Các dạng phương trình mặt phẳng trong không gian

Trng THPT Chu Vn An- Vn Yờn _ Yờn Bỏi GV: Bựi Th Nhung
Hi
PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN
Ch : PHNG TRèNH MT PHNG
I- Mt s kin thc cn lu ý:
1.Vộct
0n
r r
nm trờn ng thng vuụng gúc vi mp(

) c gi l vộc t phỏp tuyn ca
mp(

).
2. Nu 2 vộct
,u v
r r
l 2 vộc t khụng cựng phng v cú giỏ song song hoc nm trờn mp(

)
thỡ vộct
,n u v

=

r r r
l mt vộct phỏp tuyn ca mt phng (

).
3. Phng trỡnh Ax+By+Cz+D=0 vi
2 2 2

0A B C+ +
gi l phng trỡnh tng quỏt ca mt
phng (

). Khi ú mp(

) cú mt vộct phỏp tuyn l
( ; ; )n A B C
r
.
4. Mp(

) i qua im M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) v cú vộct phỏp tuyn
( ; ; )n A B C
r
thỡ mp(

) cú phng
trỡnh l A(x-x
0
)+B(y-y
0

)+C(z-z
0
)=0.
(Chú ý: Có toạ độ 1 điểm thuộc mp và VTPT của mp => viết đợc PT tổng quát của mp).
5. Nu (

) i qua 3 im A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)vi
0abc
thỡ phng trỡnh mt phng
(ABC) l
1
x y z
a b c
+ + =
(1). PT(1) c gi l PT mt phng theo on chn.
6. Cỏc mp(Oxy); (Oyz); (Oxz) cú phng trỡnh ln lt l z=0; x=0; y=0
7. Hỡnh chiu ca im M(a;b;c) trờn cỏc trc to Ox; Oy; Oz ln lt l M
x
(a;0;0); M
y
(0;b;0);
M
z
(0;0;c). Hỡnh chiu ca M trờn cỏc mt phng to (Oxy); (Oyz); (Oxz) ln lt l M
1
(a;b;0);
M
2
(0;b;c); M
3

(a;0;c).
8. im i xng vi im M(a;b;c) qua cỏc mt phng to (Oxy); (Oyz); (Oxz) ln lt l
'
1
( ; ; )M a b c

;
'
2
( ; ; )M a b c
;
'
3
( ; ; )M a b c

II- Mt s dng toỏn thng gp:
Dng 1: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua 3 im khụng thng hng A, B, C.
B1: Tìm toạ độ
AB,AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB,AC

=

r uuur uuur
B3: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và nhận

n
r
làm VTPT.
Dng 2: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im M
0
cho trc v song song vi mp(

) cho trc (
0
( )M


).
B1: Tìm VTPT
n
r
của mp
( )
B2: Mp
( )
cần tìm đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 3:Vit phng trỡnh mp trung trc ca on thng AB.

B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mp cần tìm đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Dng 4: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im M
0
cho trc v vuụng gúc vi ng thng d cho
trc.
B1: Tìm VTCP
u
r
của d.
B2: Viết PT mp
( )
đia qua điểm M
0
và nhận
u
r
làm VTPT.
Dng 5: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im M
0
v song song vi hai ng thng phõn bit d
1
;
d
2
cho trc. (d
1
v d
2
khụng song song)
B1: Tìm các VTCP
1 2
u ,u
uur uur
của d
1
và d
2
.
B2: Tìm
1 2
n u ,u

=

r uur uur
B3: Viết PT mp(
)

đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 6: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im A v cha ng thng d cho trc. (
0
M d
)
B1: Tìm toạ độ điểm M
0


d và VTCP
u
r
của d.
Trng THPT Chu Vn An- Vn Yờn _ Yờn Bỏi GV: Bựi Th Nhung
Hi
B2: Tìm
0
n AM ,u

=

r uuuuur r

B3: Viết PT mp(

) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 7: Vit phng trỡnh mp
( )

cha ng thng d
1
v song song vi ng thng d
2
cho
trc. (d
1
v d
2
khụng song song)
B1: Tìm toạ độ điểm M
1
1
d
và VTCP
1 2
u ,u
uur uur
của d
1
và d

