1)
2

7
S = (310 − 1)
2

C.

b = 16, c = 20,d = 25, a = 12

B.

b = 15,c = 25,d = 25, a = 12

C.
Bài 8.

D.

u7 − u3 = 8


 u2.u7 = 75

19683
3. Số
A.15

là số hạng thứ mấy của dãy số.
B.16
C.19

D.17

Bài 7.
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng
thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN
đó.

1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn

d = 2

u1 = 2,u1 = −17
A.

B.

d = 2

u1 = −3,u1 = −17

d = 2

u1 = 3,u1 = −17

u1 =

2
2
;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
7
3

u1 =

2
2
; u2 = ;u3 = 2; u5 = 21;u6 = 54;u7 = 162
9
3

2. Cho cấp số cộng (un) có công sai
số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

u1 =

2
2
;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
9

3

A.

C.

D.


u31 + u34 = 11
 2
2
d> 0 u31 + u34 = 101

B.

un = 3n − 9

C.

un = 3n − 2
B.

3. Gọi

là tổng

B.

−2; −1;0

C.

−3; −2; −1

un = 3n − 66
D.

số hạng đầu của một cấp số cộng.

S
S1
S
n2 − n3 ) + 2 ( n3 − n1 ) + 3 ( n1 − n2 ) = 0
(
n1
n2
n3

−9

−4; −3; −2

. Hãy tìm

n1; n2 ; n3

2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của
và tổng các bình phương của chúng bằng 29.

;

un = 3n − 92
C.

S1;S2 ;S3

D.

1;2;3

?

d = 2

u1 = 3,u1 = −7

2
2
;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
9
5

chúng bằng

u1 , d
. Tìm

u1 =
A.

A.

b = 16, c = 20,d = 25, a = 18

D.

Chứng minh rằng:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11


82
u1 + u5 =

11

D.

(un )
Bài 9. Cho CSN

thỏa:


2,3,5

1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số

q = 3;un =

n−1

1
81 1
q = ;un = . n−1
3
11 3

3
11

A.
C.Cả A, B đúng

2.

(un )

B.
D. Cả A, B sai

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số

là:

un = an + b
1. CSC khi và chỉ khi

S2011

un = aq
.n

2. Tính tổng

1
243 
1 
q = ;S2011 =
1− 2011 ÷

3
22  3 
A.
C.Cả A, B đúng

1 2011
q = 3;S2011 =
3 −1
22

(

)

B.
D. Cả A, B sai

2. CSN khi và chỉ khi

Ví dụ 3. Chứng minh rằng :

.

x3 − ax2 + bx − c = 0
1. Nếu phương trình

có ba nghiệm lập thành

9ab = 2a + 27c
3

CSC thì

1 
 2 ;1÷


3. Trên khoảng
A.1

không thể cùng thuộc một CSN.

x3 − ax2 + bx − c = 0

có bao nhiêu số hạng của cấp số.
B.2
C.3
D. 4

2. Nếu phương trình

có ba nghiệm lập thành

c(ca − b ) = 0
3

3

CSN thì

X = { 1,2,3,...,9}

Bài 10.

1
(xn ) : xn = , n = 1,2,3...
n
1. Cho dãy số
. Chứng minh rằng luôn tồn
tại một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số
trên.
Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:

•

Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng
qua số hạng đầu và công sai, công bội.

•

a, b, c

1. Cho ba số

⇔ a+ c = 2b
theo thứ tự đó lập thành CSC

ii ) a, b, c

⇔ ac = b2
theo thứ tự đó lập thành CSN

Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số:

1, 3,3
không thể cùng thuộc một CSC;

lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng :

a + 2bc = c + 2ab
2

2

.

Sử dụng tính chất của cấp số:

i ) a,b,c

1.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập
thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành
cấp số cộng.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1

a, b, c > 0
2. Cho

lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng :

1
a+ b

+

1
b+ c

=

2
c+ a
.

3. Cho (un) là cấp số cộng. Chứng minh rằng :

un =

1
(u +u )
2 n− k n+ k 1≤ k ≤ n − 1
,


Bài 2

Các ví dụ

tan

A
B
;tan ;
2
2

Ví dụ 1. Tìm

x + 1, x − 2,1− 3x
1.

⇔ cos A ;cos B;cosC

lập thành cấp số cộng

số cộng.

lập thành cấp

cot

lập thành cấp số cộng.

lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng :

( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c
2

1.

( a + b ) ( b + c ) = ( ab+ bc)
2

2.
3.

2

2

2

( ab+ bc + ca)

2

3

2

B.

n

n

n

n

n

n

( y + 1)

2.

