Dạng toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian

1. Phương trình mặt phẳng
trước

 P

đi qua điểm M song song với mặt phẳng  cho

PP: Mặt phẳng

 P

của mặt phẳng

   . Từ đó viết phương trình mặt phẳng  P 

r uur
n  n

song song với mặt phẳng

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng

 P

qua

 

nên VTPT của

 P

chính là VTPT

qua M có VTPT là

M  1;2;3 song song mặt phẳng

 Q  : 2x  3y  2z  1  0
Lời giải
Vì mặt phẳng

 P

r
n  2; 3;2 

song song với mặt phẳng

 Q

nên VTPT của mặt phẳng

 P

là

� mp  P  : 2  x  1  3  y  2   2  z  3 � 2x  3y  2z  2  0

2. Phương trình mặt phẳng
phẳng

 P

đi qua M vng góc với 2 mặt phẳng

 Q

và mặt

 R .

PP: Mặt phẳng

 P

vng góc với mặt phẳng

 Q

và mặt phẳng

 R

nên

r uu
r
r uu
r uu
r

�
�n  n1
�
� r uu
�
n

n
,n
r
�r uu
r uu
r
1
2�
�
n  n2
P , Q , R 
�
n,n
,n
1
2 lần lượt là VTPT của mặt phẳng   
với
r
P


n
Từ đó viết phương trình mặt phẳng

qua M có VTPT .
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng

 P

qua

 1; 1;2 

và vng góc với 2 mặt phẳng

 Q  : x  3z  1  0;  R  : 2x  y  z  1  0
Lời giải

r uu
r uu
r
P , Q , R 
n,n
,n
1
2 lần lượt là VTPT của mặt phẳng   
Gọi


r uu
r
r
uu
r uu

r
�
�
mp  P   mp  Q 
�n  n1
�
� �r uu
n1 ,n 2   3; 5;1 �
r�n�
�
�
mp
P

mp
R




n  n2
�
�
Vì
Phương trình mặt phẳng

 P  : 3 x  1  5  y  1  1 z  2   0 � 3x  5y  z  10  0
3. Phương trình mặt phẳng

 P

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

 Q

r uu
r
Q
P
n,n
1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng   và mặt phẳng 
PP: Gọi
Vì mặt phẳng

 P

đi qua A, B và mp 

P  vng góc với mặt phẳng  Q  nên

r uu
r
uu
r uuur
�
n

n
�
1

�
�
�
n
r
u
u
u
r
�
1 ,AB �
�
P
n  AB
�
. Từ đó viết phương trình mặt phẳng  

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng

 P

đi qua hai điểm

A  0;1;0  và B  1;2; 2  và

 Q  : 2x  y  3x  13  0
Lời giải

uu

r
r uu
r
P
n
 2; 1;3


n,n
1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng
Gọi
và mặt phẳng có 1 
và
uuur
AB   1;1; 2 
 P
 Q
 P
vì mặt phẳng

qua AB nên

vng góc với mặt phẳng

và mặt phẳng

r
uu
r uuur
�

n�
n
�1 , AB �  1; 7; 3

� mp  P  : x  7  y  1  3z  0 � x  7y  3z  7  0
4. Viết phương trình mặt phẳng

 P

đi qua 3 điểm A, B, C cho trước

đi


r
P
P
n
PP: Gọi là VTPT của mặt phẳng   . Vì mp   đi qua A, B, C nên

r uuur
uuur uuur
�
�n  AB r �
�
�
n

AB,AC
r

u
u
u
r
�
�
�
P
n  AC
�
. Từ đó viết phương trình mặt phẳng   qua M có VTPT là
r
n
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng

 P  qua A  1;0;1 ,B  0;2;0  ,C  0;1;2 
Lời giải

r

P
P
Gọi n là VTPT của mặt phẳng   . Vì mặt phẳng   qua A, B, C nên
r uuur
uuur uuur
�
�n  AB r �
�
�
n


AB,AC
�r uuur
�
�
n  AC
�
uuur
r
AB  1;1;1 � n  3;2;1 �
Ta có
phương trình mặt phẳng
uuur
AC  1;1;1

 P  : 3 x  1  2y  1 z  1  0 � 3x  2y  z  4  0
5. Viết phương trình mặt phẳng

 P

đi qua điểm M và giao tuyến của 2 mặt phẳng

 Q , R 
PP:
-

Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của phương trình gồm 2 phương

-

trình của mặt phẳng   và  
Từ hệ chọn ra 2 điểm A, B thuộc giao tuyến sau đó viết phương trình mặt phẳng
qua điểm A, B, M như dạng 4.