2
.
B2; Tìm
1 2
n u ,u

=

r uur uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M
1
và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 8: Vit phng trỡnh mp
( )

cha 2 ng thng ct nhau d
1
v d
2
.
B1: Tìm toạ độ điểm M
1


d

1
(hoặc điểm M
2


d
2
) và các VTCP
1 2
u ,u
uur uur
của d
1
và d
2
.
B2: Tìm
1 2
n u ,u

=

r uur uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M
1
(hoặc M
2
) và nhận

n
r
làm VTPT.
Dng 9: Vit phng trỡnh mp
( )

cha 2 ng thng song song d
1
v d
2
.
B1: Tìm toạ độ điểm M
1


d
1
và điểm M
2


d
2
và các VTCP
u
r
của d
1
.
B2: Tìm

1 2
n u,M M

=

r r uuuuuur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M
1
(hoặc M
2
) và nhận
n
r
làm VTPT
Dng 10: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua 2 im A, B v vuụng gúc vi mp(

) cho trc. (AB
khụng vuụng gúc vi
( )

).
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và VTPT

n

uur
của mp

.
B2: Tìm
n AB,n


=

r uuur uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 11: Vit phng trỡnh mp
( )

cha ng thng d v vuụng gúc vi mp
( )

cho trc.
(ng thng d khụng vuụng gúc vi
( )

)

B1: Tìm toạ độ điểm M

d , VTCP
u
r
của d và VTPT
n

uur
của (

).
B2:
n u,n


=

r r uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M và nhận
n
r
làm VTPT.
Dng 12: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im M
0

v vuụng gúc vi 2 mp (P) v (Q) cho trc.
(Hai mp (P) v (Q) khụng song song).
B1: Tìm các VTPT
1 2
n ,n
uur uur
của (P) và (Q)
B2: Tìm
1 2
n n ,n

=

r uur uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT
Dng 13: Vit phng trỡnh mp
( )

i qua im M
0
, song song vi ng thng d v vuụng gúc vi
mp(

) cho trc.(ng thng d khụng song song vi mp(

)).
B1: Tìm toạ độ VTCP
u
r
của d và VTPT
n

uur
của mp

.
B2: Tìm
n u,n


=

r r uur
B3: Viết PT mp (

) đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT
Dạng 14: Viết PT mp
( )

tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại điểm H
B1: Tìm toạ độ
IH
uur
B2: Viết PT mp(

) đi qua điểm H và nhận
IH
uur
làm VTPT.
Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải
III- Bài tập:
Bài 1: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4); B(-1;-3;5).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8).
a) Viết PT mặt phẳng (ABC).
b) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mp(Oxy).
b) Đi qua điểm M(2;-4;3) và vuông góc với trục Ox.
c) Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0
Bài 4: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M(1;2;-3) trên các trục toạ độ.
Bài 5: Viết phương trình của mp(P) chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình:
x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A((1;0;-2); B(-1;-1;3) và mp(P): 2x-y+2z+1=0. Viết phương
trình mp(Q) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp(P).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0); B(-3;0;2); C(1;2;3); D(0;3;-2). Viết phương trình
mặt phẳng chứa AD và song song với BC.
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

2
1
2
x t
y t
z t
= +


= −


=

và điểm A(1;-2;2). Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Bài 9: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 2 4 0x y z
α
− + − =
và
( '): 3 1 0x y z
α
+ − − =
. Viết
phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;1) và chứa đường thẳng d.
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A(-1;3;-2)
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng
1
2 2

: 1
1
x t
d y t
z
= +


= − +


=

và
2
1
: 1
3
x
d y t
z t
=


= +


= −

. Viết phương trình

mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng:
( )
α
: x-2y+z-4=0 ;
( ')
α
: x+2y-2z+4=0.
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng
( ),( ')
α α
cắt nhau theo một giao tuyến d
1
.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và song song với đường thẳng d
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +



= +


= +

Bài 13: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-
2=0 và x+2y-4=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mp(Q): 2x-y+2z-3=0.
Bài 14: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng
( ) : 2 1 0x y
α
− − =
và
( '): 1 0z
α
− =
.
a) Chứng tỏ 2 mặt phẳng
( );( ')
α α
cắt nhau theo một giao tuyến d.
b) Viết phương trình mp(P) chứa d và cách điểm I(-1;2;3) một khoảng bằng 3.


BÀI ĐỌC THÊM : CHÙM MẶT PHẲNG
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng
( );( )
α β
cắt nhau theo giao tuyến d:

Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải
(
α
): Ax+By+Cz+D=0
(
β
): A’x+B’y+C’z+D’=0
Tập hợp các mặt phẳng (
γ
) chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi
( )
α
và
( )β
và kí hiệu là
(( ),( ))α β
. Người ta chứng minh được phương trình của chùm
(( ),( ))α β
có dạng:
m(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với
2 2
m n 0+ ≠
.
Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng ta giải được rất
nhiều bài toán về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì ngắn gọn.