èấ ặ
è
ấổặ á
ầ
ẻ
ầè ầ
ẫ ặ ặ
èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ
ặ ặ èốặ ậợ èầ ặ
ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ
èấ ặ
è
ấổặ á
ầ
ẻ
ầè ầ
ẫ ặ ặ
èấ ặ ậ ẩ ặ
èấỹ
ỹặ
ờ ộặ
ặ ẻ
è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ
íũề ề ề
ậ ỉ íụỉ ì
ì
ẳẵẳ
ẩ
ề
ữề ẵ
ẩ ậ èậ ẩ ẹ è ụề ậ ề
èệ
ẩ
ề
ữề ắ
ề
ề
ữề
ỉ
èậ ề èể ề
ẻ ữề èể ề
ẩ
èậ ũ
èệ
ề
ạ ẻ ữề ề é ẹ ể
è ể ề
ẩ
ũề
ỡặ ỹặ ạ ặ ắẳẵ
ề ề
ữ ẻ ữỉ ặ ẹ
ẹ ể ề
ề ề ề í
ể ề ỉ ề ỉ èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
èậ ũ
ề èệứề èậ ề èệề è ĩ ề
ẹ ể ề í é
ề ỉệứề ề ũề
ỉ
ụỉ ế ỉệểề ề ề é ỉệề ỉ
á
ề ỉ
ểễ ễì
ề
ỉ ề
ề
ỉệ
è è ễ ỉ ử
èậ ũ
ề
ề èệứề
ề
è
è
ứề
ẹ ề
ề ề ề í
ể ề ỉ ề ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ ề ũề
ỉ ể èể ềá
èệ ề
ẫí ặ ề
ì
ề
ề
è ụề ìỳ ũ
ề èệứề è ụề ìỳ ề
èệề èệ
ỉ ũềá ỉ ĩ ề í ỉ é ề
ụỉ ề ì ì
ụề è ụề ìỳ ũ
ề èệứề
è í
ỷ ể ỉ ề ỉứề
ề
ềỉ ỉ ề ề
é ẹ ề ũề
è í ỉ ể
ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ ễ ề ũề
ẹ á ỉ ề ỉ ữề ề ề
ề ệ ỉ ề ũẹ
ỉ
è í é ề ề ũềá
ễ
ửỉ ỉ ề
ỉ ụề
ỉệểề ề ũề
ể
ỉ ễá é ẹ ữ
ỉ í é
ú ẹ í ẹ ề
ề ễ
ỉ
è ĩề íỉ é ề
ụỉ ề ì ì
ụề è ụề ìỳ ề èệề è í é ề ề ũềá
ự
éữá
ễ
ỉ ể ì ỉ ế ỉệứề ề ũề
ỉ
ỉ í
ề
ỉệểề
ề
á ề ề ỉ í ề ỉ
ề ĩíũề ỉệ ể
ể
ỉ
ỉ ể ể ỉ í ỉ
ễ ỉ ỉệ ề ỉ ề ệ ỉ ề ú
ú ể
é ề
ì ề
è ĩ ề
ẹ ề è ụề ìỳ ề èể ề
ẹ ề ề ứ ề
ự
ú
ề ú é ũề ế ề ụề ề é
ử ừề
ề
ề
ỉ ể é ề ệ ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề
è ĩề
é
ẹ ề
ề ỉ ề
ụề
ề
ẹ ữ èệ ề
ẫí ặ ềá
ẩ ề
ểỉ ểì
ỉ ể ú ữề ỉ ỉ ề ỉ ử ỉ
ỉ ễ ỉ ỉệ ề
ữỉá
ỉ ĩề
é
ẹ ề ụề
ề
ề ữẹ ể èể ề
ề
ỉ í
ểá
ể ỉệểề
ể
ỉ ể ệ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ ễ ỉ ề ỉ ữềá
ẹ ệ ỉ
íũề ề ữễ ú
ề í
ễỉ
ề é
ử ễ ỉ ỉệ ửề ề ỉ ề
è ĩề
é
ẹ ề ụề
ề
ẹ ữ èệ ề
ể ề ậ ễ ẹ è íá ẩ ề
è
ề
ỉ ể ú ữề ỉ ỉ ề ỉ
ể ỉ
è
ề ĩ ề
é
ẹ ề ụề
ề
ề ữẹ ể è ề ũề
ề
ề ề ữễ
é ề ề
á ề ũềá
ì
ề ữ
ử ỉ
ỉ
ề ỉ ễ ỉệề ề ũề
ỉ èệ ề
ẫí
ặ ề
è ĩ ề
ẹ ề
ề ề ũề
ì ề ỉ èệ ề
ũềá
ì
ễ
ỉ ỉệểề ế ỉệứề
ỉ ễ ề
è
ẫí ặ
ũề
ề
é ề
ề
ĩề
é
ụỉ ề ụề
ứề
ũề ề ề ể ặ ề ề
ỉ ề
é ề ề
á ề ũề ỉ é
ỉ ề ỉ ề ề
ử ỉ íũề ỉ ẹ
ỉ ễ ề ũề
ĩ ề
ữỉá ỉ ĩ ề
é
ụỉ ề ì ì
ụề ề
ẹủ ỉ ề íũ
ẹứề
ẹ ề ì í ì ề
ể
ề ề ỉứề íũ
ề
ẹủ ề
ể
ểề èứề ỉ
ề
ể é
ẹủ é ề
ẹ ỉệ ỉ ẹ
ểề
Ù
Ò ¸ Ø Ü Ò Ò ØøÒ
Ñ
Ñ Ò Ò Ú
ÓÒ
ôÒ òÒ
øÒ ÝòÒ
Ѻ
÷Ø ôÒ
Ò Ú
ÓÒ Ø
Ѹ
Ô ¸ Ò Ú òÒ Ñº
Ò ÝòÙ
ÑøÒ º
øÒ ÐÙ Ò Ð Ò
é
ề ẹ
ữ
ẵ
ẵ ỉ ì ụỉ ế
ề
ẵẵ
ậ ễ
ẵắ
ề
ỉể ề ỉ
ẵắẵ
ẵắắ
ẵ
ữẹ
ẵ
ỉì
ỉể ề ỉ
é
ỉể ề ỉ
é
ử
ỉ
ề é
ừề
ề
ể
ỉ
ẵ
ẵ
ẵ
ỉể ề ẹ ẹ ề
ắ
ề
ể
ỉ
ắ
ẵắ
ỉể ề ẹ ẹ ề
ắ
ẵ
èựề ĩ
ì ỉ
ề
ể
ề
ử
ỉ
ề é
ẵắ
ệỉ ề
ừề
ệỉ
ụề
ỉể ề ỉ
ứề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ắ
ỉ
ắ
ẹ ỉệ ề ỉ ề ề
ỉ
ề
ề ẹ ỉệ ề
ắ ậ ễ ề
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ắẵ
ề ẹ ỉệ ề
ề é
ắắ
í
ể
ắ
ẹ ỉ
ệỉ ẹ ỉ ì
ẵ
ề é
ỉ
ẵẵ
ẵ
ẵ
ề
ẵắ
ề é
ậể ì ề
ề
ề ìỉệÔểẹạ
ỉ
í
ẹ ỉệ ề
ề
¿
Ò Ð
öÙ õÒ
Ò
Ó
Ø
Ñ ØÖ Ò
¿º½
Ò Ñ ØÖ Ò
Ò Ð ÈÙØ Ò Ö¹Î × Ð ×
Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿º¾
Ò Ñ ØÖ Ò
Ò Ð
¿º¿
Ò Ñ ØÖ Ò
Ò Ð À Ò ÐÑ Ò
Ò×ÓÒ¹ÈÓÚ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¼
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿
¿º¿º½
Ò Ñ ØÖ Ò
Ò Ð À Ò ÐÑ Ò ØÖòÒ n¹
¿º¿º¾
Ò Ñ ØÖ Ò
