Đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Quảng Ninh Bảng B

SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH
----------- @ -----------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2002-2003
------------------------------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN, BẢNG B
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/3/2003

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
a) Chứng minh rằng: 2sin o  sin 2o  4sin 4o  6sin 6o  ...  178sin178o  108sin108o  90 cot g1o
3
b) Cho tam giác ABC có: sin A  sin B  cosC  . Hãy tính các góc của tam giác.
2
Bài 2:
Cho dãy số thực: u1  c , u2  c  c , u3  c  c  c , ... với c là hằng số cho trước.
a) Chứng minh rằng: un  1  c với n  1, 2, 3, ...
b) Chứng minh minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy.
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy M
tùy ý. Gọi B’ và D’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A tới MB và MD. Đặt AM = m.
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a, m
b) Gọi O’ là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm M di
động tên Ax, đường thẳng O’B luôn tiếp xúc mặt cầu đường kính AC.

Bài 4:
Xét số thực x thỏa mãn: x � 0;1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 29  1  x 

3

---------------------- Hết ----------------------


SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH
----------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2003-2004
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN, BẢNG B
Ngày thi: 30/3/2004
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD: ……….
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
a) Chứng minh rằng: 8sin 3 18o  8sin 2 18o  1
�
� �
sin 2 x sin �y  � 1
�
�

� 4�
b) Giải hệ phương trình: �
� �
�
sin 2 y sin �x  � 1
�
� 4�
�
Bài 2:

30sin n  3cos n
với n  1, 2, 3, ...
n  2004
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Dãy số  un  được cho như sau: un 

Bài 3:
Trong mặt phẳng (P) cố định, cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy một
điểm C tùy ý (C khác A và B). Kẻ Ch vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi I là trung điểm của CH.
Trên một nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng (P) tại I lấy điểm S sao cho AS vuông góc
với SB.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (P).
b) Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SABI chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 4:



Chứng minh rằng:  1  x   1  y   1  z  �1  3 xyz



3

với mọi x, y, z  0 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

--------------------------- Hết ---------------------------


SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH
----------- @ -----------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2004-2005
------------------------------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN, BẢNG B
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
a) Chứng minh rằng với mọi số a, b, c phương trình: x 3 +ax 2  bx  c  0 luôn có nghiệm.
2sin x  sin y
�

b) Giải hệ phương trình: �
2 cos x  cos y  1
�
Bài 2:
u0  u1  1
�
�
Cho dãy số  un  xác định như sau: �
với n �N * . Chứng minh dãy số trên có
un 1  un  un 1
�
giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy số đó.
Bài 3:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C. Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc
với mặt phẳng (P). Trên Ax lấy một điểm S (S khác A). Gọi D và E tương ứng là hình chiếu của A
lên SC và SB. Cho S chạy trên Ax. Chứng minh rằng:
a) Tồn tại một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E.
b) Đường thẳng nối D, E luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4:
Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x �0; y �0; z �0; x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: M  xy  yz  zx

--------------------------- Hết ---------------------------


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2004-2005

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 15/12/2004
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
8
2
2
Giải phương trình: x  x  x  16   6  4  x 
Bài 2:
Cho dáy số xác định bởi:
x1 

e

3

; x2 

e ; xn 1 xn 1  xn 3 với n  N , n

2

n

a) Chứng minh rằng: x  ecos 6 với n  N , n 1
n

b) Lập dãy số  yn  như sau: y1  x1 ; yn  n x1 x2 ...xn với n  N , n

2

Tìm giới hạn của dãy số  yn  khi n � �

Bài 3:
Cho tứ diện ABCD có AB  a , CD  b , các cạnh còn lại đều bằng c . Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD. Hãy tìm hệ thức liên hệ giưa a, b, c để mặt cầu đường kính EF tiếp xúc
với các cạnh của tứ diện ABCD.
Bài 4:
Cho đa thức P ( x)  x3  x 2  4 x  1
a) Chứng minh rằng P ( x ) có ba nghiệm thực phân biệt.
b) Gọi x1 , x2 , x3 là các nghiệm của P ( x ) .
1
1
1
 3
 3
Tính tổng S  3
x1  3x1  1 x2  3x2  1 x3  3x3  1

------------------------- Hết -------------------------

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2004-2005

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 15/12/2004
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
8
2
2
Giải phương trình: x  x  x  16   6  4  x 
Bài 2:
sin x
x �� x

Tính giới hạn: lim

Bài 3:

