Trình bày một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Nội dung
• Ma trận (Matrix)
• Hệ phương trình
tuyến tính (Systems
of Linear Equations)

• Hệ phương trình
cung-cầu
• Mô hình cân bằng
kinh tế vĩ mô
• Mô hình cân đối liên
ngành I/O

Lý thuyết

Ứng dụng


Hệ phương trình tuyến tính
 Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất)
 Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính (tức
phương trình bậc 1)

 Ví dụ: Bài toán giá vé xem xi-nê
 Nếu giá của 2 vé người lớn và 1 vé trẻ em là 8$ và giá của 1
vé người lớn và 3 vé trẻ em là 9$ thì giá vé của mỗi loại sẽ là
bao nhiêu?
 Gọi x là giá vé loại người lớn, y là giá vé loại trẻ em.

2 x  y  8


x  3y  9


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng:
 a1 x  b1 y  c1

a 2 x  b2 y  c2

 Các phương pháp giải thông thường:





Phương pháp đồ thị (graphing)
Phương pháp thay thế (substitution)
Phương pháp khử và cộng (elimination by addition)
…


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Phương pháp đồ thị
 Gọi (D1) là đồ thị của a1x+b1y = c1
(D2) là đồ thị của a2x+b2y = c2


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Phương pháp đồ thị

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Phương pháp thay thế
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thay thế:
 5x  y  4

2 x  3 y  5

(1)
(2 )

Giải:
Từ (1)  y = 4-5x
Thay vào phương trình (2)

 2x - 3(4 - 5x) = 5
 17x = 17  x = 1

Vậy y = 4 - 5x = 4 - 5*1 = -1
Nghiệm của hệ phương trình là (1,-1)


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Phương pháp khử và cộng
 Phương pháp này liên quan đến việc thay thế hệ phương
trình đã có bằng các hệ phương trình tương đương đơn
giản hơn cho đến khi đạt lời giải của bài toán.
 Định lý 1: Một hệ phương trình tuyến tính được biến đổi

thành hệ phương trình tương đương bằng:
 Đổi chỗ 2 phương trình.
 Nhân phương trình với 1 hằng số khác 0.
 Nhân phương trình này với 1 hằng số và cộng vào phương
trình khác đã cho.


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Phương pháp khử và cộng
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử và cộng:
 3x  2 y  8

2 x  5 y  1

(1)
(2 )

Giải:
(1) * 5  15x-10y = 40
(2) * 2  4x+10y = -2
19x = 38
x =2
Thay x = 2 vào (1)  3*2 - 2y = 8  y = -1
Nghiệm của hệ phương trình là (x,y)=(2,-1).


Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

ContourPlot[equation,
{x, xmin, xmax} , {y,

ymin, ymax}] vẽ đường
được cho bởi phương
trình equation (2 biến x
và y).


Hệ phương trình tuyến tính 3 biến
 Định nghĩa:

 a1 x  b1 y  c1 z  d 1
 Là hệ phương trình có dạng: a 2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

 Phương pháp giải thông thường:
 Dùng định lý 1, khử bớt 1 biến số để có hệ phương trình
gồm 2 biến.
 Giải hệ phương trình hai biến.
 Tìm biến thứ 3.

(1)
( 2)
(3)


Hệ phương trình tuyến tính 3 biến
Giải hệ phương trình

 3x  2 y  4 z  6

2 x  3 y  5z  8
 5x  4 y  3z  7


(1)
( 2)
(3)

Giải:
(1)*5+(2)*4 ta có: 15x-10y+20z = 30
8x+12y-20z = -32
23x+2y
= -2
(a)
(1)*3-(3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8
20x-16y+12z = 28
-11x+10y
= -10
(b)
(a)*5-(b) ta có:
115x+10y
= -10
-11x+10y
= -10
126x
=0
x

=0
(b)  y
= -1
(1)  z
=1
Nghiệm của hệ phương trình là (x,y,z) = (0,-1,1)


Hệ phương trình tuyến tính 3 biến

ContourPlot3D[equation, {x,
xmin, xmax} , {y, ymin, ymax} ,
{z, zmin, zmax}] vẽ mặt được
cho bởi phương trình equation
(3 biến x, y và z).


