Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian banach (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 9460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, năm 2018


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Lê Văn Thành
2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến

Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Hoàng Long
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 2: TS. Lê Hồng Sơn
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh
Phản biện 3: PGS.TS. Phan Đức Thành
Hội Toán học Nghệ An

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
Tại Trường Đại học Vinh

Vào hồi 8h00’ ngày 30 tháng 01 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào
thuộc Trường Đại học Vinh


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng định
trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hội tụ theo một
nghĩa nào đó về kì vọng của các biến ngẫu nhiên đó. Trong nhiều năm gần đây,
luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Luật số
lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiều
lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý
thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
1.2. Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác
suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong
những hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gian
Banach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối với
mảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên. Có rất nhiều câu hỏi được
đặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lập
được các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứng
minh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảng
nhiều chỉ số không?”,... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lý

giới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ
số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tương
tự.
1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác
suất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy
đủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn


2

hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ này
chưa thật phong phú.
1.4. Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng của
lý thuyết xác suất. Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thực
nhưng không còn đúng trong không gian Banach.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình
là: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu
số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội
tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). Trong trường hợp không gian
Banach không là không gian Rademacher dạng p, chúng tôi chứng minh được hội
tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn. Luận án cũng nghiên cứu
điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các
dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bất

đẳng thức đó để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng các
phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối, độc lập không cùng phân phối và độc lập đôi một cùng phân phối nhận giá
trị trong không gian Banach thực khả li.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ theo trung bình và
sự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không


3

gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một. Đồng thời,
luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển như
các bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng các
phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bất
đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng
các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo
nhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa học
trong và ngoài nước. Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳng
thức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức
Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất
đẳng thức đối xứng mạnh. Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con,
phương pháp xấp xỉ, và phương pháp đối xứng hóa để chứng minh các kết quả
về luật số lớn và sự hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên

cứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu
sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Luật số lớn đầu tiên được Bernoulli công bố vào năm 1713. Về sau kết quả
này được mở rộng bởi Poisson, Chebyshev, Markov và Khintchin. Tuy nhiên
phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn được Borel phát hiện và kết quả này được
Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1933. Sau đó kết quả này đã được mở rộng
bởi Marcinkiewicz và Zygmund. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị


4

thực, năm 1973 Smythe đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Sau đó,
luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng được
nghiên cứu bởi Gut năm 1978, Klesov năm 1985. Trong luận án, chúng tôi tiếp
tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Banach bất kì. Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện để
luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau.
Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm này được đưa
ra đầu tiên bởi Chow năm 1988 cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin đã thiết lập sự
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu
sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Rademacher dạng p. Đối với không gian Banach bất kì,
chúng tôi chứng minh được từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ 1 hội tụ đầy đủ theo trung
bình về 0 kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Bên cạnh

đó, chúng tôi cũng nghiên cứu về điều kiện cần và đủ của sự hội tụ đầy đủ của
tổng kép có trọng số của các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một.
Các bất đẳng thức đánh giá xác suất đuôi của tổng các biến ngẫu nhiên đóng
vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất. Chúng là chìa khóa để thiết lập luật
số lớn cũng như các định lý giới hạn khác. Từ các bất đẳng thức cổ điển Etemadi,
Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen, năm 1991 Etemadi đã chứng minh được
các bất đẳng thức này cho trường hợp mảng d chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach. Sau đó, năm 2013 các tác giả Li và Rosalsky
đã thiết lập dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển trên. Trong luận án,
chúng tôi nghiên cứu dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển này cho
trường hợp mảng hai chỉ số. Sau đó, chúng tôi vận dụng kết quả này để chứng
minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận


5

chung và kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tài
liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương.
Chương 1 được dành để nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li. Cụ thể hơn,
chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng
các phần tử ngẫu nhiên độc lập tương đương với nhau.
Chương 2 nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ và hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p
của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chương 2 gồm hai mục. Mục 2.1 đưa ra một
đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy đủ
theo trung bình cấp p. Bên cạnh đó, trong mục 2.1, chúng tôi chứng minh được
rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật
mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra hai phản ví dụ để

minh họa cho các kết quả chính. Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và hội
tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình. Phản ví dụ
thứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3, chúng ta không thể làm yếu giả thiết độc
lập bởi giả thiết độc lập đôi một. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện cần
và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập
đôi một. Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định lý
2.2.2, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần tử
ngẫu nhiên bị chặn. Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3
và Định lý 2.2.2.
Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức
Etemadi, Lévy, Ottaviani và Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi trình bày sự vận dụng dạng tổng
quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q)
kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính của chương là các Định lý 3.2.1,
3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 và Định lý 3.3.2.


