Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện văn lâm hưng yên năm học 2018 2019 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĂN LÂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 30/11/2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức P =

x2  x
2 x  x 2  x  1


x  x 1
x
x 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Xét biểu thức Q =

2 x
, chứng minh 0 < Q < 2.
P

Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức A = 6  11  6  11 .
b) Giải phương trình 4 x  3  x  1  x  7
c) Cho  ABC có cosB =

AB
, chứng minh rằng: AB 2018  AC 2018  BC 2018
BC

Câu 3 (3,5 điểm)
a) Cho điểm A (2; 1) và đường thẳng (d): y = ax + b. Xác định a và b biết đường
thẳng (d) đi qua điểm A và tạo với trục Ox một góc 450
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường thẳng:
 d1  : y = x - 3

 d2  : y = 2x - 4
 d3  : y   m2  2  x  2m (với m là tham số).

Hãy tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên là ba đường thẳng phân biệt đồng quy.
cao

Câu 4 (6,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường
AD, BE, CF cắt nhau tại H, kéo dài AO cắt đường tròn tại K.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Kẻ OM  BC, gọi G là trọng tâm của  ABC. Chứng minh diện tích  AHG
gấp hai lần diện tích  AGO.
c) Biết R = 5 cm và BC = 8 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức M =  a 27  b 27  b 41  c 41  c 2017  a 2017 

1 1 1
1
  
.
a b c a bc

___________ Hết ___________
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:................................................., Số báo danh .......................................

1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĂN LÂM

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP HUYỆN- NĂM HỌC 2018- 2019

Môn: Toán - Lớp 9
Néi dung ®¸p ¸n

Câu
ĐKXĐ: x  0; x  1.
a.
2,0đ

x

P=



§iÓm
0.5



  x 2

x 1 x  x  1

x  x 1
P= x  x  2 x  1  2 x  2

  2

x 1
x



x 1



x 1

x 1

0.75
0.5
0.25

P = x  x 1
2

1 3

P x   
2 4


1
(4,0đ)

0.25

2
b.
3
1

x

  0 do đó P 
0.75đ Với x ĐKXĐ thì 
4

2

Dấu "=" xảy ra khi

x

0.25

1
1
3
 x  (t/m). Vậy GTNN của P bằng khi
2
4
4

x

1
4

Q

2 x
với x ĐKXĐ thì Q > 0
x  x 1

0.25





2

2 x
2 x  4 x  2 2 x  1
2

Xét hiệu Q - 2 =
x  x 1
x  x 1
x  x 1

c.
1,25đ Do x  1 nên

x  1  0  2





0.5

2

x  1  0 , lại có x  x  1 > 0 do đó Q - 2 < 0

 Q < 2 . Vậy 0< Q < 2 ( đpcm)

a.
1,0đ

0.25

0.5

A = 6  11  6  11
A 2  12  2 11  12  2 11 





2

11  1 

A 2 = 11 1  11 1  2 . Vậy A = - 2
ĐK: x  1





11  1

2

0.5

0.5
0.25

4 x  3  x 1  x  7

2
(4,0đ)

b.
1,5đ

 x  7  4 x  3  x 1  0






0.5

 x  3  4 x  3  4  x 1  0



x  3  2  x  1  0 1

x ÐKXÐ thì

2





2

x  3  2  0;

x 1  0

0,25

2




 x3 2

Do đó (1)  

 x 1  0



2

0

 x  1TM  . Vậy PT có nghiệm x = 1

0.5

A A'

C

B
c.
1,5đ

A'B
AB
A ' B AB
mà cosB =
nên
=
BC
BC
BC BC
Do đó A'B = AB => A '  A do đó  ABC vuông tại A.
Suy ra AB < BC; AC < BC và AB 2  AC 2  BC 2

Vẽ CA'  AB tại A', suy ra cosB =

AB
AB

2018

2018

 AC

 AC

2018

2018

 AB

 BC

2016

2016

. AB  AC



2

. AB  AC
2

2

2016

. AC  BC

  BC

2

2016

2016

. AB  BC

.BC  BC
2

2

2018

2016

. AC

0.5
0.25
2

( đpcm)

