Slide bài Biến cố ngẫu nhiên

Bài 2

BIẾN NGẪU NHIÊN

26/07/2018

1


Mục tiêu
Cung cấp kiến thức cơ bản về đại
lượng ngẫu nhiên. Sau khi học xong
chương này sinh viên có thể:
• Tìm phân phối xác suất
• Lập hàm phân phối xác suất
• Tính các tham số đặc trưng

26/07/2018

2


Nội dung
•
•
•

Biến ngẫu nhiên
Luật phân phối xác suất
Tham số đặc trưng

26/07/2018

3


Biến ngẫu nhiên (BNN)
•

Khái niệm
Biến ngẫu nhiên rời rạc

•

Phân loại
Biến ngẫu nhiên liên tục

26/07/2018

4


Khái niệm
• Xét 1 phép thử T với không gian mẫu Ω
• BNN X: Ω  R là một hàm số gán mỗi phần tử của

Ω với một số thực tương ứng (xác suất tương ứng).
• BNN thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa:
X, Y, Z…
• BNN X xác định nếu các xác suất mà X nhận giá trị
thuộc tập giá trị của X (X(Ω)).

26/07/2018

5


Ví dụ
• Tung một đồng xu 2 lần, ta có không gian mẫu:
Ω = {NN,NS,SN,SS}
• Nếu gọi X là BNN thể hiện số lần mặt ngửa xuất hiện
thì X(NN)= 2, X(NS)= 1, X(SN)= 1, X(SS)= 0

• BNN X có thể nhận các giá trị là : 0, 1, 2
• X(Ω)={0,1,2} – hoặc viết tắt là X ={0,1,2}
26/07/2018

6


Phân loại
Căn cứ vào X(Ω), BNN được chia làm hai loại:
• BNN rời rạc nếu X(Ω) là hữu hạn hay vô hạn đếm
được.
Ví dụ: Gieo một con xúc xắc, gọi X là số chấm xuất hiện.
X là BNN rời rạc và X(Ω)= {1,2,...,6}.
• BNN liên tục nếu X(Ω) là một khoảng, một số khoảng
hay vô hạn và không đếm được.
Ví dụ: Gọi X là chiều cao của người trưởng thành.
X là BNN liên tục có thể nhận vô số giá trị.
26/07/2018

7


Luật phân phối xác suất

Luật phân phối xác suất của BNN là
cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị
của BNN với các xác suất tương ứng
mà nó nhận các giá trị đó

• Phân phối xác suất của

BNN rời rạc

• Hàm phân phối xác suất của BNN
26/07/2018

BNN liên tục

8


Phân phối xác suất của BNN rời rạc
• Cho BNN X có : 𝑋 Ω = {𝑥1 , 𝑥2 , … . , 𝑥𝑛 } và 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖
Phân phối xác suất của X được gọi là bảng phân phối xác suất
như sau:
𝑿

𝒙𝟏

𝒙𝟐

….

𝒙𝒊

…

𝒙𝒏

𝑷𝑿

𝑝1

𝑝2

…

𝑝𝑖

….

𝑝𝑛

với 𝑝𝑖 > 0 𝑣à 𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 = 1
 𝑋 Ω vô hạn đếm được
𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =
26/07/2018

∞
𝑖=1 𝑝𝑖

=1

𝑎<𝑥𝑖 <𝑏 𝑝𝑖
9


Phân phối xác suất của BNN rời rạc
Ví dụ: Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 7 chính phẩm.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm từ hộp. Gọi Y là số chính phẩm
lấy được.
a) Tìm phân phối xác suất của Y.
b) Tính P(-1Giải: Y Ω = {0,1,2}
3
𝐶31 𝐶71
C32
21
P(Y=0)= 2 =
, P(Y=1)= 2 =
𝐶10
45
C10
45

C72
21
, P(Y=2)= 2 =

C10
45

Bảng phân phối xác suất của Y
P(-1
0

=
26/07/2018

3
45

21
+
45

=

24
45

1

2

Y

PY

3
45

21
45

21
45
10


Ví dụ
Một trò chơi tung 1 con xúc xắc 3 lần.
Nếu xuất hiện 3 mặt 1 thì được 100 ngàn
Nếu xuất hiện 2 mặt 1 thì được 50 ngàn
Nếu xuất hiện 1 mặt 1 thì được 10 ngàn
Nếu không có mặt 1 thì mất 20 ngàn
Gọi X là số tiền được hay mất trong trò chơi trên.
Tìm quy luật phân phối xác suất của trò chơi trên.