6

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần
tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Chúng tôi đưa ra các điều
kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Các kết quả
chính của chương được viết dựa trên bài báo [1] Trong luận án này, nếu không
nói gì thêm ta luôn giả sử rằng X, V, Xmn , Vmn , Xn ... là các phần tử ngẫu nhiên

cùng xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong không
gian Banach thực, khả li E. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên, ta luôn kí hiệu
m

n

Xij , m ≥ 1, n ≥ 1.

Smn =
i=1 j=1

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị và các bổ đề để làm công cụ
để nghiên cứu nội dung chính của chương như: Định nghĩa các dạng hội tụ của
mảng, chuỗi hai chỉ số các số thực, các dạng hội tụ của các phần tử ngẫu nhiên...
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu bổ đề Borel-Cantelli hai chỉ số cho trường
hợp độc lập đôi một.
1.1.1 Bổ đề. (Bổ đề Borel-Cantelli cho mảng hai chỉ số)
Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố. Khi đó ta có các khẳng định sau.


7

(i) Nếu

∞
m=1

∞

n=1 P(Amn )

< ∞, thì P(lim sup Amn ) = 0.

(ii) Nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố độc lập đôi một và
∞

∞

P(Amn ) = ∞,
m=1 n=1

thì
P(lim sup Amn ) = 1.
Định nghĩa sau trình bày về không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử {rj , j ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
1
2

phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = .
Không gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (p ≥ 1) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi i ≥ 1 và với mọi vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i),
1/p

i

rj vj

E
j=1

p

1/p

i

≤C

vj

p

.

j=1

1.1.3 Định nghĩa. (i) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được
gọi là bản sao độc lập của phần tử ngẫu nhiên X nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là các
phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với X .
(ii) Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các phần
tử ngẫu nhiên. Khi đó {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bản sao độc lập của
{Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập với {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}, và

với mọi m ≥ 1, n ≥ 1, {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} cùng phân phối với {Xij , 1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ j ≤ n}.

1.2. Luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Banach
Mục này trình bày các kết quả chính của chương. Định lý 1.2.1 và Định lý

1.2.5 đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với
nhau, tương ứng cho trường hợp độc lập không cùng phân phối và độc lập cùng
phân phối.


8

Trường hợp một chỉ số của Định lý 1.2.1 được chứng minh bởi de Acosta năm
1981.
1.2.1 Định lý. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập.
(i) Giả sử rằng
∞

∞

E Xmn

m=1 n=1

p

< ∞ với 1 ≤ p ≤ 2.

mαp nβp

(1.2.1)

Khi đó,
Smn P

→ 0 khi m ∨ n → ∞
mα nβ

(1.2.2)

Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
mα nβ

(1.2.3)

nếu và chỉ nếu

(ii) Giả sử rằng
∞

∞

m=1 n=1

E Xmn

2p

m2αp+1−p n2βp+1−p

< ∞ với p > 1.

(1.2.4)

Khi đó, luật yếu số lớn (1.2.2) và luật mạnh số lớn (1.2.3) là tương đương.
Chứng minh của Định lý 1.2.1 gồm nhiều bước. Vì vậy để chứng minh định lý
chúng tôi sẽ chia nhỏ từng bước bằng việc chứng minh ba bổ đề. Bổ đề đầu tiên
đảm bảo rằng trong Định lý 1.2.1 ta chỉ cần chứng minh cho mảng {Xmn , m ≥
1, n ≥ 1} với giả thiết là các phần tử ngẫu nhiên đối xứng.

