Bài giảng toán đại số giải tích

1

Không gian véctơ Euclide
Cho không gian véctơ V trên trường số phức R
Một ánh xạ: V x V  R
rr


( x , y )  x. y đgl một tích vô hướng trên V, nếu nó
thỏa mãn các tiên đề sau:
rr rr
r r
E1: x. y  y.x ,  x , y  V
r r r r r r r
  
E2: ( x1  x2 ). y  x1. y  x2 y ,  y , x , x  V
r r
rr
 
E3: (k x ). y  k ( x. y ) ,  x , y  V,  k  C
 
rr
r
E4: x.x  0  x V. Dấu “ =” xảy ra  x = 0 .
Không gian véctơ V trên đó đã trang bị một tích vô hướng gọi
là không gian véctơ Euclide. Ký hiệu: VE, hoặc VEn
1

2

Bất đẳng thức Cauchy –Bunhiacopsky:

 
x, y

|





|  | x |.| y |

 

Dấu bằng xảy ra  { x , y } phụ thuộc tuyến tính
Chứng minh
+ TH 1: Nếu một trong hai véctơ là véc tơ
 

+ TH 2: Nếu { x , y } pttt và đều khác
 
 
x , y  ky , y
 

+ TH 3 : Nếu { x , y } đltt thì
  
x  ky , x  ky

Thay k =

0

, k  K

r r
 x, y 
r r
 y, y 


0

thì


0


x

 
2
 k | y, y | k y

 
x  yk 0 ,  k  K

thì |

=


ky ,


 
x, y





| = | x |.| y | = 0

khi đó :


= | x |.| y |
, nên


 
 
 
x , x  k x, y  k x, y  k k y, y  0



khi đó ta được:

  
   
   
   
x , x y, y  x, y x, y  x , y x, y  x , y x, y  0


Vậy

   
  
x , y x , y  x , x y, y

 
 
x , y | x | | y |



 
x, y

2

 
 | x |2 | y |2 

 

 

 
 
x, y  | x | | y |

 x , y và “=”  { x , y } phụ thuộc tuyến tính.

Định lý đã được chứng minh .



|x|


|x

Bất đẳng thức tam giác:

 
+ |y|
 x,y .

+


x

Dấu bằng xảy ra 


y|

= k

2



y

với



y 0 ,

k

 0.

Chứng minh
















Ta có: | x + y |  | x | + | y |  (| x + y | )2  (| x | + | y |)2
  
x  y, x  y


Nhưng

  
x  y, x  y













 (| x | + | y |)2


 
 
x , x  y, y  2 Re x , y

=









Và (| x + y | )2 = | x |2 + | y |2 + 2| x || y |




Nên | x + y |  | x | + | y | 

 
 
Re x , y | x || y |

Bất đẳng thức cuối cùng này suy ra từ
thức Cauchy-Bunhicopski









Còn | x + y | = | x | + | y | 
Mặt khác:


 
Re x , y 


|

 
x, y







 
x, y

|và bất đẳng

 
 
Re x , y  x , y

|| y |

Nên | x + y | = | x | + | y | 
 

|




 |x

|

 
Re x , y 

 
Re x , y 

|

 
x, y







| = | x || y |

 

Theo trên | x , y | = | x || y | khi và chỉ khi { x , y } phụ thuộc tuyến






tính, ở đây y 0 nên được x = k y . Nhưng nếu x = k y thì
 
 
Re x , y  x , y  k  0.
Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính
Chứng minh




Cho hệ  ai  1, m là hệ trực giao, xét  k i ai 0
m

i 1

Nhân vô hướng hai vế với
Hay

 
k j a j , a j 

= 0 nên


Vậy hệ  a 
i

1, m


a j ta

k j  0,

có:

 m 
 
 a j ,  k i ai   a j ,0 0 , 1  j m
i 1

j  1, m

là hệ độc lập tuyến tính.


3

Định lý
Mọi không gian Unita VUn (hoặc không gian véctơ Euclide
VnE ) (n1) luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh
Ta chứng minh định lý bằng quá trình trực giao hóa theo qui nạp.
+ Với n = 1
Xét VU1 

 
a 0

,


a V1U


 a

đặt e  a thì  e là cơ sở trực chuẩn của VUn .