Ò Ð À Ò ÐÑ Ò ØÖòÒ
¿º¿º¿
Ò øÒ
Å Ø Ø Ù Ø ØÓ Ò ØøÑ öÙ õÒ
Ò
Ó
Ø
Ñ ØÖ Ò
Ò
ØÖòÒ Ñ Ø
÷Ò Ð
ÓÑÔ
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò Ñ
Ò ØÖøÒ
Ø
Ó
¿
÷Ò Ð ¸
ÓÑÔ
Ø
ÃèÌ ÄÍ Æ
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ
º º º º º º º
Ð òÒ ÕÙ Ò ôÒ ÄÙ Ò Ò
½
Ò Ñ
R
R+
C
N
K
Rn
Cn
Mt (R)
Mt (C)
St (R)
X
Xα
C[z]
R[X]
R(X)
Mt (R[X])
St (R[X])
AT
A 0
A≻0
||A||
A2
ÌÖ
Ò
× Ø
Ì Ô
Ô
× Ø
ÌÖ
÷Ù
Ò
× Ô
Ò
Ñ
Ì Ô
× Ø Ò òÒ
R
Ã
Ã
Î
Î
Î
Ó
C
Ò
ÒØ
n
óÙ
Ò
ÒÔ
n
óÙ
Ò
Ñ ØÖ Ò ÚÙ Ò
Ô t Ú
Ô Ò Ø ØÖòÒ R
Ò
Ñ ØÖ Ò ÚÙ Ò
Ô t Ú
Ô Ò Ø ØÖòÒ C
Ò
Ñ ØÖ Ò
n
ôÒ (X1 , ..., Xn )
X1α1 ...Xnαn , α
Ü Ò
Ô t ØÖÓÒ Mt (R)
= (α1 , ..., αn ) ∈ Nn
Î Ò
Ø
Ñ Ø ôÒ z Ú
÷× Ô
Î Ò
Ø
n ôÒ X = (X1 , ..., Xn ) Ú
÷× Ø
ÌÖ Ò
Ø
Ò
Ú Ò
Ø
R[X]
Î Ò
Ñ ØÖ Ò
Ô t Ú
Ô Ò Ø ØÖòÒ R[X]
Î Ò
Ñ ØÖ Ò
Ü Ò
Ô t ØÖÓÒ Mt (R[X])
Å ØÖ Ò
ÙÝöÒ Ú
Ñ ØÖ Ò A ∈ Mt (R[X])
Å ØÖ Ò A Ò Ü
Ò
Ò
Å ØÖ Ò A Ü
Ò
Ò
Ù Ò ØÓ Ò Ø
Ñ ØÖ Ò A
Ì Ô Ô Ø Ø
Ø Ò øÒ Ô
Ò
Ù Ò
Ô Ò Ø ØÖÓÒ Ñ Ø Ú Ò
Ó Ó ÒA
ỉ
n
ữ K[X] := K[X1 , ã ã ã , Xn ] é ề
K
ữ Mt (K), Mt (K[X]) éề é ỉ é ề
ẹ ỉệ
ỉệểề K K[X] ẹ ỉệ ề A Mt (K[X])
é
ỉ
ẹ ỉệ ềá
ứ ề
ỉ ử ử ừề
ề ẹ
ữ ì ỉệũề Mt (K) ề ì
ụề X1 , ã ã ã , Xn
ữ ì ỉệểề
ề ề
ễ t
ễ ề ỉ
ẹ ỉ ẹ ỉệ ề
ỉ
ể
ẹ ỉ
ỉ
ỉ
n ề X1 , ã ã ã , Xn
d
A X ,
A=
||=0
ỉệểề
á = (1 , ã ã ã , n ) Nn á || := 1 + ã ã ã + n á X := X11 ã ã ã Xnn á A Mt (K)á
dé
ể ề ỉ
ề ỉ
ỉệểề A ể á ử ỉ ề ề ỉ
ỉệểề ỉể ề
ề ềá ẹ ẹ ỉệ ề ỉệểề Mt (K[X])
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ
ễ
ểề
ữỉ ề
ẵ
ề ề ũề
ựề
ề ề é
ỉ
ẹ ỉệ ềá
ẹ ỉệ ề
ì
ụềá
ề ỉ ế ề ỉ ẹ ụề
ỉể ề
ề ể á ử ỉ ề ỉ ữề
á
ề ỉ ỉ
ỉệứề
í
ỉể ề é ũề ế ề ỉệểề
ễ ề ệ ũề
ì
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề
èệểề ễ ề ề í
ề ỉ
ụềá ỉ
é ĩ ỉ
ỉ
ỉệứề
í ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề
ẹ ỉệ ề
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ
P (z) = Ad z d + ã ã ã + A1 z + A0 ,
ỉệểề
áz é
ụề ì Ai Mt (C), i = 0, ..., d
ẹ ệ ề ỉ ề ũề
ỉ
ỉệ ề It A
It é ẹ ỉệ ề ề ỉệểề Mt (C)
é ẹ ỉ
ặụ Ad = 0á ỉ ứ P (z)
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹểề
ặụ ỉ ề ỉ ẹ ỉ
ỉ
é ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
P (z)á
ỉệ ệ ũề
ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề é ì
ẹ ỉ ẹ ỉệ ề A Mt (C)á ỉệểề
ẹ ỉệ ề
d
Ad = It á P (z)
ề x Ct C ì ể
ể P ()x = 0á ỉ ứ
x
é ẹ ỉ
ỉ ệ ũề
P (z) ỉ
ặ íá ẹ
ỉệ ệ ũề
P (z) é ẹ ỉ ề
ữ
è ễ ễ
ỉệ ệ ũề
P (z)
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z)
ẵ
ữẹ
ỉ
(P (z))
ề
ề
ỉệ ề
ỉ(P (z))
é ễ
ỉ ũẹ ệ ề ỉệểề
A Mt (C)á ỉ ứ ẹ
ỉệ
ỉệ ề A ể
ỉ ửề
ỉệ ệ ũề
ẹ ỉ ẹ ỉệ
ỉệ ề
ễ P (z) = zIt Aá
ỉ
ỉệ ề
ẹ ỉệ ề
ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z) é ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
ẹ
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề é ẹ ỉ
ề ữẹ ẹ ệ ề
ề
ỉể ề
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẩểéíềểẹ é
ề é ẩệể é ẹ ạ ẩ ẩà é ỉứẹ ẹ ỉ
t
ề x C ì ể
ể P ()x = 0 èệểề ỉệ ề
ễd=1
ỉệ ệ ũề ẹ ỉ
ỉ
ề ỉ
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ỉ ề ế ỉ
Ax = Bx.
ềề
á ềụ A1 = It ỉ ứ
ỉể ề
ề ỉ
ỉệ ệ ũề
ề
Ax = x.