1.2.2 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là
hai mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập sao cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là bản sao
độc lập của {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}. Khi đó
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mα nβ

(1.2.5)

n
j=1 (Xij
mα nβ

(1.2.6)

nếu và chỉ nếu
m
i=1

− Xij )

→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞,

và

Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞.
mα nβ

(1.2.7)


9

Bổ đề thứ hai chỉ ra rằng nếu Xmn ≤ mα nβ h.c.c., m ≥ 1, n ≥ 1 thì luật yếu
P

số lớn Smn /(mα nβ ) → 0 khi m ∨ n → ∞ tương đương với

Smn
→ 0 trong Lp với
mn

mọi p > 0.
1.2.3 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập, đối xứng sao cho Xmn ≤ mα nβ h.c.c. với mọi m ≥ 1, n ≥ 1. Nếu
Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞,
mα nβ

(1.2.8)

Smn
→ 0 trong Lp khi m ∨ n → ∞.
mα nβ

(1.2.9)

thì với mọi p > 0,

Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Lévy cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc
lập, đối xứng làm chìa khóa để chứng minh bổ đề sau đây.
1.2.4 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó,
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mα nβ

(1.2.10)

nếu và chỉ nếu
2m −1
2n −1
i=2m−1
j=2n−1
2mα 2nβ

Xij

→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.

(1.2.11)

Bằng phương pháp chứng minh tương tự đã sử dụng trong chứng minh của
Định lý 1.2.1, ta thu được Định lý 1.2.5. Kết quả này là một dạng của luật số

lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li. Định lý 1.2.5 được
chứng minh bởi Giang năm 1995 và Mikosch, Norvaiˇsa năm 1987. Tuy nhiên,
cách chứng minh của chúng tôi trình bày ở đây hoàn toàn khác với cách chứng
minh của các tác giả trên.
1.2.5 Định lý. Cho 1 ≤ p < 2 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối sao cho E( X11

p log+

X11 ) < ∞. Khi đó,

Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞
(mn)1/p

(1.2.12)


10

nếu và chỉ nếu
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
(mn)1/p

(1.2.13)

Kết luận của Chương 1
Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau:

- Đưa ra được điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối
với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả
li bất kỳ tương đương với nhau.
- Trình bày cách chứng minh mới cho luật mạnh số lớn đối với mảng các phần
tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p.


11

CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
ĐẦY ĐỦ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN
NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp
p và sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chúng tôi đưa ra

một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy
đủ theo trung bình cấp p. Trong trường hợp không gian Banach khả li tùy ý,
chúng tôi chứng minh được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng
Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.

Chúng tôi cũng trình bày sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu
nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Các kết quả chính của chương được viết
dựa trên hai bài báo [2,3].

2.1. Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình của mảng các phần tử
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
Năm 1988, Chow giới thiệu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0)
cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky,

Thanh và Volodin đã thiết lập sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với
dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach. Kết
quả của Rosalsky, Thanh và Volodin về sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p
(1 ≤ p ≤ 2) đã đưa ra một đặc trưng của không gian Banach Rademacher loại p.
Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng Định lý 1 và Định lý 3 của ba tác giả trên
sang trường hợp mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sự mở rộng của
Định lý 1 sang trường hợp mảng hai chỉ số sử dụng kĩ thuật hoàn toàn tương tự


12

như trường hợp một chỉ số, trong khi đó sự mở rộng của Định lý 3 sang trường
hợp hai chỉ số phức tạp hơn rất nhiều. Sự mở rộng này đòi hỏi phải chuyển một
loạt các kết quả về luật số lớn từ một chỉ số sang hai chỉ số.
Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp
p của mảng các phần tử ngẫu nhiên.

2.1.1 Định nghĩa. Cho p > 0. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
được gọi là hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đến phần tử ngẫu nhiên X nếu
∞

∞

E Xmn − X

p

< ∞.

m=1 n=1

c,Lp

Khi đó ta kí hiệu Xmn → X.
c,Lp

Lp

c

Dễ thấy rằng nếu Xmn → X thì Xmn → X và Xmn → X khi m ∨ n → ∞. Tuy
nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Trong mục này, chúng tôi đưa ra
ví dụ chỉ ra rằng tồn tại mảng các phần tử ngẫu nhiên {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa
c

Lp

mãn Vmn → X và Vmn → X khi m ∨ n → ∞, nhưng Vmn

c,Lp

X.