Một số phương pháp giải tổng quát
1) Phương pháp Cramer (phương pháp định
thức)
 Cần biết cách tính định thức (determinant)

2) Phương pháp ma trận bổ sung (phương
pháp khử liên tiếp, phương pháp Gauss –
Jordan)
 Cần biết khái niệm ma trận (matrix), ma trận
bổ sung (augmented matrix) và các phép biến
đổi sơ cấp

Gabriel Cramer (1704-1752)

3) Phương pháp ma trận nghịch đảo (phương
pháp phương trình ma trận)
 Cần biết các phép tính trên ma trận, khái niệm
ma trận nghịch đảo (inverse matrix)
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)


Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 2 biến a1 x  b1 y  c1

a 2 x  b2 y  c2
 Định thức cấp 2 (2-ordered determinant) tương ứng với
bảng các phần tử  a
b 
1


 a2

được xác định như sau:

1


b2 


Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 2 biến a1 x  b1 y  c1


 Tính các định thức:
a 2 x  b2 y  c2
a1
b1
• Công thức Cramer:
D
 a1b2  a 2 b1
a2
b2

c1
D 
c2
D 

b1
 c1b2  c2 b1
b2

a1

c1

a2

c2

 a1c2  a 2 c1

D
x
D
D
y
D


Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 2 biến
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

Giải:
D

 5x  y  4

2 x  3 y  5
5
2

1
3

D
x
1
D

Mathematica:

Det[array]

 15  2  17  0

D
y
 1
D

Excel:
MDETERM(array)

4
D 
5

1
 12  5  17
3

Det[{{5,1},{2,-3}}]
5
4
D 
 25  8  17
2
5

Nghiệm của hệ phương trình là (x,y)=(1,-1).

Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 3 biến  a1 x  b1 y  c1 z  d1


a 2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

 Định thức cấp 3 tương ứng
với bảng các phần tử  a1
được xác định sau:

b1


 a2

 a3

a1

b1

c1

a2

a3

b2
b3

c2  a1
b3
c3

b2

c1 

c2 

c3 

b2
b3

c2
c3

 b1

a2

c2

a3

c3

 c1

a2

b2

a3

b3

Một số cách ghi nhớ công thức?
 Xem tài liệu trang 33


Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 3 biến  a1 x  b1 y  c1 z  d1


a 2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

 Tính các định thức:
a1

a2

b1
b2

c1
c2

a3

b3

c3

d1
Dx = d 2
d3

b1
b2

c1
c2

b3

c3

D=

a1
Dy = a 2
a3

d1
d2

c1
c2

d3

c3

 Công thức Cramer:
D
x
D

D
y
D

D
z
D

a1
Dz = a 2
a3

b1
b2

d1
d2

b3

d3


Phương pháp Cramer
Hệ phương trình tuyến tính 3 biến
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer:
 x  2y  z  8
Mathematica:

 3x  2 y  z  10
Det[{{1,2,1},{3,2,1},{4,3,-2}}]
4 x  3 y  2 z  4
Giải: 1  2 1
2 1
3 1
3 2
D 3 2 1 1
2
1
3 2
4 2

4 3
4 3 2

= 1*(-4-3)-2(-6-4)+1(9-8) = -7+20+1 = 14  0
Tương tự Dx = 14, Dy = 28, Dz = 42
D
Dy
Dz
x
1
z
3
y
2
D
D
D
Nghiệm của hệ phương trình là là (x,y,z)=(1,2,3)


Phương pháp ma trận bổ sung
 Ma trận (matrix): là một mảng số hình chữ nhật được
trình bày ở dạng: A = [aij]m*n =  a11 a 21 ..... aij .... a1n 
a
 21
 ai1

a m1

a 22

aij





a mn 


Phương pháp ma trận bổ sung
 Định lý 2: Một ma trận bổ sung được biến đổi thành ma
trận tương đương về hàng bằng cách:
 Ri  Rj
 kRi  Ri
 Ri + kRj  Ri

 a1 x  b1 y  c1
 Giải hệ phương trình tuyến tính: 
a 2 x  b2 y  c2


Phương pháp ma trận bổ sung
 Giải hệ phương trình:

3x  4 y  1

 x  2y  7


Phương pháp ma trận bổ sung

 Giải hệ phương trình:

 2x  y  4

6 x  3 y  12


Phương pháp ma trận bổ sung
 2x  y  4
 Giải hệ phương trình: 6 x  3 y  12