ỉể ề
ỉệ ệ ũề
ễ d = 2
ẫ
ệ ỉ
ề é ẩệể é ẹ ạ ẫ ẩà ỉ
ề
ề
ỉệ
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề
ề ú ề
ề ỉệểề
éỳề
ề ễ
ề ỉệứề
ễ ềá é ỉ íụỉ ữ ỉ ề á
ỉ ỉ ẽ ề ệạểễ á
é ỉ íụỉ ệề á
ỉự
ì á
ỉẹ ế ề ỉệ ề
ỉ
ẹ ỉệ ề é
ệ ệ ề ề ề
ỉ é ữ ú
ì ỉíụề ỉựề é ỉ íụỉ ẹ ỉệ ề ú
ễ ú ề
ề ề ú
ề ỉệứề
ỉ ũề
ụỉ í
ề ỉ ú
ỉ
ẹ ỉệ ề é
ệ ị ệá ề
ề
ểéé ệ ẵ ề ẹ ẵ
ề
ìỉ ệ ắ ề ẹ ẵ
ú ễ ỉ ỉệ ửề é ỉ íụỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ề ế é
ỉ íụỉ
ữ ệề
ề ỉ
ỉ ử ễ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ề ũề
ữ ễ
ề ỉệứề
ễ ề
é ề ề ẵà
ữì
ề áỉ
é ữ
ề
d
Ai
i=0
i
d
dt
u(t) = 0.
ẻ ữ
ỉứẹ ề ữẹ
ể ữ ề u(t) = x0 e0 t á x0 , 0
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ạ
ỉ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
é ễ
tá ỉệ
ỉ ụễ
ề ụề
ũề
ề
á
ỉể ề
ỉệ ệ ũề ẫ ẩ
ề ú ề
ề ể ể
ỉ ỉ
ỉ ỉ ề ế ề ú ề ề ề
ề
ẫ ẩ
ỉệứề
í ỉệểề
ề ì
ể
ệ á
ề
ìỉ ệ ấể ẹ ề ẵ á ẹ ệé ề á ềệể è ìì ệ ẵ
ề ậ
ệ ề ề ỉ ỉ ỉể ề ử
ỉể ề ẫ ẩ
ỉể ề ẩ ẩá
ề ũề
ú
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ụỉ é ễ ỉ ể
ề
ữ ì
ỉ
ẹ ỉệ ề
ể
ề
ề ề
ề ỉệứề
ẹ è ìì ệ ắắ èí ề ũềá
ắ
ữ
ỉựề
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ẹ
ự ỉựề
ỉệ ệ ũề
ẹ ỉệ ề
ề ỉứẹ ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụềà é ẹ ỉ
ỉể ề
ẹ ỉễ
ề
ễ ễ é ễ ử ỉựề
ỉệ ệ ũề ề í
ệ
ậ ẹểề
ề ẩ ệểỉỉ ắ ề ề á
ữ
ỉựề
ễ
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉệểề ắẵ
ề
ễ ỉ ề ỉ ề ú ễ á ỉ
é á
ỷệ
ề
ỉ ử ửĩ
ề
ề ẹ ỉ ẹ úề
ẹ ỉ ễ ề ễ
ỉệ
ệ ũề
ẻứ ỉ ụ ữ
ỉứẹ
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề ẹ ỉ ụề é ẹ ỉ ữ
é ẹệ ỉ
ề ỳ
ỉể ề ỉ ũề ẹ
ề ỉ ỉ ễ ỉệề ề ũề
ỉệểề ề ề ề ì
ể P (z) = Ad z d + ã ã ã + A1 z + A0 é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỷệ
ì m
ỉ ỉ ì ể
ể
m || M, (P (z)),
ỉể ề ẵ
M
ỉ
é
ỷệ
ề
ỉ ỉ
ể
ỉệ ệ ũề
P (z)
èệểề ỉệ ề
ễ t = 1á ỉ
é ỉệ ề
ễ
ỉ
ẹ ỉ ụề
ữ ì ễ
á
ỉể ề ề í
ề ũề
ề ú ề ỉể ề
á
ỉ ử ử ệ
í
ụỉ ế
í ẵá á ề ìỉệÔ
ểẹ í ẵá á ểí éá
éé ấ ẹ ề ắ á
ỉỉ
ể é á
1
ẹ ỉ
ỉệ ệ ũề
z
ỉệ ệ ũề
P (z) ể á ỉệểề
ề ẳá ềụ A0 é ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ìí ụề ỉ ứ ẳ é ẹ ỉ
ề ề ề í
ề ỉ é ề ĩ ỉ ề ề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ữ ì Ad A0
ề ìí
ụềá ử ỉ
ỉứẹ ẹ ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ử
ệ ề ềụ Ad é ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ìí
ụềá ỉ ứ
ỉ
zdP
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề P (z)
èệểề ỉệ ề
ễ t > 1á ữ
ỉứẹ
ề
ể
ỉ ể
ề ỉể ề ỉ à
ẹ ỉệ ề ữ ì
ỉ
ữề ỉệứề
í ỉệểề
ể
ẹ è ìì ệ ắắ
ự
ựề ỉ ũề
ề ỉ ỉệểề ề ề é
ếíụỉ
ỉể ề ẵá
ệ
ềẹ
ỉ ỉ
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ềá ỉ
ìể ì ề
ề
ệ
ẹ è ìì ệ
ắ
ỉ
ẹ ỉệ ề ề ú ụề
èệểề ễ ề ề í
ề ỉ ỉệứề
í ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ì
ụề é ề ề ẵ èệ
ỉ ũềá ĩ ỉ ỉệ ề
ễ t = 1á ỉ
é ĩ ỉ
ỉ
ì
ụề é ề
ề ẹ ỉ
ể f R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } R[X]
n
R[X]2 =
i=1
fi2 |fi R[X], n N ,
ữ
ễ
ỉ ề
ỉ ễ
ứề ễ
ề
ỉ
ỉệểề R[X]
KG = {x Rn |g1(x) 0, ..., gm(x) 0},
ỉ ễề
ì
ề
ề ỉệểề Rn ĩ
ề
G
m
MG = {t0 +
ẹ ề
ề
ề
ỉ ề
ề
i=1
ỉ ỉệũề R[X]
TG = {
ỉ úề ỉ
ti gi |ti
G
=(1 ,...,m ){0,1}m
ỉ ỉệũề R[X]
MG TG á
R[X]2 , i = 0, ..., m},
m
t g11 ...gm
|t
G
G = ỉ
K = Rn , M = T =
ừ ỉ í ềụ f TG í MG ) ỉ ứ f 0 ỉệũề KG ể
é
ú ề
é
ú ề í
ề
ề è
é á
f 0 ỉệũề KG = f TG
ặụ
ỉệ é é
ề á
ề
í ề é
ử ừề
ề
ềá ắàá
ỉ
ì
ề
é ề ề
ề ỉ ỉ ề
ề à
èệểề ỉệ
ề
ễ
ề
áẹ ỉ
ỉ ề ũề
ỉệ
í MG )?
ữỉá G = á ỉ
ể
ề í
ỉệ ề
ễ
ỉ ẩ ệìề ẹ
ì
á
ỉể ề
R[X]
ữ
k
2
R(X) =
i=1
R[X]2 ?
ệ
é ệỉ ẵ àá
ỷ ệ ệ ề
ỉệũề
ỷ
èể ề
ữỉ
ì
ụề
f ậ á ỉ
ẵ ẳẳá é ệỉ
ệ ẹ ỉ ề ì
ẹ ắ
ỉể ề
ỉ ẵ ỉệểề
ề ì
ề í
ễ ỉ ử ề ì
ỉể ề ỉ ẵ
é ệỉ
ỉ
R[X]2 .