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày kết quả về sự mở rộng Định lý 1 của ba tác
giả trên sang trường hợp mảng hai chỉ số. Kết quả này đưa ra một đặc trưng của
không gian Rademacher dạng p.
2.1.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là không gian Banach thực khả li. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương.
(i) E là không gian Rademacher dạng p.
(ii) Với mỗi mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng
0 nhận giá trị trong E, điều kiện

∞

∞

m=1 n=1

E Xmn
mp np

p

<∞

(2.1.1)

kéo theo
Smn
c,Lp
→ 0.
(mn)(p+1)/p

(2.1.2)


13

Định lý tiếp theo là kết quả chính của mục này. Trong định lý này, ta chỉ ra
Smn
Smn
c,Lp

→ 0 với p ≥ 1 kéo theo
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Chúng
(p+1)/p
mn
(mn)
ta nhấn mạnh rằng trong định lý này không có giả thiết không gian Banach E là

rằng

không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
2.1.3 Định lý. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập.
Nếu
Smn
c,Lp
→ 0 với p ≥ 1,
(mn)(p+1)/p

(2.1.3)

Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
mn

(2.1.4)

thì

2.1.4 Nhận xét. Năm 2006, Rosalsky, Thanh và Volodin thiết lập Định lý 2.1.3
cho trường hợp một chỉ số với 1 ≤ p ≤ 2. Như đã đề cập, phép chứng minh cho
trường hợp mảng hai chỉ số phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một chỉ số.

Đặc biệt, chúng tôi phải sử dụng bất đẳng thức cực đại Etemadi đối với mảng
hai chỉ số.
Chứng minh của Định lý 2.1.3 bao gồm nhiều bước. Vì vậy chúng ta sẽ chia
nhỏ nó ra hai bổ đề. Bổ đề đầu tiên đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh số
lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ trong đó {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là các phần
tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng.
2.1.5 Bổ đề. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập,
đối xứng. Khi đó
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mn

(2.1.5)

khi và chỉ khi
∞

∞

m=1 n=1

1
P
mn

2m

2n

Xij > εmn

< ∞ với mọi ε > 0.

(2.1.6)

i=m+1 j=n+1

Bổ đề tiếp theo cũng đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn Smn /(mn) →
0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}

độc lập nhưng không có giả thiết đối xứng.


14

2.1.6 Bổ đề. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập
nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó,
Smn
→ 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞
mn

(2.1.7)

Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞
mn

(2.1.8)

khi và chỉ khi

và
∞

∞

m=1 n=1

1
P
mn

2m

2n

Xij > εmn

< ∞ với mọi ε > 0.

(2.1.9)

i=m+1 j=n+1

2.1.7 Nhận xét. Năm 2014, Son, Thang và Dung đã chứng minh một kết quả
về sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mà không có giả thiết độc lập. Cụ thể
hơn, các tác giả trên đã chứng minh được rằng với mảng các phần tử ngẫu nhiên
{Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li, điều kiện
1
(mn)(p+1)/p

max

k≤m, l≤n

Skl

c,Lp

→ 0 với 1 ≤ p ≤ 2

kéo theo
1
max
Skl → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
mn k≤m, l≤n

Kết quả của các tác giả trên và kết quả của chúng tôi là không so sánh được
với nhau. Chứng minh của chúng tôi cũng hoàn toàn khác với chứng minh ba tác
giả trên. Hơn nữa, trong mục này chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3,
giả thiết mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập không thể
làm yếu hơn bằng giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một.

2.2. Sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập
đôi một nhận giá trị trong không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một. Kết quả chính của mục này là Định lý 2.2.2.
Trước khi trình bày kết quả về sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, chúng ta phát biểu và chứng minh một kết

15

quả tương ứng cho mảng các biến ngẫu nhiên. Sau đó, dùng phương pháp xấp xỉ
và kết quả về các biến ngẫu nhiên, ta thu được kết quả tương ứng cho các phần
tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
2.2.1 Mệnh đề. Giả sử 1 ≤ p < 2 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu
nhiên độc lập đôi một bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Khi đó, nếu
E |X|p log+ |X| < ∞,

(2.2.1)

thì với mọi ε > 0, ta có
∞

∞

k

(mn)

p−2

l

amnij Xij − EXij

max

P

k≤m, l≤n

m=1 n=1

> εmn

< ∞,

(2.2.2)

i=1 j=1

trong đó {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn
m

n

a2mnij ≤ Cmn với mọi m ≥ 1, n ≥ 1.

