Ôn thi học sinh giỏi (Chia hết số nguyên)

CHIA HẾT SỐ NGUYÊN :
I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m.
2/ a chia hết cho b

a = bq
a không chia hết cho b

a = bq + r
3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b
4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b
5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n
II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n
2
= 25k
2
+10k +1 thì (n
2
+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n
2
= 25k

2
+20k +4 thì (n
2
+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n
2
= 25k
2
+30k +9 thì (n
2
+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n
2
= 25k
2
+40k +16 thì (n
2
+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q
b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n)
chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q
3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)

m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và
chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n.
4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)

m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một
nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)

+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
a
n
– b
n


a – b ( a
≠
b) n bất kỳ.
a
n
– b
n


a – b ( a
≠
- b) n chẵn.
a
n
+ b
n


a + b ( a
≠
- b) n lẻ.
5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học :
1/ Với n = 1 ta xét bài toán đúng hay không

2/ Giả sử bài toán đúng với n = k
3/ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 ( Lưu ý thường là sử dụng điều giả sử 2/)
Ví dụ CMR 16
n
– 15n – 1

225
∀
n
∈
N*
+ Với n = 1 ta có 16 – 15 – 1 = 0

225
+ Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có :
16
k
– 15k – 1

225
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1
Thật vậy : 16
k+1
– 15(k+1) – 1 = 16.16
k
– 15k – 15 – 1 =
= ( 15+1 ) 16
k
– 15k – 15 – 1 =
= (16

k
– 15k – 1) + 15. 16
k
– 15
Theo giả thiết qui nạp thì : 16
k
– 15k – 1

225
Còn 15. 16
k
– 15 = 15(16
k
– 1)
Mà (16
k
– 1)

( 16 – 1) = 15
 15(16
k
– 1)

15.15 = 225
 Vì vậy 16
k+1
– 15(k+1) – 1

225
Hay 16

n
– 15n – 1

225
∀
n
∈
N*
B/ CHIA HẾT ĐA THỨC :
1/ Ta sử dụng đònh lý Bơ zu :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhò thức x – a bằng giá trò của đa thức f(x) tại x =
a.
Từ đó ta có các hệ quả :
+ Đa thức f(x)

( x – a) < = > f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức/
Từ đó suy ra :
_ Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1
_ Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ
thì f(x)

( x + 1)
2/ Đa thức bậc 2 trở lên :
Cách 1 : Phân tích đa thức bò chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa thức chia.
Cách 2 : Xét giá trò riêng.
3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác :
Cách 1 : Phân tích đa thức bò chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia.
Cách 2 : Biến đổi đa thức bò chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia.
Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x)


g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)

g(x) hoặc f(x) - g(x)

g(x).
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bò chia
=============================
MỘT SỐ BÀI TẬP
- - - - - - - - -
1/ Chứng minh rằng : n(n
2
+ 1)( n
2
+ 4)

5
2/ Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì
chia hết cho 6.
3/ Chứng minh rằng : 2
4n
– 1

15
4/ Chứng minh rằng : 2.7
n
+ 1

3;
∀
n

∈
N*
5/ Chứng minh rằng : m
3
+ 20m

48;
∀
n
∈
N*, n chẵn
6/ Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.
7/ Chứng minh rằng : 5.7
2(n+1)
+ 2
3n


41;
∀
n
∈
N*
8/ Phân tích ra thừa số : A = a
4
– 6a
3
+ 27a
2
– 54a + 32

Từ kết quả đó suy ra rằng biểu thức : n
4
– 6n
3
+ 27n
2
– 54n + 32 luôn là một số chẵn với mọi số
nguyên dương n.
9/ Chứng minh rằng : n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n

24;
∀
n
∈
N
10/ Chứng minh rằng : A = n
3
(n
2
– 7)
2
– 36n

5040;

∀
n
∈
N
11/ Chứng minh rằng :
a/ Một số chính phương chi cho 3 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1.
b/ Một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1.
c/ Các số sau có phải là số chính phương không ;
M = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
N = 1992
2
+ 1993
2
+ 1994
2
+ 1995
2
P = 1 + 9
100
+ 94
100
+ 1994
100
12/

Error! Not a valid link.16
n
– 1

17 khi n
∈
N và n chẵn.
13/ Chứng minh rằng :
∀
a
∈
Z ta có :
a/ a
2
– a

2
b/ a
3
– a

3
c/ a
5
– a

5
d/ a
7
– a


7 Từ bài toán này rút ra được điều gì ?
14/ Chứng minh rằng :
a/ ( n
2
+ n – 1)
2
– 1

24;
∀
n
∈
Z
b/ n
3
+ 6n
2
+ 8n

48;
∀
n chẵn
c/ n
4
- 10n
2
+ 9

384;

∀
n lẻ
15/ a/ Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3, CMR : a
2
– 1

24
b/ CMR nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3,t hì : a
2
– b
2