ỉ
ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịàá
ẹ ặ
ỉề ỉ ìỉ éé ềì ỉịà èệểề ẹ ỉ ì ỉ é ữ
ề
ỉ ỉ ề
ề é ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ể á ỉệểề ỉể ề
ề ỉ
ề ỉ ỉ ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ề é
ử ừề
f 0 ỉệũề Rn = f
ỉệ é
ề ỉệểề
ỉ ụ
ỉ
ỉ ụ
á ỉệểề
R[X]2 },
fi
gi
ể f R[X]
ữ R(X) é ỉệ
ề
ỉ
2
|k N, fi , gi R[X], gi = 0, i = 1, ã ã ã , k .
ề
ặụ f 0 ỉệũề Rn á
ìí ệ
í
ề f
R(X)2
ỉ
ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề ữ
ử ừề ỉ ề ỉ ề ứề ễ
ề
ỉ
á ễ
à
ỉể ề ỉ ẵ
é ệỉ
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵắẵ
ỉ
ẻ ữ
ề ũề
ề é
ử
ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề
ừề
ỉ ử
ề
ềá
ề ỉệ ế ề ỉệ ề ỉệểề
ỉể ề
ỉể ề ỉ
ỉ
é
ỉể ề ỉứẹ
ẳẵà
f = inf f (x),
xKG
f R[X]á G KG ĩ
ề ề
ỉệũề
é
ỉể ề ỉ
ỉ
ỉể ề ỉ
ỉ
ề ề
ì ỉ
á ếí ể
ỉ ũề ễ ề ẹ ỉ
ỉ ỉỉ
ặ ìỉ ệể
ỷệ
ỉệểề ỉệ ề
ễ
ễ ề ỉ
ỉ ề ỉ ề
ứề ễ
ề
ìì ệệ ắ é ề
ỉ ũề
ử ỉ ụỉ é ễ ẹ ỉ í
ề é
ỉ
ậ í
ề ỉ ẹ ề
ỉệểề ữ
ếíụỉ
ỉể ề ỉ
ử ỉ
ề
ỉệũề èệểề ỉệ ề
ề ệ ề
ễ G = , KG = Rn á
ỉể ề
ề ú ề ề ũề
ế ề ỉ ẹ ỉ
éỳề
ề ĩ
ề é ỉ íụỉ ỉể ề ỉ ậ ểệ ẵ é ề
é
ử
ỉ ử ẹ ỉ
ỉ
ề ú ụề
ề ệ ề
ỉựề
ề ề ẹ ẹ ề
ệ ề
ề ĩ
ề
ề ề ỉ ề ề é
ỉ
ề ẹ
ỉ ử ụỉ
ỉ
èệểề ề é
ẹ ỉ
ỉ
ề ú ụềá
ễ ề
ụỉ ế
ì ỉ
ề í
ẩỉ ề ệ
ề
ỉ ụề
ỉệ ỉ
ẹ ỉ
ỉể ề ỉ
ệ
ề ú ề
ề
ề é
ử ừề
ề
ỉ
ĩ ẹá
ề
ềá ắ à
ẳẵà
ỉ ử ụỉ é
ề
f = inf f (x) = sup{| f (x), x KG }
xKG
= sup{|f (x) 0, x KG }
= sup{|f (x) > 0, x KG }.
ặ ỉ ụá ữ
ỉứẹ f
íửề ì ề ỉứẹ ìễệ ẹẹ
ì ì ể
ể f
ề
ẹ ể
ề à ỉệũề KG ử
ếíụỉ
ỉể ề
ề íá ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ỉ ề é
ỉ í ỉ ụ ú ữề
ề ẹ
ẹ ỉ ú ữề ề ể
ề
ề ềá ỉệểề
ỉ ề ứề ễ
ề á ử
ỉ ử ỉ ụễ
ề ề
ì
ề ẫí ể
ề ĩ
ề ậ ẩà
ẻ
ỉ ề
á ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ử ề é ề
ú ữề f 0 ỉệũề KG é ĩ ỉ
ề
ử ừề f
m
f = t0 +
ỉệểề
ti
R[X] è
é á ề
2
é ề
ú
ti gi ,
i=1
ữề f 0 ỉệũề KG ỉ
ề
f MG
óÙ Ò Ý
Ò ôÒ Ú ÷
Ü Ø
ØÓ Ò
´¼º¾µ
f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }.
Ê Ö Ò ¸ ÒôÙ f − λ ∈ MG Ø ø f − λ ≥ 0 ØÖòÒ KG º Ó
f sos,G ≤ f ∗ º À Ò Ò
Ñ Ø Ò Ð
öÙ õÒ
Ò
Ó
Ø
f − λ ØÖòÒ KG Ø ø f sos,G = f ∗ º
¸ ÒôÙ Ø
Ò
Ò ôÒ Ñ Ø ÉÙÝ Ó
Ò Ü
Ò ¸
Úø
Ò
ÌÙÝ Ò òÒ Ú ÷
ØøÑ f sos,G
öÙ õÒ
f − λº ö Ò Ò
Ñ Ø
Ø
Ò
Ò
Ø
ti ØÖÓÒ
ÉÙÝ Ó
Ò Ü
Ò ¸
Ò Ø Ü Ø
× Ò ÙÝòÒ k Ú
2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}.
Ø
ØÓ Ò
m
fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 +
fksos,G
Ã
i=1
ti gi , ti ∈
ØùÒ ÕÙ Ñ Ø ÉÙÝ Ó
Ò
´¼º¿µ
R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k}.
Ü
Ò ºÀ ÒÒ
¸
sos,G
≤ f sos,G ≤ f ∗
fksos,G ≤ fk+1
Ú
lim fksos,G = f sos,G º
k→∞
Ì ôÔ Ø Ó
Ò Ø
ÕÙÝôØ
ØÓ Ò Ñ Ñ Òº
Ø ÷Ù Ú ØÖ
Ò Ð
öÙ õÒ
Ò ØÖÓÒ Ú ÷
Ò Ø Ò Ø
ØÓ Ò Ñ Ñ Ò
Ô Ø öÙ Ò × Ùº
n
Ó K Ð Ñ Ø Ø Ô
ÓÒ Ò ØÖÓÒ R º Ó L : R[X1 , ..., Xn ] →
R Ð Ñ Ø Ô ôÑ Ñ ØÙÝôÒ ØùÒ º À Ð ÷Ù
Ø Ò Ø Ñ Ø
Ó ÓÖ Ð
Ò µÚ
ØÖÓÒ K × Ó
Ó Ú Ñ f ∈ R[X1 , ..., Xn ]¸
ØÓ Ò Ñ Ñ Ò ´ Ò ½µ
L(f ) =
f dµ?