Cho tứ diện ABCD có AB  a , CD  b , các cạnh còn lại đều bằng c . Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh EF là đường vuông góc chung của AB và CD. Tính độ dài EF theo a, b, c .
b) Giả sử a  b  2c . Chứng minh rằng mặt cầu đường kính EF tiếp xúc với tất cả các cạnh của
tứ diện ABCD.
Bài 4:
Cho hai số a, b với a  0 thỏa mãn: đa thức P ( x)  x3  ax 2  a 2 x  b có ba nghiệm thực phân
3
3
biệt. Chứng minh rằng: 27b  11a  16a

------------------------- Hết -------------------------


SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005-2006

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN, BẢNG B
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/03/2006

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:

1. Giải phương trình:
sin 2 x  sin 2 y  1  s inx  sin y  sin x sin y
2. Rút gọn biểu thức:
M  sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  ...  sin 2 nx với x �k , k �Z
Bài 2:
Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 và với mọi n �N * , un 1 

2un  3
un  4

1. Tìm u1 để (un ) là dãy số có các số hạng bằng nhau.
2. Cho u1 

3
, chứng minh dãy số (un ) bị chặn và có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
2

Bài 3:
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC, AB vuông góc với BD, tam giác BCD không phải
là tam giác cân và có ba góc nhọn. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên AC và AD. Tiếp tuyến
với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại B cắt DC tại K. Chứng minh rằng: K, E, F thẳng hàng
và KE.KF = KC.KD.
Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức:
3(2 x 2  1)  2 x 1  x 2 �2

------------------------- Hết -------------------------


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2005-2006

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 15/12/2005
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1: Tính các giới hạn:
1) lim

x ��

x  sin x
x  cos x
x 2  2005


2) lim
x �0



9

1  5 x  2005

x

Bài 2:
1) Cho f ( x )  x 3  3x  1 với x �R . Hãy tính số nghiệm của phương trình: f  f ( x)   0 .
3
2) Tìm m để phương trình: x  3 x  2  m( x  2) có bốn nghiệm thực phân biệt.

Bài 3:
�  60o ,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BAD
SA=2BD, SA  (ABCD). Kẻ AH  SB, AK  SD (H, K là chân đường vuông góc). Hãy tính góc
giữa hai mặt phẳng (AHK) và (ABCD).
Bài 4:
13
2
2
2
Cho x, y , z �0 thỏa mãn x  y  z  1. Chứng minh rằng: x  y  z  4 xyz �
27
Dấu “=” xảy ra khi nào?

------------------------- Hết -------------------------


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2005-2006

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 15/12/2005
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Số BD
Chữ ký GT số 1:

Bài 1:
x7  x3
x �1
x 2  3x  2
2x
� �
x ��
0; �
2) Chứng minh rằng: sin x �

� 2�
1) Tìm giới hạn: C  lim

3

Bài 2: Giải phương trình:
2
1) 21 log2 x.log2 x  224  x log2 x
2) 2004 x  2.2005 x  2006 x  0
�   , BDC
�  45o .
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có (DBC)  (DBA), tam giác ADC vuông tại A, BDA
1) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
o
2) Xác định  để góc phẳng nhị diện  ( BDC ), DC , ( ADC )   60
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y  x100  10 x10  10

------------------------- Hết -------------------------


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2006-2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 27/3/2007
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1:
Tìm giới hạn sau: lim
x �1

x 1  2

3
x 1

Bài 2:
�
�x y 2
Giải hệ phương trình: �
�x  y  xy  2
Bài 3:
Cho tam giác ABC với BC  a , CA  b , AB  c .
A B C 1
Chứng minh rằng nếu tg .tg .tg  thì a  b  2c .
2
2
2 3
Bài 4:
Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = a ; DA = DB = DC. Gọi M, N, K theo thứ tự là trung
điểm các cạnh DB, DC, BC. Cho biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (DBC).
1. Chứng minh rằng AK = AD.
2. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (DBC) theo a.
Bài 5:
Chứng minh rằng phương trình: (m 2  m  1) x 7  2 x3  2  0 có nghiệm với mọi giá trị của tham
số m.
Bài 6:
4
2
Cho x, y thỏa mãn: x  y  1 ; y �0 . Chứng minh rằng: xy � .
27
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