+ Giả sử định lý đúng với n = k ; ta chứng minh định lý đúng với
n = k +1. Thật vậy : Xét VUk+1 , khi đó tồn tại VUk là không gian con
U

của VUk+1 theo giả
thiết
qui
nạp
trong
V
k tồn tại một cơ sở trực chuẩn


 e  nhưng hệ  e  đltt trong VUk+1 , nên có thể bổ sung vào hệ này

 
U
một vectơ b thuộc V k+1 để ei , b 1, k là một cs của VUk+1.
i 1,k

i 1, k

Xét


 k  
a   b , ei  . ei  b
i 1

thì

 
a 0



a
ek 1  
a

 

và a  ei , i 1 , k nên hệ  e , a
i



1, k

là

hệ trực giao cuả V . Đặt
thì  e  là hệ trực chuẩn của VUk+1

  ei  1 , k 1 là cơ sở trực chuẩn của VUk+1, vậy tồn tại cơ sở trực chuẩn
của VUk+1.
U
k+1

Định lý đúng với n = k + 1.
Vậy định lý đúng với mọi n 1.

i 1 , k 1

4

v) Điều kiện cần và đủ để hai không gian P và Q của VUn
( hoặc VnE ) trực giao với nhau là trong P tìm được cơ sở trực


chuẩn  e  và trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn  e '  sao cho
j 1, p

i 1, p

 e , e 
i

' i 1 , p
j j 1 , q

là hệ trực chuẩn của VUn ( hoặc VnE ).

Chứng minh
Nếu P  Q thì ta lấy trong P và Q hai cơ sở trực chuẩn tùy ý hiển
nhiên hệ hợp thành của chúng phải là hệ trực chuẩn.
 
Ngược lại, nếu trong VUn có một hệ trực chuẩn  e , e 

' i 1 , p
j j 1 , q

i

 ei  1, p ,  ei  1, p lần lượt là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với

x

Q ta có:

=

p


y


 xi ei ,

q



=  y e ' .Suy ra
j

j

j 1

i 1

 
 x,y =

p


x

sao cho

y



 
 ei , e ' j 

=

P,

q

 x y
i

j

i 1 j 1

0
Vậy


x



 y hay P trực giao với Q.

vi)Giả sử P, Q, R là các không gian con của VUn ( hoặc VnE ).
Khi đó nếu P trực giao với Q, và P là phần bù trực giao của R thì
Q là không gian con của R.
Chứng minh
Lấy


x

 Q, thì


x

Nhân vô hướng
Hay

 
 y,y 

 VUn ( hoặc VnE) nên:

x



với y , ta được:

= 0 nên


y



= 0


x



 
 x,y 

= z  R.


x

=

=


y



+ z với

 
 y,y 


y

  

+ z , y



 P, z  R.


5

Dạng song tuyến tính
Cho không gian vectơ V trên trường số thực khi đó ánh xạ

S:
Vx V R
 
 
( x , y )  S( x , y ) được gọi là song tuyến tính, nếu
 i)

 ii )



 
 
S (x1  x 2 , y )  S ( x1 , y )  S ( x 2 , y )
     
 

 
  ;   ,   R; x1 , x 2 , y1 , y 2 , x , y V
S ( x , y1  y 2 )  S ( x , y1 )  S ( x , y 2 )

Đẳng cấu trực giao
Đẳng cấu tuyến tính  : V E V’E được gọi là một đẳng cấu trực
r
r
r r
 
giao nếu với mọi x , y thuộc V E ta có:  ( x ). ( y )  x. y .
Ký hiệu: V E V’E.
Phép biến đổi Unita

Phép biến đổi Unita là phép biến đổi tuyến tính từ  : V U V U
bảo tồn tích vô hướng.
Phép biển đổi trực giao
Phép biển đổi trực giao là phép biến đổi tuyến tính  : V E V E
bảo tồn tích vô hướng.
iv) Các giá trị riêng của phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi
trực giao) đều có modul bằng 1.