P

R

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng

 P

qua

M  2;0;1 và giao tuyến 2 mặt phẳng

 R  : x  2y  z  4  0;  Q  : 2x  y  z  4  0
Lời giải


Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

x  2y  z  4  0
�
�
2x  y  z  4  0
�

�x  2y  0 �x  0
z 4��

��
� A  0;0;4 
2x  y  0 �y  0
�
Cho
thuộc giao tuyến

�x  2y  3 �y  1
x 1� �
� � � B  1;1;1
x

y

2
�z  1
�
Cho
thuộc giao tuyến
� mặt phẳng  P  đi qua M, A, B. (dạng 4)
uuuu
r
uuur
r
uuuu
r uuur
�  3; 3; 2 
MA  2;0;3 ;MB  1;1;0  � VTPTn  �
MA,MB
�

�
Mặt phẳng

 P

qua M nên có phương trình:

3  x  2   3y  2  z  1  0 � 3x  3y  2z  8  0
6. Viết phương trình mặt phẳng
trước

 P

hợp với mặt phẳng

 Q

một góc  cho

PP: Gọi phương trình mặt phẳng

 P  : ax+by +cz +d =0,  a 2  b2  c2 �0  .
Dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c, d sau đó đưa mặt phẳng về dạng có ít
tham số nhất (thơng thường chứa nhiều nhất là 2 tham số trong 4 tham số a, b, c, d)
Giả sử mặt phẳng

 Q  : kx  my  nz  q  0

Q
P

Vì   tạo với   góc
phẳng

r uu
r
 cos n,n1  cos





r uu
r
. Với n,n1 lần lượt là VTPT của mặt

 P  và mặt phẳng  Q  .

Từ giả thiết

r uu
r
n.n1
� r uu
r = cos
n n1

.

Từ đó tìm các giá trị tham số thay vào ta có phương trình mặt phẳng

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng

 Q  : 2x  y 

11z  3  0

 P

chứa trục Oz tạo với mặt phẳng

một góc   60�
Lời giải

P
Vì mặt phẳng  
VTPT mặt phẳng

P
chứa Oz nên  

 P :

r
n  a;b;0 

có dạng:

ax  by  0,  a 2  b 2  c 2 �0 

. VTPT mặt phẳng

uu
r

 Q  : n1  2; 1;

11



r uu
r
�
 P , Q �
�
� 60�� cos n,n1  cos60�



2a  b  0. 11

�

a 2  b 2 22   1  11
2

Có





1
2

� 2a  b  2 a2  b2 � 4a2  b2  4ab  4a2  b2

�b 0
� 3b  4ab  0 � �
4
�
b  a
�
3
2

P :x  0
TH1: b  0 chọn a  1� mặt phẳng  
4
b  a
3 chọn a  3� b   4 � mặt phẳng  P : 2x  4y  0
TH2:

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng
phẳng

 P

qua

A  1;0;0 ,B 0; 2;0

 Q : y  z  7  0 một góc   60�

Lời giải
Mặt phẳng

 P

có dạng: ax  by  cz  d  0

Mặt phẳng

 P

đi qua A, B nên

�
a  d
�
d
�a d  0
�
� � d � mp P : dx  y  cz  d  0
�
2b  d  0 �b 
2
�
� 2

�

và tạo với mặt






� 2dx  dy  2cz  2d  0  *  , d2  c2 �0

r

P : n 2d,d,2c
VTPT mp   
uu
r

Q : n 0,1,1
VTPT mp   1 
Vì mặt phẳng

 P tạo với mặt phẳng  Q

r uu
r
� cos n,n1  cos60��





một góc 60�

d  2c
4d2  d2  4c2 12   1

2



1
2

� 2 d  2c  5d2  4c2

Bình phương 2 vế ta được:
2d2  8c2  8dc  5d2  4c � 4c2  8dc  3d2  0 coi c là ẩn ta có:

 '   4d  12d2  28d2
2

� 4d  2 7d �2  7 �
c
�
d
�
� 2 �
�
4

�
�
�
�  '  2 7d � �
4d  2 7d �2  7 �
�
c
�
d
� 2 �
�
�
4
�
�
�
c

TH1:

4d  2 7d �2  7 �
�
d
� 2 �
�
4
�
� chọn d  2 � c  2  7 thay vào  *  có:

Mặt phẳng

 P : 4x  2y  2 2 
c

TH2:







7 z  4  0 � 2x  y  2  7 z  0

4d  2 7d �2  7 �
�
d
� 2 �
�
4
�
� chọn d  2 � c  2  7 thay vào  *  có:

Mặt phẳng

 P : 2x  y   2 



7  2 0

7. Tìm hình chiếu vng góc của

M  x0;y0;z0 

lên mặt phẳng

 P : ax+by+cz+d=0


PP:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng
mặt phẳng

 P

 P � M

là giao điểm của

P
với đường thẳng  qua M và vng góc với mặt phẳng   .