, xy + 1,( x − 1)

lập thành cấp số cộng ;
2

các số

x, y
lập thành cấp số nhân.Tính

 10 4   3 3 
(x; y) = ( 0;0) ; ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

3

2n

B.

 11 4   3 3 
(x; y) = ( 1;0) ;  ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

+ b2n + c2n ; n ∈ ¥ *
C.

a1an = ak.an− k+1 , k = 1; n

Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn )

D.

 1 4  3 3 
(x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 

4.
Bài 4 Cho (un) là cấp số nhân .Chứng minh rằng :
1.

C.

5x − y, 2x + 3y, x + 2y

Ví dụ 2. Cho các số
2

x= ± 3

x = ±2

x= ± 2

A.

( a +b +c ) ( a −b +c ) = a

 10 4   13 13 
(x; y) = ( 0;1) ;  ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

2

D.

.

Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số
Phương pháp:

• a,b,c
• a,b,c

⇔ a+ c = 2b

theo thứ tự đó lập thành CSC
theo thứ tự đó lập thành CSN

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

x

⇔ ac = b2
.

x = 2, x = 1
D.

lập thành cấp số nhân.

A.

2

= abc( a+ b+ c)

x = 2, x = 5

C.

1, x2 ,6 − x2

a, b,c
Bài 3 Cho

x = 2, x = 3

B.

x = ±1
lập

⇔ sin A ;sin B;sin C

thành cấp số cộng

lập thành cấp số cộng ;

x = 4, x = 3

A.
2.

A
B
C

;cot ;cot
2
2
2

2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng

biết :

2

1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

C
tan
2

x

Bài 1. Tìm

để các số sau lập thành cấp số cộng


 3 1
(x; y) = ( 3;1) ; ; ÷
 8 8

1; x; x3
1.

π

1;sin  − x÷;4sin x
6 

C.

b = 0, a < 0

biết:

x + 5y,5x + 2y,8x + y

1. Các số
2

, xy − 1,( x + 1)

A.
lập thành cấp số cộng và các số

2

b = 0, a = 1

B.

m

Bài 4 Tìm

có ba nghiệm

b = 0, a > 0

C.

b > 0, a < 0
D.

để phương trình:

mx − 2( m− 1) x2 + m− 1= 0
4

lập thành cấp số nhân.


3 
3
(x; y) =  − 3; ÷; 3;
÷
2  
2 ÷



1.
cấp số cộng.

m= −

A.

m= −1
B.

m= −

9
12

D.

có ba nghiệm lập thành cấp số nhân


1
 m = − 27

 m = 0

C.


10
 m= 7

 m= 0

A.
B.
Bài 5 Xác định m để:


3 
3
(x; y) =  − 3; −
; 3;
÷
÷

÷
÷
2
2

 



10
 m = − 27

 m = 0

 m = −1

 m= 0

C.

D.

x3 − 3x2 − 9x + m= 0
1. Phương trình
thành cấp số cộng.

D.

m= 16

x + 6y,5x + 2y,8x + y

A.

5
x + y, y − 1,2x − 3y
3
lập thành cấp số nhân.

 1 1
(x; y) = ( −3; −1) ;  ; ÷
 8 8

có ba nghiệm phân biệt lập

m= 11

B.

lập thành cấp số cộng và các số

B.

7
16

C.

2.


3 
3
(x; y) =  3;
; 3;
÷
÷


2 ÷
2 ÷

 


 3 1
(x; y) = ( −3; −1) ;  ; ÷
 8 8

m= −

x3 − 3mx2 + 4mx + m− 2 = 0

B.

2. Các số

có bốn nghiệm phân biệt lập thành

9
16

A.


3 
3
(x; y) =  3; −
; − 3; −
÷
÷


2 ÷
2 ÷

 


A.

x3 + ax + b = 0

Bài 3. Xác định
để phương trình
phân biệt lập thành cấp số cộng.

x, y

( y − 1)

D.

a,b

2.

Bài 2. Tìm

 12 1 
(x; y) = ( −3; −1) ;  ; ÷
 8 8

m= 13

m= 12

C.

D.

x4 − 2( m+ 1) x2 + 2m+ 1 = 0
2. Phương trình
phân biệt lập thành cấp số cộng.

m= −

m= 2
A.

hoặc

(1) có bốn nghiệm

4
9

m= −

m= 4
B.

hoặc

4
9

m= −2

m= 4
C.

hoặc

m= −1

m= 3
D.

hoặc

x3 + 2x2 + ( m+ 1) x + 2( m+ 1) = 0
3. Phương trình
thành cấp số nhân.

có ba nghiệm lập

m = −1, m= −3, m= −4

A.
C.

m= 1, m= 3, m= 4

m = −1, m= 13, m= −4
B.
D.

m= −1, m= 3, m= −4