Đề thi học kì 1 lớp 9 môn Toán huyện Phúc Thọ 2018 2019
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (151.4 KB, 14 trang )
1/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I
UBND HUYỆN PHÚC THỌ
NĂM HỌC 2018 − 2019
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1. (2,0 điểm)
x +3
1
x
Cho biểu thức M =
+
với x > 0, x ≠ 9
và N =
x
−
9
x
+
3
x
−
3
a) Tính giá trị của biểu thức N khi x = 4
b) Rút gọn biểu thức B = M : N
c) Chứng minh B >
1
3
Câu 2. (2,0 điểm)
Giải phương trình
a)
4x 2 + 4x + 1 = 6
b)
4x + 20 + x + 5 −
1
9x + 45 = 4
3
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k (d )
a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d ) đi qua điểm A(1;2)
b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng
y = 2x + 3
c) Tìm điểm cố định mà (d ) luôn đi qua với mọi k
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
2/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho AC là đường kính của đường tròn tâm (O;R) . Trên tiếp tuyến tại
A của (O;R) , lấy điểm I sao cho IA lớn hơn R . Từ I vẽ tiếp tuyến thứ
hai với (O;R) với tiếp điểm là B . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với
AC cắt đường thẳng BC tại H .
a) Chứng minh BC / /OI
b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật
c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân.
d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
(1 + a )(1 + b)1 + c)
(1 − a )(1 − b)1 − c)
Facebook: />Youtube: />
3/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (2,0 điểm).
x +3
1
x
Cho biểu thức M =
và
với x > 0, x ≠ 9
+
N
=
x
−
9
x +3
x −3
a) Tính giá trị của biểu thức N khi x = 4
b) Rút gọn biểu thức B = M : N
c) Chứng minh B >
1
3
Lời giải
a) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức N , ta được:
4
N=
4 −3
=
2
2
=
= −2
2 − 3 −1
x +3
1
x
b) B = M : N =
+
:
x +3 x −3
x −9
B =
B=
B=
B=
(
x +3
(
x +3
x −3
x +3+ x −3
x +3
x
(
)(
(
)(
x +1
x +3
)(
x −3
)(
)
+
) (
x −3
x −3
x −3
)
x +3
x
:
x
:
x −3 x −3
x −3
=
)(
(
)
x+ x
x +3
)(
x −3
)
⋅
x −3
x
)
x
x +1
x +3
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
4/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
1
x +1 1 3
c) Xét B − =
− =
3
x +3 3 3
B−
(
(
) + −1.( x + 3)
x + 3) 3( x + 3)
x +1
1 3 x +3− x −3
2 x
=
=
3
3 x +3
3 x +3
(
Mà x > 0 nên
Do đó: B −
Vậy B >
)
(
)
x > 0 ⇒ 2 x > 0 và 3
(
)
x +3 >0
1
2 x
=
>0
3 3 x +3
(
)
1
3
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
5/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Câu 2. (2,0 điểm)
Giải phương trình
a)
4x 2 + 4x + 1 = 6
b)
4x + 20 + x + 5 −
1
9x + 45 = 4
3
Lời giải
a) Điều kiện xác định: x ∈ ℝ
4x 2 + 4x + 1 = 6 ⇔ (2x + 1)2 = 6
⇔ 2x + 1 = 6
5
x=
2x + 1 = 6
2x = 5
2 (thỏa điều kiện xác định)
⇔
⇔
⇔
x = −7
2x + 1 = −6
2x = −7
2
−7 5
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = ;
2 2
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
6/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
b) Điều kiện xác định
4x + 20 ≥ 0
x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5
9x + 45 ≥ 0
4x + 20 + x + 5 −
1
9x + 45 = 4
3
⇔ 4(x + 5) + x + 5 −
1
9(x + 5) = 4
3
1
⇔ 2 x + 5 + x + 5 − ⋅3 x + 5 = 4
3
⇔ 2 x +5 + x +5 − x +5 =4
⇔ 2 x +5 =4 ⇔ x +5 =2
⇔x +5=4
x = −1 (thỏa điều kiện x ≥ −5 )
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−1}
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
7/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k (d )
a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d ) đi qua điểm A(1;2)
b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng
y = 2x + 3
c) Tìm điểm cố định mà (d ) luôn đi qua với mọi k
Lời giải
a) Vì đường thẳng (d ) đi qua điểm A(1;2) nên thay x = 1;y = 2 vào
phương trình: y = (k + 1)x + k , ta được: 2 = (k + 1).1 + k
⇔ 2 = k +1+k
⇔ 2k = 1
⇔k =
1
2
b) Đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + 3 khi
k + 1 = 2
⇔k =1
k
≠
3
Vậy k = 1 thì đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + 3
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
8/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
c) Gọi M (x 0 ;y0 ) là điểm cố định mà (d ) luôn đi qua
Thay x = x 0 ;y = y 0 vào phương trình y = (k + 1)x + k , ta được:
y 0 = (k + 1)x 0 + k ⇔ kx 0 + x 0 + k = y 0
⇔ kx 0 + x 0 + k − y 0 = 0
⇔ k (x 0 + 1) + x 0 − y 0 = 0 (1)
x = −1 x 0 = −1
x + 1 = 0
⇔ 0
⇔
Để (1) luôn đúng với mọi k ⇔ 0
x
−
y
=
0
x
=
y
0
0 0
0
y 0 = −1
Vậy (d ) luôn đi qua điểm cố định M (−1; −1) với mọi k
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
9/1
4
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho AC là đường kính của đường tròn tâm (O;R) . Trên tiếp tuyến tại
A của (O;R) , lấy điểm I sao cho IA lớn hơn R . Từ I vẽ tiếp tuyến thứ
hai với (O;R) với tiếp điểm là B . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với
AC cắt đường thẳng BC tại H
a) Chứng minh BC / /OI
b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật
c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân.