Viết phương trình tham số
Vì H thuộc mặt phẳng

 P

�x  x0  at
y  y0  bt � H  x0  at;y0  bt;z0  ct

  : �
�
�z  z  ct
0
�
thay vào phương trình mặt phẳng

 P � t � H

Cách 2: Vận dụng khi a,b,c �0 . H là hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng
uuuu
r
r
 P � MH cùng phương với VTPT n a;b;c của mặt phẳng  P .

H x ;y ;z � ax1  by1  cz1  d  0  1
Giả sử  1 1 1 
uuuu
r
� MH  x1  x0;y1  y0;z1 z0   2
Có
x1  x0 y1  y0 z1  z0


a
b
c



a x1  x0   b y1  y0   c z1  z0 
a.a  b.b  c.c

x1
�
d  ax0  by0  cz0
�

� �y1
a2  b2  c2
�z
�1

Ví dụ: Tìm hình chiếu vng góc của

M  3;6;2

lên mặt phẳng

 P : 5x  2y  z  25  0

Lời giải
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên mp 

� quaA

   � mp P
 
�
và đường thẳng

  P
 
 �mp

r
VTCP u VTCP  P

r
u 5; 2;1

P � H

là giao điểm của mp

 P


 qua

�x  3 5t
�
M  3;6;2 � PTTS   : �
y  6  2t
�z  2  t
�

H �   � H  3 5t;6  2t;2  t
H �mp P � 5 3 5t  2 6  2t  2  t  25  0

� 30t  30 � H  2;8;1

H x ;y ;z ,H � P 
Cách 2: Giả sử  1 1 1 
nên 5x1  2y1  z1  25  0
uuuu
r
uuuu
r
r
MH  x1  3;y1  6;z1  2 ,MH
cùng phương với n
�

x1  3 y1  6 z1  2 5 x1  3  2 y1  6   z1  2



5
2
1
5.5 2. 2  1.1


5x1  2y1  z1  25 30 0  30

 1
30
30

� x1  2;y1  8;z1  1� H  2;8;1

8. Tìm xứng với M qua mp 
PP: Tìm hình chiếu vng góc của M lên mp 

P

P

điểm M 1 đối

là H (dajng7)

M 1 đối xứng với M qua mp  P � H là trung điểm của MM 1

�
xM1  2xH  xM
�
�
��
yM1  2yH  yM � M 1
�
�zM1  2zH  zM
9. Viết phương trình mp 

P

qua M chứa đường thẳng 

M �P
PP: Trên  chọn điểm 0  
r r

P

n,u
Gọi
lần lượt là VTPT của mp   và VTCP của  
r r
r
r
�
� n u
�
� �r
� n �
u,MM
0�
�
n

MM
�
0


P
Từ đó viết phương trình mp  
Ví dụ: Cho
phẳng

 P

M  2;3;1

chứa

 

r
n
qua M có VTCP là

  :

và đường thẳng

x1 y 2 z


2
1 5 . Viết phương trình mặt

và đi qua M.
Lời giải

r r

P
n,u
Gọi
lần lượt là VTCP của   , VTCP của   .
Dễ thấy

M 0  1;2;0  �   � M 0 �P

\. Ta có

r
MM 0  1; 1; 1 , u  2; 1;5 

r r
r
r uuuuur
�
n
� u
�  6; 3; 3
u,MM
�r uuuuur � n  �
0�
�
n  MM 0

P
Vì mp   qua M chứa   nên �

�  P  : 6  x  2   3  y  3  3  z  1 � 2x  y  z  0
10. Viết phương trình đường thẳng

 

đi qua 2 điểm A, B

�qua A
r

 �
r
r uuu
r

VTCP
u
�
PP: Gọi u là VTCP của   � u  AB . Từ đó viết pt
11. Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2 mp

 P , Q

PP:
-

 P , Q
A x ; y ;z ,B x ; y ;z
Chọn 2 điểm  A A A   B B B  thỏa mãn hệ � A,B thuộc giao
Xét hệ gồm 2 phương trình của mp
tuyến

-

Viết phương trình đường thẳng

   qua A, B.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của

 P  : 3x  y  z  5  0,  Q  : x  2y  z  4  0


Lời giải

Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

�3x  y  z  5  0
�
x  2y  z  4  0
�

�y  z  5
�y  1
x 0��
��
� A  0;1;6  �
2y

z

4
z

6
�

�
Cho
giao tuyến
�y  z  2
�y  1
x 1� �
��
� B  1;1;1
2y  z  3 �z  1
�
Cho

 

là giao tuyến

�    đi qua AB

�
A  0;1;6 
�
r uuur
�   : �
� PTTS  t �R 
VTCP u �AB  1;0; 5 
�
12. Phương trình đường thẳng
PP:

    mp  P 

r
VTCP u

   đi qua M vng góc với mp  P 
r
VTPT n

của mp

 P  . Từ đó viết pt

�quaA
r

 �
VTCP
u
�
Ví dụ: Cho

 