Chữ ký giám thị 1

Chữ lý giám thị 2


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2006-2007

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 26/11/2006
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1:
Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y 

x
x 1
2

Bài 2:
�x 2  y 2  1
�
Giải hệ phương trình: �

2006 x  2006 y  (log 2006 y  log 2006 x)( xy  1)
�
Bài 3:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AD. Mặt phẳng (A’MB)
cắt đường chéo AC’ của hình hộp tại điểm H.
1. Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên cạnh AD (M khác A) thì đường thẳng MH luôn
đi qua một điểm cố định.
2. Giả sử AB < AD và AA’ = AB. Tìm vị trí điểm M trên cạnh AD để H là trực tâm của tam giác
A’MB.
Bài 4:
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: x 5  x 2  1  0
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………
Chữ ký giám thị 1

Chữ lý giám thị 2


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007-2008

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 13/11/2007
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1:
�
( x  1)e  x khi x  0
�
Tìm a để hàm số f( x )  � 2
có đạo hàm tại điểm x  0
 x  ax  1 khi x �0
�
Bài 2:
2
Giải phương trình: 5 x 1  x  1  5 x  x  x 2  x
Bài 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) có phương trình:
x cos   sin   2cos   1  0
Chứng minh rằng khi  thay đổi đường thẳng (d ) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 4:
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng
HD. Điểm M di động trên cạnh AB vad điểm N di động trên cạnh AC sao cho mặt phẳng (DMN)
luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC).
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (DMN) luôn đi qua điểm H.
2. Chứng minh rằng IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau.
Bài 5:
Chứng minh rằng với x �R, ta có:

4
1
cos3 x  cos 2 x   0.
3
2

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
-------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 24/11/2008
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1:
�x  y  m
�
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: �
� 32 �
( y  1) x 2  xy  m �x  �
�
� 99 �
�
Bài 2: Cho hàm số: f ( x) 

19 x  248
(x  24)(x  11)(x  8)

1) Hãy xác định các hệ số A, B, C sao cho hàm số: f ( x ) 
hàm cấp hai f "( x)
2) Chứng minh rằng: f (2008) ( x )  f (2009) ( x) với mọi x  24 .
(Trong đó f (n) ( x) là đạo hàm cấp thứ n của hàm số f ( x) )

A
B
C


và tính đạo
x  24 x  11 x  8

Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định tại A; AB  a 3 ; AC  3a . Điểm S di
động trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (ABC); (S �A). Các điểm M; N lần lượt thuộc
1

1
cạnh AB và AC sao cho AM  AB ; AN  AC ; P là hình chiếu vuông góc của M trên SC.
2
6
1) Chứng minh rằng tam giác AMN là một tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: Khi S di động trên d, thì 2 mặt phẳng (MNP) và (SBC) luôn vuông góc với
nhau và tích SC.CP không đổi.
3) Với vị trí S thỏa mãn SA  3a , gọi Q là giao điểm của SB với (MNP). Tính thể tích của khối
đa diện SAMNPQ theo a.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x thỏa mãn 0  x 
6cos 2 x  8sin 2 x cos x  16sin x  5 �0


ta có:
2

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 26/11/2009

Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (4 điểm)
Chứng minh rằng: tan x.tan(60o  x).tan(60o  x)  tan 3 x . Áp dụng tính:
A  tan 4o.tan16o.tan 24o.tan 36o.tan 44o.tan 54o.tan 56o.tan 64o.tan 76o.tan 84o
Bài 2: (3 điểm)
Tính giới hạn: lim
x �1

Bài 3: (3 điểm)

x  211 x 2  x  1  3
x 1

�x  y cot x
e 
�
� �
cot y
0; �
Giải hệ phương trình: �
với x, y ��
� 2�

�2 x 3  xy  2 y  1  0
�
Bài 4: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, M là một điểm tùy ý trong không gian nằm ngoài khối tứ diện.
a) Chứng minh rằng: Nếu tứ diện ABCD là đều thì tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ
diện không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
b) Tìm vị trí điểm M để tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện là lỡn nhất, nhỏ nhất.
Bài 5: (3 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng:
a  b  2c �4(1  a)(1  b)(1  c)
Bài 6: (2 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm M nằm trên đường tròn và không trùng với
các đỉnh của ΔABC. Các điểm E và F lần lượt đối xứng với M qua các đường thẳng AB và AC.
Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên trên đường tròn
tâm O và không trùng với các đỉnh của ΔABC.