K
À Ú Ð Ò ´½ ¿ ¸ ¾¼℄µ
µ¸
Ø ö Ò × Ùº
Ò Ð ½ ´À Ú Ð Ò
Ö Ñ Ø
º
¸ ¾¼℄µ
ØÖÓÒ K × Ó
Ó Ú
óÙ
÷Ò
Ò Ú
óÙ ÷Ò
Ò Ú
öØ ÒØ
Ñ f ∈ R[X1 , ..., Xn ] Ø
L(f ) =
f dµ
K
Ð L(f ) ≥ 0 Ú
Ñ
f ≥ 0 ØÖòÒ K º
Ó× Ø ÒØ
Ñ Ø
Ó
Ó
Ò
ÓÖ Ð
Ò µÚ
ềề ể
ề ì
ỉ ễ ỉ ễ
ểề
ỉệểề ề
ỉ
ề ỉệểề Rn
R[X]á ẹ ỉ ề
ề K = KG á G é ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ỉể ề ẹ ẹ ề
ễ ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề ề ắà
ể G = {g1 , ..., gm } R[X] KG , TG
ể ểệ é
ề à
ỉệũề ặụ L(f ) 0, f TG ỉ ứ
ỉ ề ỉ ẹ ỉ
KG ì ể
ể
L(f ) =
ử
ề ề ỳ ề
ỉệểề
f dà
KG
ẹ
f R[X]
í
ề
ệ ề f TG ỉ ứ f 0 ỉệũề KG ể
ỉể ề ẹ ẹ ề ề ắ íụ ề
ỉể ề ẹ ẹ ề ề ẵ èí ề ũềá ềụ
ề ỉ
ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề ỉệũề
KG ỉ ứ
ỉể ề ỉệũề ỉ ề
ề ề ế
ề é é ề à ặ
ỉ ử
ĩ ẹ ỉ ũẹ ú ề
ề
ề é
ử ừề
ề ử
ếíụỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề
ỉệểề
ỉ é ữ ắ á ẵ
ề
ì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ề ề
ề ú ì ế ề ỉ ẹ
ỉể ề
ệ ề ẵ à ậỉ ề é ẵ à ắ á
ệ
ử ừề
ẹ
ể
ỉ
ề ỉ ề ề á
ề ẹá ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ ề
ề ẻ ữ
ỉứẹ
ề é
ử ừề
ề
ề ẹ ỉ
ữề ề ề
ế ề ỉ ẹ
ề ú ề
ặ ẹ ẵ ẵá
ậ
ẹÔ
ề
ậ
ẹÔ
ề
ề
ỉ
ì
ề
ỉ ỉ
ữ
ỉứẹ é
ể
ỉể ề ẹ ẹ ề ề
ề
ỉự
ẹá
ệ ẹ ỉ
ề é
ử ừề
ề ỉệũề ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ỉ ửá
ề ệ ề ặụ f > 0 ỉệũề KG KG é ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉ ứ f TG
ỉ ỉệ ề
ễ
ẵ á ử ừề
ữỉ
ề é ậ
ẹÔ
ề
ệ ỉệ
ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề é á
ểẹễ
ỉ
ẻ ữ
ệ ẹ ỉ
ề ìể ỉ
ể
ú ữề
ì ẹ ỉ
ỉ
R[X]
é
ú ữề ử ẹ ể
ỉ
ề ỉệũề KG ỉ
ể MG
TG ỉ ú ữề ề ỉ ụ
ẩỉ ề ệ
ệ ề ẹ ẵ á
MG ặ
é á ẹ ỉ ẹ ề
M ỉệểề ề
ẹ ề
ì ẹ ỉ ềụ ỉ ề ỉ ì ỉ ề ũề k N ì ể
ể k(X12 +...+Xn2) M
ề é
ử ừề
ề
ẩỉ ề ệ
á ềụ f > 0 ỉệũề KG ỉ ứ f MG
ễ
ỉ
ử ề
ì
ề éẹ ề
ì MG
ì ẹ ỉ
ề KG
ệ ề á MG
ì ẹ ỉ ỉ ứ TG
ì ẹ ỉ ề ề á TG
ì ẹ ỉ ỉ ề
ểẹễ
ỉ ề ề á ềụ f
ề ữẹ ỉệểề KG ỉ ứ
ề é
ậ
ẹÔ
ề ẩỉ ề ệ
ỉ ử
ề
ề ề ể á ậ
ệ ệ ắá
ệ ẹ ỉ ỉ ũ
ề ìì ề ử
ẹ ể
ể
ỉ
ề ẹ ỉ
é
ề ữẹà ỉệũề KG ỉ
ể TG ỉ
MG à
ú ữề KG
ểẹễ
ỉ ỉ ề ề á MG
ì ẹ ỉà
ề
ề á
ử ừề
ỉ
ề
ề ẹà ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ề
ểẹễ
ỉ ỉệểề Rn
ề ề ú èệểề ỉệ ề
ễ KG
ề
ểẹễ
ỉá ậ
ể ệ ắẳẳ á ẳà
ề
ề
ỉệ ỉ ữẹ
ề ỉệểề
ề ệ ề
ì f R[X]
ề ỉệũề KG á f
ỷ
KG ỉể ề
ú
ề
á ềụ f > 0 ỉệũề KG ỉ ứ f TG
ặ
é
ệ ề áỉ ễ
ễ
R (f, KG ) := {y R|xk KG , xk (k ), f (xk ) y}
é ỉ ễ
ỉệ ỉ ữẹ
ề
f
ẩ éí
ụỉ ế ì íá ử ừề
ỉ
ề ỉệũề Rn+ \ {0}á ỉệểề
Rn+ = {(x1 , ã ã ã , xn ) Rn : xi 0}
ỉ
ỉ ề ề ỉ ặụ f > 0 ỉệũề Rn+ \ {0} ỉ ứ ỉ ề ỉ ẹ ỉ ì ỉ ề ũề N
ểf é ẹ ỉ
é ềì ể
ể
ỉ
N
n
Xi
f
ỉ ỉ
ữì
ề
ú
ề
i=1
ặ ẹ ẵ á ấ ịề
ệ ẹ ỉ ề é
ử ừề
ề
ử ừề ỉ ề ỉ ề
ứề ễ
ề
ể
ỉ
ỉ ề ề ỉ
ề ỉệũề Rn \ {0} ề é ấ ịề
ề ệ ề
ểf é ẹ ỉ
ỉ
ỉ ề ề ỉ
ề f (x) > 0, x Rn \ {0}
áỉ ềỉ
ẹ ỉ ì ỉ ề ũề N
é ềì ể
ể
n
i=1
è ề ế ỉ
ể ụỉ ế
é
ử ừề
ề ỉệũề ẹ
ềìểề ẩể ẵẳ
ẹ ỉ ề é
ử ừề
ể
n
ỉ ụỉ
ể
ỉệểề R
ẵắắ
ề ề
N
Xi2
R[X]2
f
ấ ịề
á ẩỉ ề ệ ẻ ì é ì
ẳ
ệ ẹ ỉ ề
n
ỉỉ ễề
ì
ề
ề ỉệểề R ề íá ề ẹ ắẳẵ á
ụỉ ễ ề é ẩ éí
ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
ử
ệ
ỉ
ề ỉệũề ẹ ỉ ỉ ễ
ểề ề
ì
ề
ề
ề é
ử ừề
ề ề í
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ậ í
ề ỉ
ú
ễ ẹ ỉ ì ề ú é ũề ế ề ụề ỉệ ề
ễ t > 1á ĩ ỉ ử
ừề
ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉ ề ề á ề ĩ
ề
ề à ỉệũề ẹ ỉ
n
ữ St (R[X]) é ỉ ễ ễ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ĩ ề
ễ t ỉệểề
ỉ ễ
ểề
R
Mt (R[X]) ẻ ẹ F St (R[X]) G = {G1 , ..., Gm } St (R[X])á
ữ
KG := {x Rn |Gi (x)
ỉ ễề
ì
ề
ề ỉệểề Rn ĩ
ề
0, i = 1, ..., m},
G
íá ẹ
ỉ
ẹ ỉệ ề G St (R[X]) ẹ x Rn á G(x) 0
ề
t T
ề á ỉ
é ẹ v R , v G(x)v 0
ử
ữ
ể ẹ ỉệ ề G(x) é ề ĩ
ề
ữ G(x) 0
ử é ẹ ỉệ ề G(x) é ĩ
ề
ề á ỉ
é ẹ v
t
T
R \ {0}, v G(x)v > 0.