A  1; 2;3 và mp  P  : 3x  y  z  1  0 . Viết phương trình đường thẳng

qua A vả vng góc với mp

 P .
Lời giải

r r

P
u,n
Gọi
lần lượt là VTCP của   và VTCP của   ,
r r
    mp  P  u n  3;1;1
�x  1  3t
�quaA
�
r � PTTS    �y  2  t  t �R 
  �
VTCP
u
�
�z  3  t
�
13. Phương trình đường thẳng

 

qua M  với 2 đường thẳng 1 ,  2 cho trước


r
uu
r uu
r
�  1

�
r uu
r uu
r
�u �
u
,
u
�
1
2�
�



2
PP: Gọi u,u1 ,u 2 lần lượt là VTCP của , 1 ,  2 . Vì �
từ đó viết
r


u
phương trình
qua A có VTCP .
Ví dụ: Cho

M  2;3; 1

và 2 đường thẳng

�x  1  3t
x2 y z3
�
1 :


;  2 : �y  2  t
1
3
2
�z  1  5t
�
Viết phương trình đường thẳng

 

qua M vng góc với 1 ,  2
Lời giải

uu
r
uu
r
r uu
r uur
u
1;

3;2
,u

u,
u
,
u


2  3; 1;5 
1
2 lần lượt là VTCP của , 1 ,  2 có 1
Gọi
r uu
r
�
uu
r uu
r
r
�



u

u
�
�
1
1
�
� �r uu

u
;u
�
u
r�u��
�
�1 2 �  13;1;8 
  2 �
u

u
2
Vì �

�
�x  2  13t
qua A
�
�
r
�   �
� PTTS    �y  3  t
VTCP
u

13;1;8


�
�z  1  8t

�
�
14. Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt đường thẳng 1 và vng góc với

2
PP: Chuyển đường thẳng 1 về dạng tham số (nếu 1 cho ở dạng chính tắc):

�x  x1  at
�
1 : �y  y1  at
r uu
r uu
r
�z  z  ct
u,u
,u
� 1
1
2 là VTCP của , 1 ,  2
. Gọi

 �1  H � H  x1  at; y1  bt;z1  ct 
uuuu
r uu
r
   qua M, H vng góc với   2  � MH.u 2  0 � t

Giả sử

Từ đó tìm được tọa độ điểm H.

r uuuu
r
r


u
�
MH
u
Ta có
viết PTTS
qua A có VTCP
Ví dụ: Cho

M  3;2; 1

và

 1  :

x 1 y  3 z
x 3 y z3

 ; 2  :


2
1

5
1 2
1

Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vng góc với 1 và cắt  2

r uu
r uur
u,
u
1 , u 2 là VTCP của , 1 ,  2
Gọi
Giả sử
Vì

Lời giải

uuuu
r
 � 2  N � N  3  t; 2t; 3  t  � MN   t; 2t  2;t  2 

uuuu
rr
  1 � MN.u  0 � 2   t   1 2t  2   5  t  2   0

9t  8 � t 

r �8 2 10 � r �8 2 10 �
8 uuuu
� MN � ; ;

�� u � ; ;
�
9
�9 9 9 � �9 9 9 �

�x  3  4t
r
�
u  4;1;5  � PTTS    : �y  2  t  t �R 
�
z  1  5t
�
Ta chọn
Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng  qua M cắt 1 và vng góc với một véc tơ
r
a cho trước cũng tương tự.


15. Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt hai đường thẳng 1 và 2 .
PP: Cách 1:

r uu
r uu
r
u,u
,u
1
2 là VTCP của , 1 ,  2
- Gọi
- Giả sử  �1  A;  � 2  B � M, A, B thẳng hàng

�1;B � 2 là các điểm có tọa độ bằng tham số t, t '
- Lấy Auu
uu
r uuur
MA,MB
- Tính
uuuu
r
uuur
- M, A, B thẳng hàng � MA  kMB

Tìm t, t '

r
Viết phương trình  qua M có VTCP u


PP: Cách 2:  qua M và cắt 1 ;  2

�  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ;  Q  . Trong đó  P  qua M chứa 1 ,  Q  qua

Q
P
M chứa  2 , viết phương trình   là giao tuyến của   và   (dạng 2)
Chú ý: Trong 1 số dạng tốn thay vì viết  qua M cắt 1;  2 có thể viết là: Viết đường
uuuu
r
uuur