26/07/2018

11


Phân phối xác suất của BNN liên tục
• Cho BNN liên tục X. Hàm f(x), x ∈ 𝑅 được gọi là phân phối
xác suất của X hay hàm mật độ xác suất của X nếu thoả:
i. 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 _luôn nằm trên trục hoành

ii.

+∞
𝑓
−∞

𝑥 𝑑𝑥 = 1

(Diện tích bên dưới đường cong
mật độ luôn bằng 1)
• 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =

Chú ý:
• 𝑃 𝑋=𝑎 =

𝑏
𝑓
𝑎

𝑎
𝑓
𝑎

𝑥 𝑑𝑥 (𝑎 < 𝑏)

𝑥 𝑑𝑥 = 0

• 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 =𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏 =𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏
26/07/2018

12


Phân phối xác suất của BNN liên tục
2𝑥
Cho hàm số: 𝑓 𝑥 =
0

𝑥 ∈ [0,1]
𝑥 ∉ [0,1]

a) Chứng tỏ 𝑓(𝑥) là hàm mật độ của một BNN X
b) Tính xác suất 𝑃 𝑋 <

1
2

,𝑃

1
4

<𝑋<

3
4

Giải
a) Vì f(x)≥0,∀x và

+∞

0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞

1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−∞

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
0

1

2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 = 1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1

0

nên f(x) là hàm mật độ của BNN X
b) 𝑃 𝑋 <
𝑐) 𝑃

1
4

1
2

=

<𝑋<

26/07/2018

3
4

0
𝑓
−∞

=

𝑥 𝑑𝑥 +

3/4
𝑓
1/4

1/2
𝑓
0

𝑥 𝑑𝑥 =

1/2
2𝑥𝑑𝑥
0

= 1/4

𝑥 𝑑𝑥= 1/2

13


Hàm phân phối xác suất
• Hàm phân phối xác suất của BNN rời rạc.
• Hàm phân phối xác suất của BNN liên tục

26/07/2018

14


Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất của X, F(x) hoặc FX(x), là hàm số
thực xác định như sau: F(x) = P{X≤ x}, ∀𝑥 ∈ 𝑅
• Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm của X
nằm về phía bên trái của số x
• Với BNN rời rạc X: 𝐹 𝑥 = 𝑥𝑖 <𝑥 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 <𝑥 𝑝𝑖

• Với BNN liên tục X: F x =

𝑥
𝑓
−∞

𝑥 𝑑𝑥

• Chú ý
 Đồ thị hàm phân phối xs của BNN rời rạc có dạng bậc thang
 Đồ thì hàm phân phối xs của BNN liên tục là đường liên tục
26/07/2018

15


Hàm phân phối xác suất

 Tính chất
• 0 ≤ F(x) ≤ 1
• x1 < x2 ta có : F(x1) ≤ F(x2) (F(x) là hàm không giảm)
• a < b ta có : P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

 Liên hệ với Phân phối xác suất
• X là BNN rời rạc: pi = F(xi+1) – F(xi)
• X là BNN liên tục: F(x) liên tục tại x và F’(x)= f(x)
26/07/2018

16

Ví dụ hàm phân phối xác suất của BNN liên tục
Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

m.x(1  x)
f ( x)  
0

x  [0;1]
x  [0;1]

a) Tìm hệ số m
b) Tìm F(x)
c) Tính P(X > 0,6 )
Giải

a)

+∞
𝑓
−∞

26/07/2018

𝑥 𝑑𝑥 = 1 →

1
𝑚𝑥
0

1 − 𝑥 𝑑𝑥 = 1 → 𝑚 = 6

17


x  [0;1]