ữ
MG := {
ATij Gi Aij |Gi G {It }, Aij Mt (R[X])},
i,j
ẹ
ề
ề
ề
ỉ ỉệũề Mt (R[X])
G
è úề ỉ
ỉ ề
ề ỉ
G ì
ữ
TG èệểề ỉệ ề
ễ G = á
ễ
ỉ ề
ề
ề ề ễ ề ỉ
ề AT Aá
t R[X] := M = T é ỉ ễ
A Mt (R[X])á ề é ẹ ề
ề ề ỉ ỉệểề Mt (R[X])
ỉệểề
ấ ệ ề á ềụ F TG ể
MG ỉ ứ F 0 ỉệũề KG ẻ ề ú
ựề ỉ ụễ ỉ ể
ề ỉ
ế ề ỉ ẹ ỉệểề ề ề ề ì
ì F 0 ỉệũề KG
ể F St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } St (R[X])
ẻ
ú ữề ề ể ỉ ứ F TG ể
F MG .
ỉể ề ắ
ũề ế ề ụề
ỉể ề ề íá ậ
ệ ệ ểé
ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề ử
ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ừề
ỉ
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉệũề n
ề ề
ề
ề ỉệũề KG ẹ MG
ì ẹ ỉ
ể ề é ẩ éí
ề é ẩỉ ề ệ ỉệểề
n = {(x1 , ..., xn ) Rn |xi 0,
n
xi = 1}
i=1
ẹễệ Đ
ệ
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ệ ề ạậỉ ề é
ẹễệ Đ
é ệ
ề ũề
ỉể ề ẹ ẹ ề
ể
ỉ
ỉể ề ỉ
ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ậ
ẹÔ
ề ũ
ề èệứề ắ
ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề
ể ề é
ử
ừề
ề
ệ ề ạậỉ ề é á ậ
ể ệá ậ
ệ ệá
ỉ ụỉ
ể
ụỉ ế ề í
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵ
ề ẵ
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é
ử ừề
ề
ẩ éí ề ẹ ỉ ỉệ ế
ỉệểề é ỉ íụỉ ú
ửề ụỉ
ỉể ề ú
ửề ỉíụề ỉựề ú ề
ỉ ề ỉ
ẹ ỉệ ề ấ ỉ ề ú ỉệểề ì
ỉể ề ề í
ỉ ử
ề ỉ
ẹ ỉệ ề é ỉíụề ỉựề ấ
ềá ẹ ỉ ỉ ề ỉ
ẹ ỉệ ề ỉíụề ỉựề
ỉệ ĩ ề ế é ỉí ạ à
ề
L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn 0,
ỉệểề
ể ỉệ
ề ỉệ ề
ụề
ỉ
ề ệ
ẳ à
X = (X1 , ..., Xn ) é n ụề ỉ
A0 , A1 , ..., An Sn (R) é
ẹ ỉệ ề
ĩ ề
T
ỉ ề ỉ
ẳ à
ỷ ệ L(x) ĩ
ề
ề á ỉ
é á v L(x)v > 0, v
Rn \ {0}
á ẹ úề ĩ
ề
é
G := {x Rn |L(x) 0}.
ề é
ử ừề
ề
ẩ éí
ể
ỉ
ẹ ỉệ ề
ề
ề ệ ề
é ẹ ỉ
ỉ
ẹ ỉệ ề
ĩ ề ỉ ề ề ỉ
d ặụ F 0 ỉệũề n ỉ ứ ỉ ề ỉ
ề ũề N ì ể
ể
(X1 + ã ã ã + Xn )N F =
A X ,
ì F
ì ỉ
||N +d
ỉệểề
á A é
ẹ ỉệ ề ề ĩ
ề ề íá
ỉ ử ĩ ẹ
ỉ ụỉ ỉệểề
ự
ựề ỉ ụễ ỉ ể
ề ẹ ỉệ ề
ể
ề é
ề éẹ ề
ề ỉ
ử ừề
ặ ể
é
á
ề ẹ
é ũề ế ề ụề ề ềá è é ữ ỉ
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
èệểề
ề ẵ
ỉệểề ề ề ẹ ậ
é ệỉ ẹ ỉ ì
ề
ề ẹ ỉệ ề
ể ẹ ỉ
ẹ ú ẹ é ũề ữ
ề
ề á X = X11 ...Xnn ử ệ
ể
ậ
ệ ệ ểé
ỉệểề ề ề é
ếíụỉ
ề
ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
á
ề ú
ề
ỉể ề ắá
ệ
ềìểềạẩể
ữá ẹ á
ề ì
ề ỉệứề
ỉ
ẹ
ể ụỉ é ềá ề
ề
ựề
ề ề
ề
ề ỉ
ề
ễ ề ề
ề ữẹ ụỉ ế
ề
ì
ề
ễ ề
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụềá
ỉể ề ỉ ẵ
é
ử ừề
ề á
ỉể ề ẹ ẹ ề
ỉể ề ỉ
ỉ
á
ì
ề é
ử ừề
ề
ề
ề ỉ
ệ ụỉ ế
ỉựề
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề ỉ ề ề ỉ
ề
èệểề
ề ắ
ề ỉ
ệ ẹ ỉì
ề
ể
ỉệ ệ ũề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ửá
ề ỉ
ệ ẹ ỉì
ề ẹ ỉệ ề
ể ề é ề ìỉệÔ
ểẹạ í
ề
é ắẵắá ắẵá ắẵ à ỉ ì
ề ẹ ỉệ ề
ể
ề é
ề
í
ề
ề
ỉ
ệ ỉệểề
ề é ắắắá ắắ á ắắ á ắắ á ắắẵẳá ắắẵắá ắắẵ á ắắẵ á ắắẵ
ề á ỉệểề
ắá
ề ỉ ỉệứề
í ề ìể ì ề
ề
ỉ
ỉệểề
ề ề í
ề
ệ
ẹ è ìì ệ ắắ ỉệũề
ề ự
ễ ề
ẹúẹ ỉựề ỉể ề
èệểề
ề
ề ỉ ề ũề
ề é
ử ừề
ẹ ỉệ ề
ỉ ửá
ề ỉ
ệ
ề ẹ ỉệ ề
ể
ề é
ẩỉ ề ệạẻ ì é ì
á ấ ịề
á
ềìểềạẩể ề éẹ ề ấ ũề
ể ề é ề éẹ ềá
ề ỉ
ệ ẹ ỉ ỉ ỉ
ử ỉứẹ ử
ẹ ỉệ ề ĩ
ề
ề ỉệũề ẹ ỉ
ữề
ểẹễ
ỉá é ỉệểề Rn
ẵẳ
ề
ể
ử ừề
ề
ề ẹ
ừề
ể ẹ ỉ
ỉ
ỉệ ề
ỉ
ụỉ ế
ựề
ề ề
ề ễ ẹ ẵ
ể
ểỉ
ề ỉ
ề
ỉệểề
ỉ ể èể ề
úề èệề ạè í ặ íũề éề á èệ
ề á ẵắạẵ ằẳ ằắẳẵ
ề
ể ẵắá ẳá ỉ úề
ẫí ặ
ềá ứề
ỉ ể ế
ỉụ è
ỉ ềỉ ệề ỉ ểề é ểề ệ ề
