Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số
Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga - Ngày: 13/11/2017

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là Giới hạn và Hàm số liên tục.
Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 1: Giới hạn của dãy số. Với lý thuyết và các bài tập có lời
giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:
Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un|có thể nhỏ hơn
một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limn→+∞un=0hay un→0khi n→+∞
ĐỊNH NGHĨA 2


Ta nói dãy số (vn)có giới hạn là số a (hay vndần tới a ) khi n→+∞,
nếu limn→+∞(vn−a)=0
Kí hiệu: limn→+∞vn=ahay vn→akhi n→+∞
2. Một số giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:
a. limn→+∞1n=0; limn→+∞1nk=0với k nguyên dương;
b. limn→+∞qn=0nếu |q|<1;
c. Nếu un=c(c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c
CHÚ Ý:
Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=ata viết tắt là limun=a

II. Định lý về giới hạn hữu hạn
ĐỊNH LÝ 1:
a. Nếu limun=avà limvn=bthì:



lim(un+vn)=a+b



lim(un−vn)=a−b



lim(un.vn)=a.b



limunvn=abnếu b≠0

b. Nếu un≥0với mọi n và limun=athì:

a≥0và limun−−√=a√
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


Cấp số nhân vô hạn (un)có công bội q, với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.



Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un)có công bội q. Khi đó:

Sn=u1+u2+u3+...+un=u1(1−qn1−q=u11−q−(u11−q).qn


Vì |q|<1 nên limqn=0. Từ đó ta có:

limSn=lim[u11−q−(u11−q).qn]=u11−q
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn (un) và được kí hiệu
là S=u1+u2+u3+...+un+....
Như vậy: S=u11−q;|q|<1
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa


Ta nói dãy số (un)có giới hạn +∞khi n→+∞, nếu uncó thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limun=+∞hay un→+∞ khi n→+∞


Dãy số (un)được gọi là có giới hạn −∞ khi n→+∞nếu lim(−un)=+∞

Kí hiệu: limun=−∞hay un→−∞ khi n→+∞
Nhận xét: limun=+∞⇔lim(−un)=−∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau:
a. limnk=+∞với k nguyên dương
b. limqn=+∞nếu q>1
3. Định lý

Ta thừa nhận định lý sau:
ĐỊNH LÝ 2
a. Nếu limun=avà limvn=±∞thì limunvn=0
b. Nếu limun=a>0,limvn=0và vn>0với mọi n thì limunvn=+∞
c. Nếu limun=+∞và limvn=a>0thì limun.vn=+∞


B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì
một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe
của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
Gọi (un) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã
cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không
độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10−6g.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11
Biết dãy số (un) thỏa mãn |un−1|<1n3 với mọi n. Chứng minh rằng limun=1.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm giới hạn sau:
a) lim6n−13n+2
b) lim3n2+n−52n2+1
c) lim3n+5.4n4n+2n
d) lim9n2−n+1√4n−2
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa
hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh


dấu 1,2,3,...,n,... trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông
trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u1,u2,u3 và un.
b) Tính limSn với Sn=u1+u2+u3+...+un
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính tổng S=−1+110−1102+...+(−1)n10n−1+...
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng
một phân số.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 7: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) lim(n3+2n2−n+1);
b) lim(−n2+5n−2);
c) lim(n2−n−−−−−−√−n);


d) lim(n2−n−−−−−−√+n).
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 8: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết limun=3;limvn=+∞.
Tính các giới hạn:

a) lim3un−1un+1;
b) limvn+2v2n−1.
=> Xem hướng dẫn giải