;


MA

kMB.
1
2

thẳng qua M cắt
tại A, B mà

M 1; 1;1 cắt cả hai đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  qua 
�x  2  2t
�x  2  t '
�
�
1 : �y  1  t ;  2 �y  3  3t '
�z  2  t
�
� z  t '
�
Lời giải

Cách 1: Giả sử

 �1  A � A  2  2t; 1  t;2  t 
 � 2  B � B  2  t ';3  3t ';  t ' 

uuuu
r

uuur
MA  1  2t; t;1  t  ;MB  3  t ';4  3t '; 1  t ' 
Ta có
uuur
uuuu
r
�
A,M,
B
�
MB

k.MA

Vì qua A, M, B
thẳng hàng

�
3  t '  k  1  2t 
�
3  t '  k  2kt  1
�
�
� � 4  3t '  kt
� � 4  3t '  kt  2 
�1  t '  k  t  1
�1  t '  kt  k  3
�
�
Từ

 2

và

 3

19
�

5

3t'

3k
�
t'


� 3 2t'  k . Từ  1 và  3
4

uuur �13 6 5 � r uuur �13 6 5 �
�MB� ; ; � u MB� ; ; �
�6 9 9�
�6 9 9 �

Chọn

�x  1 13t

r
�
u 13;6;5 � PTTS   �
y  1 6t
�z  1 5t
�


,Q
là mp qua M chứa 1   là mặt phẳng qua M chứa  2
uu
r
uu
r

M
2;

1
;2
M

2;3;0
u
2;1
;

1
,


u
 1  : qua 1 
 có VTCP 1 
 có VTCP 2  1;3;1
  2  qua 2 

Cách 2: Gọi

+ mp

 P

 P


qua MM 1 chứa  1 

uur
uu
r uuuuur
�
n
�  MM1 uur �
� � Puur uu
u1;MM 1 �
r � nP  �
�
� nP  u1

� mp P :1 x  1  3 y  1  1 z  1  0 � x  3y  z  3  0  1

+ mp

 Q : qua MM 2 chứa

uur uu
r
�
uur uu
r uuuuur
� nQ  u2
�
1, 2 � �uur uuuuur � nQ �
u
�2;MM 2 �
n

MM
�Q
2
uuuuur
uur
MM 2  3;4;1 � nQ  1;2;5

mp Q :1 x  1  2 y  1  5 z  1  0 � x  2y  5z  4  0  2

P
Q
+ Đường thẳng  là giao tuyến của   và  

Mọi điểm thuộc  có tọa độ là nghiệm của hệ

� x  3y  z  3
�
x  2y  5z  4  0
�

�
� 18
x
�
�
18 1 �
�x  3y  3 �
�
z  0� �
� � 5 � A � ; ;0�
� P 
x

2y

4
1
5
5
�
�
�
�y 
� 5

�
Cho
�
� 19
y
�
19 18�
�3y  z  0 �
�
3 � B�
x  0� �
��
0;
; �
�
2y

5z

4
18
3
3�
�
�
�z 
�
3
�
Cho

r uuur �18 149 18�
u�AB� ;
; � PTTS
� 5 15 13�
 qua AB

� 18 18
�x  5  5 t
�
1 149
y
t
�
�
5
15
�
18
�
� z  13t
�

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

�x  3 t
x 2 y1 z 3
�
d1 :



, d2 : �
y  7  2t
3
1
2
�z  1 t
�

M 3;10;1
Viết phương trình đường thẳng  cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm 
Lời giải
Giả sử đường thẳng  cắt hai đường thẳng  cắt d1 và d2 lần lượt tại hai điểm

A  2  3a;1 a;3 2a

và

B 3 b;7  2b;1 b

uuuu
r
uuur
M
�

�

k

:
MA

kMB
Ta có

Từ đó ta có hệ phương trình:
� 3a  1 kb
� 3a  kb  1
�a  1
�
�
�
a  11  2kb  3k � �
a  3k  2kb  11� �
k2
�
� 4  2a   kb
�
�
�b  1
� 2a  kb  4
�

�x  3 2t
uuuu
r
�
� MA   2;10;2 �  : �
y  10  10t

�z  1 2t
�
Chú ý: Việc tìm ra  có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1
phương trình. Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao?
16. - Tìm hình chiếu vng góc của điểm M lên đường thẳng 


- Tìm điểm M1 đối xứng với M qua đường thẳng  .
PP:
-

 � H �   �
Gọi H là hình chiếu vng góc cúa M lên  
tọa độ H theo
uuuu
r
uuuu
rr
r
 MH     � MH.u  0 u

phương trình tham số của   .
( là VTCP của   )
Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số � H .


Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua   � H là trung điểm của MM 1 .
�
xM1  2xH  xM
�

�
��
yM1  2yH  yM �
�
�zM1  2zH  zM
tọa độ M 1
M 1;0;2
Ví dụ: Tìm hình chiếu vng góc của 
lên đường thẳng
x  2 y 3 z1
:


1
2
2
Từ đó suy ra tọa độ điểm M 1 đối xứng với M qua  .
Lời giải
r
u
1;2;2
Đường thẳng  có VTPT 
đi qua
x  2  t
�
�
M 0  2;3;1 � PTTS   �y  3 2t
�z  1 2t
�
.

Gọi H là hình chiếu vng góc của M lênuuu
u
r
� H �   � H  2  t;2t  3;1 2t � MH  t  3;2t  3;2t  1
có
uuuu
r
uuuu
rr
MH   � MH.u  0 � 1 t  3  2 2t  3  2 2t  1  0

-

� t  1� H  1;5;1

M 1 đối xứng với M qua  � H là trung điểm của MM1
�
xM1  2xH  xM  3
�
�
� �yM1  2yH  yM  10 � M1  3;10;4
�
�zM1  2zH  zM  4

P
17. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng  lên mp  


 1 và mp  P . Nếu  1 � P  I ta làm như sau:


Chọn 1 điểm M trên  1  (M khơng trùng với I)
P
Tìm hình chiếu vng góc của M lên mp   . Gọi là điểm H

PP: Tìm giao điểm của
-

 cần tìm là đường thẳng đi qua I và H
 � P   � 1 / /  P  �
 Nếu    
đường thẳng  cần tìm là đường thẳng song
uuu
r uuur
U  U1
song với 1
Chọn 1 điểm M bất kì thuộc 1

P
Tìm hình chiếu vng góc của M lên   là Hur
 cần tìm là đường thẳng đi qua H có VTCP U
  P
P
 Nếu 1   thì hình chiếu vng góc của 1 lên mp   là giao điểm I.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
:

x 1 y z 2


2

3
1 và mp  P  : x  y  3z  3  0

Viết phương trình hình chiếu vng góc của

 

lên mp

 P

Lời giải
Giả sử

 1 � P  I

� I �  

PTTS

�x  1 2t
  �
�y  3t � I  1 2t;3t;2  t
�
z  2  t
�

I � P � 1 2t   3t  3 2  t  3  0
� 4t  4 � t  1� I  3;3;1

Xét

M  1;0;2 �  

. Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên

 P

� H là giao

P
P
M 1;0;2
điểm của đường thẳng 1 (qua 
vng góc với mp   ) và mp  
uur r
P
u
Gọi 1;n là VTCP của đường thẳng 1 và VTPT của mp  


�x  1 t'
uu
r r
 P � u1  n 1;1;3 � PPTS 1  �
� y  t' � H  1 t';t;2  3t'
�z  2  3t'
�
H � P � 1 t' t  3 2  3t'  3  0 � 11t'  4 � t 

4
11

uu
r uur �26 29 1 �
�7 4 10 �
� H� ; ;
�
VTCP

u
; ; �
2
2  IH  �
11 11 11 �
�
�
�11 11 11�
là

Chọn

�x  3 26t
uu
r
�
u2  26;29;1 � PTTS  2  �
y  3 29t
� z  1 t
�

Ví dụ 2: Cho

1 :

x1 y z 2
 
2
1
2 và mp  P : x  4y  3z  1  0

P
Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu vng góc của 1 lên  
Lời giải

PPTS

�x  1 2t
�
1 : � y  t
�
z  2  2t
�

. Giả sử

 1  � P  I � I � 1  � I  1 2t;t;2  2t
I � P � 1 2t  4t  3 2  2t  1 0 � 8  0
(vơ lí)

�  1 

khơng cắt

 P

�  1  / /  P

 là hình chiếu vng góc của 1 lên  P  thì
r
 / / 1 � VTCP của  là u 2;1;2


M  1;0;2 �1

Xét

của mp 

P

. Gọi H là hình hiếu vng góc của M lên mp

 P

� H là giao tuyến

P
và đường thẳng  2 (đi qua M và vng góc với   )

M 1;0;2
Phương trình  2 : qua 
r
r
P
�
u


 1;4;3
Có VTCP u �VTPT của mp
�x  1 t'
�
PPTS 2 : � y  4t'
�
z  2  3t'
�

Có

H � 2 � H  1  t ';4t '; 2  3t '

H � P  � 1  t ' 4.4t ' 3  2  3t '   1  0 � 26t '  8
� t' 

4
�9 16 14 �
� H� ;
;
�

13
13 13 13 �
�

9
�
x

� 13  2t
�
� 16
� PTTS    : �y 
t
13
�
� 14
z
 2t
�
3
�
Vì  cần tùm đi qua H

P
18. Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng 1 quan mp  
PP: Tìm giao điểm của

 1 

và

 P

 Trường hợp 1:

1 � P 

-

Nếu

=I

-

P
Xét 1 điểm M �1 . Tìm hình chiếu vng góc của M lên  


-

P
Tìm M ' đối xứng với M qua mp   � H là trung điểm của MM ' � tọa độ

M'
-

Viết phương trình

 

đi qua I và M ' là đường thẳng cần tìm.