(2.2.3)

i=1 j=1

Bây giờ ta sẽ trình bày kết quả chính của mục này. Định lý sau đây thiết lập
sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một, cùng phân phối.
2.2.2 Định lý. Giả sử 1 ≤ p < 2, {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử
ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Nếu
EX = 0, E

X

p

log+ X

< ∞,

(2.2.4)

thì với mọi ε > 0, ta có
∞

∞

k
p−2

(mn)
m=1 n=1

P

l

max

k≤m, l≤n

amnij Xij > εmn

< ∞,

(2.2.5)

i=1 j=1

trong đó {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn (2.2.3).
Ngược lại, nếu (2.2.5) đúng với mọi ε > 0 và với mọi mảng số thực {amnij , m ≥
1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} thỏa mãn (2.2.3), thì ta thu được (2.2.4).


16

Trong mục này, chúng tôi cũng chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng trong Định lý 2.2.2, ta
không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
độc lập đôi một, cùng phân phối, E X log+ X

< ∞ bởi giả thiết mảng các

phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử
ngẫu nhiên bị chặn X .
Kết luận của Chương 2
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) thông
qua sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên
độc lập.
Smn
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p về 0 kéo theo

(mn)(p+1)/p
S
luật mạnh số lớn mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
(mn)

- Chứng minh

- Đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số
các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối.
- Đưa ra ví dụ minh họa các kết quả chính về sự hội tụ đầy đủ và hội tụ đầy
đủ theo trung bình cấp p.


17

CHƯƠNG 3
DẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN
NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, chúng tôi thiết lập dạng tổng quát của một số bất đẳng
thức cổ điển như bất đẳng thức Etemadi, Ottaviani... cho mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh
luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính của
chương được viết dựa trên bài báo [4].

3.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này, chúng tôi đưa ra các kí hiệu và giới thiệu các bổ đề liên quan
được sử dụng để thiết lập các kết quả chính của chương.

3.2. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối với
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach
Trong mục này, ta sử dụng hàm g : En → [0, ∞) đối xứng theo nghĩa g(−x) =
g(x) với mọi x ∈ En .

Kết quả chính đầu tiên của mục này là dạng tổng quát của bất đẳng thức
Etemadi đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Trường hợp đặc biệt, khi
m

n

ta chọn gmn (π(xij )m×n ) =

xij

với mọi π((xij )m×n ) ∈ Emn và α = 1, bất

i=1 j=1

đẳng thức (3.2.2) sau đây chính là bất đẳng thức Etemadi(1991) đối với mảng
các phần tử ngẫu nhiên độc lập.


18

3.2.1 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được, đối xứng sao cho
gmn (x + y) ≤ α (gmn (x) + gmn (y)) , với mọi x, y ∈ Emn ,

(3.2.1)

trong đó α ≥ 1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào gmn . Cho {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
là các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Khi đó với mọi t ≥ 0, ta có


kl
kl
P  max Smn
> 28α5 t ≤ 20 max P(Smn
> t).
1≤k≤m
1≤l≤n

(3.2.2)

1≤k≤m
1≤l≤n

Định lý chính thứ hai của mục này là dạng tổng quát của bất đẳng thức
Lévy đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. Khi ta chọn
m

n

gmn (π(xij )m×n ) =

xij

với mọi π((xij )m×n ) ∈ Emn và α = 1, bất đẳng

i=1 j=1

thức (3.2.4) sau đây chính là bất đẳng thức Lévy trong Etemadi(1991).
3.2.2 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được thỏa mãn điều kiện
(3.2.1) và
gmn (x) ≤ βqmn (2x) với mọi x ∈ Emn ,

(3.2.3)

trong đó β > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc hàm gmn . Cho {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
là họ gồm mn phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó với mọi t ≥ 0, ta có


kl
mn
P  max Smn
> 56α6 βt ≤ 40P(Smn
> t).

