Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số
Người đăng: Nguyễn Thị Hằng Nga - Ngày: 14/11/2017

Bài 1 chúng ta đã được tìm hiểu về giới hạn của dãy số. Vậy còn giới hạn của hàm số là gì?
Để giải đáp câu hỏi này, Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 2: Giới hạn của hàm số. Với lý
thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn
học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:
Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm x0và hàm số y=f(x)xác định trên K hoặc K \ {x0}
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là số L khi x dần tới x0nếu với dãy số (xn)bất kì,

xn∈K \ {x0}; xn→x0


ta có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→x0f(x)=Lhay f(x)→Lkhi x→x0
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
ĐỊNH LÍ 1
a. Giả sử limx→x0f(x)=Lvà limx→x0g(x)=M
Khi đó:
•

limx→x0[f(x)+g(x)]=L+M

•

limx→x0[f(x)−g(x)]=L−M

•

limx→x0[f(x).g(x)]=L.M

•

limx→x0f(x)g(x)=LM(nếu M≠0)

b. Nếu f(x)≥0và limx→x0f(x)=Lthì:

L≥0và limx→x0f(x)−−−−√=L√
(Dấu của f(x)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x≠x0)
3. Giới hạn một bên
ĐỊNH NGHĨA 2
•

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (x0;b)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x)khi x→x0nếu với dãy số (xn)bất
kì, x0ta có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→x+0f(x)=L
•

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;x0)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x)khi x→x0nếu với dãy số (xn)bất
kì, a

ta có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→x−0f(x)=L
ĐỊNH LÍ 2

limx→x0f(x)=Lkhi và chỉ khi limx→x−0f(x)=limx→x+0f(x)=L
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
ĐỊNH NGHĨA 3
a. Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;+∞)
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là số L khi x→+∞nếu với dãy số (xn)bất
kì, xn>a;xn→+∞
ta có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→+∞f(x)=Lhay f(x)→Lkhi x→+∞
b. Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (−∞;a)
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là số L khi x→−∞nếu với dãy số (xn)bất
kì, xnta có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→−∞f(x)=Lhay f(x)→Lkhi x→−∞
CHÚ Ý
a. Với c, k là các hằng số và k là nguyên dương, ta luôn có:
•

limx→+∞c=c

•

limx→−∞c=c

•

limx→+∞cxk=0

•

limx→−∞cxk=0

b. Định lí 1 về giới hạn của hàm số khi x→x0vẫn còn đúng khi x→+∞hoặc x→−∞


III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
ĐỊNH NGHĨA 4
Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;+∞)
Ta nói hàm số y=f(x)có giới hạn là −∞khi x→+∞nếu với dãy số (xn)bất
kì, xn>avà xn→+∞ta có f(xn)→−∞
Kí hiệu: limx→+∞f(x)=−∞hay f(x)→−∞khi x→+∞
NHẬN XÉT: limx→+∞f(x)=+∞⇔limx→+∞(−f(x))=−∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
•

limx→+∞xk=+∞với k nguyên dương.

•

limx→−∞xk=−∞nếu k là số lẻ

•

limx→−∞xk=+∞nếu k là số chẵn

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Nếu limx→x0f(x)=L≠0và limx→x0g(x)=+∞(hoặc −∞)thì limx→x0f(x)g(x)được
tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

limx→x0f(x)

limx→x0g(x)

limx→x0f(x)g(x)

L>0

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

+∞

L<0

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)g(x)

limx→x0f(x)

limx→x0g(x)

Dấu của g(x)

limx→x0f(x)g(x)

L

±∞

Tùy ý

0


L>0

0

L<0

+

+∞

-

−∞

+

−∞

-

+∞

(Dấu của g(x)xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0
CHÚ Ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x→x+0,x→x−0,x→+∞;x→−∞

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) limx→4x+13x−2;
b) limx→+∞2−5x2x2+3.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số

f(x)={x√+1 nếu x≥02x nếu x<0
Và các dãy số (un) với un=1n, (vn) với vn=−1n.

Tính limun, limvn, limf(un) và lim(vn).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x→0 ?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau:

a) limx→−3 x2−1x+1;

b) limx→−2 4−x2x+2;

c) limx→6 x+3√−3x−6;

d) limx→+∞ 2x−64−x;


e) limx→+∞ 17x2+1;
=> Xem hướng dẫn giải

f) limx→+∞ −2x2+x−13+x.

Câu 4: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) limx→2 3x−5(x−2)2;
b) limx→1− 2x−7x−1;
c) limx→1+ 2x−7x−1.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số f(x)=x+2x2−9 có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho

khi x→−∞, x→3− và x→−3+
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

limx→−∞f(x) với f(x) được xét trên khoảng (−∞;−3),
limx→3−f(x) với f(x) được xét trên khoảng (−3,3),


limx→−3+f(x) với f(x) được xét trên khoảng (−3;3).
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính:

a)limx→+∞(x4−x2+x−1)b)limx→−∞(−2x3+3x2−5)c)limx→−∞(x2−2x+5−−
−−−−−−−√)d)limx→+∞x2+1−−−−−√+x5−2x
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 7: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d′ lần lượt là khoảng cách từ một vật
thật AB và từ ảnh A′B′ của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính
là 1d+1d′=1f.

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d′=φ(d).
b) Tìm limd→f+φ(d), limd→f−φ(d) và limd→+∞φ(d). Giải thích ý nghĩa của các kết quả
tìm được.
=> Xem hướng dẫn giải