d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC
Lời giải
a) Chứng minh BC / /OI
I
K
H
B
E
A
C
O
Xét (O;R) có AI và BI là các tiếp tuyến cắt nhau tại I nên IA = IB
Ta lại có: OA = OB = R
Do đó: OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB
⇒ OI ⊥ AB
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
10/
14
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC nên ABC = 900
⇒ AB ⊥ BC
OI ⊥ AB
⇒ BC / /OI
BC ⊥ AB
b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật
Xét tứ giác AOHI có:
IAO = 900 (vì AI là tiếp tuyến của (O;R) tại A ) (1)
AOH = 900 (vì OH ⊥ AC ) (2)
Xét ∆AIO và ∆OHC có:
IAO = HOC = 900
OA = OC = R
IOA = HCO (Hai góc đồng vị, BD / /OI )
Do đó: ∆AIO = ∆OHC (g .c.g )
⇒ IO = HC (Hai cạnh tương ứng)
Mà IO / /HC
⇒ Tứ giác IOCH là hình bình hành.
⇒ IH / /OC hay IH / /AC (vì O là trung điểm của AC )
IH / /AC
0
⇒ IH ⊥ OH ⇒ OHI = 90 (3)
OH ⊥ AC
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AOHI là hình chữ nhật.
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
11/
14
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân.
I
K
H
B
E
A
C
O
Vì tứ giác AOHI là hình chữ nhật nên AIH = 900
Ta có: OIK = 900 − AIO
Ta lại có: AOI = 900 − AIO (vì ∆OAI vuông tại A)
⇒ AOI = OIK
Mà IOK = AOI (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: OIK = OIK
Vậy ∆IOK cân tại K
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
12/
14
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC
I
K
H
B
E
C
A
O
Gọi E là giao điểm của OI và AB
Theo câu a) ta có: OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB
⇒ AB ⊥ OI tại E và AE = EB
Xét ∆IAO vuông tại A, có AE ⊥ OI .
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
1
1
1
=
+
AE 2 IA2 OA2
1
1
1
1
1
5
=
+
=
+
=
AE 2 (2R)2 R 2 4R 2 R 2 4R 2
4R 2
⇒ AE =
5
2
⇒ AE =
2R
5
⇒ AB =
4R
5
(Vì E là trung điểm của đoạn thẳng AB )
Áp dụng định lí Pitago vào ∆ABC vuông tại B
AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇒ BC 2 = AC 2 − AB 2
2
4R
16R 2 4R 2
2
BC = (2R) −
=
= 4R −
5
5
5
2
2
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
Facebook: />Youtube: />
13/
14
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
⇒ BC =
2R
5
Diện tích tam giác ABC là: S ABC
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
1
1 4R 2R 4R 2
= ⋅ AB ⋅ BC = ⋅
⋅
=
2
2 5 5
5
Facebook: />Youtube: />
14/
14
Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
(1 + a )(1 + b)1 + c)
(1 − a )(1 − b)1 − c)
Lời giải
Vì a,b,c > 0 và a + b + c = 1 nên ta có:
1 −a = b +c > 0;
1 −b = a +c > 0;
1 −c = a +b > 0
Ta có:
1 + a = 1 + (1 − b − c) = (1 − b) + (1 − c) ≥ 2 (1 − b)(1 − c) (BĐT Cauchy)
Tương tự: 1 + b ≥ 2 (1 − a )(1 − c) (BĐT Cauchy)
1 + c ≥ 2 (1 − a )(1 − b) (BĐT Cauchy)
(1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ 8 (1 − a )2 (1 − b)2 (1 − c)2 = 8(1 − a )(1 − b)(1 − c)
⇒
(1 + a )(1 + b)1 + c)
≥8
(1 − a )(1 − b)1 − c)
Dấu “=” xảy ra khi 1 − a = 1 − b = 1 − c ⇔ a = b = c
Mà a + b + c = 1 ⇒ a = b = c =
1
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi a = b = c =
GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879
Website:
1
3
Facebook: />Youtube: />