Thật vậy: Giả sử  là phép biến đổi Unita có x là véctơ riêng,

ứng với giá trị riêng . Khi đó:
 




  
 ( x )  x , x 0







Ta có < x , x > = <  ( x ),  ( x ) > = <  x ,  x > =
Nên



= 1 suy ra: |  | = 1



 

<x,x >


6

Ánh xạ tuyến tính  : V U V U là một phép biến đổi Unita
  bảo tồn module của véctơ.
Chứng minh.
() Cho  là phép biến đổi Unita. Khi đó:


 

  ( x ),  ( y ) x , y  mọi x , y  V U !!!
r

r

r r

 2 2
Nên   ( x ),  ( x )  x , x  hay  ( x )  x

Vậy  bảo tồn modul của vectơ.
() Ngược lại cho axtt : V U V U bảo tồn module của vectơ, tức


 (x)  x

với mọi

r

r

r


x

 V U, hay

r

r

r r

r
r
r r
  ( x ),  ( x )  x , x  .!!!

r

Nên:   ( x  ay ),  ( x  ay )  x  ay, x  ay  EMBED Equation.DSMT4
r r
x , y �V U,

aC

(*)

r

r

r

r

r

r

r

r

Nhưng:   ( x  ay ),  ( x  ay )   ( x )  a ( y ),  ( x )  a ( y ) 

!!!

r
r
r
r
r
r
r
r
  ( x ),  ( x )   a   ( x ),  ( y )   a   ( y ),  ( x )   a.a   ( y ),  ( y ) 









 



 

Và:  x  ay, x  ay x , x   a  x , y   a  y, x  a a  y, y 
Vì vậy,ta có:





 
 
a   ( x ),  ( y )  a  ( y ),  ( x ) a  x , y  a  y, x 

Cho a = 1:





 

  ( x ), ( y )    ( y ), ( x ) x , y    y, x 

Cho a = i:





 

 i   ( x ), ( y )  i  ( y ), ( x )  i  x , y  i  y, x 








 

   ( x ),  ( y )    ( y ),  ( x )   x , y    y, x 







Từ đó ta có:   ( x ), ( y ) x , y  , nên  bảo tồn tích vô hướng.

Giả sử  e  là một cơ sở trực chuẩn của V Un.
i 1, n





 

Khi đó   (ei ), (e j ) ei , e j

 ij ,


nên   (e ) là cơ sở trực chuẩn của VUn.
i

1, n

7



Gọi  là pbđtt : V Un  V Un xác định bởi hai cơ sở  ei  1,n và   (ei ) 1,n ,





tức  (ei )  (ei ), i 1, n .






Lấy x  V Un, giả sử x =(x1, ..., xn) /  ei  1,n
Khi đó xi

n
r r
r
r

x
,
e


= � i �  ( x ),  (ei ) 
n

i 1

i 1



nên  ( x ) ( x1 ,..., xn ) /  (ei ) 1,n

n
n
n





x

(
e
)
Mặt khác: x =  xi ei nên  ( x ) =  i i =  xi (ei ) !!!
i 1

i 1





Vì vậy:  ( x ) = ( x ),



i 1


x  V Un hay  

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính bảo tồn tích vô hướng nên là
phép biến đổi Unita.
Hệ quả 3:
Ánh xạ  : VE  VE là phép biến đổi trực giao   bảo tồn tích
vô hướng
Chứng minh
()  : VE  VE là phép biến đổi trực giao  k > 0 sao cho
r
r
rr
 ( x ). ( y )  xy (theo định nghĩa).
r
r
rr r r
() Ánh xạ  : VE  VE ,  ( x ). ( y )  xy , x , y � VE   là phép

biến đổi trực giao. Thật vậy,



Giả sử  ei  1,n là cstc của VE , ta có:
r
r
r
r r
 (ei ). (e j )  ei .e j  kij suy ra:   (ei ) 1,n là cstc của VE .

Nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định bởi hai cs
r

 ei  1,n và   (ei ) 1,n , tức  (eri )   (eri ), i  1, n


8







Lấy x VE, giả sử x =(x1, ..., xn) /  ei  1,n
r
r
r
r
rr


(
x
)

(
x
,...,
x
)
/
{

(
e

(
x
).

(
e
)

(
x
.
e
)

x

Khi đó
1
n
i )}1, n
i
i
i 
n
n
n
r
r
r
r

(
x
)


(
x
e
)

x

(
e
)


x

(
e
Mặt khác:
� i i � i i � i i)
i 1

i 1

r

i 1

r

  ( x )  ( x1 ,..., xn ) / { (ei )}1,n






Nên:  ( x ) =  ( x ),  x VE hay   .
Vậy  là phép biến đổi tuyến tính và bảo tồn tích vô hướng, nên  là
phép biến đổi trực giao.