 Trường hợp 2:
-

P �  1  / /  P  � đường thẳng cần tìm song song với
Nếu 1 khơng cắt  
1� �
VTCP
 



VTCP 

1

r
u

uu
r
u1

-

P
Xét 1 điểm M �1 . Tìm hình chiếu vng góc của M lên mp  

-

P
Tìm điểm M ' đối xứng với M qua  
r

- Viết phương trình đường thẳng  qua M ' có VTCP u .

Ví dụ 1: Cho

1 :

x 1 y z  2
 
x
3
1 và mp  P  : x  y  3z  3  0 .

P
Viết phương trình  đối xứng với 1 qua mp   .
Lời giải

I 3; 3; 1
Giải như ví dụ 1 dạng 8 � giao điểm của 1 và  là 
�7 4 10 �
H� ; ;
�
M 1;0; 2  �1
P
11 11 11 �

Hình chiếu vng góc của 
lên   là �
3
�
�x M '  2x H  x M  11
�
8
 P � �
�y M '  2y H  y M 
11
�
2
�
z

2z

z

M
'
H
M
�
11
�
Gọi M ' là điểm đối xứng với M qua

 là đường thẳng đi qua I,M '

Ví dụ 2: Cho

x 1 y z  2
 
2
1
2 và mp  P  : x  4y  3z  1  0 . Viết pt    đối
 P

1 :

xứng với 1 qua

.

Lời giải

M 1;0; 2 
Giống như ví dụ 2 – dạng 8 � hình chiếu vng góc của 
thuộc 1 lên mp
�9 16 14 �
H� ;
;
 P  là �13 13 13 �
�

P
Gọi M ' là điểm đối xứng với M qua   � H là trung điểm của MM '
5

�
�x M '  2x H  x M  13
�
32
�
�5 32 2 �
� �y M '  2y H  y M 
� M '� ;
; �
13
13
13
13 �
�
�
2
�
z

2z

z

H
M
� M'
13
�
19. Viết phương trình đường vng góc chung  của 2 đường thẳng chéo nhau
1;  2

uuuu
r
M
�

;
N
�

�
MN
1
2
PP: Xét
theo tham số.
-

Giả sử MN là đường vng góc chung của 1 ;  2

r uu
r uu
r
u,u
,u
1
2 lần lượt là VTCP của ; 1 ;  2
- Gọi
uuuu
r uu

r
�
�
MN


MN.u
�
�
1
1 0
� �uuuu
r uu
r
�
MN   2 �
MN.u 2  0
�
uuuu
r
� giá trị tham số � tọa độ của M và MN � phương trình đường vng góc chung 
r uuuu
r
u
�
MN
qua M có


�x  1  t

�x  2  t '
�
�
1 : �y  2  t  2 �y  1  t '
�
� z 1
z  2  2t
�
�
Ví dụ: Cho


Chứng minh 1 và  2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng   là đường vng
góc chung của 1 và  2
Lời giải

r uu
r uu
r
u,u
,u
1
2 lần lượt là VTCP của ; 1 ;  2
- Gọi
uu
r
M
1;2;

2

u
 có VTCP 1  1;1; 2 
Ta có: 1 qua 1 
uu
r
 2 qua M 2  2;1;1 có VTCP u 2  1; 1;0 
uuuuuur
M1M 2  1; 1; 3
uu
r uu
r
uuur
�
�
u
;u
.M
M


2
�
AB0
� 1 2
Ta có �1 2 � 1 2
chéo nhau.
-

Giả sử MN là đoạn thẳng vng góc chung M �1 , N � 2

� M  1  t;2  t; 2  2t  ; N  2  t ';1  t ';1
uuuu
r
MN  1  t ' t; 1  t' t;3  2 t 
. Vì MN là đoạn vng góc chung nên:
uuuu
r uu
r
�
�
�MN  1
�MN.u1  0
� �uuuu
r uu
r
�
MN   2
MN.u
�
2 0
�
�
6t  6  0 �t  1
1  t ' t  1  t ' t  2  3  2t   0 �
�
��
��
��
2t
'