24
c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a
4
– 1

240
16/ Tìm số nguyên n để giá trò biểu thức A chia hết cho giá trò biểu thức B :
A = n
3
+ 2n
2
– 3n + 2 ; B = n
2
– n
17/ a/ Tìm số nguyên dương n để n
5
+ 1


n
3
+ 1
b/ giải bài toán trên với n là số nguyên
18/ Tìm giá trò n
∈
N để n + 7

n – 2
19/ Tìm n
∈
Z để :
a/ n
2
+ 2n – 4

11
b/ 2n
3
+ n
2
+ 7n +1

2n – 1
c/ n
3
– 2

n – 2

d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1

n
2
+n + 1
e/n
4
– 2n
3
+ 2n
2
– 2n + 1

n
4
– 1
20/a/ CMR nếu n + 1 và 2n + 1 (n
∈
N) đều là số chính phương thì n

24
b/ CMR nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n
∈
N) đều là số chính phương thì n

40

21/ Các số p, p + 14, p + 10 là những số nguyên tố; tìm p
22/ CMR 3
2n+2
– 8n – 9

64;
∀
n
≥
1
23/ Không thực hiện phép chia đa thức xét xem x
3
– 9x
2
+ 6x + 16 có hay không chia hết cho : a/
x + 1; b/ x – 3;
24/ Tìm số dư phép chia x
99
+ x
55
+ x
11
+x + 7 cho x + 1
25/ CMR : a/ x
50
+ x
10
+ 1

x

20
+ x
10
+ 1
b/ x
2
- x
9
– x
1945


x
2
- x + 1
c/ x
10
- 10x + 9

(x – 1)
2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1

(x – 1)
2
26/ Tìm f(x); biết f(x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; còn chia cho (x – 2)(x – 3)

thì được thương là 3x và còn dư.
27/ Xác đònh a,b để : a/ x
4
– 9x
3
+ 21x
2
+ ax + b

x
2
– x – 2
b/ 6x
4
– 7x
3
+ ax
2
+ 3x + 2

x
2
– x + b
28/ Với điều kiện nào thì tổng 2 đa thức chia hết cho x – 1, nếu mỗi đa thức không chia hết cho
x – 1
29/ Với điều kiện nào thì tích 2 đa thức chia hết cho x
2
– 1, mà mỗi đa thức không chia hết cho
x
2

– 1
30/ Xác đònh a,b,c để : a/ P(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + c

(x – 3)
3
b/ P(x) = x
3
– 5x
2
– 8x + a

x
2
+x + b
c/ P(x) = x
3
+ ax
2
+ 2x + b

x
2
+x + 1
1/ Cho A = ( a+b+c)
3
– a

3
– b
3
– c
3
( a,b,c là các số nguyên )
a/ Phân tích A thành nhân tử ?
b/ CMR : Nếu a,b,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì A  24 ?
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a/ x
2
- y
2
= 105.
b/ x
2
– 3y
2
= 17
3/ Giải phương trình
a/
x
x
mx
x 2
1
3
+
=
−+

+
b/ ( x – 1)m
2
– (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
4/ Cho Q = 3
2n+1
+ 2
n+2
( n là số tự nhiên ). Chứng minh rằng Q chia hết cho 7
5/ Cho điểm D trong
∆
ABC đều. Vẽ các
∆
BDE,
∆
CDF đều ( E, F, D nằm cùng phía đối với
BC). Chứng minh AEDF là hình bình hành
2/ Cho B = n
3
+ 3n
2
+ 2n với n là các số nguyên. Chứng minh rằng B chia hết cho 6
3/ Cho n lẻ và C = n
3
– n ; D = n
2
+ 4n – 5 . Chứng minh rằng C 24 và D 8.
4/ Cho F = n
4
– 4n

3
– 4n
2
+ 16n ( n: chẵn ). Chứng minh rằng F chia hết cho 384.
5/ Cho K =
52
8
−
+
n
n
( n là số nguyên). Tìm n để K là số nguyên.
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x
2
+ 2y
2
= 1
2/ Tìm hình chữ nhật biết các cạnh là những số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu
vi ?
3/ Tìm tất các các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p
4
là một số chính
phương ?
4/ Tìm các chữ số x,y,z sao cho : xyz + xzy = zzz
5/ Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương ?
6/Tìm nghiệm nguyên dương của x
2
- y
2
= 105.

7/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
- y
2
= 93.
8/ CMR phương trình x
2
– 3y
2
= 17 không có nghiệm nguyên
9/ Giải và biện luận phương trình :
a/ a
2
x = a
2
(x + b) – b.
b/ ( x – 1)m
2
– (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
c/
x
x
mx
x 2
1
3
+
=
−+
+

; d/
2
=
−
+
−
bx
x
ax
x
e/
22
2
22
2
2
bx
x
a
xb
b
xax
−
=+
−
−−