Ví dụ hàm phân phối xác suất của BNN liên tục
0

b) Nếu x ≤ 0:

F(x) =

 0.dt  0


0

Nếu 0 < x ≤ 1:
Nếu x > 1:

F(x) =

x

t2 t3 x
2
3
0.

dt

6.
t
.(1

t
)
dt

6(

)

3
x

2
x

0
2 3 0
0

1

x



0

1

F(x) =  0.dt   6.t.(1  t )dt   0.dt  1

với x ≤ 0
0
 2
F ( x)  3x  2 x3 với 0 < x ≤ 1
1

với x > 1

c) P(X > 0,6) = P(0,6 < X < 1) = F(1) - F(0,6)
= 1 - (3.0,62 - 2.0,63) = 0,352.
26/07/2018

18


Tham số đặc trưng của BNN
•
•
•
•
•

26/07/2018

Kì vọng – EX
Phương sai – VX
Độ lệch chuẩn − 𝜎(𝑋)
Mốt - ModX
Trung vị - MedX

19


Kì vọng EX
 Kì vọng: 𝜇 = 𝐸 𝑋 =

𝜇=𝐸 𝑋 =

𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖 . 𝑝𝑖 =
+∞
𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞

𝑥. 𝑓(𝑥) với X rời rạc
với X liên tục

 Tính chất:
•
•
•
•

𝐸

𝐸
𝐸
𝐸

𝐶 =𝐶
𝐶. 𝑋 = 𝐶. 𝐸 𝑋
𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸(𝑌)
𝑋. 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸(𝑌) nếu X,Y độc lập

 Ý nghĩa:
• Là giá trị trung bình của BNN X
• phản ánh giá trị trung tâm của BNN và có cùng đơn vị với BNN
• Phương án cho kì vọng cao sẽ cho năng suất (lợi nhuận) cao.
26/07/2018

20


Kì vọng EX
Ta có BNN rời rạc có phân phối xác suất đều trên các giá trị
như hình vẽ:

26/07/2018

21


Ví dụ
Thu nhập của 100 công nhân ở 1 xí nghiệp như sau:

Tính thu nhập trung bình của 100 công nhân.
Giải

4

EX=  xi pi  1,2(0,2)  1,5(0,4)  2(0,3)  2,5(0,1)  1,69
i 1

26/07/2018

22


Ví dụ
X (phút) là thời gian chờ đèn đỏ ở một ngã tư.
X là BNN liên tục có hàm mật độ là
4 x 3
x  [0,1]
f ( x)  
x  [0,1]
0
a. Tính thời gian chờ trung bình.
b. Tính xác suất phải chờ trên 30 giây.

1
Giải
4
4
E ( X )   x . f ( x )dx  4  x dx 
5


0
1

1

2

2

1
15
3
P (  X  1)   f ( x )dx  4 x dx 
2
16
1
1
26/07/2018

23


Phương sai VX
 Phương sai:
𝜎 2 = 𝑉𝑋 = 𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑝𝑖 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 nếu X rời rạc
𝜎2

= 𝑉𝑋 =

+∞
−∞

 Tính chất:
• 𝑉𝐶 = 0
• 𝑉(𝐶 + 𝑋) = 𝑉𝑋
• 𝑉𝐶𝑋 = 𝐶 2 . 𝑉X

𝑥 − 𝜇 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 nếu X liên tục

Chú ý:
2

X rời rạc thì X

 VAR( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
n

E ( X )   xi2 . pi
2

i 1

• 𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑋 + 𝑉𝑌 nếu X,Y độc lập

 Ý nghĩa:
• Đánh giá độ phân tán của BNN quanh giá trị trung bình
• Đơn vị đo là bình phương đơn vị đo của X
26/07/2018

24


Ví dụ
Kiểm tra 100 gói mì hiệu A và 100 gói mì hiệu B được số liệu
như sau

Gọi X, Y lần lượt là trọng lượng của gói mì hiệu A và hiệu B
a. Tính kì vọng và phương sai của X, Y
b. Theo bạn nên mua mì hiệu nào?

26/07/2018

25