(3.2.4)

1≤k≤m
1≤l≤n

Định lý 3.2.3 sau đây là dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani đối với
m

n

mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Khi ta chọn gmn (π(xij )m×n ) =

xij
i=1 j=1

với mọi π((xij )m×n ) ∈ Emn và α = 1, t = u, bất đẳng thức (3.2.5) sau đây chính là
bất đẳng thức Ottaviani đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có trong
Etemadi(1991).
3.2.3 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được, đối xứng thỏa mãn
điều kiện (3.2.1). Cho {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là các phần tử ngẫu nhiên độc


19

lập. Khi đó, với mọi t ≥ 0, u ≥ 0, ta có



mn > t)
2P(Smn

kl
P  max Smn
> α3 (3t + 4u) ≤ 
1≤k≤m
1≤l≤n

1 −

max

0≤k≤m−1
0≤l≤n−1

2 .

(3.2.5)

kl > u)
P(Tmn

Định lý cuối cùng là dạng tổng quát của bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen
đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Ta chú ý rằng định lý tiếp theo
không có giả thiết các phần tử ngẫu nhiên là đối xứng.
3.2.4 Định lý. Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) là hàm đo được, đối xứng thỏa mãn
điều kiện (3.2.1) và {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập.
Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) Với mọi s ≥ 0, t ≥ 0, u ≥ 0, ta có
mn
P(Smn
> α2 s + 3α3 (t + u))



 



kl
≤ P(Nmn > s) + P  max Smn
> t P  max

1≤k≤m
1≤l≤n

0≤k≤m−1
0≤l≤n−1

kl
Tmn
> u .

(3.2.6)

(ii) Với mọi x ≥ 0, y ≥ 0, ta có
mn
P(Smn
> α2 x + (21α6 + 84α8 )y)


2

kl
>y  .
≤ P(Nmn > x) + 100  max P Smn

(3.2.7)

1≤k≤m
1≤l≤n

3.3. Luật mạnh số lớn dạng (p, q)

Trong phần này, ta xét mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối.
Khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với dãy phần tử ngẫu nhiên độc
lâp cùng phân phối nhận giá trị trong không gian Banach đã được giới thiệu bởi
Li, Qi và Rosalsky năm 2016. Trên ý tưởng cơ bản này chúng tôi đưa ra định
nghĩa sau.


20

3.3.1 Định nghĩa. Cho 0 < p < 2 và q > 0. Ta nói mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
thỏa mãn luật mạnh số lớn dạng (p, q) nếu
∞

q

∞

m=1 n=1

1
mn

Smn

< ∞ h.c.c.

1

(3.3.1)

(mn) p

Định lý sau đây là kết quả chính của mục này. Nội dung của định lý khẳng
định luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn.
3.3.2 Định lý. Cho 0 < p < 2 và q > 0. Nếu luật mạnh số lớn dạng (p, q) (3.3.1)
thỏa mãn thì ta có luật mạnh số lớn
lim

m∨n→∞

Smn
1

= 0 h.c.c.

(3.3.2)

(mn) p

Để chứng minh Định lí 3.3.2, trước tiên chúng tôi thiết lập bốn bổ đề. Bổ đề
đầu tiên là một kết quả đơn giản của giải tích cổ điển.
3.3.3 Bổ đề. Cho {cmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực không âm. Khi đó
(i)
n

∞

n

∞

ckl khi n → ∞.

ckl
k=1 l=1

(3.3.3)

k=1 l=1
∞

∞

(ii) Nếu {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực không âm thỏa mãn

amn <
m=1 n=1

∞, thì

n

max

n

1≤k≤n
1≤l≤n i=k j=l
∞

sup bkl ckl khi n → ∞,

aij ckl

(3.3.4)

k≥1, l≥1

∞

aij , k ≥ 1, l ≥ 1.

trong đó bkl =
i=k j=l

Bổ đề thứ hai là sự mở rộng từ một chỉ số sang hai chỉ số của Định lý 7 của
ba tác giả Li, Qi và Rosalsky năm 2015.
3.3.4 Bổ đề. Cho q > 0 và {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các hằng số dương sao cho
∞

∞

amn < ∞. Giả sử {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc
m=1 n=1


21
∞

∞

akl , m ≥ 1, n ≥ 1 và γ =

lập, đối xứng. Đặt bmn =
k=m l=n

21−q ,
1,

nếu 0 < q ≤ 1
.
nếu q > 1

Khi đó, với mọi t ≥ 0, ta có
∞

P

sup bkl Xkl

q

> γt

k≥1, l≥1

∞

≤ 2P

Xij

akl
k=1 l=1

q

l

k

>t

.