2

0
�t '  1
� 1  t ' t  1  t ' t  0  0
�
uuuu
r
� M  0;1;0 
MN  1;1;1
M  1;1;1

và

�x   t
r
�
u  1;1;1 PTTS  �y  1  t
�z  t
�

. Ta có

đi qua

III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU

có VTCP

1. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tâm và bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Cách 1: gọi

I  x; y;z 

là tọa độ mặt cầu:

IA  IB
�
�
�IB  IC
�
IC  ID ta tìm
Tính độ dài các véc tơ IA, IB, IC, ID theo x, y,z sử dụng điều kiện �
được x, y,z suy ra phương trình mặt cầu.
Cách 2: Viết py mặt phẳng trung trực của cạnh AB, AC, AD tìm giao điểm 3 mặt phẳng
suy ra tâm mặt cầu.
Đối với tam giác ABC; Để xác định tâm I của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ta có các
cách sau:

1. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác thì

�IA  IB  IC
�
I �mp  ABC 
�

2. Gọi     là mặt phẳng trung trực của AB, AC thì

phương trình trên ta tìm được tọa độ I.

P , Q

I �mp  ABC 
�
�
� I �mp  P 
� I �mp  Q 
�

giải hệ 3

Chú ý: Mặt phẳng trung trực cạnh AB là mặt phẳng đi qua trung điểm cạnh AB và nhận

uuur
AB làm véc tơ pháp tuyến.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có trọng tâm

�2 1 �
G � ; ;1�
�3 3 �và phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, AC lần lượt là
� x 1
�
� y  t1
�
z  2  2t1 và
�

�x  t2
�
�y0
�
z  1  t2
�

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


Lời giải

� 1  t2
�t  0
�
� �1
� A  1;0;2 
� t1  0
t

2
�
2
�
A  AB �AC từ hệ �2  2t1  1  t 2

B  1; t1;2  2t1  �AB; C  t 2 ;0;1  t 2  �AC
1  1  t2 2
�


�
3
3
�
�
0  t1  0 1
�
�t  1 �B  1;1;0 

� �1
��
�
t

0
C  0;0;1
3
3
2
�
�
�
�2  2  2t1    1  t 2 
1
�
3
Theo tính chất trọng tâm ta có: �

� AI2  BI 2
�

�
� � CI 2  BI 2
�uur uuur uuur
AI �
AB,AC �
�
� 0
� �
2
2
2
2
2
�
 x  2    y  3   z  1   x  1   y  2   z 2
�
2
2
2
2
2
�
2
� x  1   y  1   z  2    x  1   y  2   z
�
 x  2   8  y  3  5  z  1  0
�
�

�

� 14
�
�x  15
�6x  2y  2z  9
�
�
� 61
� �4x  2y  4z  1 � �y 
�x  8y  5z  17
� 30
�
� 1
�
�z  3
�
�
. Vậy

14 61 1 �
�
I� ; ; �
15 30 3 �
�

2. Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng  theo dây cung AB có độ dài
cho trước.
PP: Ta cần tính tốn bán kính R.
Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng  là IH.

2

�AB �
R  IH  � �
�2 � từ đó viết phương trình mặt cầu
Ta có
2

Chú ý: Trong một số bài tập thay vì cho độ dài dây cung AB giả thiết bài tốn là tam giác
ABC vng cân hoặc đều khi đó học sinh cần dựa vào hệ thức lượng trong tam giác để
tính R (tam giác IAB ln cân tại I)

S : x  1
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho   

2

  y  2    z  3  25
2

2

và

M  2; 4;1

. Trong tất cả các đường thẳng d qua M cắt mặt cầu theo dây cung AB. Viết
phương trình tham số của đường thẳng cắt trục Ox và thỏa mãn độ dài AB nhỏ nhất.
Lời giải:
Mặt cầu

 S

có tâm

I  1; 2;3

Có M nằm trong mặt cầu

và bán kính R  5

 S

Gọi H là hình chiếu vng góc của I xuống
Lúc đó
Ox.
Có

IH �IM � ABmin �  d   IM

 d .

. Gọi

N  t;0;0  �Ox

là giao điểm của d và

uuuu
r

MN   t  2;4; 1

uuu
r uuuu
r
IM   d  � IM.MN  0
Do
uuuu
r
uuu
r
MN   t  2;4; 1 ,IM   2; 2; 2  � t  8 � N  8;0;0 
Với

Vậy đường thẳng d cần tìm đi qua M, N và nhận

uuuu
r
MN  6;4; 1

� x  2  6t
 d : �
�y  4  4t, t �R
� z 1 t
�
nên có phương trình tham số
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng

làm véc tơ chỉ phương