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 26/11/2009
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (4 điểm)
2
Tìm giá trị của m để hàm số: y  x  3 x 

m
 3 có ba điểm cực trị.
x

Bài 2: (4 điểm) Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình:
�
e x  e y   log 2 5 y  log 2 5 x  .  x  y  1
�
�
�x  y  1  0
Bài 3: (7 điểm)
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với H là tâm của đáy, I là trung điểm của đoạn SH. Biết
khoảng cách từ đến mặt phẳng (SBC) bằng a và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc  .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
x2 y 2
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E):

 1. Giả sử đường thẳng Δ: y  m cắt
4

1
đường elip (E) tại hai điểm M và N. Xác định m để OM  ON.
k
Bài 4 (2 điểm) Kí hiệu Cn là tổ hợp chập k của n phần tử, tính tổng:
2
4
6
2006
2008
S  C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009

Bài 5: (3 điểm)
Cho a, b là các số thực thỏa mãn: 256b �27 a 4 .
Chứng minh: x 4 +ax 3  b �0 với mọi x �R . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 26/10/2010
Thời gian làm bài: 180 phút

(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (3 điểm):
1
1
 x2 
5x  7
x 1
m
b) Tìm các giá trị của tham số để bất phương trình sau có nghiệm:
2
a) Tìm các nghiệm thực của phương trình: (5 x  6) 

x 3  3 x 2  1 �m



x  x 1



3

Bài 2 (3 điểm):

�
�
�
Giả sử M là một điểm trong tam giác ABC sao cho MAB=MBC=MCA=
 . Chứng minh rằng:
cot   cotA  cotB cotC
Bài 3 (6 điểm):
Cho điểm O cố định và số thực dương a không đổi. Một hình chóp S.ABC thay đổi nhưng luôn
thỏa mãn đồng thời các điều kiện: OA = OB = OC = a , SA  OA, SB  OB, SC  OC,
ASB=90o , BSC=60o , CSA=120o . Chứng minh:
1. Tam giác ABC là tam giác vuông.
2. Điểm S luôn cách O một khoảng không đổi.
Bài 4 (3 điểm):
k
Kí hiệu Cn là tổ hợp chập k của n phần tử (0 �k �n) , tính tổng sau:
0
1
2
2009
2010
S  C2010  2C2010  3C2010  ...  2010C2010  2011C2010

Bài 5 (3 điểm):
Các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  1  3xy
3x
3y
1
1

 2 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M 
y ( x  1) x ( y  1) x
y

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 26/10/2010
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (3 điểm):
Tính giới hạn: lim
x �0

x 1  3 x 1
x

Bài 2 (3 điểm):
Chứng minh: cot x  tan x  2 cot 2 x . Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau:
31




 8 tan  4 tan  2 tan  tan
A=  tan
64
8
16
32
64
Bài 3 (4 điểm):
Tìm các nghiệm thực của phương trình:

3

2  x  1  x 1

Bài 4 (7 điểm):
1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chóp ABCD cố định, đỉnh S thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
�
�  90o . Chứng minh S luôn thuộc một đường tròn cố định.
điều kiện: ASB=ASD

2. Cho tam giác ABC. Giả sử điểm M thay đổi trên cạnh BC. Gọi R 1 và R2 lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACM. Chứng minh: R 1 + R2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và
chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
Bài 5 (3 điểm):
Xét biểu thức F 

x 2  y 2  xy
với x, y là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x 2  y 2  xy

thức F.

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 15/11/2010
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:

…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (5,0 điểm):
�1 1
2
2
�x  2 y  2 x  y
�
Giải hệ phương trình: �
với x, y �R
�1  1  y 2  x 2
�
�x 2 y





Bài 2 (3,0 điểm):
Cho dãy số  xn  xác định như sau: x0  2010; xn 1 

2
; n  0;1; 2; ...
1  xn2

a) Đặt un  x2 n với n  0;1; 2; ... Chứng minh dãy  un  có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh dãy  xn  cũng có giới hạn hữu hạn.
Bài 3 (4,0 điểm):

 �
�
Cho các số thực x, y, z , t cùng thuộc đoạn � ; �. Chứng minh rằng:
�2 6 �
�1
1
1
1 �
16 � sin x  sin y  sin z  sin t  �



��18
�sin x sin y sin z sin t �
Các dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 4 (5,0 điểm):
Cho tam giác đều ABC. Tìm tất cả các điểm M trong tam giác thỏa mãn:
O
�
�
�
MAB+MBC+MCA=90
Bài 5 (3,0 điểm):
Tìm các số nguyên tố x, y, z sao cho: x y  1  z

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 26/10/2011
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (5 điểm):

1 x
hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB
x2
bằng 2 6 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y  x.
�
� 3x  y  x  y  2
2) Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình: �
� x  y  x  y 1