0.5
0.25

Vì đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A (2;1) nên ta thay x = 2; y = 1
vào PT đường thẳng (d) ta được: 2a + b = 1 (1)
y

3
(3.5đ)

(d)

a.
1,5đ

1
O

N

x

0.25
M

Vì đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc 450 nên a  0
Ta có (d) cắt trục Oy tại điểm M ( 0; b); cắt trục Ox tại điểm N(

b
;0 )

a

0.5

 MON vuông tại O có MNO  N1  450 nên là tam giác vuông cân tại O

0.25

b
b
( vì a > 0) => a = 1
b
a
a
Thay a = 1 vào (1) ta được 2 + b = 1  b = -1

0.25

suy ra OM = ON hay b 

0.25

Vậy đường thẳng (d): y = x - 1
3


b.
2,0đ

 d1  : y = x -3 và  d2  : y = 2x - 4

Hai đường thẳng  d1  và  d2  có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại

0.5

điểm I, hoành độ điểm I là nghiệm của PT: x - 3 = 2x - 4  x = 1
Thay x = 1 vào PT: y = x - 3 ta được y = -2, vậy I ( 1; -2)

0.25

Để đường thẳng  d3  : y   m 2  2  x  2m đi qua điểm I thì:





2  m 2  2 .1  2m  m2  2m  0  m  m  2  0  m  0 hoặc m = 2

Thay m = 0 ta được  d3  : y  2 x không trùng với  d1  ;  d2 

Thay m = 2 ta được  d3  : y  2 x  4 trùng với  d2  do đó m = 2 loại
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

0.5
0.5
0.25

A

E
4

(6,5 đ)

F

B

G

H

D

O

C

M
K

a.
2,0đ

b.
2.5đ

 ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK do đó  ACK vuông tại C.
 KC  AC, lại có BE  AC ( gt)  BH  AC  KC BH

Lập luận tương tự để có BK CH
Xét tứ giác BHCK có: KC BH và BK CH suy ra tứ giác BHCK là hình

bình hành
Vì OM  BC nên MB = MC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây),
suy ra H, M, K thẳng hàng và MH = MK ( tính chất 2 đường chéo của hình
bình hành)
2
3

Vì G là trọng tâm của  ABC nên G thuộc AM và AG  AM
Trong  AHK có AM và HO là 2 đường trung tuyến, AG 

c.
2,0đ

2
AM nên G là
3

trọng tâm của  AHK và H, G, O thẳng hàng
Ta có HG = 2.GO ( tính chất trọng tâm), hai tam giác AHG và AGO có
chung đường cao hạ từ đỉnh A mà đáy HG = 2 GO nên diện tích  AHG gấp
hai lần diện tích  AGO.
Vì BC = 8 cm nên BM = MC = 4cm.
Áp dụng định lí pytago vào  MOC tính được OM = 3 cm
Lập luận để khẳng định OM là đường trung bình của  AHK và tính được
AH = 6cm

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5

0.75

0.75

0.5
0.5
0.5
4


C/m được đường tròn ngoại tiếp  AEF là đường tròn đường kính AH
Kết luận bán kính của đường tròn ngoại tiếp  AEF là:
R'= AH : 2 = 6: 2 = 3 cm
Từ đầu bài cho
5
(2,0đ)

  a  b
1 1
1
1
ab
 
 

a b a bc c
ab
c (a  b  c )

0.75
0.25
0.5

 (a  b)c  a  b  c   ab  a  b    a  b  c  a  b  c   ab   0

0.5

 a  b
  a  b  c  a  c   bc  ab   0   a  b  a  c  b  c   0  c  a

b  c

0.5

Lần lượt thay vào M ta được M = 0

0.5

Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh phải có lập luận chặt chẽ, hợp
logic. Nếu bài làm của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Với câu 2c và câu 4 nếu thí sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.

5