ểề ỉệ ĩ ề éíì ì ề
ỉ ểềì à á èệ ề
í è ềá
ặ ề á ẵ ạẵ ằẳ ằắẳẵ
ỉ ể ế
ỉụ ậỉệ ề ạ ỉ ắẳẵ á èệ
ẵ ạắắằẳ ằắẳẵ
ề
èể ể á ậ ề
áặ
ễễé ạ
ỉ
ềá
ỉ ể ế
ỉụ è
ỉ ềỉ ệề ỉ ểề é ểề ệ ề
ểề ỉệ ĩ ề éíì ì ề
ễễé
ạ
ỉ ểềì
ắẳẵ à á èệ ề
ậ ềì á ặ ềểá ặ ỉ
ềá ắắạắ ằẳ ằắẳẵ
ậ ẹ ề ệ ể èể ềá èệ
èể ề
ẵ ằẳ ằắẳẵ
ề
ẻ ữỉ ặ ẹ éề ỉ
ẫí ặ
ềá
á èệ
ề
ứề
ề
è
ứề
ề áỉ
ề ỉ ề ũề é
á ẵ ạ
ề ẵẵ ề ẹ ắẳẵ
è
è
ẵẵ
ứề
ề ẵ
ỉ ì ụỉ ế
ề
èệểề
ề ề í
ề ỉ ỉệứề
í ẹ ỉ ì ụỉ ế
ề
ể
ề
ề
é
ề ề ậ ễ ề
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụề ề
ề é
í ẵá
ẹ ỉì
ề é
ề
íá ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í
á ểệểéé ệí
ỉệứề
í ỉệểề
ẵẵ
ề ỉ ì ỉệứề
íẹ ỉì
ề ề ỳ
ề ỉệểề ứề
ì ỉ
á
ỉệự
ề ỉ
ề ỉệứề
ậ
ẹÔ
ề
á á á ẹễệ Đ
á
ệì éé ắ ỉệểề
ẵắ í
ề ỉ
ề ỉệứề
íẹ ỉì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ỉ ì
ề é
ử ừề
ề
ể
ỉ
ẹ ỉệ ề
ề ỉ
ỉệứề
í ỉệểề
ẵ ề
ề
ề é
ử ừề
ề ỉệểề
ỉể ề ỉ
ỉ
ỉể ề ẹ ẹ ề ì
ề ỉ ỉệứề
í ỉệểề
ẵ
ề
ề ỉ
ệ ẹ ỉ ì ụỉ ế ẹ ú ẹ é ũề ữ
ỉựề
ề
ỉ
ẹ ỉệ ề
ỉ ề ề ỉ
ề
ẵẵ ậ ễ
ề
ề
ữẹ
ỉ
ẹ ỉ
ụề
ỉể ề ỉứẹ ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụề é ẹ ỉ ỉệểề ề ề
ỉể ề
ề
ì èí ề ũề ữ
ỉứẹ
ựề ĩ
ề ữẹ
ỉ
ẹ ỉ ụề
ề ễ
é
ề ể
ề ừ ề ể á ỉ í ứ ỉứẹ ề ữẹ
ỉ
á
ề ỉ ỉứẹ ẹ úề
ề ữẹ
ề
ỉ
ữ ì ỉ
á ỉ
ề ỉ ề
ề ì í
ề é
ề ìỉệÔ
ểẹạ í
ề é ẵẵẵ
ề ìỉệÔểẹạ
í á
ề ẵá
d
á
ểệểéé ệí à
ể f (z) é ẹ ỉ
f (z) = ad z d + ad1 z d1 + ã ã ã + a1 z + a0 , ai R, i = 0, ..., d.
ẵắ
ỉ
ì ệ ề
ad ad1 ã ã ã a0 0, ad > 0.
a0
|z| 1
ữẹ
f (z) ỉ ứ
2ad
ặụ z C é ẹ ỉ ề
ế
í
ú
ữề ì ễ ỉ
ỉ
ữì áỉ
ề é ẵẵắ
é ẹ ỉ
ỉ
ề ìỉệÔ
ểẹạ
0id1
áẹ
ề é
ề ìỉệÔểẹạ í á ề ắá à
ể f (z) = ad z d +ad1 z d1 +ã ã ã+a1 z +a0
ỉ
ai , i = 0, ..., d, é
ì ỉ
ề
ữ
:= min
ề ắì
ề
ữẹ z C
ai
ai+1
f (z) ỉ
ai
ai+1
, := max
0id1
.
ẹ ề
|z| .
ỉ ửề
ì
ỉ
ề é ẵẵ
áẹ
ề
M = max
èệểề ỉệ ề
ề ỉ ề ề
ữ ế ẵẵ
ễ
íá
ữẹ
á
ề é
ề ẵá ẵá à
ỉ
d
d
ể f (z) =
ai z i é ẹ ỉ
d
ễ
ỉ
f (z)
|ad | > |ai |, i = 0, ..., d 1á ỉ ứ M < 1
ẹ ỉ ữ ế ì
á è ểệ ẹ ắắà
íá
ề
ề
ữẹ
ữẹ
ai z i é ẹ ỉ
ỉ
i=0
ỉ
ề ắá ẵá ậ
ỉ ểề ắ à
ề é ề
d
ể f (z) =
ề
f (z) ề ẹ ỉệểề
ể f (z) =
ỉ
d
ữẹ
i=0
g(z) = |ad |z d |ad1 |z d1 ã ã ã |a1 |z |a0 |.
ỉ
f (z) ỉ
ẹ ề
r |z| R.
ẵ
ễ
á
d ặụ
ỳ {z C| |z| < 2}
ai z i é ẹ ỉ
ề
ễ
ề á
aj
, j = 0, 1, ..., d 1 .
ad
r Rỉ
áẹ
ỉ
ữẹ
i=0
h(z) = |ad |z d + |ad1 |z d1 + ã ã ã + |a1 |z |a0 |,
ề
f (z) ề ẹ ỉệểề ỳ
{z C| |z| 1 + M},
|ad | > |ai |, i = 0, ..., d1, ỉ ứ ẹ
ề é ẵẵ
í
ỷ ệ ẹ ỉ ỳ ỉệ ề
ỉ
ễ
Ì
Ô Ò
Ò Ø
Ø Ò ØÖòÒ
Ò ÷Ñ
Ø
Ò
Ò Ð ½º½º
Ù
ݸ
× Ùº
º
Ò Ø
Ñ Ø×
d
Ó f (z) =
´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º¾℄µ
0≤i≤d−1
¸Ñ
Ò
ք
Ø
ai z i Ð Ñ Ø
Ø
Ò
Ô
Ù
Ý Úó ×
dº Ã
÷Ù
i=0
M := max
Ã
ôØ ÕÙ
f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ
ai
.
ad
ú
K(0, r1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r1 },
ØÖÓÒ
¸ r1 Ð Ò
ք
Ò Ð ÒÒ
Ø
Ô
Ò ØÖøÒ
z d+1 − (1 + M)z d + M = 0.
Ô
Ò
Ò Ð ½º½º
Ó
À÷ ÕÙ ½º½º
Ø
º
(1 − z)f (z)¸
M := max
¸Ñ
Ò
ք
Ø
ai z i Ð Ñ Ø
Ò
÷ ÕÙ × Ùº
Ø
Ô
dº Ã
÷Ù
Ø
Ô
dº Ã
¸
ÔÐ Ø Ø
Ò
i=0
i=0,...,d
Ã
d
Ó f (z) =
´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º¿℄µ
Ò Ø Ò
ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad
f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ
ú
K(0, r2 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r2 },
ØÖÓÒ
¸ r2 Ð Ò
ք
Ò Ð ÒÒ
Ø
Ô
Ò ØÖøÒ
z d+2 − (1 + M )z d+1 + M = 0.