(3.3.5)

i=1 j=1

Bổ đề thứ ba có thể thiết lập bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như
chứng minh của Bổ đề 1 của ba tác giả Li, Qi và Rosalsky năm 2015.
3.3.5 Bổ đề. Giả sử {c(k, l), k ≥ 1, l ≥ 1} là mảng các số thực sao cho
∞

∞

|c(k, l)| < ∞

(3.3.6)

k=1 l=1

và {a(m, n, k, l), k ≥ 1, l ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn
|a(m, n, k, l)| < ∞ và

sup
m≥1,n≥1
k≥1,l≥1

lim

m∨n→∞

a(m, n, k, l) = 0, với mọi k ≥ 1, l ≥ 1.

(3.3.7)
∞ ∞

Khi đó,

lim

m∨n→∞ k=1 l=1

a(m, n, k, l)c(k, l) = 0.

Bổ đề thứ tư là một mở rộng của Định lý 1.2.5 trong Chương 1. Tuy nhiên,
phép chứng minh của nó dựa vào Định lý 1.2.5.
3.3.6 Bổ đề. Giả sử 0 < p < 2 và {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử

ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thỏa mãn E

X

p log+ (

X ) < ∞. Khi đó,

luật mạnh số lớn (3.3.2) thỏa mãn khi và chỉ khi
S2m 2n
2(m+n)/p

P

−
→ 0 khi m ∨ n → ∞.

(3.3.8)

Kết luận của Chương 3
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Chứng minh được dạng tổng quát của các bất đẳng thức Etemadi, Lévy,
Ottaviani và Bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập
- Đưa ra khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng các phần tử ngẫu
nhiên và chứng minh được luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số
lớn.


22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận chung
Luận án đã thu được các kết quả chính sau đây:
- Đưa ra được điều kiện để luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn tương đương
với nhau đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối và
độc lập cùng phân phối.
- Đưa ra được đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p. Trong không gian Banach khả li tùy ý, luận
án chứng minh được hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p
kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞.
- Đưa ra được điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số
các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối.
- Thiết lập được các dạng tổng quát của các bất đẳng thức Etemadi, Lévy,
Ottaviani và bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen.
- Đưa ra khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng các phần tử ngẫu
nhiên và chứng minh được luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số
lớn.
2. Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây:
- Chuyển các kết quả cho trường hợp một chỉ số của Li, Qi and Rosalsky năm
2016 sang trường hợp hai chỉ số.
- Đưa ra điều kiện để hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình cấp p kéo theo
hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p.
- Nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng có trọng số
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.


23

DANH MỤC CÔNG TRÌNH
LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
1. A. Rosalsky, L. V. Thanh and N. T. Thuy (2014), On the laws of large numbers for double arrays of independent random elements in Banach spaces.
Acta Mathematica Sinica, English Series. 30, 1353-1364.
2. L. V. Thanh and N. T. Thuy (2016), On complete convergence in mean for
double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math.
Hungar., 150, 456-471.
3. L. V. Thanh and N. T. Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions
for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent
identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta
Math. Hungar..
4. V. T. N. Anh, L. V. Thanh and N. T. Thuy (2016), On Generalizations of
Maximal Inequalities for Double Arrays of Independent Random Elements
in Banach Spaces, Vietnam Institute for Advanced study in Mathematics
(VIASM) preprint.
5. V. T. N. Anh and N. T. Thuy (2017), On the conditions for the complete
convergence in mean for double sums of independent random elements in
Banach spaces, Vinh University. Journal of Science: Natural sciences., 46
no 2A, 31-42.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Hội nghị toàn quốc lần thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và
giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015),
- Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm
Tự nhiên-Trường Đại học Vinh (từ năm 2013 đến năm 2018).