1) Tìm trên đồ thị (C) của hàm số y 

Bài 2 (3 điểm):
�
Tam giác ABC vuông ở A, có ABC=
 . Tính tỉ số của bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường

.
tròn nội tiếp tam giác ABC theo Xác định  để tỉ số đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a , các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và ở cùng một phía với mp ấy. Lấy điểm M thuộc Bm và N thuộc Dn. Đặt BM  x , DN
y
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y để hai mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau.
b) Chứng minh rằng khi x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nêu ở phần a), đoạn vuông
góc chung của AC và MN có độ dài không đổi.
Bài 4 (3 điểm):
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trong khai triển nhị thức Newton (1  x ) n có hai số
7
hạng liên tiếp mà tỉ số các hệ số của nó bằng
15
Bài 5 (3 điểm):
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 xy  xz  1
3 yz 4 zx 5 xy


�4.
Chứng minh rằng:
x
y

z
Khi nào dấu đẳng thức xảy ra?
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 26/10/2011
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm):
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị của hàm số y 

2x 1
tại hai

x 1

điểm A và B sao cho AB  2 2
Bài 2 (3 điểm):
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Các điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh AD và CD
�  45o. Đặt AM  x , CN  y và diện tích tam giác MBN là S.
của hình vuông sao cho sao cho MBN
1
Chứng minh rằng: S  a  x  y 
2
Bài 3 (4 điểm):
�
( x  1)3  3( x  1) 2  y 3  3 y 2
�
Tìm nghiệm thực của hệ phương trình: � 2
2
2
�x  1  x  3 2 y  y  2  0
Bài 4 (6 điểm):
Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC, hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau,
o
�
BDC=90
. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng: OA = OB = OC = OD
2. Đặt AB  a , BC  b , tính OA theo a và b
Bài 5 (3 điểm):
Chứng minh:

4

�x 6  4 1  x 2
9





3

�4 với x � 1;1

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH


QUẢNG NINH
----------------

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 23/10/2012
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (6 điểm):

x2
có đồ thị (C), gọi I là giao của hai tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến
x 1
với đồ thị (C) biết tiếp tuyến ấy cắt hai đường tiệm cận của đồ thị tại hai điểm A và B sao cho bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất.
x 2  2012 7 1  2 x  2012
2. Tính giới hạn sau: lim
x �0
x
1. Cho hàm số y 





Bài 2 (3 điểm):
Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm:
x2
x 2  2 x  m( x  4)
 2 8  2 x  x 2  14  m  0
4 x
Bài 3 (3 điểm):

Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đặt IA  x , IB  y , IC
1
1
1
2
 z . Chứng minh rằng: 2  2  2 
.
x
y
y
yz
Bài 4 (5 điểm):
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính BC cố định. M là một điểm di động trên đường
tròn ấy. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại B lấy một điểm A cố định. Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC.
1. Chứng minh rằng khi M di động mặt phẳng (BHK) cố định.
2. Xác định vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn nhất.
Bài 5 (3 điểm):
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc  2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a 6  b6
b6  c 6
c6  a6
P 4


a  b 4  a 2b2 b 4  c 4  b 2 c 2 c 4  a 4  c 2 a 2
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013


---------------ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 23/10/2012
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm):
Tính giới hạn sau: lim
x �0

1  2 x  3 1  3x
x2

Bài 2 (3 điểm):
�  , B
�   với    , trung tuyến AM. Gọi  là góc nhọn tạo bởi AM
Cho tam giác ABC có C
và cạnh BC, chứng minh rằng: 2cot   cot   cot  .

Bài 3 (4 điểm):
Giải bất phương trình: x 2  x  6 x  2  18
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác đều ABC cạnh a , đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trên
(d) lấy điểm M. Gọi I là trực tâm tam giác MBC, H là trực tâm tam giác ABC, giao điểm của hai
đường thẳng HI với (d) là N.
1. Chứng minh rằng khi tứ diện MNBC có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
2. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên (d) thì tích AM.AN không đổi.
Bài 5 (3 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

a 4 b 4 �a 2 b 2 � a b
  �  �  với a, b là các số thực thỏa
b 4 a 4 �b 2 a 2 � b a

mãn a �0, b �0.