À÷ ÕÙ × Ù
À÷ ÕÙ ½º½º
Ñ
Ò
ք
Ý Ð Ñ Ø ôØ ÕÙ Ø
º
´ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¿º ℄µ
Ø
Ò Ø
Ò Ð ½º½º¿º
Ó f (z) =
f (z) Ò Ñ ØÖÓÒ
d
ai z i Ð Ñ Ø
i=0
ú
K(0, r3 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r3 },
ØÖÓÒ
×Ó Ú
¸ r3 = 1 + M Ú M
Ò ØÖòÒ × Ù Ý
Ò
Ù
ݺ
Ü
ÂÓÝ Ð¹Ä
Ò Ò
ÐÐ ¹Ê
ØÖÓÒ À÷ ÕÙ ½º½º º
Ñ Ò ¾ ℄ ØÖÓÒ Ò óÙ ØÖ
½
Ò
Ò Ð ½º½º
dº Ã
´ÂÓÝ Ð¸ Ä
ÐÐ ¸ Ê
Ñ Ò¸ ¾ ℄µ
¸Ñ
Ò
À÷ ÕÙ ½º½º½¼ ´ ¾ ℄µº
a0 = 0º Ã
÷Ù
1−
Ò
ք
f (z) Ø
Ò Ð ½º½º
Ó
À÷ ÕÙ ½º½º½½ ´ ¾ ℄µº
dº Ã
÷Ù
a1
+
a0
Ø
Ì
Ò
Ò
.
Ø
Ñ Ø
Ò
Ø
Ô
Ø
Ô
ai
.
a0
1−
a1
a0
(1 − z)f (z) Ø
.
2
+ 4β
÷ ÕÙ × Ùº
Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
i=1,...,d
¸Ñ
Ò Ø ×
2
γ := max
Ã
Ñ Ò
1+
Ò
+ 4α
Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
|z| ≥
Ô
2
ad−1
ad
g(z) = z d f ( z1 )¸
i=2,...,d
¸Ñ
Ô
ai
.
ad
i=0,...,d−2
β := max
Ã
Ø
ք
Ô Ò
Ò Ð ½º½º
Ó
Ø
Ó Ò ÷Ñ
Ø
Ò × Ùº
dÚ
ai z i Ð Ñ Ø
i=0
max
f (z) Ø
Ñ Ò
1
ad−1
|z| ≤
+
1+
2
ad
d
Ó f (z) =
÷Ù
α :=
Ã
º
ad−i − ad−i−1
, a−1 := 0.
ad
ք
f (z) Ø
Ñ Ò
1
ad − ad−1
|z| ≤
+
1+
2
ad
Ò Ø ¸ Ô Ò À÷ ÕÙ ½º½º½½
Ó
Ó
Ø
Ò × Ùº
1−
Ø
½
ad − ad−1
ad
2
+ 4γ
g(z) = z d f ( 1z )¸
.
Ò Ø Ò
Ò
Ñ Ø
À÷ ÕÙ ½º½º½¾º
a0 = 0º Ã
÷Ù
Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
γ ′ := max
i=1,...,d
Ã
¸Ñ
Ò
ք
f (z) Ø
Ô
Ò
Ò Ð ½º½º
Ó
À÷ ÕÙ ½º½º½¿ ´ ¾ ℄µº
dº Ã
δ :=
Ã
¸Ñ
Ò
ք
d
Ø
1−
a0 − a1
a0
(z − ad−1 )f (z) Ø
.
2
+ 4γ ′
÷ ÕÙ × Ùº
Ó f (z) = z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
÷Ù
Ñ Ò
a0 − a1
+
a0
1+
Ô
ai − ai+1
, ad+1 := 0.
a0
2
|z| ≥
Ø
Ø
Ô
max |ad−1 ai − ai−1 |, a−1 := 0.
i=0,...,d−1
f (z) Ø
Ñ Ò
√
1
|z| ≤ (1 + 1 + 4δ).
2
Ú
Ò
Ñ Ø
× Ùº
À÷ ÕÙ ½º½º½
dº Ã
Ø
Ø
º
δ ′ :=
Ã
¸Ñ
Ò
ք
Ò
Ü Ø
Ø
ÑÓÒ
Ø
Ò
Ò ¸Ø Ò
Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Ñ Ø
´ ¾ ℄µ
÷Ù
¸
max
i=0,...,d−1
f (z) Ø
Ø
Ò
Ô
ad−1 ai − ai−1 ad
, a−1 := 0.
a2d
Ñ Ò
√
1
|z| ≤ (1 + 1 + 4δ ′ ).
2
Ì
Ò
Ò Ø ¸ Ô Ò À÷ ÕÙ ½º½º½
Ó
Ó
Ø
Ò × Ùº
À÷ ÕÙ ½º½º½ º
a0 = 0º Ã
ÓÑ Ø
Ø
Ô
÷Ù
δ” := max
i=1,...,d
Ã
¸Ñ
Ò
ք
f (z) Ø
Ø
g(z) = z d f ( 1z )¸
Ò Ø Ò
Ò
f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0
a1 ai − a0 ai+1
, ad+1 := 0.
a20
Ñ Ò
|z| ≥
1+
√
½
2
.
1 + 4δ”
Ñ Ø
d
Ò Ð × Ù
Ù
Ý ØÖÓÒ
ØØ Ú
ÓÚ Ð
Ò Ð ½º½º¿º
℄
Ó
Ò Ø Ñ Ø
Ò Ð ½º½º½
´ Øع ÓÚ Ð¸ ¸ Ì ÓÖ Ñ ½℄µ
d−1
ad−1 z
+ · · · + a1 z + a0
dº Ã
÷Ù
A :=
Ã
¸Ñ
Ò
ք
f (z) Ø
º
max
i=0,...,d−1
Ò ØÖòÒ Ø Ø
Ó Ñ Ø
Ø
Ô
Ò ×Ó Ú
Ò ØÖòÒ
f (z) = ad z d +
ai
.
ad
Ñ Ò
|a0 |
≤ |z| ≤ 1 + x0 A,
2|ad |(1 + A)d−1 (Ad + 1)
ØÖÓÒ
¸ x0 Ð Ñ Ø Ò
ÌÖÓÒ ØÖ Ò
Ø
Ø ö Ò
ք
Ô
Ô
ØøÑ Ò
Ò × Ù Ýº
Ò ØÖøÒ x = 1 −
÷Ñ x0 ∈ (0, 1)
Ò Ð ½º½º½
´ Øع ÓÚ Ð¸ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¾℄µ
d−1
÷Ù
ad−1 z
+ · · · + a1 z + a0
dº Ã
A :=
Ã
¸Ñ
Ò
ք
f (z) Ø
º
max
i=0,...,d−1
1
(Ax+1)d
Ô
Ò Ñ ØÖÓÒ (0, 1)º
1
Ò ØÖøÒ x = 1 − (Ax+1)
d¸
Ó Ñ Ø
Ø
Ô
Ò
f (z) = ad z d +
ai
.
ad
Ñ Ò
|a0 |
1
A.
≤ |z| < 1 + 1 −
d−1
2|ad |(1 + A) (Ad + 1)
(1 + A)d
Ì
Ò Ø
Ò Ð ½º½º½
· · · + a1 z + a0
Ò Ð
Ù
ݸ
º
¸Ñ
Ò
Ó Ñ Ø
´ ¿ ¸ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾℄µ
dº Ã
÷Ù
M :=
Ã
Ò Ø
ք
f (z) Ø
Ò× Ù
Ø
Ô
i=1,...,d
Ñ Ò
Ò Ð ½º½º½ Ø
ôØ ÕÙ × Ùº
½
ք
Ø
º
f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 +
max |ai |, M ′ := max |ai |.
i=0,...,d−1
|a0 |
M
< |z| < 1 +
.
′
|a0 | + M
|ad |
Ì Ò ÕÙ Ø
Ó
Ý
ÓÒ