Cách 2
r

r

rr

() Ta có :  ( x ). ( y )  xy
r r r
r r r rr
rr
Suy ra :  ( x  y ) ( z )  ( x  y ) z  ( xz )  ( yz )
r r
r r
r
r
r
=  ( x ) ( z )   ( y ) ( z )  ( ( x )   ( y )) ( z ) .
r r
r
r

(
x

y
)


(
x
)



(
y
).

r
r
Tương tự:  (a.x )  a. ( x )
Nên  là ánh xạ tuyến tính.
r
r
rr
r
r
Ta cũng có  ( x ). ( x )  x.x �|  ( x ) || x | .

r

r

Vậy  là ánh xạ tuyến tính và |  ( x ) || x | nên  là phép biến
đổi trực giao


9

iv) Cho một điểm A và một phẳng P của En thì trong P tồn tại duy
nhất một điểm H sao cho: d(A,P) = d(A, H). H được gọi là hình
chiếu vuông góc của điểm A lên phẳng P.

Chứng minh
Gọi Q là phẳng đi qua A và bù trực giao với P, thì  H = P 
Q.Khi đó:  M  P: HM  P và AH  Q .
Tacó: AM AH  HM  AM 2 ( AH  HM ) 2  AH 2  2 AH .HM  HM 2 !!!
2

2

2

 AM  AH  HM  d 2 ( A, M ) d 2 ( A, H )  d 2 ( H , M )

�d ( A, H ) d ( A, M ),

M

P

Dấu = xảy ra  d ( M , H ) 0  M H
Vậy: d ( A, H ) min{d ( A, M ), M  P} = d (A,P) (đpcm)

v) Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở
trực giao.
Chứng minh
Xét pbđ đd hệ số

k

: VEn  VEn


Giả sử  ei  1,n là một cơ sở trực chuẩn của VEn. Khi đó,


10

r
r
r r

 (ei ). (e j )  k (ei .e j )  k ij nên   (ei ) 1,n là cơ sở trực giao của VEn.

Từ cơ sở trực giao hãy chỉ ra cstc?
vi) Ánh xạ  : VE  VE là phép biến đổi đồng dạng  k > 0 sao


 
 
cho   x  .  y   k . x . y ,  x , y V E .

Chứng minh
()  : VE  VE là phép biến đổi đồng dạng  k > 0 sao cho


 
  x  .  y   k . x . y (theo định nghĩa).




 

r r

() Ánh xạ  : VE  VE , k > 0 để   x  .  y   k . x . y , x , y � VE 

 là phép biến đổi đồng dạng. Thật vậy,


Giả sử  ei  1,n là cstc của VE , ta có:
r
r
r
r r
 (ei ). (e j )  k (ei .e j )  k ij suy ra:   (ei ) 1, n là cstg của VE .

Nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định bởi hai cs
r

 ei  1,n và   (ei ) 1,n , tức  (eri )   (eri ), i  1, n



E

e
x
x
Lấy V , giả sử =(x1, ..., xn) / i  1,n
r

r

r

rr

r

Khi đó  ( x ). (ei )  k ( x.ei )  kxi   ( x )  ( kx1 ,..., kxn ) / { (ei )}1, n
n
n
n
r
r
r
r
Mặt khác:  ( x )   (�x i ei )  �x i (ei )  �x i  (ei )
i 1

i 1

i 1

r
r

(
x
)


(
x
,...,
x
)
/
{

(
e

1
n
i )}1, n






Nên:  ( x ) = k ( x ),  x VE hay   k.


 
 
Vậy  là phép biến đổi tuyến tính và   x  .  y   k . x . y ,  x , y V E nên

 là phép biến đổi đồng dạng.

11

vii) Mọi ánh xạ tuyến tính  : V E  V E là phép biển đổi đồng



dạng   k sao cho   x   k x  x  V E . Chứng minh


12

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Bài1. Trong không gian R2 ta định nghĩa tích vô hướng:
(a1, a2)*(b1, b2) = a1b1 + (a1b2 + a2b1)/2 + a2b2/3
Chứng tỏ rằng: R2 là một không gian véctơ Euclide hai chiều. Khi đó
hãy chỉ ra một cơ sở trực chuẩn nào đó của nó.
Bài 2. Xét C là không gian vectơ thực hai chiều. Chứng minh rằng ánh
1
xạ: f : C x C  R cho bởi f(x,y) = 2  xy  xy  là một tích vô hướng trên
C. Tìm một cơ sở trực chuẩn đối với f.
Bài 3. Trong không gian các ma trận vuông cấp n hệ số thực, với phép
toán cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận, lập thành
một R- không gian véctơ. Ta định nghĩa ánh xạ *: Mn(R)xMn(R) 
R với hai véctơ A = [aij ], B = [bij ] như sau:

n

A*B =  a b

ij ij

i , j 1

Hãy xét xem với ánh xạ này, ta có xây dựng được Mn(R) trở thành
một không gian véctơ Euclide hay không?
Bài 4. Trong không gian C[a,b] - tập hợp các hàm số thực xác định, liên
tục trên [a,b]. Ta định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ
r
r
rr
x = x(t), y = y(t) là x.y

b

= x(t ). y(t )dt .
a

1.Chứng minh rằng với định nghĩa ấy C[a,b] là một không gian
véctơ Euclide.
2.Tìm các góc của tam giác trong không gian C [-1,1] tạo nên bởi
các véctơ
x1(t) = 1, x2(t) = -t, x3(t) = 1- t.
Bài 5. Trong không gian các hàm số thực, xét các hàm số:
f1 : x  cos x; f 2 : x  sin x ; f 3 : x  cos 2 x ; f 4 : x  sin 2 x .

1. Chứng minh rằng F = { f1, f2, f3, f4} độc lập tuyến tính.


13

2. Gọi V là không gian véctơ sinh bởi F. Xác định ánh xạ  : V x
V  R cho bởi

 ( f , g) 

1


2

f ( x)  g ( x)dx . Chứng minh rằng



0

là một tích vô

hướng trên V. Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn trên V.


Bài 6. Trong VEn cho một hệ véctơ { a }1.m ký hiệu:
i

 



Gr( a , a ,..., a ) =

1

2

m


a1 a1
 
a 2 a1

 
a m a1


a1 a 2
 
a2 a2

 
am a2


 a1 a m
 
 a2 am
 
 
 am am



Gọi là định thức Gram của hệ { a }1.m.
i



 

1. Chứng minh rằng: Hệ { a }1.m độc lập tuyến tính  Gr( a , a ,...,
) >0
i


am

1



2

 

2. Chứng minh rằng:Hệ { a }1.m phụ thuộc tuyến tính  Gr( a , a

,..., a ) = 0.
i

1

2

VUn (hoặc : VEn



m

Bài 7. Chứng minh rằng: Nếu ánh xạ : VUn
VEn) thỏa:


















 

<( x ), y > = < x , ( y ) > ( ( x ). y > = x .( y ) ) với mọi x , y thuộc
VUn (hoặcVEn ) thì  là một ánh xạ tuyến tính.
Bài 8. Chứng minh rằng:




1. Nếu : VUn  VUn là một ánh xạ tuyến tính thỏa: <( x ), x > = 0

với mọi x thuộc VUn thì  là ánh xạ không.




2.Nếu : VEn  VEn là một ánh xạ tuyến tính thỏa: ( x ). x = 0 với


 

 
mọi x thuộc VEn thì ( x ). y = - x .( y ) với mọi x , y thuộc VEn điều này
tương dương với ma trận A của f trong trong một cơ sở trực chuẩn của
VEn phải là ma trận phản xứng.

Bài 9. Trong không gian véctơ Euclide VE4 với cơ sở trực chuẩn đã chọn, ch
véctơ

a =(1,

1, 1, 2),




b =(1,2,3,-3), c =(1,-2,1,0), d =(25,4,-17,-6).


1.

  
{ a, b , c , d }

14

có phải là hệ trực giao không?
 

2.Gọi W là không gian con sinh bởi a , b và Z là không gian con sinh bở
Khi đó
W và Z có phải là hai không gian con bù trực giao không?
Bài 10. Trong VE3 cho một cơ sở trực chuẩn và các vectơ
r
r
r
r
r
r
a   1, 2, 0  , b   3,1, 0  ; c   3,1,1 và a '   2, 4, 0  , b '   6, 2,0  , c '   6, 2, 2 

1.Chứng tỏ rằng có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất  :
 
  
VE3  VE3 biến các vectơ a, b , c theo thứ tự thành a ' , b ' , c ' .
2.Chứng tỏ rằng  là phép biển đổi đồng dạng hệ số 2.