---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014


---------------ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG A)
Ngày thi: 03/12/2013

Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm):

x2
, biết tiếp tuyến đó cắt các đường tiệm
x 1
cận của đồ thị hàm số lần lượt tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất (I là giao hai tiệm
cận của đồ thị nói trên).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

Bài 2 (3 điểm): Giải phương trình sau:
2
4 x  2 log 4 ( x 2  4 x  6)  2 4 x  x 4 log 1  2 x  2  1  0
2

Bài 3 (3 điểm):
Một lớp học có 8 học sinh giỏi Toán là nam, 5 học sinh giỏi Toán là nữ và 7 học sinh giỏi Lý là
nam. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 20 học sinh đó để lập một ban cán sự. Tính xác suất để 4
học sinh được có nam, có nữ, có cả học sinh giỏi Toán và học sinh giỏi Lý.
Bài 4 (5 điểm):
o
�

Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình thoi cạnh a, ABC=120
. Các mặt phẳng
(ACC’A’) và (BDD’B’) cuàng vuông góc với (ABCD). Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm
CD, B’C’, DD’.
a) Tính thể tích khối tứ diện MNBD.
b) Tính cosin của góc tạo bởi (ABCD) và (AB’P).
Bài 5 (3 điểm):
Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c và các góc trong tam giác là A, B, C.
a) Chứng minh rằng b 2  a 2  ac khi và chỉ khi B = 2A.
b) Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp.
Bài 6 (2 điểm):
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2  2b 2  4c 2  12 và 0 �a �b �c . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P  ab 2  4bc 2  ca 2  abc  b 2  3b
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014


---------------ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 03/12/2013
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ

ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
2x  3
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến () của (C)
x 1
biết khoảng cách từ A(3; 0) tới () gấp 2 lần khoảng cách từ O tới (), với O là gốc tọa độ.
Bài 1 (3 điểm): Cho hàm số y 

Bài 2 (3 điểm): Giải phương trình sau:

3

�8 �
log 2 64 x 2  2 log 2 � � 2  0
�x �





Bài 3 (3 điểm):
Một lớp học có 8 học sinh giỏi Toán là nam, 5 học sinh giỏi Toán là nữ và 7 học sinh giỏi Lý là
nam. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 20 học sinh đó để lập một ban cán sự. Tính xác suất để 4
học sinh được có nam, có nữ, có cả học sinh giỏi Toán và học sinh giỏi Lý.
R
�
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, ABC=

 . Tính tỉ số theo  (với R là bán kính
r
đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó). Xác định  để tỉ số đó đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài 5 (5 điểm): Cho hình vuông ABCB cạnh a , tâm H. Các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng (ABCD). Lấy M thuộc Bm và N
thuộc Dn. Đặt BM  x , DN  y , K là trung điểm của MN.
1. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y để các mp (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau, khi đó hãy
xác định vị trí điểm M và N sao cho độ dài HK ngắn nhất.
Bài 6 (3 điểm): Cho các số thưc a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 và 0 �a �b �c .
�a
�
b
c



1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  abc �
�
�b
c
a �
�
�
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

----------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015


ĐÈ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(BẢNG B)
Ngày thi: 03/12/2014
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)

Họ và tên, chữ
ký giám thị số 1:
…………………
............................

(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1 (4 điểm)
Cho hàm số y  2 x 3  3mx 2  m3 và điểm M(2; 8). Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB đi qua M (O là gốc tọa độ).
�
e x  3  x  y  e y 3
�
Câu 2 (3 điểm) Giải hệ phương trình: �
2
�
�y  2 6  x  2 x 
2

6y  x

6y  x

30
Pn
7
C1 C 2
Cn
Với n vừa tìm được hãy tính tổng S  Cn0  n  n  ...  n
2
3
n 1
n 1
Câu 3 (3 điểm): Giải phương trình An 1  2 Pn 1 

Câu 4 (5 điểm):
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Gọi H là tâm của
đáy ABCD, trên đoạn SH lấy điểm M sao cho HM  x  0  x  2a  . Goi (P) là mp qua M và vuông
góc với SH, (P) cắt các cạnh bên SA, SB, SAO CHO, SD lần lượt tại các điểm E, F, K, N.
a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H.EFKN.
b) Tìm vị trí của M sao cho thể tích khối chóp H.EFKN lớn nhất.
Câu 5: (3 điểm)
�   . Tính bán kính đường tròn
Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB  x, CD  y và BCD
ngoại tiếp hình thang ABCD theo x, y và  với x  y
Câu 6 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn b 2  c 2  1  9a 2 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
2  b  c  1 bc

thức P 
 3.
a
a
---------------------------- Hết ---------------------------Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:………………